x - cosx, x ∈ [0,1]

Método de Bisección
Ejercicios 2,1
1. Aplique√el método de bisección para obtener p3 para
f (x) = x − cosx, x ∈ [0, 1]
Primero√evaluamos los extremos del intervalo en f
f (0) = √0 − cos(0) = −1 ⇒ f (0) < 0
f (1) = 1 − cos(1) = 0, 00015 ⇒ f (1) > 0
a1 + b1
0+1
=
= 0, 5
2
2
√
Evaluando en f se obtiene que f (0, 5) = 0, 5 − cos(0, 5) = −0, 29 ⇒
f (0, 5) < 0, entonces el nuevo
intervalo donde se aproxima la solución
1
de f corresponde a
,1 .
2
Ahora calcularemos p1 =
Repitiendo este proceso, determinamos p2 y p3
0, 5 + 1
a2 + b 2
=
= 0, 75
2
2
√
f (0, 75) = 0, 75 − cos(0, 75) = −0, 13 ⇒ f (0, 75) < 0
p2 =
Entonces
se obtiene un nuevo intervalo de solución el cual corresponde
3
,1
a
4
Por último para p3 se tiene que:
p3 =
a3 + b 3
0, 75 + 1
=
= 0, 875
2
2
con lo que se obtiene que p3 = 0, 875.
2. Sea f (x) = 3(x + 1)(x − 0, 5)(x − 1). Aplique el método de bisección
para encontrar p3
a) con x ∈ [−2, 1,5]
Calculamos las imágenes de los extremos del intervalo, las cuales son:
1
f (−2) = 3(−2 + 1)(−2 − 0, 5)(−2 − 1) = −22, 5 ⇒ f (−2) < 0
f (1, 5) = 3(1, 5 + 1)(1, 5 − 0, 5)(1, 5 − 1) = 3, 75 ⇒ f (1, 5) > 0
Ahora calculamos p1 , apartir del intervalo dado
p1 =
a1 + b1
−2 + 1, 5
=
= −0, 25
2
2
con lo que se tiene que
f (−0, 25) = 3(−0, 25 + 1)(−0, 25 − 0, 5)(−0, 25 − 1) = 2, 11 ⇒
f (−0,25) > 0, entonces el nuevo intervalo de solución correspon−1
de a −2,
4
Ahora reiteramos el proceso hasta determinar p3
p2 =
a2 + b2
−2 − 0, 25
=
= −1, 125
2
2
f (−1, 125) = 3(−1, 125+1)(−1, 125−0, 5)(−1,
= −1, 29 ⇒
125−1)
−9 −1
,
f (−1, 125) < 0, lo cual nos da el intervalo
8 4
a3 + b3
−1, 125 − 0, 25
−11
p3 =
=
=
2
2
16
b) con x ∈ [−1,25, 2,5]
calculamos f (−1, 25) y f (2, 5)
f (−1, 25) = 3(−1, 25 + 1)(−1, 25 − 0, 5)(−1, 25 − 1) = −2, 95 ⇒
f (−1, 25) < 0
f (2, 5) = 3(2, 5 + 1)(2, 5 − 0, 5)(2, 5 − 1) = 31, 5 ⇒ f (2, 5) > 0
Ahora calculamos p1 , apartir del intervalo dado
p1 =
a1 + b1
−1, 25 + 2, 5
=
= 0, 625
2
2
con lo que se tiene que
f (0, 625) = 3(0, 625 + 1)(0, 625 − 0, 5)(0, 625 − 1) = −0, 23 ⇒
2
f (0,
625)
< 0, entonces el nuevo intervalo de solución corresponde
5 5
a
,
8 2
Ahora reiteramos el proceso hasta determinar p3
5 5
+
a2 + b2
= 8 2 = 1, 56
p2 =
2
2
f (1, 56) = 3(1, 56+1)(1, 56−0,
5)(1, 56−1) = 4, 6 ⇒ f (1, 56) > 0,
5
lo cual nos da el intervalo
, 1, 56
8
Ahora
p3 =
0, 625 + 1, 56
a3 + b 3
=
= 1, 09
2
2
3. Use el método de bisección para encontrar una solución exacta de 10−3
para x = tan(x).
Considere la función f (x) = tan(x) − x con x ∈ [−0, 75, 0, 5]
Ahora aplicamos el método de bisección hasta determinar una solución exacta de la ecuación dada.
f (−0, 75) = tan(−0, 75) + 0, 75 = −0, 18 ⇒ f (−0, 75) < 0
f (0, 5) = tan(0, 5) − 0, 5 = 0, 05 ⇒ f (0, 5) > 0
p1 =
−0, 75 + 0, 5
= −0, 125
2
f (−0, 125) = tan(−0, 125) + 0, 125 = −0, 0007 ⇒ f (−0, 125) < 0
⇒ x ∈ [−0, 125, 0, 5]
p2 =
−0, 125 + 0, 5
= 0, 19
2
f (0, 19) = tan(0, 19) − 0, 19 = 0, 002 ⇒ f (0, 19) > 0
⇒ x ∈ [−0, 125, 0, 19]
3
p3 =
−0, 125 + 0, 19
= 0, 03
2
f (0, 03) = tan(0, 03) − 0, 03 = 0, 00001 ⇒ f (0, 03) > 0
Con lo que se concluye que la solución de x = tan(x) dentro de 10−3
esta dada por x = 0, 19
√
4. Encuentre una aproximación de 3 correcta con una exactitud de 10−4
usando el algoritmo de bisección.
Considere la función f (x) = x2 − 3, aplicandole el método de bisección
nos aproximaremos a una solución de√ésta ecuación y dicha solución
será nuestra aproximación al valor de 3, con x ∈ [1,5, 1,75]
f (1, 5) = (1, 5)2 − 3 = −0, 75 ⇒ f (1, 5) < 0
f (1, 75) = (1, 75)2 − 3 = 0, 06 ⇒ f (1, 75) > 0
p1 =
1, 5 + 1, 75
= 1, 63
2
f (1, 63) = (1, 63)2 − 3 = −0, 34 ⇒ f (1, 63) < 0
p2 =
1, 63 + 1, 75
= 1, 69
2
f (1, 69) = (1, 69)2 − 3 = −0, 14 ⇒ f (1, 69) < 0
p3 =
1, 69 + 1, 75
= 1, 72
2
f (1, 72) = (1, 72)2 − 3 = −0, 04 ⇒ f (1, 72) < 0
p4 =
1, 72 + 1, 75
= 1, 735
2
f (1, 735) = (1, 735)2 − 3 = 0, 01 ⇒ f (1, 735) > 0
p5 =
1, 72 + 1, 735
= 1, 73
2
f (1, 73) = (1, 73)2 − 3 = −0, 007 ⇒ f (1, 73) < 0
p6 =
1, 73 + 1, 735
= 1, 7320
2
4
f (1, 7320) = (1, 7320)2 − 3 = −0, 0001 ⇒ f (1, 7320) < 0
Con lo que se concluye que el valor aproximado de
5
√
3 es 1, 7320