10 CÀLCUL DE PROBABILITATS Pàgina 239 Càlcul de probabilitats Calcula matemàticament quina és la probabilitat que una moneda d’1 cm de diàmetre “no toque ratlla” en la quadrícula de 3 cm × 3 cm. De quina grandària ha de ser un disc perquè la probabilitat que “no toque ratlla” en la quadrícula de 4 cm × 4 cm siga de 0,2? En una quadrícula de 4 cm × 4 cm deixem cuare 5 000 vegades una moneda i comptabilitzem que “no toca ratlla” en 1 341. Estima quin és el diàmetre de la moneda. Sobre un sòl de rajoles hexagonals regulars de 12 cm de costat es deixa caure un disc de 10 cm de diàmete. Quina és la probabilitat que “no toque ratlla”? Unitat 10. Càlcul de probabilitats 1 Área del cuadrado grande = 32 = 9 cm2 Área del cuadrado pequeño = (3 – 1)2 = 4 cm2 P= 4 ≈ 0,44 9 Área del cuadrado grande = 42 = 16 cm2 Área del cuadrado pequeño = (4 – d )2 2 P = (4 – d ) = 0,2 ⇒ (4 – d )2 = 3,2 ⇒ 4 – d = ±1,8 16 4 – d = 1,8 → d = 2,2 cm 4 – d = –1,8 → d = 5,8 cm → No vale Ha de tener un diámetro de 2,2 cm. Área del cuadrado grande = 42 = 16 cm2 Área del cuadrado pequeño = (4 – d )2 P= 2 1 341 = 0,2682 = (4 – d ) 5 000 16 (4 – d )2 = 4,2912 → d = 1,93 cm Área del hexágono grande = 72 · 10,4 = 374,4 cm2 2 Perímetro = 72 cm a 12 cm a = √ 122 – 62 = 10,4 cm 12 Área del hexágono pequeño = 37,44 · 5,4 = 101,088 cm2 2 a' = a – r = 10,4 – 5 = 5,4 cm a' l l l/2 2 2 l 2 – l = (a' )2; 3l = 29,16 → l = 6,24 cm → Perímetro = 37,44 cm 4 4 P= 101,088 = 0,27 374,4 Pàgina 240 1. Numerem amb 1, 2, 3 i 4 les quatre cares allargades d’una regleta. Deixem caure la regleta i n’anotem el nombre de la cara superior. a) Quin és l’espai mostral? Unitat 10. Càlcul de probabilitats 2 b) Escriu un succés elemental i tres successos no elementals. c) Quants successos té aquesta experiència? a) E = {1, 2, 3, 4} b) Elementales → {1}, {2}, {3}, {4} No elementales → {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4} {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {Ø} c) 24 = 16 sucesos Pàgina 239 2. Justifica gràficament la igualtat següent: A U (B I C ) = (A U B ) I (A U C ) E E B A B A C C A U (B I C ) AUB AUC (A U B) I (A U C ) 3. Justifica gràficament la igualtat següent: A – B = A B' E E A B B A A–B A B’ A I B’ Pàgina 245 1. Llancem un dau “sapastre” 1000 vegades. Obtenim f (1) = 117, f (2) = 302, f (3) = 38, f (4) = 234, f (5) = 196, f (6) = 113. Estima les probabilitats de les diferentes cares. Quines són les probabilitats dels successos PARELL, MENOR QUE 6, {1, 2}? P [1] = 117 = 0,117 1 000 P [4] = 0,234 P [2] = 0,302 P [3] = 0,038 P [5] = 0,196 P [6] = 0,113 P [PAR] = 0,302 + 0,234 + 0,113 = 0,649 P [MENOR QUE 6] = 1 – P [6] = 1 – 0,113 = 0,887 P [{1, 2}] = 0,117 + 0,302 = 0,419 Unitat 10. Càlcul de probabilitats 3 2. Quina és la probabilitat d’obtindre 12 en multiplicar els resultats de dos daus correctes? 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36 P= 4 1 = 36 9 3. Quina és la probabilitat que en llançar dos daus correctes la diferència dels seus resultats siga 3? Hacemos una tabla para la diferencia de resultados: 1er DADO 2o DADO – 1 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 5 4 3 2 1 0 1 6 5 4 3 2 1 0 P [DIFERENCIA 3] = 6 1 = 36 6 Pàgina 247 1. Observa les boles que hi ha en l’urna. 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 a) Completa el quadre de doble entrada en què es reparteixen les boles segons el color (V, R, N) i el número (1, 2). b)Calcula la probabilitat de sició de l’urna. ROIG, NEGRE, VERD, 1 i 2, només observant la compo- c) Comprova que les probabilitats obtingudes en b) es poden obtindre sumant files o columnes del quadre format en a). d) Calcula les probabilitats condicionades: P [1/ROIG], P [1/VERD], P [1/NEGRE ], P [2/ROIG], P [2/VERD], P [2/NEGRE ]. e) Digues si algun dels caràcters ROIG, NEGRE, VERD és independent d’1 o de 2. Unitat 10. Càlcul de probabilitats 4 a) V 2 0 2 1 2 R 2 3 5 N 2 1 3 6 4 10 5 1 = = 0,5 10 2 P [1] = 6 3 = = 0,6 10 5 P [N] = 3 = 0,3 10 P [2] = 4 2 = = 0,4 10 5 P [V] = 2 1 = = 0,2 10 5 b) y c) P [R] = d) P [1/R] = 2 2 ; P [1/V] = 1; P [1/N] = 5 3 P [2/R] = 3 1 ; P [2/V] = 0; P [2/N] = 5 3 e) No son independientes. Pàgina 248 1. Calcula la probabilitat d’obtindre tres P= en llançar tres daus. ( ) = 2161 ≈ 0,0046 1 1 1 1 · · = 6 6 6 6 2. Calcula la probabilitat de (quatre vegades NO SIS). P= QUATRES 3 CAP SIS en llançar quatre daus ( ) = 0,48 4 5 5 5 5 5 · · · = 6 6 6 6 6 3. Calcula la probabilitat d’obtindre és el succés contrari de CAP SIS.) ALGUN SIS en llançar quatre daus. (ALGUN SIS 1 – P [NINGÚN 6] = 1 – 0,48 = 0,52 4. Calcula la probabilitat d’obtindre ALGUN SIS en llançar sis daus. 5 6 P [NO SEIS en un dado] = P [NO SEIS en seis dados] = ( ) 5 5 5 5 5 5 5 · · · · · = 6 6 6 6 6 6 6 6 = 0,33 Por tanto: P [ALGÚN SEIS en seis dados] = 1 – P [NO Unitat 10. Càlcul de probabilitats SEIS en seis dados] = 1 – ( ) 5 6 = 0,67 6 5 Pàgina 249 5. Tenim un dau i les dues urne descrites més amunt. Llancem el dau. Si ix 1 o 2, acudirem a l’urna I. Si ix 3, 4, 5 o 6, acudim a l’urna II. 2 6 Extraiem una bola de l’urna corresponent. 