Soluciones a “Ejercicios y problemas”

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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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■ Problemas “+”
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En una clase, las notas de un examen se distribuyen así:
NOTAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
N.º ALUMNOS
4
3
2
1
7
3
2
8
3
2
Calcula las notas medias de: la clase ( x– ), los aprobados ( x–A ) y los suspensos ( x–B ).
¿Se podría hallar x– haciendo la media de x–A y x–B?
x– = 198 ≈ 5,657
35
x–A = 178 = 7,12
25
x–B = 20 = 2
10
Haciendo la media de x–A y x–B no se puede hallar x–. Observamos que:
Si x–A = a y x–B = c , x– = a + c
b
d
b+d
–
–
xA + xB a + c
?
2
b+d
23
Este es el reparto de la población española, según el tamaño del municipio en
que vivía desde 1900 hasta 1990:
1900
1930
1960
1990
Hasta 5 000 hab.
51%
40%
29%
16%
De 5 001 a 20 000
28%
29%
25%
20%
De 20 001 a 100 000 12%
16%
18%
22%
Más de 100 000
15%
28%
42%
MUNICIPIOS
9%
Aquí tienes el número de habitantes de España desde 1900 hasta 1990, en millones:
1900
1930
1960
1990
18,6
23,6
30,4
38,8
a) ¿Cuánto suma cada columna de la primera tabla? ¿Era de esperar ese resultado?
b) ¿Se puede decir que en 1900 más de la mitad de los españoles vivía en municipios
de menos de 5 001 habitantes?
c) Calcula el número de personas que vivían en los municipios más pequeños desde
1900 hasta 1990. ¿Cómo evolucionó la población en estos municipios?
d) Calcula cuántos españoles vivían en los municipios más grandes desde 1900 y di
cuál fue la evolución.
e) ¿Es cierto que la población española se duplicó en el pasado siglo?
f ) Haz los diagramas de sectores que muestren la distribución de la población en
cada uno de los años que figuran en la tabla.
a) Las sumas son, en cada columna, 100%, resultado esperado, ya que el estudio se hace
sobre toda la población.
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b) Sí, ya que en 1900 un 51% de la población vivía en municipios de hasta 5 000 habitantes.
c) En municipios de hasta 5 000 habitantes vivían:
En 1990 8 18,6 · 0,51 = 9,486 millones de habitantes
En 1930 8 23,6 · 0,40 = 9,44 millones de habitantes
En 1960 8 30,4 · 0,29 = 8,816 millones de habitantes
En 1990 8 38,8 · 0,16 = 6,208 millones de habitantes
La población, en estos municipios, a lo largo de los años ha ido descendiendo, y más
drásticamente desde 1960 a 1990.
d) En municipios de más de 100 000 habitantes vivían:
En 1990 8 18,6 · 0,09 = 1,674 millones de habitantes
En 1930 8 23,6 · 0,15 = 3,54 millones de habitantes
En 1960 8 30,4 · 0,28 = 8,512 millones de habitantes
En 1990 8 38,8 · 0,42 = 16,296 millones de habitantes
Con el paso de los años, la población en estos municipios ha ido creciendo, siendo más
acelerado en los últimos años.
e) Sí. Pasó de 18,6 millones a 38,8, más del doble.
f)
1900
1930
9%
12%
1960
15%
16%
51%
28%
28%
40%
18%
29%
Hasta 5 000 habitantes
De 5 001 a 20 000 habitantes
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1990
16%
29%
42%
20%
25%
22%
De 20 001 a 100 000 habitantes
Más de 100 000 habitantes
Estas son las estaturas de 4 350 soldados:
ESTATURA
(m) 1,52 1,56 1,60 1,64 1,68 1,72 1,76 1,80 1,84 1,88
N.º SOLDADOS
62
186
530
812
953
860
507
285
126
29
Decimos que los soldados que tienen su estatura entre x– + q y x– + 2q son altos, si
la tienen entre x– – 2q y x– – q, son bajos y entre x– – q y x– + q, son normales.
Estima qué tanto por ciento de altos, de bajos y de normales hay. ¿Qué porcentaje
hay de altísimos y de bajísimos?
