TEMA: FACTORIZACIÓN

TEMA: FACTORIZACIÓN
Aspectos históricos del algebra:
“Los árabes fueron los verdaderos sistematizadores del algebra. A finales del SVIII floreció la escuela de Bagdad (SIX al XII), a la que
pertenecían Al Juarismi, Al Batani y Omar Kayan. Al Juarismi, Persa del S IX, escribió el primer libro de algebra y quien le dio el nombre
de Aljabr.
El desarrollo moderno de la factorización se inicia en el Renacimiento Italiano, hacia el 1545, con la publicación de Ars Magna de
Girolamo de Cardamo (1501-1576) en la cual se muestran las soluciones para la ecuación cúbica y cuadrática, desarrolladas por Nicolo
Fontana Tartaglia (1500-1557 ) y Ludovico Ferrari (1522-1565)”.
DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS Y MAXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Se realizara la siguiente pregunta: “¿Qué es un número primo? ¿Cómo se descompone un número en factores primos?
DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS
Descomponer un número en factores primos es escribir dicha cantidad como productos o factores y que estos sean primos, como lo
muestra la descomposición en factores primos de 60:
“FACORIZAR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ES EXPRESARLA COMO EL PRODUCTO DE DOS O MÁS POLINOMIOS POR MEDIO DE SU
DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS”
EJ:
45= 3.3.5
MAXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El MCD de dos o más números enteros es el factor o divisor común más grande que es factor de todos los enteros dados.
El Máximo Común Divisor de un conjunto de expresiones algebraicas es la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y de
mayor grado que está contenido en cada una de ellas.
Máximo Común Divisor en Monomios:
El MCD de dos o más monomios está compuesto por el máximo divisor de los coeficientes y la variable o variables comunes con el
menor grado.
Para ello se debe tener presente:
1º Buscamos el MCD de los coeficientes, descomponiéndolo en factores primos, tomando los factores comunes con el menor
exponente.
2º Buscamos entre las variables el mayor factor común, es decir, aquel con las variables comunes y con el menor exponente.
3º Se obtiene el MCD
Ej: Hallar el MCD de:
1)
Solución:
Primero hallamos el MCD de los coeficientes
MCD= 34
Segundo hallamos el MCD de las variables
CASOS DE FACTORIZACIÓN
FACTOR COMÚN Y POR AGRUPACIÓN
El factor común de una expresión algebraica es el monomio o polinomio que corresponde al máximo común divisor de los términos de
los monomios o polinomios de la expresión algebraica.
Para expresar el factor común (FC) diremos que:
(
)[
]
Ej:
(
)
Ej:
(
)
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Algunas veces no todos los términos poseen un mismo factor común, pero asociados y factorizados por separado tienen monomios o
polinomios completos que son factores comunes.
Ej:
(
) (
)
(
)
(
) (
)(
)
EJ:
(
)
(
)
(
(
)
)(
(
)
)
(
)
(
)
Se propondrá el siguiente taller para trabajar en clase.
I)
FACTORIZAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS
II)
ENCUENTRE EL FACTOR COMÚN Y FACTORIZA CADA EXPRESIÓN
III)
FACTORIZAR APLICANDO FACTOR COMÚN
OBSERVA EL EJEMPLO Y EXPRESA EN FORMA POLINOMICA LAS ÁREAS DE LAS FIGURAS QUE CONFORMAN
CADA RECTÁNGULO Y COMPRUEBA POR FACTORIZACIÓN QUE LAS ÁREAS SON EQUIVALENTES
FACTORIZACIÓN – APLICACIÓN ÁREAS SOMBREADAS
Ej: Determine el área sombreada de :
Solución:
Por definición de áreas tenemos:
Luego despejando el área sombreada
Reemplazando los valores de cada área tenemos
donde
(
)
Por lo tanto expresando el resultado en forma factorizada tenemos:
(
)
TALLER
Factorizar aplicando factor común
1) (
)
(
)
6)
2) (
)
(
7)
)
3) (
)
(
) 4)
5) 5
8)
9)
10) Determine el área sombreada y exprese su resultado en forma factorizada
11) Hallar el área total de la figura en forma factorizada
LECCIÓN ESCRITA
FACTORIZAR:
)
1) (
5)
(
)
2)
3)
4) (
)
(
)
(
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP)
“Recordemos que los números cuadrados perfectos son aquellos que tienen raíz cuadrada exacta”
Un TCP equivale a un BINOMIO AL CUADRADO. Se identifica de la siguiente forma:
1º Tanto el primero como el tercer término son positivos y tienen raíz cuadrada exacta
2º El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término.
