Capítulo 3 PREFERENCIAS Y UTILIDAD 1 Axiomas de Elección Racional • Completitud – Si A y B son dos situaciones, el individuo siempre puede especificar exactamente su preferencia sobre dichas posibilidades: • A se prefiere por sobre B • B se prefiere por sobre A • A y B son igualmente atractivas 2 Axiomas de Elección Racional • Transitividad – Si A se prefiere a B, y B se prefiere a C, entonces A se prefiere por sobre C – Este supuesto es para garantizar que las decisiones de los individuos sean consistentes internamente 3 Axiomas de Elección Racional • Continuidad – Si A se prefiere a B, entonces las situaciones “suficientemente cercanas” a A también deben ser preferidas sobre B – Este supuesto se utiliza para analizar las respuestas de los individuos como respuesta a cambios relativamente pequeños en el ingreso y los precios 4 Utilidad • Dados todos estos supuestos, es posible demostrar que las personas son capaces de ordenar jerárquicamente todas las situaciones posibles, desde la menos deseada hasta la más deseada • Los Economistas llaman a ésta jerarquía utilidad – Si A se prefiere sobre B, entonces la utilidad asignada a A excede la utilidad asignada a B U(A) > U(B) 5 Utilidad • Dichas jerarquías o rankings de utilidad son ordinales por naturaleza – Muestran qué tan deseables son ciertas cestas de bienes • Debido a que las medidas de utilidad no son únicas, no tiene sentido el particularizar cuánta más utilidad se gana al pasar de A a B • Tampoco es posible comparar utilidades 6 entre dos personas diferentes Utilidad • La utilidad es afectada por el consumo de bienes físicos, por actitudes sicológicas, presiones de grupo, experiencias personales, y por el ambiente cultural general • Los Economistas por lo general dedican su atención a evaluar opciones medibles, mientras mantienen constantes las otras cosas que puedan afectar la utilidad – Esto es llamado el supuesto ceteris paribus 7 Utilidad • Asumamos que un individuo debe escoger entre consumir los bienes x1, x2,…, xn • Los rankings de dicho individuo pueden ser representados por una función de utilidad de la forma: Utilidad= U(x1, x2,…, xn; otras cosas) – Esta función es única, pero puede ser transformada si dicha transformación preserva la ordenación o rankings originales 8 Bienes Económicos • En la función de Utilidad, se asume que los x’s son “bienes” – Un bien: más se prefiere a menos Cantidad de y Preferido sobre x*, y* ? y* ? Peor que x*, y* Cantidad de x x* 9 Curvas de Indiferencia • Una Curva de Indiferencia muestra combinaciones de bienes ante los cuales el individuo se muestra indiferente Cantidad de y Las combinaciones (x1, y1) y (x2, y2) proveen el mismo nivel de utilidad y1 y2 U1 Cantidad de x x1 x2 10 Tasa Marginal de Substitución (TMS) • La pendiente negativa de una curva de indiferencia en un punto es llamada la Tasa Marginal de Substitución (TMS) Cantidad de y TMS dy dx U U1 y1 y2 U1 Cantidad de x x1 x2 11 Tasa Marginal de Substitución (TMS) • La TMS cambia cuando x , y cambian – Esto refleja la disposición del individuo a intercambiar y por x Cantidad de y En (x1, y1), la curva de indiferencia es más empinada. La persona estaría dispuesta a sacrificar más y Para obtener unidades adicionales de x En (x2, y2), la curva de indiferencia es más plana. La persona será más reacia A sacrificar y para ganar más x y1 y2 U1 Cantidad de x x1 x2 12 Mapa de Curvas de Indiferencia • Cada punto del plano debe tener una curva de indiferencia pasando sobre él (completitud de las CI) Cantidad de y Utilidad crece U3 U2 U1 < U2 < U3 U1 Cantidad de x 13 Transitividad • ¿Pueden intersectarse las CI? Cantidad de y El individuo es indiferente entre A y C. El individuo es indiferente entre B y C. Transitividad sugiere que el individuo Debe ser indiferente entre A y B C B A U2 Pero B se prefiere sobre A Debido a que B contiene más de x y y que A U1 Cantidad de x 14 Convexidad • Un conjunto de puntos es convexo si dos puntos pueden ser unidos por una línea recta que es contenida enteramente en el conjunto Cantidad de y El supuesto de una TMS decreciente es equivalente al supuesto de que todas las combinaciones de x y y que son preferidas por sobre x* y y* forman un conjunto convexo y* U1 Cantidad de x x* 15 Convexidad • Si la CI es convexa, entonces la combinación (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2 será preferida tanto a (x1,y1) como a (x2,y2) Cantidad de y Esto implica que combinaciones “bien balanceadas” Son preferidos sobre combinaciones que cargadas hacia uno de los bienes y1 (y1 + y2)/2 y2 U1 Cantidad de x x1 (x1 + x2)/2 x2 16 Utilidad y la TMS • Supongamos que las preferencias de un individuo por hamburguesas (y) y bebidas (x) pueden ser representadas por: utilidad 10 x y • Despejando y, tenemos y = 100/x • Construyendo la TMS = -dy/dx: TMS = -dy/dx = 100/x2 17 Utilidad y la TMS TMS = -dy/dx = 100/x2 • Note como mientras x sube, TMS cae – Cuando x = 5, TMS = 4 – Cuando x = 20, TMS = 0.25 18 Utilidad Marginal • Supongamos que un individuo tiene una utilidad de la forma Utilidad = U(x,y) • El diferencial total de U es dU U dx x U dy y • Sobre cualquier CI, la utilidad es constante (dU = 0) 19 Derivando la TMS • Por lo tanto tenemos: TMS dy dx U constante U x U y • TMS es el