Teoría Progresiones aritméticas

PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Se define como progresión aritmética a una sucesión de números reales a1, a2, a3,... an... en
los que la diferencia entre términos consecutivos es constante:
an+1 − an = constante
A la diferencia entre términos consecutivos se le denomina d. Puede ser positiva o negativa,
en el primer caso corresponde a una progresión creciente y en el segundo a una progresión
decreciente.
Término general de una progresión aritmética
El término general de una progresión aritmética en una expresión en función de n, que
permite calcular cualquier término de la progresión conocida su posición. Se denomina an, siendo n
la posición de cualquier término de la sucesión.
A partir de la definición se obtiene la expresión de término general
a n = a 1 + (n − 1)d
de está expresión se pueden obtener otras análogas que permiten calcular la diferencia o la posición
del término:
d=
a n − a1
n −1
n=
a n − a1
+1
d
Conocidos dos términos cualesquiera de una progresión, se puede calcular la diferencia.
a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d
a m = a 1 + (m − 1) ⋅ d
Restando las igualdades término a término:
a n − a m = a 1 + (n − 1) ⋅ d − [a 1 + (m − 1) ⋅ d ]
a n − a m = (n − m ) ⋅ d
a − am
d= n
n−m
Ejemplo 1. Calcular el término general de una progresión aritmética sabiendo que a15 = 63 y a29 =
119.
Él término general de una progresión aritmética se expresa a partir del primer término y la
diferencia.
Aplicando la expresión del término general a los términos a15 y a29, se obtiene un sistema de dos
ecuaciones y dos incógnitas (a1 y d)
 a 1 + 14d = 63
a 15 = a 1 + (15 − 1) ⋅ d = 63 
a = 7
⇒ 1
operando : 
a 29 = a 1 + (29 − 1) ⋅ d = 119
a 1 + 28d = 119  d = 4
conocidos a1 y d, el término general queda:
a n = 7 + (n − 1) ⋅ 4
ordenando
a n = 4n + 3
1
Interpolación de medios aritméticos
Interpolar aritméticamente m números entre dos números a y b es formar una progresión
aritmética de m + 2 términos en los que a y b son respectivamente el primero y el último término de
la progresión.
El problema de la interpolación se reduce a calcular la diferencia de la progresión ya que el
primer término se conoce. Para calcular la diferencia se tiene en cuenta que el número de términos
de progresión será m + 2(m por el número de términos que se quieren interpolar y dos por los
extremos), aplicando él término general y teniendo en cuenta que a1 es el extremo inferior(a) y an el
extremo superior(b):
d=
b−a
b−a
=
(m + 2) − 1 m + 1
conocida la diferencia, se obtienen los m medios aritméticos.
Ejemplo 2. Interpolar cinco medios aritméticos entre 1 y 2.
Teniendo en cuenta que se quieren interpolar 5 medios aritméticos, la progresión costará de
siete términos, siendo el primero 1 y el último 7. La diferencia será:
d=
2 −1
1
=
(5 + 2) − 1 6
Los medios aritméticos se obtienen a partir de 1 término sumando la diferencia.
1, 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 2
6 6 6
6
6
Suma de n términos de una progresión aritmética
Una propiedad muy importante de las progresiones limitadas es que la suma de los términos
equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.
a 1+ k + a n − k = a 1 + a n
a 1+ k ≡ Término que va precedido de k términos
 a n − k ≡ Término que va seguido de k términos
siendo: 
Aplicando esta propiedad se llega a la expresión de la suma de n términos de una progresión
aritmética:
Sn =
a1 + a n
⋅n
2
Ejemplo 3. Si el primer día de pretemporada un ciclista recorre 75 Km y cada día aumenta en 5 Km
la distancia recorrida, calcular cuantos kilómetros se ha recorrido el primer mes. Supóngase que el
mes tiene 30 días.
Se pide calcular la suma de los treinta primeros términos de una progresión aritmética de
diferencia cinco y de primer término 75
S 30 =
a 1 + a 30
⋅ 30
2
a1 es dato del enunciado(a1 = 75), a30, se puede hallar mediante el término general, ya que se
conoce a1 y d
2
a = 75
a 30 = a 1 + (30 − 1) ⋅ d =  1
 = 75 + (30 − 1)⋅ 5 = 220 Km
 d=5 
sustituyendo en la expresión de la suma:
S 30 =
a 1 + a 30
75 + 220
⋅ 30 =
⋅ 30 = 4425 Km
2
2
3