10 Solucions a “Ejercicis i problemes” PÀGINA 220 Pàg. 1 ■Practica Relacions entre successos 1 En un sorteig de loteria observem la xifra en què acaba la “grossa”. a)Quin n’és l’espai mostral? b)Escriu els successos: A = menor que 5; B = parell. c)Troba els successos A « B, A » B, A', B', A' » B'. a)El espacio muestral es: E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b)A = “menor que 5” = {0, 1, 2, 3, 4} B = “par” = {0, 2, 4, 6, 8} c)A « B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8} A' = {5, 6, 7, 8, 9} 2 A » B = {0, 2, 4} B' = {1, 3, 5, 7, 9} A' » B' = {5, 7, 9} Escrivim cada una de les lletres de la paraula premi en una fitxa i les posem en una bossa. N’extraiem una lletra a l’atzar. a)Escriu els successos elementals d’aquest experiment. Tenen tots la mateixa probabilitat? b)Escriu el succés “obtindre-hi vocal” i calcula’n la probabilitat. c)Si la paraula triada fóra sort, com respondries als apartats a) i b)? a)Los sucesos elementales son: {P}, {R}, {E}, {M}, {I}, {O}. Todas tienen la misma probabilidad, porque todas aparecen una sola vez. b)V = “obtener vocal” 8 V = {E, I, O}; P[V] = 3 = 1 6 2 c)Los sucesos elementales son: {S}, {U}, {E}, {R}, {T}; P [V] = 3 = 1 6 2 En este caso el suceso elemental {E} tiene más probabilidad que el resto, por aparecer dos veces. 3 Llancem un dau roig i un altre verd. N’anotem el resultat. Per exemple, (3, 4) significa 3 en el roig i 4 en el verd. a)Quants elements té l’espai mostral? b)Descriu els successos següents: A: la suma de punts és 6; A = {(5, 1), (4, 2), …} B: En un dels daus ha eixit 4; B = {(4, 1), …} C: En els daus va eixir el mateix resultat. c)Descriu els successos A « B, A » B, A » C. d)Calcula la probabilitat dels successos dels apartats b) i c). e)Calcula la probabilitat de A', B' i C'. a)Como tenemos dos dados, cada uno con 6 caras, tenemos 6 resultados en uno para cada uno de los 6 resultados del otro. Es decir, en total, 36 elementos en el espacio muestral. Unitat 10. Càlcul de probabilitats 10 Solucions a “Ejercicis i problemes” b)A = {(5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5)} Pàg. 2 B = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)} C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} c)A « B 8 E n uno de los dados ha salido un 4 o la suma de los dos es 6. A»B 8 H abiendo salido un 4, la suma de los dos es 6, es decir, {(4, 2), (2, 4)}. A » C 8 Habiendo salido dos números iguales, la suma es 6, es decir, {(3, 3)}. 4 d)P [A ] = 5 36 P [B] = 11 36 P [A « B] = 14 = 7 36 18 e)P [A' ] = 1 – P [A ] = 31 36 P [A » B ] = 2 = 1 36 18 P [B' ] = 1 – P [B] = 25 36 P [C ] = 6 = 1 36 6 P [A » C ] = 1 36 P [C' ] = 1 – P [C ] = 5 6 El joc del dòmino consta de 28 fitxes. En traiem una a l’atzar i anotem la suma (x) de les puntuacions. a)Quin n’és l’espai mostral? Digues la probabilitat de cada un dels 13 casos que poden donar-se. b)Descriu els successos: A: x és un nombre primer. B: x és major que 4. A « B, A » B, A'. c)Calcula les probabilitats dels successos descrits en l’apartat b). a)E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12} P [0] = 