PRUEBA INTEGRAL 764- 1 / 11 LAPSO 2 013 - 1 Universidad Nacional Abierta Probabilidad y la Estadística I (Cód. 764) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 126 Área de Matemática Fecha: 08-06-2013 MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del 1 al 9. OBJ 1 PTA 1 Después de observar el número de pasajeros que en los últimos 50 días han decidido viajar con P&P Airlines, se obtuvieron los siguientes datos: 68 72 50 70 65 83 77 78 80 93 71 77 74 57 60 70 84 59 72 85 84 74 73 78 81 79 84 91 92 102 83 67 66 75 79 82 93 90 101 80 79 69 76 94 71 97 95 83 86 69 a) Calcule las medidas de tendencia central de estos datos: media, mediana y moda. b) Represente la gráfica de la distribución empírica. Nota: El objetivo se considera logrado si responde correctamente las dos partes. Solución: 50 El cálculo de la media es: x = ∑xi i =1 = 78,36 50 Al ordenar los datos de menor a mayor se obtiene: 50 71 78 84 101 57 71 79 84 102 59 72 79 85 60 72 79 86 65 73 80 90 66 74 80 91 67 74 81 92 68 75 82 93 69 76 83 93 69 77 83 94 70 77 83 95 70 78 84 97 Luego, la media se encuentra entre los datos 25 y 26, los cuales son 78 y 79, por ello podemos tomar como mediana a: Med = (78+79)/2 Esta muestra tiene tres modas, 79, 83 y 84, ya que son los datos con mayor frecuencia. Especialista: Frankie Gutiérrez Validador: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática PRUEBA INTEGRAL 764- 2 / 11 LAPSO 2 013 - 1 Para datos agrupados: Al ordenar los datos de menor a mayor se obtiene: 50 71 78 84 101 57 71 79 84 102 59 72 79 85 60 72 79 86 65 73 80 90 66 74 80 91 67 74 81 92 68 75 82 93 69 76 83 93 69 77 83 94 70 77 83 95 70 78 84 97 Luego, calculemos el ancho de las clases, para esto realicemos la diferencia 102 – 50 = 52. Dividimos este valor entre el número de clases a seleccionar, en este caso, n = 50 ≈ 7, 071 7. Así, el ancho aproximado de cada clase es: 7,353. Tomaremos como ancho 8, para asegurar de esta forma que no hallan datos que no caigan en ninguna clase. Nota: 8 es igual a la parte entera de 7,353 + 1. Límite de Frecuencias Frecuencia (fi) Relativas (hi) clase 50 - 57 57 - 64 64 - 71 71 - 78 78 - 85 85 - 92 92 - 99 99 - 106 1 3 8 11 15 4 6 2 0,02 0,06 0,16 0,22 0,3 0,08 0,12 0,04 %hi Distribución Empírica 2 6 16 22 30 8 12 4 0,02 0,08 0,24 0,46 0,76 0,84 0,96 1 b) La gráfica de la distribución empírica es: Especialista: Frankie Gutiérrez Validador: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática PRUEBA INTEGRAL 764- 3 / 11 LAPSO 2 013 - 1 OBJ 2 PTA 2 Los Yankees de Nueva York y los White Sox de Chicago van a jugar tres partidos este fin de semana, suponiendo que se trata de tres partidos de eliminatoria (sin que se acepte el empate) y que se está interesado solamente en saber qué equipo gana cada partido, liste todos los resultados del espacio muestral Ω. Liste también, todos los resultados de A, suceso consistente en que los Yankees ganen más partidos que los White Sox. Solución: Como se trata de tres partidos, pensemos que los resultados son ternas, donde en cada lugar solamente pueden ir uno de dos resultados posibles (¿por qué?). Por lo tanto, el espacio muetral Ω consta de los siguientes ocho resultados: Ω = { (YN , YN , YN); (YN , YN , WS); (YN , WS , YN); (YN , WS , WS); (WS , YN , YN); (WS , YN , WS); (WS , WS , YN); (WS , WS , WS) }, donde YN = Yankees de Nueva Cork y WS = White Sox. Para dar respuesta a la segunda pregunta, notemos que este suceso A es un subconjunto de Ω, siendo: A = { (YN , YN , YN); (YN , YN , WS); (YN , WS , YN); (WS , YN , YN) }. Comentarios: • Este problema es equivalente al de lanzar una moneda buena tres veces y contar el número de resultados posibles. • Otro planteamiento es resolverlo