4 6 a) Completa lles probabilitats en el diagrama d’arbre. b) Troba: P [{3, 4, 5, 6} i ], P [ /1], P [ (1,2) (3,4,5,6) /5] i P [2 i ]. a) Ver el ejemplo en la propia página 249. b) 4 3 12 6 3 · = , , 6 10 60 10 10 y 2 6 12 2 · = = 6 10 60 10 Pàgina 251 1. Tenim dues urnes: Lexperiència consisteix a extraure una bola de I, introduir-la en II, re- I moure i extraure, finalment, una bola de II. II Calcula la probabilitat que la segona bola extreta siga: a) Roja. b) Verda. c) Negra. 3/5 1/5 II 1/5 1/6 2/5 2/6 2/5 II 1/5 3/6 2/5 1/5 II Unitat 10. Càlcul de probabilitats 2/5 P[ y 3 ] = —16 · —35 = — 30 P[ y 1 ] = —16 · —15 = — 30 P[ y 1 1 1 ·—=— ]=— 6 5 30 P[ y 4 ] = —26 · —25 = — 30 P[ y 4 ] = —26 · —25 = — 30 P[ y 2 1 2 ·—=— ]=— 6 5 30 P[ y 6 ] = —36 · —25 = — 30 P[ y 3 1 3 ·—=— ]=— 6 5 30 P[ y 3 2 6 ·—=— ]=— 6 5 30 6 a) P [2-ª ]= 1 4 3 8 4 + + = = 30 30 30 30 15 b) P [2-ª ]= 1 2 6 9 3 + + = = 30 30 30 30 10 c) P [2-ª ]= 3 4 6 13 + + = 30 30 30 30 Pàgina 253 1. En l’exercici proposat de l’apartat anterior, calcula: a) Si sabem que la segona bola ha sigut negra, quina és la probabilitat que que la primera també ho fóra? P [ 1-ª /2-ª ] b) P [ 1-ª /2-ª ] c) P [ 1-ª /2-ª ] a) P [1-ª /2-ª ]= P[ y ] 3/30 3 = = P [2-ª ] 13/30 13 b) P [1-ª /2-ª ]= P[ y ] 1/30 1 = = P [2-ª ] 8/30 8 c) P [1-ª /2-ª ]= P[ y ] 6/30 6 2 = = = P [2-ª ] 9/30 9 3 Pàgina 257 EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS PER A PRACTICAR 1 Llancem un dau i una moneda. Els possibles resultats són (1, C), (1, +), (2, C)… a) Descriu l’espai mostral amb els dotze elements de què consta. Siguen els successos: A = “Traure un o dos en el dau” B = “Traure + en la moneda” D = {(1, C), (2, +), (3, C), (3, +), (6, +)} b) Descriu els successos A i B mitjançant tots els elements. c) Troba A U B, A I B, A U D ' a) E = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, C), (3, +), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C), (6, +)} Unitat 10. Càlcul de probabilitats 7 b) A = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +)} B = {(1, +), (2, +), (3, +), (4, +), (5, +), (6, +)} c) A U B = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, +), (4, +), (5, +), (6, +)} A I B = {(1, +), (2, +)} D' = {(1, +), (2, C), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C)} A U D' = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C)} 2 Siga U = {a1, a2, a3} l’espai de successos elementals d’un experiment aleatori. Quines d’aquestes funcions defineixen una funció de probabilitat? Justifica la resposta. a) P [a1] = 1/2 b) P [a1] = 3/4 P [a2] = 1/3 P [a2] = 1/4 P [a3] = 1/6 P [a3] = 1/4 c) P [a1] = 1/2 d) P [a1] = 2/3 P [a2] = 0 P [a2] = 1/3 P [a3] = 1/2 P [a3] = 1/3 a) P [a1] + P [a2] + P [a3] = 1 1 1 + + =1 2 3 6 Sí define una probabilidad, pues P [a1], P [a2] y P [a3] son números mayores o iguales que cero, y su suma es 1. b) P [a1] + P [a2] + P [a3] = 3 1 1 5 + + = >1 4 4 4 4 No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede ser mayor que 1. c) P [a1] + P [a2] + P [a3] = 1 1 +0+ =1 2 2 Sí define una probabilidad, pues P [a1], P [a2] y P [a3] son números mayores o iguales que cero, y su suma es 1. d) P [a1] + P [a2] + P [a3] = 2 1 1 4 + + = >1 3 3 3 3 No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede ser mayor que 1. Unitat 10. Càlcul de probabilitats 8 33 Determina si són compatibles o incompatibles els successos A i B : P [A] = 1/4, P [B] = 1/2, P [A U B] = 2/3 Dos sucesos A y B son incompatibles cuando P [A I B ] = 0. Como: P [A U B ] = P [A] + P [B ] – P [A I B ] 2 1 1 1 = + – P [A I B ] ⇒ P [A I B ] = ≠0 3 4 2 12 los sucesos A y B son incompatibles. 4 S Una experiència aleatòria consisteix a preguntar a tres personas distintes, elegides a l’atzar, si són partidàries o no de consumir un producte determinant. a) Escriu l’espai mostral asociat a aquest experiment utilizant la lletra “s” per a les respostes afirmatives i la “n” per a les negatives. b) Quins elements de l’espai mostral anterior constitueixen el succés “almenys” dues de les persones són partidàries de consumir el producte”? c) Descriu el succés contrari de “més d’una persona és partidària de consumir el producte”. a) E = {(s, s, s), (s, s, n), (s, n, s), (n, s, s), (s, n, n), (n, s, n), (n, n, s), (n, n, n)} b) {(s, s, s), (s, s, n), (s, n, s), (n, s, s)} c) El suceso contrario es “una persona, o ninguna, son partidarias de consumir el producto”. Por tanto, estaría formado por: {(s, n, n), (n, s, n), (n, n, s), (n, n, n)}. Es el suceso contrario al del apartado b). 