06 MODELO LINEAL

SISTEMAS LINEALES DE TIEMPO CONTINUO
1. Modelos lineales
La versión lineal del modelo diferencial de orden grande
tiene la forma:
d n y(t)
d n−1y(t)
d m u(t)
a
.......
a
y(t)
b
+
+
=
+
o
m dt m + ...... + b o u(t)
n−1 dt n−1
dt n
usando el operador
dx(t)
ρ[x(t)] = ρx(t) ≡
dt
tenemos que
ρn y(t) + a
ρ n−1y(t) + .... + ao y(t) = b m ρm u(t) + ... + b o u(t)
n−1
Los sistemas lineales cumplen el principio de superposición.
La transformada de Laplace se usa para estudiar este tipo de
ecuaciones diferenciales.
Transforma las ecuaciones diferenciales en ecuaciones
algebraicas.
2. Funciones de Transferencia
2.1
Modelo con ecuación diferencial
Aplicando la transformada de Laplace resulta:
s n Y(s) + a
s n−1Y(s) + ....a o Y(s) = b m s m U(s) + ...b o U(s) + f(s, x o )
n−1
Donde f(s,xo) agrupa las condiciones iniciales.
En el caso de condiciones iniciales cero tenemos
Y(s) = G(s)U(s)
G(s) =
B(s)
A(s)
con
A(s) = sn + a sn-1 + .... + ao
n-1
m
B(s) = bms + ....bo
Entonces G(s) recibe el nombre de Función de
Transferencia.
2.2 Modelo en el espacio de estado
Aplicando Transformada de Laplace resulta:
sX(s) − x(0) = AX(s) + BU(s)
Y(s) = CX(s) + DU(s)
Despejando X(s) e Y(s) resulta:
X(s) = (sI − A )−1 x(0) + (sI − A)−1 BU(s)
Y(s) = C(sI − A)−1 B + D U(s) + C(sI − A)−1 x(0)


En el caso de condiciones iniciales ceros, tenemos:
Y(s) = G(s)U(s)
G(s) = C(sI − A)−1 B + D


Donde G(s) es la Función de Transferencia del
sistema.
2.3
Definiciones
Supongamos que B(s) y A(s) no tienen factores
comunes.
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Las raíces de B(s)=0 son los ceros del sistema.
Las raíces de A(s)=0 son los polos del sistema.
Si A(s)=0 tiene nk raíces en s=λk, el polo λk se dice que
tiene multiplicidad nk.
La diferencia de grados entre A(s) y B(s) se denomina
el grado relativo.
Si n-m > 0 el modelo es estrictamente propio (grado
relativo positivo)
Si n-m = 0 el modelo es bipropio (grado relativo cero).
Si n-m ≥ 0 el modelo es propio.
Si n-m <0 el modelo es impropio (grado relativo
negativo).
Los sistemas reales son estrictamente propio.
Los controladores pueden ser propios o impropios. Los
impropios se modifican para poder
construirlos.
Los retardos en un modelo se describen con la función de
transferencia:
H(s) = e –sT
Donde T es el retardo (en segundos)
3. Estabilidad de funciones de transferencias
Un sistema es estable si cualquier entrada acotada produce una
salida acotada para toda condición inicial acotada.
Un sistema continuo es estable asintóticamente si los polos tienen
estrictamente parte real negativa.