(
)
EJ:
(
)
EJ:
TALLER
1) Encuentre la factorización de los trinomios cuadrados perfectos asociando las columnas de números con la columna de letras
)
2) Factorice los siguientes trinomios
3) Encuentre en cada caso la expresión que cumpla las condiciones dadas
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Es uno de los casos más utilizados.
Consiste en el proceso inverso para encontrar la suma por diferencia de dos cantidades. Recordando el producto notable. Por lo tanto
(
)(
)
tenemos:
(
)(
)
Ej:
(
)(
)
Ej:
TALLER
1) Factorizar
2) Factorice las diferencias de cuadrados compuestos
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
En ocasiones encontramos trinomios que no son cuadrados perfectos y que por medio de la adición y sustracción de los términos
adecuadamente se pueden transformar en TCP.
-
Se verifica que el trinomio este ordenado
Se extraen las raíces cuadradas de los términos 1º y 3º
Agregamos y restamos la cantidad que hace que 2º termino sea el doble producto de las raíces del 1º y 3º termino
Factorizamos el TCP encontrado
Factorizamos la diferencia de cuadrados generada por el término que se resta
Por lo tanto encontramos la expresión inicial factorizada
TALLER
Aplica la factorización por adición y sustracción
Al finalizar la semana se evaluaran los siguientes temas: Factor común, Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados
EVALUACIÓN
1) Completar la factorización de la expresión 5X -15 + 12Y – 4XY
Paso 1:
Paso 2: 5(X - 3) + 4Y (3 – X)
Paso 3:
Paso 4: (X – 3) (5 – 4Y)
2) El área del rectángulo de la grafica está representada por la expresión 4X² - 9Y².
El largo y el ancho del rectángulo se pueden representar por los binomios
2
3) Factorizar (r  1)   (r  1)
4) Exprese las dimensiones de la figura en forma factorizadas
5) Halle el perímetro en forma factorizada
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Se continuará con el trabajo del tema y se aclararan las dudas que surjan en los estudiantes acerca del taller propuesto anteriormente.
Luego se efectuara la siguiente evaluación escrita del tema
EVALUACION
1) Factorizar
2) Complete la factorización del trinomio por adición –sustracción
3) Identifique en la gráfica el trinomio y Factorice
4) Factorizar
5) Factorizar
6) Factorice
SUMA DE DOS CUADRADOS ( CASO ESPECIAL)
En general una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es decir, factores en que no hay raíz cuadrada
exacta, pero hay sumas de cuadrados que sumándole y restándole una misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior de adición –
sustracción de trinomios y descomponerse.
Ej: Factorizar
Solución:
Hallamos la raíz cuadrada de cada termino: √
, √
Luego buscamos que la expresión inicial sea un TCP, entonces hallamos el doble producto de las raíces, Asi:
( )(
)
Luego adicionamos y restamos una misma cantidad para que la expresión inicial se convierta en TCP, de la siguiente forma:
Finalmente ordenamos la expresión factorizada
Se propondrán los siguientes ejercicios para trabajar en clase:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
EVALUACIÓN
Factorizar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8) Determine el área sombreada en forma factorizada
TRINOMIO DE LA FORMA
En este tipo de trinomios verificamos:
1. No debe ser TCP
2. El coeficiente del primer término es 1
3. La literal del primer término esta elevada al cuadrado
3. El segundo término tiene la misma literal del primero con exponente 1. (el coeficiente puede ser cualquier cantidad entera, positiva o
negativa)
4. El tercer término es independiente (cantidad entera positiva o negativa)
Factorización
1. El trinomio se descompone en dos factores cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio inicial.
2. En el primer factor después de escribir el resultado del paso anterior se escribe el signo del 2º término del trinomio y en el segundo
factor se escribe el signo que surge de multiplicar los signos del 2º y 3º termino del trinomio inicial.
3. Se descompone en factores primos el tercer término y con los valores obtenidos se buscan dos números que multiplicados den el 3er
termino del trinomio y que sumados o restados den el 2º termino del trinomio inicial.