5 En famílies de tres fills, s’estudia la distribució dels seus sexes. Per exemple (V, M, M) significa que el major és home i els altres dues dones. Quants elements té l’espai mostral E ? Descriu els successos següents: A = “La menor és dona”, B = “El major és home”. En què consisteix A U B ? E tiene 23 = 8 elementos. A = {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M)} B = {(V, V, V), (V, V, M), (V, M, V), (V, M, M)} A U B = “O bien la menor es mujer, o bien el mayor es varón” = = {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M), (V, V, V), (V, M, V)} Unitat 10. Càlcul de probabilitats 9 6 Es llancen dos daus. Calcula la probabilitat que la major de les puntuacions siga un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, un 6. ☛ Completa aquesta taula i raona-hi. 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 2 3 4 5 6 3 3 3 3 4 5 6 4 4 4 4 4 5 6 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 En la tabla vamos anotando la mayor puntuación obtenida. Así: 77 P [La mayor de las puntuaciones sea un 1] = 1 36 P [La mayor de las puntuaciones sea un 2] = 3 1 = 36 12 P [La mayor de las puntuaciones sea un 3] = 5 36 P [La mayor de las puntuaciones sea un 4] = 7 36 P [La mayor de las puntuaciones sea un 5] = 9 1 = 36 4 P [La mayor de las puntuaciones sea un 6] = 11 36 Una classe es compon de vint xics i deu xiques. La meitat de les alumnes i la meitat dels alumnes aproven les matemàtiques. Calcula la probabilitat que, en elegir una persona a l’atzar, resulte ser: a) Alumna o que aprova les matemàtiques. b) Alumne que suspenga les matemàtiques. c) Sabent que és alumne, quina és la probabilitat que aprove les matemàtiques? d) Són independents els successos ALUMNE i APROVA MATEMÀTIQUES? ☛ Fes-ne una taula de contingència. Hacemos la tabla de contingencia: APRUEBAN MAT. SUSPENDEN MAT. ALUMNOS ALUMNAS 10 10 20 5 5 10 15 15 30 a) P [alumna U aprueba mat.] = P [alumna] + P [aprueba mat.] – – P [alumna I aprueba mat.] = Unitat 10. Càlcul de probabilitats 10 15 5 20 2 + – = = 30 30 30 30 3 10 b) P [alumno I suspende mat.] = 10 1 = 30 3 10 1 = 20 2 c) P [aprueba mat./alumno] = d) Hay que ver si: P [alumno I aprueba mat.] = P [alumno] · P [aprueba mat.] Calculamos cada una: P [alumno I aprueba mat.] = P [alumno] = 10 1 = 30 3 20 2 = 30 3 P [aprueba mat.] = 15 1 = 30 2 Por tanto, sí son independientes. 8 Digues quin és l’espai mostral corresponent a les següents experiències aleatòries. Si és finit i té pocs elements, digues-los tots, i si en té molts, descriulo i digues-ne el nombre total. a) Extraiem una carta d’una baralla espanyola i n’anotem el número. b) Extraiem una carta d’una baralla espanyola i n’anotem el coll. c) Extraien dues cartes d’una baralla espanyola i n’anotem el coll de cada una. d) Llancem sis monedes distintes i n’anotem el resultat. e) Llancem sis monedes distintes i n’anotem el nombre de cares. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12} b) E = {OROS, COPAS, ESPADAS, BASTOS} c) Llamamos: O = OROS; C= COPAS; E= ESPADAS; B= BASTOS. Entonces: E = {(O, O), (O, C ), (O, E ), (O, B), (C, O), (C, C ), (C, E ), (C, B), (E, O), (E, C ), (E, E ), (E, B), (B, O), (B, C ), (B, E ), (B, B)} d) E tiene 26 = 64 sucesos elementales. Cada suceso elemental está compuesto por seis resultados que pueden ser cara o cruz: (x1, x2, x3, x4, x5, x6) xi puede ser cara o cruz. Por ejemplo: (C, +, C, C, +, C) es uno de los 64 elementos de E. e) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Unitat 10. Càlcul de probabilitats 11 Pàgina 258 PER A RESOLDRE 9 En una caixa hi ha sis boles numerades, tres amb nombres positius y les altres tres amb nombres negatius. Se n’extrau una bola i després una altra, sense reemplaçament. a) Calcula la probabilitat que el producte dels nombre obtinguts siga positiu. b) Calcula la probabilitat que el producte dels nombres obtinguts siga negatiu. Hacemos un diagrama en árbol: ⊕ 1 2 2 P [⊕ ⊕] = — · — = — 2 5 10 3/5 − 1 3 3 P [⊕ − ] = — · — = — 2 5 10 3/5 ⊕ 1 3 3 P [ − ⊕] = — · — = — 2 5 10 2/5 − 1 2 2 P [− −] = — · — = — 2 5 10 2/5 ⊕ 1/2 1/2 − 2 2 4 a) P [⊕ ⊕] + P [ – – ] = + = = 0,4 10 10 10 b) P [⊕ – ] + P [ – ⊕] = 10 10 S 3 3 6 + = = 0,6 10 10 10 En una certa ciutat, el 40% de la població té els cabells castanys, el 25% té els ulls castanys i el 15% té els cabells i els ulls castanys. S’en tria una persona a l’atzar: a) Si té els cabells castanys, quina és la probabilitat que també tinga els ulls castanys? b) Si té els ulls castanys, quina és la probabilitat que tinga els cabells castanys? c) Quina és la probabilitat que no tinga ni els cabells ni els ulls castanys? ☛ Usa una taula com la següent: ULLS CAT. CAB. CAST. ULLS NO CAST. 15 40 25 100 CAB. NO CAST. Unitat 10. Càlcul de probabilitats 12 Hacemos la tabla: OJOS CAST. OJOS NO CAST. 15 10 25 25 50 75 CAB. CAST. CAB. NO CAST. a) 15 3 = = 0,375 40 8 b) 15 3 = = 0,6 25 5 c) 50 1 = = 0,5 100 2 40 60 100 11 Dues persones juguen a obtindre la puntuació més alta llançant els seus daus A i B. El dau A té quatre cares amb la puntuació 6 i les altres dues cares amb la puntuació 6 i les altres dues cares amb la puntuació 10. El dau B té x una cara, amb la puntuació 3, quatre cares amb puntuació 6 i l’altra amb puntuació 12. Quin jugador té més probabilitat de guanyar? ☛ Fes una taula on apareguen les 6 possibilitats del dau A i les del dau B. En cada una de les 36 caselles anota qui guanya en cada cas. Formamos una tabla en la que aparezcan todas las posibilidades (las 6 del dado A y las 6 del B). En cada casilla ponemos quién gana en cada caso: A 6 6 6 6 10 10 3 A A A A A A 6 — — — — A A A gana en 14 casos. 