1 ; P[1] = 1 ; P[2] = 2 ; P[3] = 2 ; P[4] = 3 ; P[5] = 3 ; P[6] = 4 ; 28 28 28 28 28 28 28 P [7] = 3 ; P[8] = 3 ; P[9] = 2 ; P[10] = 2 ; P[11] = 1 ; P[12] = 1 28 28 28 28 28 28 b)A = {2, 3, 5, 7, 11} B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A « B = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A » B = {5, 7, 11} A' = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12} c)P [A] = P [2] + P [3] + P [5] + P[7] + P[11] = 11 28 P [B] = 19 P[A « B] = 23 P[A » B ] = 7 = 1 28 28 28 4 P[A' ] = 1 – P [A] = 17 28 Experiències simples 5 En la loteria primitiva s’extrauen boles numerades de l’1 al 49. Calcula la probabilitat que la primera bola extreta siga un nombre…: a)… d’una sola xifra. b) … múltiple de 7. c) … major que 25. a)P [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] = 9 49 c)P [26, 27, 28, …, 49] = 24 49 Unitat 10. Càlcul de probabilitats b) P [7, 14, 21, 28, 35, 42, 49] = 7 = 1 49 7 10 Solucions a “Ejercicis i problemes” 6 S’extrau una carta d’una baralla espanyola. Digues quina és la probabilitat que siga: b) figura i oros. c) no siga espases. a)rei o as. a)P [rey o as] = 8 = 1 40 5 b) P [figura y oros] = P [figura de oros] = 3 = 1 40 10 c)P [no sea espadas] = 30 = 3 40 4 7 Llancem dos daus i anotem la puntuació del major (si coincidixen, la d’un d’ells). a)Completa la taula i digues les probabilitats dels sis successos elementals 1, 2, 3, 4, 5 i 6. b)Troba la probabilitat dels successos: A: nre. parell, B: nre. menor que 4, A » B. 1 2 2 5 4 6 6 a) 1 2 3 4 5 6 2 2 3 4 5 6 3 3 3 4 5 6 4 4 4 4 5 6 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 P [1] = 1 ; P[2] = 3 = 1 ; P[3] = 5 36 36 12 36 P[4] = 7 ; P[5] = 9 = 1 ; P[6] = 11 36 36 4 36 b)P [A ] = 3 + 7 + 11 = 21 = 7 ; P[B ] = 1 + 3 + 5 = 9 = 1 ; 36 36 36 36 12 36 36 36 36 4 P [A » B] = P [2] = 1 12 Experiències compostes 8 a) Tenim dues baralles de 40 cartes. Traiem una carta de cada una. Quina és la probabilitat que ambdues siguen 7? Quina és la probabilitat que ambdues siguen figures (sota, cavall o rei)? b)Tenim una baralla de 40 cartes. En traiem dues cartes. Quina és la probabilitat que ambdues siguen un 7? Quina és la probabilitat que ambdues siguen figura? a)P [7 y 7] = 4 · 4 = 1 ; P [figura y figura] = 12 · 12 = 9 40 40 100 40 40 100 b)P [7 y 7] = 4 · 3 = 12 = 1 ; P [figura y figura] = 12 · 11 = 132 = 11 40 39 1 560 130 40 39 1 560 130 9 Llancem tres daus. Quina és la probabilitat que les tres puntuacions siguen menors que 5? P [las tres menores que 5] = P [< 5] · P [< 5] · P [< 5] = 4 · 4 · 4 = 8 6 6 6 27 Unitat 10. Càlcul de probabilitats Pàg. 3 10 Solucions a “Ejercicis i problemes” 10 Traiem una bola de cada urna. Calcula la probabilitat que: a)Ambdues siguen roges. b)Ambdues siguen negres. c)Alguna siga verda. a)P [roja y roja] = 3 · 2 = 6 5 5 25 b)P [negra y negra] = 2 · 2 = 4 5 5 25 c)P[alguna verde] = P [verde] + P [verde] = 0 + 1 = 1 5 5 11 Una urna té 3 boles roges i 2 verdes. N’extraiem dues. Calcula P[2 roges] i P[2 verdes]. a)P [2 rojas] = 3 · 2 = 3 5 4 10 b)P [2 verdes] = 2 · 1 = 1 5 4 10 Unitat 10. Càlcul de probabilitats Pàg. 4