12/12/2009 - CiberEsquina - Universidad Nacional Abierta

Prueba Integral
Lapso 2 009 - 2
764 - 1/6
Universidad Nacional Abierta
Probabilidad y Estadística I (764)
Vicerrectorado Académico
Cód. Carrera: 106 - 120 - 508
Área de Matemática
Fecha: 12 - 12 - 2 009
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 1, 2, 3 y 4
OBJ 1 PTA 1
A continuación, proporcionamos el número de recipientes de un litro de leche vendidos en un
supermercado en 27 sábados consecutivos:
67
65
61
69
65
56
70
60
75
62
64
66
72
68
71
78
67
69
65
72
88
67
73
66
61
57
71
Agrupar las cifras de ventas en una distribución de frecuencias usando clases de longitud 5,
usando como clase inferior 55 - 59 y limite de clase inferior 54,5 - 59,5 y construya el
histograma correspondiente a la distribución de ventas de recipientes de un litro de leche.
Construya en el histograma el polígono de frecuencia.
Nota: El objetivo se considera logrado si responde correctamente ambas partes de la
pregunta.
Solución:
Ver el ejercicio Nº 2 de la página 113, en la Auto evaluación de la selección de ejercicios
para las Unidades 1 y 3 del curso Probabilidad y Estadística I (cód 764).
OBJ 2 PTA 2
Cada mensaje en un sistema digital de comunicación es clasificado de acuerdo a como sea
recibido dentro del tiempo especificado por el sistema, es decir, el mensaje llega a tiempo o
llega tarde. Si tres mensajes son clasificados, determine el espacio muestral.
Solución:
Se puede apreciar claramente del enunciado que estamos interesados en formar ternas,
donde para cada una de las tres posiciones de la terna existen dos posibilidades, que el
mensaje llega a tiempo o que llegue tarde, por lo tanto el número de resultados del espacio
muestral es: 23 = 8 posibles resultados, y el espacio muestral mismo es:
Ω=
{( T, T, T ) , ( T, T, t ) , ( T, t, T ) , ( T, t, t ) , ( t, T, T ) , ( t, T, t ) , ( t, t, T ) , ( t, t, t )}
OBJ 3 PTA 3
En una reunión hay 8 mujeres y 5 hombres. ¿De cuantas maneras se pueden formar una
comisión constituida por 4 mujeres y 2 hombres?
Solución:
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2 009 - 2
764 - 2/6
⎛8⎞
Del grupo de las mujeres tenemos C84 = ⎜ ⎟ posibilidades, mientras que del grupo de
⎝4⎠
⎛5⎞
hombres existen C52 = ⎜ ⎟ posibilidades.
⎝ 2⎠
⎛8⎞⎛5⎞
Por lo tanto existen ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 700 maneras de formar una comisión constituida por 4 mujeres
⎝ 4⎠⎝ 2⎠
y 2 hombres.
OBJ 4 PTA 4
En una población de 100 habitantes hay 40 hombres y 60 mujeres, ¿Cuál es la probabilidad
que se escoja al azar un grupo de 20 personas y la mitad sean hombres?
Solución:
La probabilidad de escoger al azar a un hombre es: p =
una mujer es q =
40
= 0,4 y la de escoger al azar a
100
60
= 0,6 =1- p .
100
El número de hombres, NH, que aparecen al escoger al azar un grupo de 20 personas tiene
una distribución binomial de parámetros n = 20 y p = 0.4. Por lo tanto la probabilidad de que
en un grupo de 20 personas escogidas al azar la mitad resulte hombre es:
⎛ 20 ⎞
10
10
P(NH = 10) = ⎜ ⎟ ( 0,4 ) ( 0,6 )
⎝ 10 ⎠
OBJ 5 PTA 5
Un estudiante responde a una pregunta, en un examen de relación múltiple, que tiene cuatro
posibles respuestas. Supongamos que la probabilidad de que el estudiante sepa la respuesta
a la pregunta es 0,8 y la probabilidad de que adivine es 0,2. Suponiendo también, que si el
estudiante adivina, la probabilidad de que seleccione la respuesta correcta es 0,25. Si el
estudiante responde una pregunta correctamente, ¿Cuál es la probabilidad de que realmente
sabe la respuesta correcta?