6 — — — — A A B gana en 6 casos. 6 — — — — A A En 16 casos hay empate. 6 — — — — A A En una tirada, la probabilidad de que gane A es: 12 B B B B B B P [A] = B 14 7 = 36 18 La probabilidad de que gane B es: P [B] = 6 1 = 36 6 Por tanto, A tiene mayor probabilidad de ganar. 12 S Dels successos A i B se sap que: P [A] = 2, 1 1 P [B] = i P [A' I B' ] = . 5 3 3 Halla P [A U B ] i P [A I B ]. Unitat 10. Càlcul de probabilitats 13 • P [A' I B' ] = P [(A U B)'] = 1 – P [A U B ] 1 2 = 1 – P [A U B ] ⇒ P [A U B ] = 3 3 • P [A U B ] = P [A] + P [B ] – P [A I B ] 2 2 1 = + – P [A I B ] 3 5 3 P [A I B ] = 13 S 1 15 Siguen A i B dos successos d’un espai de probabilitat, de manera que: P [A] = 0,4, P [B] = 0,3 i P [A I B ] = 0,1 Calcula raonadament: a) P [A U B ] b) P [A' U B'] c) P [A/B ] d) P [A' I B' ] a) P [A U B ] = P [A] + P [B ] – P [A I B ] = 0,4 + 0,3 – 0,1 = 0,6 b) P [A' U B' ] = P [(A I B)' ] = 1 – P [A I B ] = 1 – 0,1 = 0,9 0,1 1 c) P [A/B ] = P [A I B ] = = 0,3 3 P [B ] d) P [A' I B' ] = P [(A U B )' ] = 1 – P [A U B ] = 1 – 0,6 = 0,4 14 A, B i C són tres successos d’un mateix espai mostral. Expressa en funció d’aquests els successos: a) Se’n realitza algun dels tres. b) No se’n realitza cap dels tres c) Se’n realitzen els tres. d) e’n realitzen dos dels tres. e) Se’n realitzen, almenys, dos dels tres. a) A U B U C b) A' I B' I C' c) A I B I C d) (A I B I C' ) U (A I B' I C ) U (A' I B I C ) e) (A I B I C' ) U (A I B' I C ) U (A' I B I C ) U (A I B I C ) 15 S Un examen consisteix a elegir a l’atzar dos temes d’entre els deu del programa i desenvolupar-ne un. a) Un alumne sap 6 temes. Quina probabilitat té d’aprovar l’examen? Unitat 10. Càlcul de probabilitats 14 b) Quina probabilitat té el mateix alumne de saber-se un dels temes elegits i l’altre no? a) P[APROBAR] = P[SABE 1-º Y 2-º] + P[SABE 1-º Y NO 2-º] + P[NO SABE 1-º Y SÍ 2-º] = = 6 5 6 4 4 6 30 24 24 78 13 · + · + · = + + = = ≈ 0,87 10 9 10 9 10 9 90 90 90 90 15 b) P[SABE 1-º Y NO 2-º] + P[NO SABE 1-º Y SÍ 2-º] = = 6 4 4 6 24 24 48 8 · + · = + = = ≈ 0,53 10 9 10 9 90 90 90 15 16 Es llança un dau dues vegades. Calcula la probabilitat que en la segona tirada s’obtinga un valor major que en la primera. En total hay 36 posibles resultados. De estos, en 6 casos los dos números son iguales; y, en los otros 30, bien el primero es mayor que el segundo, o bien el segundo es mayor que el primero (con la misma probabilidad). Luego, hay 15 casos en los que el resultado de la segunda tirada es mayor que el de la primera. Por tanto, la probabilidad pedida es: P= 15 5 = 36 12 (NOTA: también se puede resolver el problema haciendo una tabla como la del ejercicio número 6 y contar los casos). 17 Un estudiant fa dues proves en un mateix dia. La probabilitat que passe la 17 S primera prova és 0,6. La probabilitat que passe la segona és 0,8 i la que passe ambdues és 0,5. Es demana: a) Probabilitat que passe almenys una prova. b) Probabilitat que no passe cap prova. c) Són les proves successos independents? d) Probabilitat que passe la segona prova en cas de no haver superat la primera. Tenemos que: P [pase 1-ª] = 0,6; P [pase 2-ª] = 0,8; P [pase 1-ª I pase 2-ª] = 0,5 a) P [pase 1-ª U pase 2-ª] = P [pase 1-ª] + P [pase 2-ª] – P [pase 1-ª I pase 2-ª] = = 0,6 + 0,8 – 0,5 = 0,9 b) 1 – P [pase al menos una] = 1 – 0,9 = 0,1 c) P [pase 1-ª] · P [pase 2-ª] = 0,6 · 0,8 = 0,48 P [pase 1-ª I pase 2-ª] = 0,5 ≠ 0,48 No son independientes. Unitat 10. Càlcul de probabilitats 15 d) P [pase 2-ª/no pase 1-ª] = 18 P [pase 2-ª I no pase 1-ª] = P [no pase 1-ª] = P [pase 2-ª] – P [pase 1-ª I pase 2-ª] = P [no pase 1-ª] = 0,8 – 0,5 0,3 3 = = = 0,75 1 – 0,6 0,4 4 En una comarca hi ha dos periòdics: El Progressista i El Liberal. Se sap que el 55% de les persones d’aquesta comarca llig El Progressista (P), el 40% llig El Liberal (L) i el 25% no en llig cap. Expressa en funció de P i L aquests successos: a) Llegir els dos periòdics. b) Llegir només El Liberal. c) Llegir només El Progressista. d) Llegir algun dels dos periòdics. e) No llegir-ne cap dels dos. f) Llegir-ne només un dels dos. g) Calcula les probabilitats de: P, L, P I L, P U L, P – L, L – P, (L U P)', (L I P)'. h) Sabem que una persona llig El Progressista. Quina probabilitat hi ha que, a més, llija El Liberal? I que no el llija? Tenemos que: P [P] = 0,55; P [L ] = 0,4; P [P' I L' ] = 0,25 a) P [P' I L' ] = P [(P U L )' ] = 1 – P [P U L ] 0,25 = 1 – P [P U L ] ⇒ P [P U L ] = 1 – 0,25 = 0,75 P [P U L ] = P [P] + P [L ] – P [P I L ] 0,75 = 0,55 + 0,4 – P [P I L ] ⇒ P [P I L ] = 0,2 P [leer los dos] = P [P I L ] = 0,2 b) P [L ] – P [P I L ] = 0,4 – 0,2 = 0,2 c) P [P] – P [P I L ] = 0,55 – 0,2 = 