control 2 - c´alculo diferencial y de variaciones

Universidad de Chile.
Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas.
Departamento de Ingenierı́a Matemática.
Santiago, 9 de junio de 2007.
Prof.: Patricio Felmer.
Auxiliar: Juan Peypouquet.
Tiempo: 3:30 hrs.
CONTROL 2 - CÁLCULO DIFERENCIAL Y DE VARIACIONES
Problema 1. Sean A una matriz diagonalizable y B una familia de matrices (del mismo tamaño que
A) con
Z ∞
kB(t)kdt < ∞.
1
Se quiere demostrar el siguiente resultado:
Si λi es un valor propio de A y pi un vector propio asociado (Api = λi pi ) entonces la ecuación
tiene una solución ϕi tal que
x0 = Ax + B(t)x
(1)
lim ϕi (t)e−λi t = pi .
(2)
t→∞
En otras palabras, para t grande la solución se parece a la solución con B(t) = 0.
(a) Suponga, para simplificar, que A es diagonal. Denote Re(λi ) = σ y descomponga eAt = Y1 (t) +
Y2 (t) donde en Y1 (t) hemos dejado en la diagonal los términos de la forma eλk t donde Re(λk ) < σ
y en Y2 (t) hemos dejado en la diagonal términos de la forma eλk t donde Re(λk ) ≥ σ (los restantes
términos de la diagonal de Y1 e Y2 son ceros). Demuestre que existen constantes positivas δ, K1
y K2 tales que
kY1 (t)k ≤ K1 e(σ−δ)t para t ≥ 0
y
kY2 (t)k ≤ K2 eσt para t ≤ 0.
(b) Considere el espacio E = {ϕ : [a, ∞) → Rn | kϕ(t)k ≤ 2K0 eσt } y el operador T definido como
T (ϕ)(t) = eλi t pi +
Z
t
Z
Y1 (t − s)B(s)ϕ(s)ds −
a
∞
Y2 (t − s)B(s)ϕ(s)ds.
t
Donde K0 es elegido para que ψ0 (t) ≡ eσt pi satisfaga kψ0 (t)k ≤ K0 eσt for t ≥ 0. El número a
será elegido más adelante. Muestre que si ϕi es punto fijo de T entonces ϕi satisface (1) y (2),
ası́ que es solución a nuestro problema.
(c) Eligiendo adecuadamente a muestre que T es contractante y de aquı́ que tiene un punto fijo.
Problema 2. Sea F : RN → RN un campo completo y localmente Lipschitz-continuo. Denote por
φ(t, x) la solución de la ecuación diferencial u̇(t) = F (u(t)) con condición inicial u(0) = x. Para J ⊆ R
e Y ⊆ RN defina
[ [
\
ΦJ (Y ) =
φ(t, y)
y
ω(Y ) =
Φ[t,∞) (Y ).
y∈Y t∈J
t≥0
Observe que p ∈ ω(Y ) si, y sólo si, p = limn→∞ φ(tn , xn ) con xn ∈ Y y tn → ∞. Un conjunto Y ⊆ RN
es Φ-precompacto si Φ[t,∞) (Y ) es compacto para algún t ≥ 0. Por otra parte, un conjunto A ⊆ RN es
invariante si φ(t, x) ∈ A para todo t ∈ R y x ∈ A.
i) Pruebe que si Y 6= ∅ es Φ-precompacto entonces ω(Y ) es compacto, no vacı́o e invariante.
Sean A compacto y U abierto. Decimos que A es un conjunto de atracción para la ecuación, con
vecindad fundamental U , si para cada ε > 0 existe tε ≥ 0 tal que Φ[tε ,∞) (U ) ⊂ N ε (A) = A + εB(0, 1).
Si además A es invariante, decimos que es un atractor.
ii) Pruebe que A es un conjunto de atracción para la ecuación con vecindad fundamental U si, y sólo
si, U es Φ-precompacto y ω(U ) ⊆ A. En ese caso ω(U ) es un atractor.
Un conjunto A es estable si para cada vecindad U de A existe otra vecindad V tal que Φ[0,∞) (V ) ⊆ U .
iii) Sean Λ ⊂ RN un compacto, U una vecindad abierta y acotada de Λ y V : U → R+ una función
continua. Supongamos además que
i) φ(t, U ) ⊆ U para todo t ≥ 0;
ii) V −1 (0) = Λ; y
iii) V (φ(t, x)) < V (x) para todo x ∈ U \ Λ y t > 0.
Pruebe que Λ es un conjunto de atracción para la ecuación y que es estable. Demuestre también
que existe un atractor A contenido en Λ. Sugerencia: Puede ser útil considerar los conjuntos
Ur = {x ∈ U | V (x) < r}.
Problema 3.
Sean A : IR → Mn (IR) una función continua y g : IR × IRn → IRn localmente
Lipschitz-continua. Suponga además que A y g son T -periódicas y que
g(t, x) = o(|ξ|) si |ξ| → ∞
(3)
uniformemente en t. Nos proponemos demostrar que la ecuación
ẋ = A(t)x + g(t, x)
(4)
posee una solución T -periódica si 1 no es multiplicador de Floquet de ẋ = A(t)x. Para ello utilizaremos
el Teorema de Punto Fijo de Brouwer:
Si F : B̄(0, R) → B̄(0, R) es continua entonces existe ξ ∈ B̄(0, R) tal que F (ξ) = ξ.
(a) Verifique que el problema de valor inicial
ẋ = A(t)x + g(t, x) x(0) = ξ
tiene una solución única que se extiende a todo IR. A esta solución la denotaremos por φ(t, ξ).
De la fórmula de variación de constantes obtenemos
Z t
φ(t, ξ) = R(t)ξ +
R(t)R(s)−1 g(s, φ(s, ξ))ds.
(5)
0
(b) Muestre que dado ε > 0 existe βε tal que
|g(t, ξ)| ≤ βε + ε|ξ|
∀ξ, ∀t ∈ [0, T ].
(c) Use (5) y la desigualdad de Gronwall para obtener γ > 0 y δ(ε) > 0 tal que
|u(t, ξ)| ≤ γ|ξ| + δ(ε)
∀ξ, ∀t ∈ [0, T ]
(d) A partir de (5), concluya que φ(t, ξ) − R(t)ξ = o(|ξ|) cuando |ξ| → ∞.
(e) Muestre que la existencia de ξ ∈ IRn tal que
(I − R(T ))−1 (φ(T, ξ) − R(T )ξ) = ξ
(6)
equivale a la existencia de una solución periódica de (4). Justifique que (I − R(T )) es invertible.
(f) Defina F : IRn → IRn como el lado izquierdo de (6). Compruebe que F es continua y que
F (ξ) = o(|ξ|) cuando |ξ| → ∞.
(g) Concluya utilizando el Teorema de Brouwer.