elaborando un diagrama de árbol. OBJ 3 PTA 3 Un experimento consiste en escoger una sucesión de 6 dígitos. Describa el espacio muestral de este experimento. ¿Cuántos resultados posibles hay? Sea A el evento de que la sucesión empieza con dos dígitos consecutivos en el orden natural, es decir, primero el menor y luego el mayor. ¿Cuántos resultados pertenecen al evento A? Solución: Note antes de empezar a responder que en este problema si importa el orden en el que son escogidos los dígitos y que se permiten las repeticiones, pues no se hace mención específica a que los dígitos sean diferentes. Recordemos que el espacio muestral Ω de un experimento es el conjunto de todos los posibles resultados del mismo. Aquí es el conjunto de todas sucesiones (x1, x2, x3, x4, x5, x6), con cada x i ∈ {0, 1, 2· · · , 9}. Debido a que las repeticiones son permitidas como ya se mencionó anteriormente, hay 10 posibilidades para x1, 10 posibilidades para x2,· · · , y 10 posibilidades para x10. En virtud del principio de multiplicación, el número total de resultados es 10x10x10x10x10x10 = 106. Sea B1 el conjunto de todas las sucesiones que comienzan con (0, 1), B2 el de las que comienzan con (1, 2), ···, y finalmente sea B9 el conjunto de las sucesiones Especialista: Frankie Gutiérrez Validador: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática PRUEBA INTEGRAL 764- 4 / 11 LAPSO 2 013 - 1 que comienzan con (8, 9). El número de resultados en cada B i es 104, los B i son 9 disjuntos a pares, y A = U B i . Por lo tanto, A tiene i =1 (1×104) + (1×104) + (1×104) + (1×104) + (1×104) + (1×104) + (1×104) + (1×104) + (1×104) = 9 × 104 resultados. OBJ 4 PTA 4 Se mezclan cinco monedas falsas con nueve auténticas. Si se seleccionan 2 monedas, calcule la probabilidad de que una sea buena y una falsa. Solución: La probabilidad de que una de las monedas sea buena y la otra falsa es: ⎛5⎞⎛9⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ = 5.9 = 45 . 7.13 91 ⎛ 14 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ La explicación de la expresión anterior es muy sencilla. El denominador representa el número total de formas en que se pueden escoger 2 monedas de un total de 14. Mientras que el numerador representa el número total de formas en que pueden ser escogidas una moneda buena de un total de nueve y una moneda falsa de un total de cinco. OBJ 5 PTA 5 Suponga que cada una de las enfermedades e1,e2,e3 pueden producir uno o más de los siguientes síntomas observables: S1: pérdida de apetito S2: dolor de pecho S3: disnea S4: dilatación de las pupilas Asuma que un estudio nacional de las estadísticas de los hospitales proporciona la siguiente tabla en una población de 10000 personas que tienen exactamente una de las enfermedades. Enfermedad e1 e2 e3 Número de personas con Número de la enfermedad ei, quienes personas con también tienen uno o la enfermedad más de los síntomas ei s1,s2,s3 y s4 3750 3000 2250 2050 4000 3500 Considere los eventos: Especialista: Frankie Gutiérrez Validador: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática PRUEBA INTEGRAL 764- 5 / 11 LAPSO 2 013 - 1 S: “persona que tiene exactamente una enfermedad” Ei: “persona que tiene la enfermedad ei” A: “persona que muestra uno o más síntomas s1,s2,s3 y s4” Calcule: P(A|E1), P(A|E2), P(A|E3), P(E1|A). Nota: El objetivo se considerará logrado, si el estudiante calcula todas las probabilidades condicionales. Solución: Se tiene que: P(A | Ei) = P( A ∩ Ei ) ; i = 1,2,3 P(Ei ) (1) | E1 | 3750 = = 0,375 | S | 10000 | E 2 | 2250 = = 0,225 P(E2)= | S | 10000 | E 3 | 4000 = = 0,400 P(E3)= | S | 10000 3000 = 0,300 P(A I E1)= 10000 2050 = 0,205 P(A I E2)= 10000 3500 = 0,350 P(A I E3)= 10000 P(E1)= Al sustituir