0,35 d) P [P U L ] = 0,75 e) P [P' I L' ] = 0,25 f) P [P I L' ] + P [P' I L ] = 0,35 + 0,2 = 0,55 g) P [P] =0,55; P [L ] = 0,4; P [P I L ] = 0,2; P [P U L ] = 0,75 P [P – L ] = P [P] – P [P I L ] = 0,35 Unitat 10. Càlcul de probabilitats 16 P [L – P] = P [L ] – P [P I L ] = 0,2 P [(L U P )' ] = P [L ' I P ' ] = 0,25 P [(L I P )' ] = 1 – P [L I P ] = 1 – 0,2 = 0,8 h) P [L/P ] = P [L'/P ] = P [L I P ] 0,2 20 4 = = = ≈ 0,36 P [P ] 0,55 55 11 P [L ' I P ] 0,35 35 7 = = = ≈ 0,64 P [P ] 0,55 55 11 (o bien: P [L'/P ] = 1 – P [L/P ] = 1 – 114 = 117 ) Pàgina 259 19 Una urna A té 3 boles blanques i 7 de negres. Una altra urna B té 9 boles blanques i 1 de negra. Triem una de les urnes a l’atzar i n’extraiem una bola. Calcula: a) P [ BLANCA /A ] b) P [ BLANCA /B ] c) P [ A i BLANCA ] d) P [ B i BLANCA ] e) P [ BLANCA ] f) Sabent que la bola obtinguda ha sigut blanca, quina és la probabilitat d’haver triat l’urna B ? a) P [BLANCA/A] = 3 = 0,3 10 b) P [BLANCA/B] = 9 = 0,9 10 c) P [A y BLANCA] = 1 3 3 · = = 0,15 2 10 20 d) P [B y BLANCA] = 1 9 9 · = = 0,45 2 10 20 e) P [BLANCA] = P [A y f) P [B/BLANCA] = 20 BLANCA] + P [B y BLANCA] = 3 9 12 3 + = = = 0,6 20 20 20 5 P [B y BLANCA] 9/20 9 3 = = = = 0,75 P [BLANCA] 12/20 12 4 Tenim les mateixes urnes de l’exercici anterior. Traiem una bola de A i la tirem a B i, a continuació, traiem una bola de B. a) Quina és la probabilitat que la segona bola siga negra? Unitat 10. Càlcul de probabilitats 17 b) Sabent que la segona bola ha sigut negra, quina és la probabilitat que també la primera fóra negra? a) P [2-ª NEGRA] = P [1-ª = b) P [1-ª BLANCA NEGRA] + P [1-ª NEGRA y 2-ª NEGRA] = 3 1 7 2 3 14 17 · + · = + = 10 11 10 11 110 110 110 NEGRA/2-ª NEGRA] P [1-ª = = 21 y 2-ª NEGRA y 2-ª P [2-ª NEGRA] NEGRA] = 7/10 · 2/11 = 17/110 14/110 14 = 17/110 17 Tenim dues urnes amb aquestes composicions: Extraiem una bola de cada urna. Quina és la probabilitat que siguen del mateix color? I la probabilitat que siguen de color diferent? P [mismo color] = 6 5 4 6 2 7 30 24 14 68 17 · + · + · = + + = = 12 18 12 18 12 18 216 216 216 216 54 P [distinto color] = 1 – P [mismo color] = 1 – 22 S 17 37 = 54 54 Un aparell elèctric està constituït per dos components A i B. Sabent que hi ha una probabilitat de 0,58 que no falle cap dels components i que en el 32% dels casos falla B no havent fallat A, determina, justificant la resposta, la probabilitat que en un d’aquests aparells no falle el component A. Llamamos A = “falla A”; B = “falla B”. Tenemos que: A B P [A' I B'] = 0,58; P [B I A'] = 0,32 0,32 Así: 0,58 P [A'] = P [A' I B'] + P [B I A'] = 0,58 + 0,32 = 0,90 (A' I B') U (B I A') = A' La probabilidad de que no falle A es de 0,90. Unitat 10. Càlcul de probabilitats 18 23 Dos jugadors tiren a la vegada dues monedes cada un. Quina és la probabilitat que ambdós n’obtinguen el mateix nombre de cares (zero, una o dues)? Raona-ho. Para cada jugador tenemos que: P [0] = P [0 CARAS] P [1] = P [1 CARA] P [2] = P [2 CARAS] = ( ) =2· = 2 1 2 1 4 1 1 1 · = 2 2 2 ( ) 1 2 = 2 = 1 4 Los resultados de los dos jugadores son sucesos independientes. La probabilidad de que ambos obtengan el mismo número de caras es: (P [0])2 + (P [1])2 + (P [2])2 = = 24 ( ) ( ) ( ) 1 4 2 + 1 2 2 + 1 4 2 = 1 1 1 6 3 + + = = = 0,375 16 4 16 16 8 Es llança un dau repetides vegades i estem interessats en el nombre de tirades necessàries per a obtindre un 6 per primera vegada. a) Quin n’és l’espai mostral? b) Quina és la probabilitat que el primer 6 s’obtinga en la setena tirada? a) E = {1, 2, 3, …} b) P [7-ª 25 TIRADA] = ( ) 5 6 6 · 1 15 625 = ≈ 0,558 6 279 936 Un producte està format de dues parts: A i B. El procés de fabricació és tal, que la probabilitat d’un defecte en A és 0,06 i la probabilitat d’un defecte en B és 0,07. Quina és la probabilitat que el producte no siga defectuós? P [ningún defecto] = P [no defecto en A] · P [no defecto en B] = = (1 – 0,06) · (1 – 0,07) = 0,94 · 0,93 = 0,8742 26 26 S Una urna conté 10 boles blanques, 6 de negres i 4 de roges. Si se n’extrauen tres boles amb reemplaçament, quina és la probabilitat d’obtindre’n 2 de blanques i una de roja? P [BBR] + P [BRB] + P [RBB] = 3 · P [BBR] = 3 · Unitat 10. Càlcul de probabilitats 10 10 4 3 · · = = 0,15 20 20 20 20 19 27 S Una urna A conté 6 boles blanques i 4 de negres. Una altra urna B en té 5 de blanques i 9 de negres. Elegim una urna a l’atzar i n’extraiem dues boles, que resulten ser blanques. Troba la probabilitat que l’urna elegida haja sigut la A. Hacemos un diagrama en árbol: A 6b 4n 1/2 1/2 B 5b 9n 6 ·— 5 — 10 9 5 ·— 4 — 14 13 P [2b] = 2b 1 ·— 6 ·— 5 =— 1 P [A y 2b] = — 2 10 9 6 2b 1 ·— 5 ·— 4 =— 5 P [B y 2b] = — 2 14 13 91 1 5 121 + = 6 91 546 La probabilidad pedida será: P [A/2b] = 28 S P [A y 2b] 1/6 91 = = = 0,752 P [2b] 121/546 121 Es disposa de tres urnes: la A que conté dues boles blanques i quatre de roges, la B amb tres de blanques i tres de roges; i la C amb una de blanca i cinc de roges. a) S’elegeix una urna