Solución:
Sean los eventos definidos como sigue:
A = el estudiante sabe la respuesta
B = el estudiante adivina la respuesta
C = el estudiante contesta correctamente
Se tiene que:
P(A) = 0,8 ; P(B) = 0,2 ; P(C | B) = 0,25 ; P(C | A) = 1
Queremos calcular P(A | C) la cuál por la fórmula de Bayes es:
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico
Área de Matemática
Prueba Integral
P ( A C) =
Lapso 2 009 - 2
P (C A )P ( A )
P ( C A ) P ( A ) +P ( C | B ) P (B )
⇔ P(A | C) =
764 - 3/6
(1)( 0,8 )
0,80
=
= 0,94
(1)( 0,8 ) + ( 0,25 )( 0,2 ) 0,85
OBJ 6 PTA 6
El productor de un tipo de leche con pocas calorías quiere comparar la atracción que ejerce
el sabor de una nueva preparación (fórmula B) con respecto a la preparación estándar
(fórmula A). Se dan a cada uno de cuatro jueces tres vasos, de modo aleatorio, dos de los
cuales contienen la fórmula A y el otro la fórmula B. Se pregunta a cada juez cuál vaso
disfruto más. Suponga que las dos preparaciones son igualmente atractivas. Sea Y el
número de jueces que prefieren la nueva fórmula.
Encuentre el valor esperado de Y.
Sugerencia: Encuentre primero la función de probabilidad para Y y determine la
probabilidad de cada caso posible para el numero de jueces que prefiera la nueva fórmula y
luego calcule lo señalado en el enunciado.
Solución:
Como se aprecia en el enunciado, Y , sigue una distribución Binomial de parámetros n = 4 y
1
p = . Esto es:
3
k
4 -k
⎛ 4⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
P(Y = k) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝k ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
Por lo tanto:
0
4
4
⎛ 4⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
Para k = 0 se tiene que P ( Y = 0 ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ≈ 0,1975
⎝0⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
1
3
3
⎛ 4⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞
Para k = 1 se tiene que P ( Y = 1) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≈ 0,3950
⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠
⎝ 1⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
2
2
2
2
⎛ 4⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞
Para k = 2 se tiene que P ( Y = 2 ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 6 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≈ 0,2962
⎝3⎠ ⎝3⎠
⎝ 2⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
3
1
4
0
3
⎛ 4⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞
Para k = 3 se tiene que P ( Y = 3 ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≈ 0,0987
⎝3⎠ ⎝3⎠
⎝3⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
4
⎛ 4⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞
Para k = 4 se tiene que P ( Y = 4 ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ≈ 0,0123
⎝ 4⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
Luego,
E ( Y ) = 0P ( Y = 0 ) +1P ( Y = 1) + 2P ( Y = 2 ) + 3P ( Y = 3 ) + 4P ( Y = 4 )
= 0 + 0,395 + 0,593 + 0,296 + 0,049 = 1,333.
Este valor de 1,333 nos indica que hay preferencia por la nueva fórmula, ya que en promedio
hay menos de dos jueces que sienten preferencia por la nueva preparación.
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2 009 - 2
764 - 4/6
OBJ 7 PTA 7
Determine la función de masa de probabilidad conjunta para las variables X con valores ± 1 y
± 2 y probabilidad 1/4 e Y = X2 con valores 1 y 4 y probabilidad 1/2.
Solución:
La función de masa de probabilidad conjunta de X e Y, pX,Y(x, y) = P(X = x, Y = y) para
x = ± 1, ± 2 e y = 1, 4 está dada en la tabla siguiente:
X
-2
-1
1
2
1
0
14
14
0
4
14
0
0
14
X2
OBJ 8 PTA 8
El siguiente resultado es importante porque nos permite calcular la función de densidad (y
por tanto la función de distribución) de una suma de variables aleatorias independientes, a
partir del conocimiento de las funciones de densidad individuales asociadas a cada variable.
