Progresión aritmética Es una sucesión de números en la que cada término, excepto el primero, se obtiene sumando al anterior otro número fijo. Este número fijo se llama diferencia. Es fácil demostrar que el término general es: an = a1 + d(n-1) y la suma de n términos es: S = (a1 + an) . n / 2 Mi padre me ha contado esta historia: En un pequeño pueblo de Alemania (Brunswick), un profesor castigaba a sus alumnos haciéndoles sumar números consecutivos (por ejemplo sumar los 100 primeros números naturales). Era un duro castigo, pues había que hacer muchas sumas (1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15,...) y era fácil equivocarse. Pero... una vez, uno de los niños le dio la solución en un tiempo sorprendente, el profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100= 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética. Interpolación aritmética Interpolar n términos entre dos números dados, p y q, consiste en la obtención de n términos situados entre p y q, tales que formen una progresión aritmética de extremos p y q. Entonces, para interpolar, tenemos que calcular la razón de la progresión aritmética. Como la progresión aritmética resultante tiene n + 2 términos y sus extremos son p y q, la razón será d = (q - p)/(n+1). Progresión geométrica Es una sucesión de números en la que cada término, excepto el primero, se obtiene multiplicando el anterior por otro número fijo. Este número fijo se llama razón. Es fácil demostrar que el término general de una progresión geométrica es: an = arn-1 y que la suma de n términos es: S = (an.r - a1) / (r - 1) Las progresiones geométricas tienen una propiedad interesante: el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos. Utilizando esta propiedad se demuestra que el producto de los términos de una progresión geométrica es: Interpolación geométrica Interpolar n términos, medios proporcionales o geométricos, entre dos números p y q, consiste en la obtención de n términos situados entre p y q, tales que formen una progresión geométrica de extremos p y q. Siendo r la razón, q = p.r m+1 Guía de Ejercicios de Progresiones aritméticas y geométricas 1.- En una PA el 5to término es 11/3, el 7mo es 7. Si tiene 13 términos. Determine: a) el primero; b) el último c) la suma de los trece. R: a) -3 b) 17 c) 91 2.- En una PG el 8vo término es ¼ y el 9eno 0,125. Si tiene 20 términos Determine: a) el primero; b) el último c) la suma de los veinte. R: a) 32 b) 1/214 c) 26-2-14 3.-Un joven ahorra cada mes $5 más que el mes anterior. En 5 años sus ahorros sumarán $ 9330. Determinar a) lo que ahorró el primer mes. b) lo que ahorró el último mes. R: a) $8 b) $303 4.-Un padre proyecta colocar en un baúl $ 1 el día que su hijo cumpla un año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en todos los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl? R: a) $131072 b) $262143 5.-Una máquina costó $ 9000. Se calcula que al final de cada año sufre una depreciación igual al 15 % del valor que tiene al principio de ese año. ¿Cuál será su valor al cabo de 5 años? R: $3993,35 6.- El número de bacterias de un cultivo está aumentando un 25 % cada hora. Si al principio había 300000 ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 5 horas? R: 915527,34 7.-El valor de un auto se deprecia 18 % cada año. Su precio original fue $ 19000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 9 años? R: $3184,77 8.-Una ciudad tiene 600000 habitantes. La tasa de crecimiento de esa población es 8 % anual. ¿Cuántos habitantes tendrán dentro de tres años? R: 755827,2 9.-El valor de una mercadería se deprecia 4 % cada año. Su precio original fue de $ 19000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 4 años? R:$16137,58 10.-La población de una ciudad aumenta en 35 % cada 10 años. Si su población en 1940 era de 40000 habitantes, ¿cuál será su población en el año 2000? R/ 242137,8