a l’atzar i se n’extrau una bola. Quina és la probabilitat que aquesta bola siga blanca? b) Si la bola extreta resulta ser blanca, quina és la probabilitat que procedisca de l’urna B? A B C a) Hacemos un diagrama en árbol: 2/6 b 4/6 r 3/6 b 3/6 r 1/6 b 5/6 r A 1/3 1/3 B 1/3 C P [b] = 1 ·— 2 =— 2 P [A y b] = — 3 6 18 1 ·— 3 =— 3 P [B y b] = — 3 6 18 1 ·— 1 =— 1 P [C y b] = — 3 6 18 2 3 1 6 1 + + = = ≈ 0,33 18 18 18 18 3 b) P [B/b] = P [B y b] 3/18 3 1 = = = = 0,5 P [b] 6/18 6 2 Unitat 10. Càlcul de probabilitats 20 Pàgina 260 29 S Siguen A i B dos successos tals que: P [ A U B] = Troba P [ B ], P [ A ], P [ A' I B ]. P [B] = 1 – P [B' ] = 1 – 3 2 1 P [ B' ] = P [ A I B] = 4 3 4 2 1 = 3 3 P [A U B ] = P [A] + P [B ] – P [A I B ] 3 1 1 2 = P [A] + – ⇒ P [A] = 4 3 4 3 P [A' I B ] = P [B ] – P [A I B ] = 30 S 1 1 1 – = 3 4 12 En cert país on la malaltia X és endèmica, se sap que un 12% de la població pateix aquesta malaltia. Es disposa d’una prova per a detectar la malaltia, però no és totalment fiable, ja que dóna positiva en el 90% dels casos de persones realment malaltes i també dóna positiva en el 5% de persones sanes. Quina és la probabilitat que estiga sana una persona a qui la prova li ha donat positiva? 0,9 0,12 ENFERMO 0,88 NO ENFERMO 0,05 POSITIVO P [ENF. y POSITIVO] = 0,12 · 0,9 = 0,108 POSITIVO P [NO ENF. y POSITIVO] = 0,88 · 0,05 = 0,044 P [POSITIVO] = 0,108 + 0,044 = 0,152 La probabilidad pedida será: P [NO 31 S ENF./POSITIVO] = P [NO ENF. Y POSITIVO] 0,044 = = 0,289 P [POSITIVO] 0,152 En tres màquines, A, B i C, es fabriquen peces de la mateixa naturalesa. El percentatge de peces que resulten defectuoses en cada màquina és, respectivament, 1%, 2% i 3%. Es mesclen 300 peces, 100 de cada màquina, i es tria una peça a l’atzar, que resulta ser defectuosa. Quina és la probabilitat que haja sigut fabricada en la màquina A? A 1/100 B 2/100 C 3/100 DEFECTUOSA P [A y DEF.] 1 1 1 =—·—=— 3 100 300 DEFECTUOSA P [B y DEF.] 1 2 2 =—·—=— 3 100 300 DEFECTUOSA P [C y DEF.] 1 3 3 =—·—=— 3 100 300 1/3 1/3 1/3 P [DEF.] = Unitat 10. Càlcul de probabilitats 1 2 3 6 + + = 300 300 300 300 21 La probabilidad pedida será: P [A/DEF.] = 32 S P [A y DEF.] 1/300 1 = = P [DEF.] 6/300 6 Una caixa A conté dues boles blanques i dues de roges, i una altra caixa B en conté tres de blanques i dues de roges. Es passa una bola de A a B i després s’extrau una bola de B, que resulta blanca. Determina la probabilitat que la bola traslladada haja sigut blanca. b B 4b 2r 4/6 2/4 2 4 1 b; P [1-ª b y 2-ª b] = — · — = — 4 6 3 2/4 r B 3b 3r 3/6 2 3 1 b; P [1-ª r y 2-ª b] = — · — = — 4 6 4 A 2b 2r P [2-ª b] = 1 1 7 + = 3 4 12 Por tanto, la probabilidad pedida será: P [1-ª b/2-ª b] = 33 S P [1-ª b y 2-ª b] 1/3 4 = = P [2-ª b] 7/12 7 Una urna A conté 5 boles blanques i 3 de negres. Una altra urna B, 6 de blanques i 4 de negres. Elegim una urna a l’atzar i n’extraiem dues boles, que resulten ser negres. Troba la probabilitat que l’urna elegida haja sigut la B. 1/2 1/2 A 5b 3n B 6b 4n 3 2 —·— 8 7 4 3 —·— 10 9 2n 1 3 2 3 P [A y 2n] = — · — · — = — 2 8 7 56 2n 1 4 3 1 P [B y 2n] = — · — · — = — 2 10 9 15 P [2n] = 3 1 101 + = 56 15 840 Por tanto, la probabilidad pedida será: P [B/2n] = 34 S P [B y 2n] 1/15 56 = = P [2n] 101/840 101 Tinc dues urnes, dues boles blanques i dues boles negres. Es desitja saber com he de distribuir les boles en les urnes perquè, en elegir una urna a l’atzar i extraure’n una bola a l’atzar, siga màxima la probabilitat d’obtindre bola blanca. L’única condició exigida és que cada urna tinga almenys una bola. Unitat 10. Càlcul de probabilitats 22 Hay cuatro posibles distribuciones. Veamos cuál es la probabilidad de obtener blanca en cada caso: a) II I 1 P [I y 앪] = — 2 1 1/2 I 0 1/2 1 1 1 P [II y 앪] = — · — = — 2 3 6 1/3 II 1 1 2 P [앪] = — + — = — 2 6 3 2/3 b) II I 1 1 P [I y 앪] = — · 1 = — 2 2 1 1/2 I 0 1/2 P [II y 앪] = 0 0 II 1 P [앪] = — 2 1 c) II I P [I y 앪] = 0 0 1/2 I 1 1/2 1 2 1 P [II y 앪] = — · — = — 2 3 3 2/3 II 1 P [앪] = — 3 1/3 d) II I 1/2 1/2 1/2 I 1 1 1 P [I y 앪] = — · — = — 2 2 4 1/2 1/2 II 1 1 1 P [II y 앪] = — · — = — 2 2 4 1 1 1 P [앪] = — + — = — 4 4 2 1/2 Para obtener la máxima probabilidad de obtener una bola blanca, deberemos colocar una bola blanca en una de las urnas y las otras tres bolas en la otra urna. 35 S Siguen A i B dos muntons de cartes. En A hi ha 8 oros i 5 espases i, en B, 4 oros i 7 espases. Traiem dues cartes del mateix muntó i resulta que ambdues són espases. Troba la probabilitat que les hàgem tretes del muntó B. Unitat 10. Càlcul de probabilitats 23 1/2 A(8o, 5e) 1/2 B(4o, 7e) 5 4 —·— 13 12 7 6 —·— 11 10 2e 2e P [A y 2e] = 1 5 4 5 · · = 2 13 12 78 P [B y 2e] = 1 7 6 21 · · = 2 11 10 110 P [2e] = 5 21 547 + = 78 110 2 145 Así, tenemos que: P [B/2e] = 36 P [B y 2e] 21/110 819 = = ≈ 0,749 P [2e] 547/2 145 1 094 Una urna conté 25 boles blanques sense marcar, 75 boles blanques marcades, 125 boles negres sense marcar i 175 boles negres marcades. a) Se n’extrau