Estadística 1. FIB 12/01/04 Normativa de l’examen: NO ES PERMÈS DE DUR LLIBRES O APUNTS. ES POT DUR CALCULADORA I TAULES ESTADÍSTIQUES Problema 1 resolt a l’enunciat Problemes 2, 3 i 4 en fulls separats Poseu el nom a tots els fulls Les respostes han de estar escrites amb bolígraf Durada de l’examen: 3 hores 00 minuts (11:30 ... 14:30) La data de la publicació de notes i revisió de problemes es precisarà al Racó de l’estudiant Distribució d'aules d'examen alfabèticament per cognoms: A5201 A5202 A5203 A5E01 A5E02 DE DE DE DE DE Abraham Bravo Gifre López Quirós A A A A A Bosch Gibal Loan Quesada Zamora Problema del ½ punto. entregar en hoja aparte Considere el siguiente fragmento de programa: z=0 for (i=0; i<100; i++) { for (j=0; j<100; j++) { x=uniforme(-1,1); y=uniforme(-1,1); if (x*y > 0.0) z++; } } uniforme(a,b) es una función que retorna un número real uniformemente distribuido entre a y b. Llamadas sucesivas proporcionan resultados independientes. Hemos hecho una ejecución del programa y se observa que, al final del fragmento, el valor que guarda la variable z es 4500. Inmediatamente sospechamos que algo no ha ido bien. Explique las razones de índole estadística que justifican esta conclusión. Estadística 1. FIB 12/01/04 PROBLEMA 2 (2,5 Punts) Considere un sistema en el que el número de procesos es una variable X con la siguiente función de probabilidad: PX(k) = (1–α)· αk, para k=0, 1, 2, 3, ...; α es un número real positivo y menor que 1 Se implementa una estructura basada en un array de dimensión 3, en la que se quiere incluir información de los tres procesos (si es que existen) que están en las primeras posiciones entre todos los presentes. Es decir, algunas posibilidades serían: A B C (había al menos tres procesos) A B (sólo había dos) (no había ninguno) Definimos la variable aleatoria Y como el número de posiciones de este array que están vacías en un momento determinado. Responda a las siguientes preguntas. 1. Obtenga la distribución de probabilidad de la variable Y. Conteste calculando la función de probabilidad en función de α y describiendo claramente el procedimiento por el que llega a este resultado, incluyendo cálculos intermedios. 2. Halle y represente gráficamente la función de probabilidad y la función de distribución de Y, suponiendo que α vale ¾. Estadística 1. FIB 12/01/04 3. Sabiendo que han transcurrido 30mn de concierto sin ninguna tos, calculen la probabilidad de que acabe todo el concierto con una sola perturbación. 4. En el inicio del concierto, ¿qué intervalo de tiempo sin toses puede esperar el director de orquesta? 5. Al final del concierto, suele haber bises cuya duración se puede considerar normal de media 15mn y desviación tipo 5mn. Calculen la duración máxima del concierto con un error del 5%: a. suponiendo que la duración del descanso es igual a 15mn sin ninguna variabilidad b. suponiendo que la duración del descanso se puede considerar como una variable normal de media 15mn y desviación tipo 3 mn, y que esta duración es independiente de la duración de los bises. PROBLEMA 4 (2,5 Punts– 0,5 Punts per apartat) El dispositiu automàtic d’obertura d’un paracaigudes de càrrega ha estat dissenyat per portar a llindars acceptables els danys als materials llençats: només en el 9,18% dels llançaments els paracaigudes s’obren a una alçada que excedeixi els 240 metres i només en el 4,75% s’obren a una alçada inferior a 150 m. En termes generals, s’estableix que hi ha danys sobre la càrrega si el paracaigudes s’obre a una alçada inferior a 100 m. 3. Calcule el número esperado de posiciones vacías en el array, asumiendo el mismo valor de α del apartado anterior. Calcule también la desviación estándar. 1. Un bon model probabilista per l’alçada d’obertura del paracaigudes és el normal Indiqueu acuradament els seus paràmetres amb les dades subministrades. 