Sean X e Y variables aleatorias independientes. Si X e Y tienen función de densidad
conjunta f, entonces Z = X + Y tiene función de densidad dada por
∞
fZ(z) =
∫ fx ( x ) f ( z - x ) dx
Y
∞
=
∫ fx ( z - y ) f ( y ) dy
Y
-∞
-∞
Dadas X e Y variables aleatorias independientes con distribución uniforme [0, 2] y [0, 2]
respectivamente, halle la función de densidad de la variable aleatoria Z = X + Y.
Solución:
Puesto que X e Y son variables aleatorias con distribución uniforme, tenemos que:
⎧1
⎧1
⎪ , 0≤x≤2
⎪ , 0≤y≤2
,
,
fX ( x ) = ⎨ 2
fY ( y ) = ⎨ 2
⎪⎩0 , en otro caso
⎪⎩0 , en otro caso
son las respectivas funciones de densidad de dichas variables.
Recordemos que la densidad de la variable suma Z = X + Y, viene dada por la convolución
de fX ( x ) y fY ( y ) , esto es:
fZ ( z ) =
∞
∫− ∞ f ( x ) f ( z - x ) dx ,
X
⎧0 ≤ x ≤ 2
para ⎨
, de donde obtenemos que
⎩0 ≤ z - x ≤ 2
Por lo tanto,
Y
⎧0 ≤ x ≤ 2
.
⎨
⎩x ≤ z - 2 ≤ x
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2 009 - 2
fZ ( z ) =
764 - 5/6
∞
∫ f ( x ) f ( z - x ) dx
X
Y
−∞
z
z
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
= ∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dx =
4
0 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
2
=
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dx
z - 2⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
=
4-z
4
,
0≤z≤2
,
2<z≤4
Los límites de las integrales son determinados de las condiciones 0 ≤ x ≤ 2, y 0 ≤ z - x ≤ 2.
En resumen:
fZ ( z )
⎧ z
0≤z≤2
⎪ 4
⎪
⎪4-z
= ⎨
2≤z≤4
⎪ 4
⎪
⎪ 0 en otro caso
⎩
La gráfica de fZ es la mostrada en la figura:
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2 009 - 2
764 - 1/6
OBJ 9 PTA 9
Determine el coeficiente de correlación para las variables X e Y cuando X toma los valores
±1 y ±2, cada uno con probabilidad 1/4, e Y = X2.
Solución:
Para determinar el coeficiente de correlación entre las variables X e Y, debemos primero
calcular la covarianza y luego la desviación estándar tanto de X como de Y.
Es claro que Y toma los valores 1 y 4 (¿por qué?) con probabilidad ½ cada uno, por lo tanto,
la función de masa de probabilidad conjunta viene dada por:
⎧ 41 ,
⎪1
⎪ ,
PXY ( x, y ) = ⎨ 41
⎪4,
⎪ 41 ,
⎩
para ( x, y ) = ( -1,1)
para ( x, y ) = (1,1)
.
para ( x, y ) = ( -2, 4 )
para ( x, y ) = ( 2, 4 )
La media y la varianza están dadas por:
E(X) = (- 2)(1/4) + (- 1)(1/4) + (1)(1/4) + (2)(1/4) = 0
E(Y) = (1)(1/2) + (4)(1/2) = 5/2 = 2,5
Var(X, Y) = (- 1)(1)(1/4) + (1)(1)(1/4) + (- 2)(4)(1/4) + (2)(4)(1/4) = 0.
De aquí que:
Cov(X, Y) = E(X) E(Y) – Var(X, Y) = 0,
con lo que resulta que el coeficiente de correlación entre X e Y es 0, esto es:
ρ=0
Lo anterior muestra que X e Y están no correlacionadas.
FIN DEL MODELO
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico
Área de Matemática