una bola. Calcula la probabilitat que siga blanca. b) Se n’extrau una bola i està marcada. Quina és la probabilitat que siga blanca? c) Se n’extrau una bola. Quina és la probabilitat que siga negra i estiga marcada? d) Són independents els successos “traure bola marcada” i “traure bola blanca”? Resumimos la información en una tabla: MARCADAS a) P [BLANCA] = MARCADA] 75 25 100 NEGRAS 175 125 300 250 150 400 75 3 = 250 10 = 175 7 = 400 16 d) P [BLANCA] · P [MARCADA] = P [BLANCA y BLANCAS 100 1 = 400 4 b) P [BLANCA/MARCADA] = c) P [NEGRA y SIN MARCAR MARCADA] = 1 250 1 5 5 · = · = 4 400 4 8 32 75 3 5 = ≠ 400 16 32 No son independientes. Unitat 10. Càlcul de probabilitats 24 37 Dues persones s’enfronten en un joc en què serà vencedor el primer que guanye 5 partides. Però abans de finalitzar el joc, aquest s’interromp en el moment en què un ha guanyat 4 partides i l’altre 3. Com s’han de repartir els 4 200 euros que van apostar? ☛ Descriu en un diagrama d’arbre les possibles continuacions de la partida. Llamamos A al jugador que lleva 4 partidas ganadas y B al de 3. Las posibles continuaciones del juego son: 1/2 (gana A) A (A5, B3) 1/2 1/2 B (A4, B4) 1/2 A (A5, B4) B (A4, B5) Por tanto, A debe llevarse A → 38 1 1 1 1 1 3 P [gana A] = — + — · — = — + — = — 2 2 2 2 4 4 (gana A) 1 1 1 P [gana B] = — · — = — 2 2 4 (gana B) 3 1 del total y B, ; es decir: 4 4 3 4 200 = 3 150 €; B → 4 1 4 200 = 1 050 € 4 En un centre escolar hi ha tres grups de Batxillerat. El primer està compost per 10 alumnes dels quals 7 prefereixen la música moderna, 2 prefereixen la clàssica i 1 que no li agrada la música. En el segon, compost per 12 alumnes, la distribució de preferències és 5, 7, 0, respectivament; i, en el tercer, format per 14 alumnes, la distribució de preferències és 6, 6, 2, respectivament. S’elegeix un grup a l’atzar i es regalen 2 entrades per a un concert de música clàssica a dos alumnes seleccionats a l’atzar. a) Troba la probabilitat que els dos alumnes elegits siguen aficionats a la música clàssica. b) Si els dos alumnes agraciats són, efectivament, aficionats a la música clàssica, quina és la probabilitat que siguen del primer grup? ☛ Organitza les dades en una taula. Organizamos los datos en una tabla: MODERNA CLÁSICA NO TOTAL 1-º 7 2 1 10 2-º 5 7 0 12 3-º 6 6 2 14 La probabilidad de elegir un grupo cualquiera es Unitat 10. Càlcul de probabilitats 1 . 3 25 a) P [2 ALUMNOS DE CLÁSICA] b) P [2 ALUMNOS DEL = 1-º/AMBOS 1 2 1 1 7 6 1 6 5 · · + · · + · · = 0,168 3 10 9 3 12 11 3 14 13 DE CLÁSICA] = P [DOS DE 1-º DE CLÁSICA] = P [DOS DE CLÁSICA] = (1/3) · (2/10) · (1/9) ≈ 0,044 0,168 Pàgina 261 QÜESTIONS TEÒRIQUES 39 S Siguen A i B dos successos tals que P [A] = 0,40; P [B/A] = 0,25 i P [B] = b. Troba: a) P [A I B]. b) P [A U B] si b = 0,5. c) El menor valor possible de b. d) El major valor possible de b. a) P [A I B ] = P [A] · P [B/A] = 0,40 · 0,25 = 0,1 b) P [A U B ] = P [A] + P [B ] – P [A I B ] = 0,40 + 0,5 – 0,1 = 0,8 c) El menor valor posible de b es P [B ] = P [A I B ], es decir, 0,1. d) El mayor valor posible de b es: 1 – (P [A] – P [A I B ]) = 1 – (0,4 – 0,1) = 0,7 40 Si la probabilitat que ocórreguen dos successos al mateix temps és p, quina és la probabilitat que almenys un dels dos no ocórrega? Raona-ho. Si P [A I B ] = p, entonces: P [A' U B' ] = P [(A I B )' ] = 1 – P [A I B ] = 1 – p 41 Raona l’afirmació següent: si la probabilitat que ocórreguen dos successos a la vegada és menor que 1/2, la suma de les probabilitats d’ambdós (per separat), no pot excedir de 3/2. P [A] + P [B ] = P [A U B ] + P [A I B ] < 1 + pues P [A U B ] ≤ 1 y P [A I B ] < 42 1 3 = 2 2 1 . 2 Siguen A i B dos successos d’un experiment aleatori. És possible que p 2 1 3 siga una probabilitat si: P [A] = , P [B] = i P [A' I B ' ] = ? 5 5 10 P [A' I B' ] = P [(A U B )' ] = 1 – P [A U B ) = Unitat 10. Càlcul de probabilitats 3 7 ⇒ P [A U B ] = 10 10 26 Por otra parte: P [A U B ] = P [A] + P [B ] – P [A I B ] 7 2 1 –1 = + – P [A I B ] ⇒ P [A I B ] = 10 5 5 10 Es imposible, pues una probabilidad no puede ser negativa. 43 Siga A un succés amb 0 < P [A] < 1. a) Pot ser A independent del seu contrari A'? b) Siga B un altre succés tal que B ⊂ A. Seran A i B independents? c) Siga C un succés independent de A. Seran A i C ' independents? Justifica les respostes. a) P [A] = p ≠ 0; P [A' ] = 1 – p ≠ 0 P [A] · P [A' ] = p (1 – p) ≠ 0 P [A I A' ] = P [Ø] = 0 No son independientes, porque P [A I A' ] ≠ P [A] · P [A' ]. b) P [A I B ] = P [B] ¿P [A] · P [B ] = P [B ]? Esto solo sería cierto si: • P [A] = 1, lo cual no ocurre, pues P [A] < 1. • P [B ] = 0. Por tanto, solo son independientes si P [B ] = 0. c) A independiente de C ⇒ P [A I C ] = P [A] · P [C ] P [A I C' ] = P [A – (A I C )] = P [A] – P [A I C ] = = P [A] – P [A] · P [C ] = P [A] (1 – P [C ]) = P [A] · P [C' ] Por tanto, A y C' son independientes. 