en (1) queda: P ( A ∩ E 1 ) 0 , 300 = = 0 ,8 P (E 1 ) 0 , 375 ) P ( A ∩ E 2 ) 0 , 205 = = 0 , 9 1 P(A | E2) = P (E 2 ) 0 , 225 P ( A ∩ E 3 ) 0 , 350 = = 0 ,875 P(A | E3) = P (E 3 ) 0 , 400 P(A | Ei) = Al aplicar la fórmula de Bayes se tiene: Especialista: Frankie Gutiérrez Validador: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática PRUEBA INTEGRAL P(E1 | A) = 764- 6 / 11 LAPSO 2 013 - 1 P( E1 ) P( A | E1 ) P( E1 ) P( A | E1 ) + P( E2 ) P( A | E2 ) + P( E3 ) P( A | E3 ) 0,3 0,3 (0,375)(0,8) ) = = = 0,348 0,3 + 0,21 + 0,35 0,86 (0,375)(0,8) + (0,225)(0,9 1) + (0,875).(0,4) Es decir, P(E1 | A) = 0,348. = OBJ 6 PTA 6 Cierta aleación se forma al combinar la mezcla fundida de dos metales. La aleación que resulta contiene cierto porcentaje de plomo X , que puede considerarse como una variable aleatoria. Supongamos que X tiene la siguiente función de densidad de probabilidad: ⎛ 3⎞ f ( x ) = ⎜ ⎟10 −5 x.(100 − x ), 0 ≤ x ≤ 100 ⎝5⎠ Supongamos que U , la utilidad neta obtenida al vencer esta aleación (por libra), es la siguiente función (de la variable aleatoria X ) del porcentaje del contenido de plomo: U = c1 + c 2 X . Calcule la utilidad esperada (por libra). Solución: En este caso es necesario calcular el valor esperado de una función de la variable aleatoria X . Esta función es: U = c1 + c 2 X , Por lo tanto: Especialista: Frankie Gutiérrez Validador: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática PRUEBA INTEGRAL 764- 7 / 11 LAPSO 2 013 - 1 +∞ E (U ) = ∫ U . f ( x )dx −∞ 100 = ∫ (c 1 0 = = = 3 + c 2 x ) 10 −5 x(100 − x )dx 5 3 5.10 5 100 3 5.10 5 100 3 5.10 5 ∫ (c 1 ( ) + c 2 x ) 100 x − x 2 dx 0 ∫ (100c x − c x 1 1 2 ) + 100c 2 x 2 − c 2 x 3 dx 0 ⎡ x x x 2 c x c c c − + − 50 100 . ⎢ 1 ⎥ 1 2 2 3 3 4 ⎣ ⎦ 3 4⎤ 3 x =100 x =0 ⎡ ⎤ 10.10 1000.10 1000.10 5 c1 + c2 − c2 ⎥ ⎢5.10 c1 − 3 3 4 ⎣ ⎦ 3⎡ 10 1000 1000 ⎤ = ⎢5.c1 − c1 + c2 − c2 ⎥ 5⎣ 3 3 4 ⎦ 600 = 3.c1 − 2.c1 + 200.c 2 − c2 4 800.c 2 − 600.c 2 = c1 + = c1 + 50.c 2 4 Así, c1 + 50.c 2 es la utilidad esperada por libra. = 3 5.10 5 5 5 5 OBJ 7 PTA 7 Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 bolas verdes. Se efectúa una extracción de dos bolas, sin reposición. Sean X e Y las variables aleatorias definidas por: ⎧0, 1ª bola verde ⎧0, 2ª bola verde X= ⎨ ; Y= ⎨ ⎩1, 1ª bola blanca ⎩1, 2ª bola blanca a) Determine la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y). b) Encuentre las distribuciones marginales de X e Y. c) Determine pY/X (y). Nota: Para lograr el objetivo debe responder correctamente las tres partes de la pregunta. Solución: a) Al tener en mente el hecho de que la extracción es sin reposición, tenemos que la distribución de probabilidad conjunta de X e Y, es como sigue: X Y 0 Especialista: Frankie Gutiérrez 1 Validador: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática PRUEBA INTEGRAL 764- 8 / 11 LAPSO 2 013 - 1 0 2 1 2 . = 5 4 20 3 2 6 . = 5 4 20 1 2 3 6 . = 5 4 20 3 2 6 . = 5 4 20 b) En virtud de la definición dada en la página 93 de la Guía Instruccional de la asignatura Probabilidad y Estadística I (cód 764), tenemos que: • La distribución marginal de X es: 1 2 6 8 2 PX(0) = ∑ P ( X = 0, Y = y ) = P(0, 0) + P(0, 1) = + = = 20 20 20 5 y=0 6 6 12 3 + = = 20 20 20 5 PX(1) = P(1, 0) + P(1, 1) = • La distribución marginal de Y es 1 ∑ P ( X = x, Y = 0 ) x=0 = P(0, 0) + P(1, 0) = PY(1) = P(0, 1) + P(1, 1) = 6 6 12 3 + = = 20 20 20 5 PY(0) = 2 6 8 2 + = = 20 20 20 5 c) Dada la definición de la página 94 de la Guía Instruccional de la asignatura Probabilidad y Estadística I (cód 764), tenemos: P(X = x,Y = y) , para x = 0, 1. P(X = x) pY/X (y) = Por lo tanto, pY/0 (y) = P(Y = y, X = 0) P(Y = y, X = 1) para y = 0, 1 y pY/1 (y) = para y = 0, 1 P(X = 0) P(X =1) Al