4. Halle el valor de α que corresponde, sabiendo que la probabilidad de que el array esté ocupado en una posición como máximo es 0.36. 2. Quina és la probabilitat de l’esdeveniment aleatori que hi hagi dany de càrrega en un llançament? I almenys en un de 5 paracaigudes llençats independentment? PROBLEMA 3 (2,5 Punts) Se deben justificar los resultados finales indicando las pautas seguidas, las justificaciones teóricas y los resultados intermedios. En el concierto de Año Nuevo interpretado por la Orquesta Filarmónica de Viena, los espectadores evitan toser, como en todos los conciertos. No obstante, algunos ataques de tos suelen perturbar a los espectadores y a los músicos. Está establecido que el número de ataques de tos sigue una distribución de Poisson de parámetro 2 por hora. El concierto consta de dos partes: la primera parte dura 45mn y la segunda parte dura 50mn, con un descanso de 15 mn. Calculen: 1. La probabilidad de que no haya ningún ataque de tos en la primera parte. 2. La probabilidad de que haya entre 3 y 5 ataques de tos en todo el concierto (excluyendo el intermedio). Se sap que un 30% dels paracaigudes que venen de fàbrica estan fora d’especificacions i requereixen d’algun petit ajust per tal que s’obrin convenientment al ser llençats fora de l’avió. Considereu una mostra aleatòria de 200 paracaigudes. Justifiqueu detalladament les lleis de probabilitat emprades per respondre a les preguntes formulades a continuació. 3. Calculeu quina és la probabilitat de l’esdeveniment aleatori que entre 55 i 70 paracaigudes requereixin d’un ajust? 4. Quin és el nombre esperat de paracaigudes que cal examinar fins trobar-ne exactament 1 al que calgui fer algun ajust? 5. Els avions de subministrament poden llençar, en condicions meteorològiques favorables, un promig de 45 paracaigudes cada mitja hora. Quina és la probabilitat que hi hagi un interval entre 2 llançaments consecutius de més de 2 minuts? Quina és la probabilitat que en el llançament de 200 paracaigudes revisats, hi hagi menys de 5 intervals entre llançaments de durada superior a 2 minuts? Estadística 1. FIB 12/01/04 Nom i cognoms: PROBLEMA 1 (2,5 Punts) Contestar al mateix enunciat Un científic ha de realitzar un cicle de conferències passant per diverses universitats europees en pocs dies. A un mes vista d’iniciar el seu viatge, decideix consultar una pàgina Web que busca i ven bitllets de vol per Internet; està interessat en vols de línies aèries econòmiques i que permeten el bitllet senzill (només d’anada) sense sobrecost. La taula següent indica com es distribueixen els vols de dues d’aquestes companyies en les diferents franges horàries : Companyia R E Matí (5am-11am) 0,45 0,10 Migdia (11am-3pm) 0,05 0,40 Tarda (3pm-5pm) 0,05 0,40 Vespre (5pm-12pm) 0,45 0,10 La probabilitat que el buscador trobi un vol de la companyia R entre les ciutats M i L és 0,2; que en trobi un operat per la companyia E, és de 0,5. Considereu que R i E són companyies que no cobreixen cap trajecte en comú. a) Quina és la probabilitat de trobar un vol de la companyia R per al trajecte buscat entre 3 i 5 de la tarda? b) Calculeu ara la probabilitat que el científic trobi amb aquest buscador un vol per al trajecte buscat entre 3 i 5 de la tarda, tenint en compte que la probabilitat que el buscador trobi en aquesta franja horària altres companyies cobrint aquest trajecte és 0,15. Estadística 1. FIB 12/01/04 c) Sabent que el científic necessita viatjar en aquesta franja per poder ajustar adequadament la seva agenda, quina és la probabilitat que pugui fer-ho amb la companyia E? d) I, sabent que el buscador ha trobat trajectes d’altres companyies, quina és la probabilitat que hagi trobat vols per aquest trajecte entre 3 i 5 de la tarda?