44 Si A i B són dos successos d’experiment aleatori i P [A] = 0: a) Què podem dir de P [A I B]? b) I de P [A U B]? c) Respon les mateixes preguntes si P [A] = 1. a) P [A I B] = 0 b) P [A U B] = P [B] b) P [A I B] = P [B]; P [A U B] = P [A] = 1 45 En tirar tres daus, podem obtindre suma 9 de sis formes diferents: 126, 135, 144, 225, 234, 333 I altres sis d’obtindre suma 10: 136, 145, 226, 235, 244, 334. Unitat 10. Càlcul de probabilitats 27 No obstant això, l’experiència ens diu que és més fàcil obtindre suma 10 que suma 9. Per què? 1, 2, 6; 1, 3, 5; 2, 3, 4 → cada uno da lugar a 3! formas distintas. Es decir: 3 · 3! = 3 · 6 = 18 1, 4, 4; 2, 2, 5 → cada uno da lugar a 3 formas distintas. Es decir: 2 · 3 = 6 18 + 6 + 1 = 25 formas distintas de obtener suma 9. 25 P [suma 9] = 25 = 216 63 1, 3, 6; 1, 4, 5; 2, 3, 5 → 6 · 3 = 18 formas 2, 2, 6; 2, 4, 4; 3, 3, 4 → 3 · 3 = 9 formas 18 + 9 = 27 formas distintas de obtener suma 10. P [suma 10] = 27 216 Está claro, así, que P [suma 10] > P [suma 9]. PER A APROFUNDIR 46 Un home té temps per a jugar a la ruleta 5 vegades, com a màxim. Cada aposta és d’1 euro. L’home comença amb 1 euro i deixarà de jugar quan perda l’euro o guanye 3 euros. a) Troba l’espai mostral dels resultats possibles. b) Si la probabilitat de guanyar o perdre és la mateixa en cada aposta, quina és la probabilitat que guanye 3 euros? a) Hacemos un esquema: 1(3) FIN 1(2) GGG 1(2) –1(1) –1(0) 1 1(2) 1(1) –1(0) –1(0) –1(–1) FIN –1(–1) FIN Unitat 10. Càlcul de probabilitats 1(3) FIN → GGPGG –1(1) FIN → GGPGP 1(1) FIN → GGPPG –1(–1) FIN → GGPPP 1(3) FIN → GPGGG –1(1) FIN → GPGGP 1(1) FIN → GPGPG –1(–1) FIN → GPGPP GPP P 28 El espacio muestral sería: E = {GGG, GGPGG, GGPGP, GGPPG, GGPPP, GPGGG, GPGGP, GPGPG, GPGPP, GPP, P} donde G significa que gana esa partida y P que la pierde. b) Por el esquema anterior, vemos que gana 3 euros con: 1 1 1 1 · · = 2 2 2 8 GGG → probabilidad = ( 12 ) = 321 1 1 GPGGG → probabilidad = ( ) = 2 32 5 GGPGG → probabilidad = 5 Por tanto: P [gane 3 euros] = 47 S 1 1 1 3 + + = = 0,1875 8 32 32 16 En una baralla de 40 cartes, s’agafen tres cartes distintes. Calcula la probabilitat que les tres siguen nombres distints. P [3 números distintos] = 1 · P [2-ª dist. de la 1-ª] · P [3-ª dist. de la 1-ª y de la 2-ª] = =1· 48 S 36 32 192 · = 39 38 247 Triades cinc persones a l’atzar, quina és la probabilitat que almenys dues hagen nascut en el mateix dia de la setmana (és a dir, en dilluns, dimarts, etc.)? P [ninguna coincidencia] = 1 · P [2-ª en distinto día que la 1-ª] · … … · P [5-ª en distinto día que 1-ª, 2-ª, 3-ª y 4-ª] = =1· 6 5 4 3 360 · · · = = 0,15 7 7 7 7 2 401 P [alguna coincidencia] = 1 – P [ninguna coincidencia] = 1 – 0,15 = 0,85 49 S En una competició de tir amb arc, cada tirador disposa, com a màxim, de tres intents per a fer diana. En el moment en què ho aconsegueix, deixa de tirar i supera la prova i, si no ho assoleix en cap dels tres intents, en queda eliminat. Si la probabilitat de fer blanc amb cada fletxa, per a un determinat tirador, és 0,8: a) Calcula la probabilitat de no quedar eliminat. b) Si sabem que ha superat la prova, quina és la probabilitat que ho haja aconseguit en el segon intent? Unitat 10. Càlcul de probabilitats 29 a) 1-ª forma P [NO ELIMINADO] = P [AC 1-ª] + P [NO AC 1-ª y AC 2-ª] + P [NO AC 1-ª y NO AC 2-ª y AC 3-ª] = = 0,8 + 0,2 · 0,8 + 0,2 · 0,2 · 0,8 = 0,992 2-ª forma P [NO ELIMINADO] = 1 – P [ELIMINADO] = 1 – P [NO AC 1-ª y NO AC 2-ª y NO AC 3-ª] = = 1 – 0,23 = 1 – 0,008 = 0,992 b) P [AC 2-ª/NO 50 S ELIMINADO] = P [NO AC 1-ª y AC 2-ª] 0,2 · 0,8 = ≈ 0,1613 P [NO ELIMINADO] 0,992 Siga A el succés “una determinada persona A resol un determinat problema” i B el succés “el resol la persona B”. Se sap que la probabilitat que el resolguen les dues és d’1/6; i, la que no el resolga cap de les dues és d’1/3. Sabent que la probabilitat que el resolga una persona és independent que el resolga l’altra, calcula P (A) i P (B). Llamamos P [A] = x; P [B] = y. Como A y B son independientes: P [A I B] = P [A] · P [B] → x · y = 1 6 Además, tenemos que: P [A' I B' ] = P [(A U B)' ] = 1 3 → P [A U B ] = 1 – 1 2 = 3 3 Pero: P [A U B ] = P [A] + P [B] – P [A I B ] = x + y – 1 2 5 = , es decir: x + y = 6 3 6 Uniendo las dos condiciones anteriores: 1 5 y= –x 6 6 5 5 1 5x 1 x+y= x –x = ; – x 2 = ; 5x – 6x 2 = 1 6 6 6 6 6 x·y= ( ) 5 ± √ 25 – 24 5±1 6x 2 – 5x + 1 = 0; x = = 12 12 6 1 x=—=— 12 2 4 1 x=—=— 12 3 Hay dos soluciones: x= 1 2 → y= 1 3 → P [A] = 1/2 P [B] = 1/3 x= 1 3 → y= 1 2 → P [A] = 1/3 P [B] = 1/2 Unitat 10. Càlcul de probabilitats 30 51 Què és més probable, obtindre alguna vegada un 6 llançant un dau 4 vegades o un doble 6 llançant dos daus 24 vegades? P [AL MENOS UN P [DOBLE 6 (*) CON P [DOBLE 6 6 EN 2 DADOS EN 4 TIRADAS] 24 EN UNA TIRADA] = = 1 – P [NINGÚN 6 EN 4 TIRADAS] =1– (*) ( ) ( ) TIRADAS] = 1 – P [NINGÚN DOBLE 6] = 1 – ( ) 1 36 DOBLE 6] = 1 – 1 6 2 = → P [NO 5 6 4 35 36 ≈ 0,5177 24 ≈ 0,4914 1 35 = 36 36 Por tanto, es más probable sacar al menos un 6 lanzando 4 veces un dado. Unitat 10. Càlcul de probabilitats 31