cociente de la utilidad marginal de x sobre la utilidad marginal de y 20 Utilidad Marginal Decreciente y la TMS • Intuitivamente, parecería que el supuesto de utilidad marginal decreciente se relaciona al concepto de TMS decreciente – Una TMS decreciente requiere que la función de utilidad sea cuasi-cóncava • Esto es independiente de cómo sea medida la utilidad – La utilidad marginal decreciente sí depende de cómo es medida la utilidad • Por tanto, estos dos conceptos son diferentes 21 Convexidad de las curvas de indiferencia • Supongamos una función de utilidad de la forma: utilidad x y • Podemos simplificar el álgebra tomando logaritmos en ambos lados de la igualdad U*(x,y) = ln[U(x,y)] = 0.5 ln x + 0.5 ln y 22 Convexidad de las curvas de indiferencia • Por lo tanto, TMS U* x U* y 0.5 x 0.5 y y x 23 Convexidad de las curvas de indiferencia • Si la función de utilidad es U(x,y) = x + xy + y • No ganamos nada transformando la función, por lo que TMS U x U y 1 y 1 x 24 Convexidad de las curvas de indiferencia • Supongamos que la función de utilidad es: 2 2 utilidad x y • Para éste ejemplo es más fácil usar la transformación: U*(x,y) = [U(x,y)]2 = x2 + y2 25 Convexidad de las curvas de indiferencia • Con lo que, TMS U* x U* y 2x 2y x y 26 Ejemplos de funciones de Utilidad • Utilidad Cobb-Douglas utilidad = U(x,y) = x y donde y son constantes positivas – El tamaño relativo de y indican la importancia relativa de los bienes 27 Ejemplos de funciones de Utilidad • Substitutos Perfectos utilidad = U(x,y) = x + y Cantidad de y La CI será lineal. La TMS será constante a lo largo de toda la curva de indiferencia. U3 U1 U2 Cantidad de x 28 Ejemplos de funciones de Utilidad • Complementos Perfectos utilidad = U(x,y) = min ( x, y) Cantidad de y Las CI tendrán una forma de L. La utilidad solo puede ser incrementada al elegir más de los dos bienes conjuntamente. U3 U2 U1 Cantidad de x 29 Ejemplos de funciones de Utilidad • Utilidad CES (Constant elasticity of substitution) utilidad = U(x,y) = x / + y / cuando 0y utilidad = U(x,y) = ln x + ln y cuando =0 – Substitutos Perfectos =1 – Cobb-Douglas =0 – Complementos Perfectos =30 Ejemplos de funciones de Utilidad • Utilidad CES (Constant elasticity of substitution) – La elasticidad de substitución ( ) es igual a 1/(1 - ) • Substitutos Perfectos • Proporciones Fijas = =0 31 Preferencias Homotéticas • Si la TMS depende solamente del cociente de las cantidades de dos bienes, pero no de las cantidades de dichos bienes, la función de utilidad es homotética – Substitutos Perfectos TMS es la misma en cada punto – Complementos Perfectos TMS = si y/x > / , no definida si y/x = / , y TMS = 0 si y/x < / 32 Preferencias Homotéticas • Para la función general Cobb-Douglas, la TMS se computa: TMS U x U y x 1y x y 1 y x 33 Preferencias NO Homotéticas • Algunas funciones de utilidad NO presentan preferencias homotéticas utilidad = U(x,y) = x + ln y TMS U x U y 1 1 y y 34 Muchos Bienes • Supongamos una función de utilidad para n bienes dada por utilidad = U(x1, x2,…, xn) • El diferencial total de U es dU U dx1 x1 U dx2 ... x2 U dxn xn 35 Muchos Bienes • Podemos encontrar la TMS entre dos bienes cualesquiera haciendo dU = 0 dU 0 U dxi xi U dx j xj • Arreglando, tenemos: TMS ( xi por x j ) dx j dxi U xi U xj 36 Superficies de Indiferencia para n bienes • Ahora vamos a definir superficies de indiferencia como un conjunto de puntos en n dimensiones que satisface la ecuación U(x1,x2,…xn) = k Donde k es cualquier constante 37 Superficies de Indiferencia para n bienes • Si la función de utilidad es cuasicóncava, el conjunto de puntos para los cuales U k será convexo – Todos los puntos en una línea que une dos puntos cualesquiera sobre la superficie de indiferencia U = k también tendrán U k 38 Puntos Importantes: • Si los individuos obedecen ciertos postulados de comportamiento, serán capaces de establecer una ordenación (ranking) cestas o conjuntos de bienes – Dicho ranking puede ser representado por medio de una función de utilidad – Al escoger, los individuos actúan “cómo si” estuvieran maximizando esa función • Las funciones de utilidad para dos bienes pueden ser ilustrados mediante un mapa de 39 curvas de indiferencia Puntos Importantes: • La pendiente negativo de una CI mide la Tasa Marginal de Substitución (TMS) – Ella muestra la proporción en que un individuo estará dispuesto a intercambiar cierto monto de un bien (y) por más unidades del otro bien (x) • La TMS decrece a medida que x es substituido por y – Esto indica que los individuos prefieren balancear sus decisiones de consumo 40 Puntos Importantes: • Ciertas formas funcionales simples pueden capturar diferencias importantes en las preferencias de un individuo sobre dos o más bienes – La función Cobb-Douglas – La función lineal (Substitutos Perfectos) – La función de proporciones fijas (Complementos Perfectos) – La función CES • Ella incorpora a los otros casos como casos especiales 41 Puntos Importantes: • Resulta bastante simple generalizar nuestro modelo de preferencias de dos bienes para el caso de muchos bienes – Las matemáticas para el caso de muchos bienes no son, sin embargo, especialmente intuitivas, así que seguiremos con el caso de dos bienes para acumular más intuición 42