sustituir los valores dados para y, resulta: pY/0 (y) = P(X = 0,Y = 0) 2 / 20 1 = = 2/5 2/5 4 = P(X = 0,Y =1) 6 / 20 3 = = 2/5 2/5 4 pY/1 (y) = P(X = 1,Y = 0) 6 / 20 1 = = 3/5 3/5 2 = P(X = 1,Y =1) 6 / 20 1 = = 3/5 3/5 2 OBJ 8 PTA 8 El siguiente resultado es importante porque nos permite calcular la función de densidad (y por tanto la función de distribución) de una suma de Especialista: Frankie Gutiérrez Validador: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática PRUEBA INTEGRAL 764- 9 / 11 LAPSO 2 013 - 1 variables aleatorias independientes, a partir del conocimiento de las funciones de densidad individuales asociadas a cada variable. Sean X e Y variables aleatorias independientes. Si X e Y tienen función de densidad conjunta f, entonces Z = X + Y tiene función de densidad dada por: ∞ fZ(z) = ∫∞ ∞ fx ( x ) fY ( z - x ) dx = - ∫∞ fx ( z - y ) f ( y ) dy . Y - Dadas X e Y variables aleatorias independientes con distribución uniforme [0, 2] y [0, 4] respectivamente, Determine la función de densidad de la variable aleatoria Z = X + Y. Solución: Puesto que X e Y son variables aleatorias con distribución uniforme, tenemos que: ⎧1 ⎧1 ⎪ , 0≤x≤2 ⎪ , 0≤y≤4 fX ( x ) = ⎨ 2 fY ( y ) = ⎨ 4 , , ⎪⎩0 , en otro caso ⎪⎩0 , en otro caso son las respectivas funciones de densidad de dichas variables. Recordemos que la densidad de la variable suma Z = X + Y, viene dada por la convolución de fX ( x ) y fY ( y ) , esto es: fZ ( z ) = ∞ ∫− ∞ f ( z - y ) f ( y ) dy , X Y ⎧0 ≤ z - y ≤ 2 ⎧z - 2 ≤ y ≤ z para ⎨ , de donde obtenemos que ⎨ . ⎩ 0≤y≤4 ⎩ 0≤y≤4 Por lo tanto, fZ ( z ) = ∞ ∫ f ( z - y ) f ( y ) dy X Y −∞ z z ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ = ∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dy = 8 0 ⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ z = 4 = ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dy z - 2⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dy z - 2⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ , = 1 4 = 6-z 8 0≤z≤2 , 2<z≤4 , 4<z≤6 Los límites de las integrales son determinados de las condiciones 0 ≤ z - y ≤ 2, y 0 ≤ y ≤ 4. En resumen, Especialista: Frankie Gutiérrez Validador: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática PRUEBA INTEGRAL 764- 10 / 11 LAPSO 2 013 - 1 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ fZ ( z ) z 8 0≤z≤2 1 4 2<z≤4 6-z 8 0 4≤z≤6 en otro caso La gráfica de f es la siguiente: OBJ 9 PTA 9 Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional, con función de distribución de probabilidad conjunta dada por: 1 ( 0,1) , (1, 0 ) , ( 2,1) . ⎪⎧ pXY(xi , yj) = ⎨ 3 ⎪⎩ 0 otro caso Calcule la covarianza de X e Y. Solución: Por definición de covarianza tenemos: Cov(X, Y) = E[(X – EX)(Y – EY)] = E[(X – μX)(Y – μY)] = E(XY) – EXEY . Por lo tanto, debemos calcular E(XY), EX y EY. 2 EX = ∑ iP(X = i) = 0P(X = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) = 0. 31 + 1. 31 + 2. 31 = 1 i=0 1 EY = ∑ jP(Y = j) = 0P(Y = 0) + 1P(Y = 1) = 0. 31 + 1. 32 = 32 j=0 E(XY) = 2 1 ∑ ∑ i.jp i=0 j=0 XY (i, j) = 0.1. 31 + 1.0. 31 + 2.1. 31 = 32 . Al sustituir los valores calculados para EX, EY y E(XY) en la definición de covarianza, obtenemos: Cov(X, Y) = 32 - 32 = 0 Especialista: Frankie Gutiérrez Validador: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2 013 - 1 764- 11 / 11 Puesto que la covarianza de X e Y es cero, concluimos que dichas variables son no correlacionadas. Nota: Recuerde que: P(X = i) y P(Y = j) con i = 0, 1, 2 y j = 0, 1, son las funciones de probabilidad marginal para las variables aleatorias X e Y respectivamente. FIN DEL MODELO DE RESPUESTA. Especialista: Frankie Gutiérrez Validador: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática