1. De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier.

1.
De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier.
1.1.
Producto Escalar para funciones complejas
En primer lugar necesitamos generalizar el producto escalar para funciones complejas
definidas en un intervalo de la recta real
f, g : [a, b] → C
(1)
Rb ∗
Se puede comprobar que (f, g) = a f (x)g(x)dx satisface las propiedades de un producto
escalar y que define un espacio L2 de funciones de cuadrado integrable en el intervalo (f, g) =
Rb
2
a |f (x)| dx < C donde C es una constante. En los sucesivo nos referiremos a funciones que
pertenecen a este espacio.
1.2.
Expansion de Funciones Periodicas.
Nuestro objetivo es extender la representacion de Fourier a funciones definidas en toda la
recta real. Para ello consideraremos un recinto simétrico [−L/2, L/2] que en el limite L → ∞
se extiende a toda la recta real. Habiamos visto que una función periodica, de periodo L se
puede representar en una base de senos y cosenos.
X
f (x) =
an sin(kn x) + bn cos(kn x)
(2)
n
donde kn =
2nπ
L .
Alternativamente se puede expresar en una base de exponenciales complejas
∞
X
f (x) =
cn exp ikn x
(3)
n=−∞
donde cn son las proyecciones ortogonales. La relaciones entre estos coeficientes se pueden
encontrar expresando las funciones trigonométricas como exponenciales complejas.
X bn + ian bn − ian
exp (ikn x) +
exp (−ikn x)
(4)
f (x) =
2
2
n
c−n = c∗n
Con la definicion de producto escalar que hemos introducido podemos calular las proyecciones ortogonales
(eikn x ,f )
cn = (eik
n x ,eikn x )
en términos de las integrales:
1
cn =
L
L
2
Z
dxf (x) exp (−ikn x)
(5)
dxf (x) exp (−ikn x)dx
(6)
−L
2
donde hemos utilizado que:
1
cn =
L
Z
L
2
−L
2
1
1.3.
Expansion de Funciones definidas en toda la recta real.
¿Podemos expandir tambien funciones no periodicas? ¿Podemos expandir funciones definidas en un recinto infinito?. Admitamos que una funcion no periodica de L2 es periodica
con periodo infinito L → ∞. El limite L → ∞ tiene las siguientes consecuencias sobre la
expansión de Fourier.
1. La distancia entre dos numeros de onda consecutivos se hace cada vez mas pequeña.
∆k = kn+1 − kn = 2π
L y podemos suponer que en el límite forman un continuo que
denotamos con la variable continua k y por tanto kn → k en todas las expresiones.
2. Los coeficientes de Fourier (que son un conjunto infinito pero discreto cuando L es
finito) se convierten en una función cn = c(kn ) = c(k) si L → ∞.
3. Multiplicando y dividiendo por ∆k en el sumatorio que define la expansión (3).
f (x) =
∞
X
L
cn exp (ikn x)
2π
(7)
fˆ(k) exp (ikx)
(8)
dxf (x) exp (−ikx)
(9)
∆k
n=−∞
e invocando la suma de Riemann
f (x) =
1
2π
Z
∞
−∞
Donde hemos redefinido Lc(k) = fˆ(k)
fˆ(k) =
Z
∞
−∞
La interpretación que hacemos de la transformada integral de Fourier es la misma que la
de la serie de Fourier: Una expansion de una funcion en una base de funciones ortogonales
armónicas. Ahora hemos considerado funciones definidas en un intervalo infinito con lo que
tenemos un continuo de coeficientes de Fourier fˆ(k) y un espacio reciproco (en este caso de
numeros de onda) continuo.
2