4. Ubicamos en el primer factor el mayor de los números obtenidos en el paso anterior y en el segundo factor el menor número
obtenido en el paso anterior.
Analizaremos los siguientes ejemplos:
1.)
2.)
3.)
TALLER
Factorizar los siguientes trinomios de la forma
Aplicaciones del TRINOMIO DE LA FORMA
Factorizar
Se realizara la siguiente valoración del tema
NOTA: Las evaluaciones son de carácter acumulativo, con el fin que el estudiante mantenga en retroalimentación constante de la
temática tratada
EVALUACIÓN
1) Calcular el área sombreada en forma factorizada
Factorizar
2)
3)
4)
5)
6) (
)
(
)
7)
8) (
9)
10)
)
(
)
TRINOMIO DE LA FORMA
Este tipo de trinomios se diferencia de los anteriores porque el coeficiente del primer término
cuadrada exacta.
Para factorizarlo recurrimos a:
- verificar que el trinomio no sea cuadrado perfecto
, y en ocasiones no posee raíz
1- Multiplicamos y dividimos el trinomio inicial por el coeficiente del primer término. En este caso (a), dejando indicada la
multiplicación del segundo término.
2- Descomponemos en factores primos al nuevo tercer término generado y realizamos el mismo procedimiento que se utilizó en los
trinomios
3- Hallamos los factores comunes de los coeficientes, si los hay, en cada binomio generado en el paso anterior y se simplifican con el
coeficiente con el que se dividió al principio, en este caso (a).
Ejemplo:
Factorizar
1. Multiplicamos y dividimos por 6 así:
(
)=
(
)
2. Descomponemos a 18 en factores primos y buscamos dos números que multiplicados den - 18 y sumados o restados den - 7
(
(
) (
)
3. Sacamos factor común de los coeficientes
y simplificamos
Por lo tanto tenemos la expresión factorizada
Conclusión:
(
(
)(
)
)(
)
TALLER
FACTORIZAR
)(
)
Se realizara la siguiente valoración del tema:
EVALUACIÓN
Factorizar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11) Determine el área sombreada en forma factorizada
NOTA: Las evaluaciones son de carácter acumulativo, con el fin que el estudiante mantenga en retroalimentación constante de la
temática tratada
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
Un polinomio es un binomio al cubo si cumple con las siguientes condiciones:
1. Posee 4 términos
2. El primer y último término de la factorización deben ser cubos perfectos, es decir poseen raíz cúbica exacta
3. El segundo término es tres veces el cuadrado de la primera raíz cúbica, multiplicado por la raíz cúbica del último término.
4. El tercer término es tres veces el producto de la primer raíz cúbica, por el cuadrado de la segunda raíz cúbica.
5. Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de una suma y si los términos son alternos empezando con el signo
positivo, la expresión resultante será el cubo de una diferencia.
Ejemplo:
(
)
(
)
Se propondrá el siguiente taller para trabajar en clase
TALLER
Factorizar
SUMA DE CUBOS
Para factorizar una suma de cubos se debe:
1. Descomponer la expresión inicial en dos factores
2.En el primer factor ubicamos la suma de las raíces cúbicas de los términos
3. En el segundo factor ubicamos el cuadrado de la primer raíz menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz.
(
)(
)
DIFERENCIA DE CUBOS
Para factorizar una diferencia de cubos se debe:
1. Descomponer la expresión inicial en dos factores
2.En el primer factor ubicamos la diferencia de las raíces cúbicas de los términos
3. En el segundo factor ubicamos el cuadrado de la primer raíz más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
(
)(
)
EVALUACIÓN
Factorizar
1)
2)
3)Determine una expresión en forma factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de los cubos
4)
3)
4)
5) Determine el área sombreada en forma factorizada
6)
7)
8)
9)
10)
11)
SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES
Ejemplo: Si queremos factorizar la expresión
entonces dividimos por
Es decir
Por lo tanto la expresión factorizada es:
)(
(
)
Ejemplo: Factorizar
(
)(
)
OBSERVE:
1) Las expresiones
o
donde n es impar y múltiplo de 3 se puede factorizar como una suma o una diferencia de cubos.
2) Las expresiones
donde n es par se pueden factorizar como una diferencia de cuadrados
TALLER
Factorizar