Empezamos por calcular x– y q. Obtenemos x– = 168,6 cm, q = 7,1 cm
Son importantes los siguientes valores:
x– – 2q = 154,4
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x– – q = 161,6
x– + q = 175,7
x– + 2q = 182,8
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Representamos estos valores junto con los extremos de los intervalos:
62
150
186
154
530
158
812
162
953
166
860
170
x– – 2q = 154,4
x– – q = 161,5
507
174
285
178
x– + q = 175,7
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126
182
29
186
190
x– + 2q = 182,8
Deseamos averiguar el número de individuos que hay en los tramos delimitados por las
líneas rojas. Para ello, hemos puesto, en verde, los individuos de cada intervalo. Se han
señalado los que están contenidos por completo en uno de los tramos. Así, 62 son los
individuos del primer intervalo que están dentro del tramo 150-154,4.
Los demás números en verde hemos de repartirlos del siguiente modo:
2.o intervalo:
186 individuos
154
158
186 individuos =
x
8
4 cm
154,4 – 154
8 x = 0,4 · 186 = 18,6 ≈ 19 individuos
4
154,4 cm
Asignamos 19 individuos a la izquierda de 154,4 y 186 – 19 = 167 a la derecha
Analogamente:
3.er intervalo: 8 464 individuos a la izquierda de 161,5 y 66 a la derecha.
7.o intervalo: 8 215 individuos a la izquierda de 175,7 y 292 a la derecha.
9.o intervalo: 8 25 individuos a la izquierda de 182,8 y 101 a la derecha.
Conclusión:
62 + 19
167 + 464
81 (≈ 2%) 631 (≈ 15%)
66 + 812 + 953 + 860 + 215
292 + 285 + 25
101 + 29
2 906 (≈ 67%)
602 (≈ 14%)
130 (≈ 3%)
Por tanto, diremos que hay:
2% de bajísimos, 15% de bajos, 67% de normales, 14% de altos y 3% de altísimos.
(Los porcentajes suman 101 y no 100 debido al redondeo).
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■ Reflexiona sobre la teoría
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Si dos distribuciones tienen la misma media, y la desviación típica de la primera es mayor que la de la segunda, ¿en cuál de los dos casos es mayor el coeficiente
de variación?
x– = x–' °
q
q' q'
¢ 8 CV = x– , CV' = – = x– 8 CV > CV'
x'
q > q' £
El coeficiente de variación es mayor en la 1.a distribución.
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Si dos distribuciones tienen la misma desviación típica, y la media de la primera es mayor que la de la segunda, ¿en cuál de los dos casos es mayor el coeficiente
de variación?
x– = x–' °
q
q'
q
¢ 8 CV = x– , CV' = – = – 8 CV < CV'
x' x'
q > q' £
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Sin realizar ningún cálculo, estima x– y q en la siguiente distribución:
Comprueba, haciéndolo con calculadora, que
x– = 161,7 y q = 5,95.
145 150 155 160 165 170 175
Hay 50 cuadraditos, de los cuales 3 , que son aproximadamente 33, pertenecen al inter2
valo que va de x– – q a x– + q. Si tomamos el intervalo 155-167,5, la media es 161,25
y la desviación típica, 6,25.
28
¿Qué le ocurre a x– y a q si a todos los datos les sumamos un mismo número?
¿Y si los multiplicamos por el mismo número?
Comprueba tus conjeturas con estos datos:
3, 5, 6, 3, 4, 2, 3, 6
• Si a cada dato le sumamos un mismo número, a, entonces la media aumenta a unidades pero la desviación típica no varía.
Datos 8 x'i = xi + a
Parámetros 8 x–' = x– + a; q' = q
• Si cada dato se multiplica por k, la media y la desviación típica se multiplican por k :
Datos 8 xi'' = k · xi
Parámetros 8 x–'' = k · x–; q'' = k · q
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Si restas la media de una distribución a cada dato y sumas esas diferencias,
¿qué resultado obtendrías? Justifica tu respuesta y compruébala con los datos de la
siguiente distribución:
xi
2
3
4
5
6
7
fi
5
21
20
8
5
3
La suma es cero. Lo comprobamos en el ejemplo presentado:
x– = 2 · 5 + 3 · 21 + 4 · 20 + 5 · 8 + 6 · 5 + 7 · 3 = 244
5 + 21 + 20 + 8 + 5 + 3
62
Restamos la media a cada dato y sumamos:
(
(
)
(
)
)
(
)
5 · 2 – 244 + 21 · 3 – 244 + 20 · 4 – 244 + 8 · 5 – 244 +
62
62
62
62
(
)
(
)
+ 5 · 6 – 244 + 3 · 7 – 244 = 10 – 1 220 + 63 – 5 124 +
62
62
62
62
+ 80 – 4 880 + 40 – 1 952 + 30 – 1 220 + 21 – 732 =
62
62
62
62
= 244 – 15 128 = 244 – 244 = 0
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