Clave de 2P MI3 1S de 2015 - Departamento de Matemática

CLAVE-114-2-V-2-00-2015
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTA DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
SEMESTRE:
PRIMERO
CÓDIGO DEL CURSO:
114
CURSO:
MATEMÁTICA INTERMEDIA 3
JORNADA:
VESPERTINA
TIPO DE EXAMEN:
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
NOMBRE DE LA PERSONA
QUE RESOLVIÓ EL EXAMEN:
SHARONN PÚ
NOMBRE DE LA PERSONA
QUE REVISÓ EL EXAMEN:
INGA. ERICKA CANO
17 DE ABRIL DE 2015
Universidad de San Carlos de Guatemala
MATEMÁTICA INTERMEDIA 3
Facultad de Ingeniería
SEGUNDO P ARCIAL
Tema No. 1 (10 Puntos)
Se aplica una fuerza electromotriz de 450 voltios a un circuito LR con 0.25 henrios de inductancia y 90
ohm de resistencia. 𝑖(0) = 0. Determine la corriente cuando "𝑡" tiende al infinito.
Tema 2 (20 Puntos)
La población del mundo era de 4,450 millones en 1980 y de 5,300 millones en 1990. Encuentre un
modelo exponencial para estos datos y úselo para predecir la población del mundo en el año 2020. B)
¿Cuándo sobrepasara a los 10,000 millones la población mundial?
Tema 3 (20 Puntos)
Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a
70°F. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 85°F. Una
hora después una segunda medición mostro que la temperatura del corazón era de 80°F. Suponga que el
tiempo de la muerte corresponde a t = 0. Y que la temperatura del corazón en ese momento era de 98.6°F.
Determine ¿cuantas horas pasaron antes de que se encontrará el cadáver?
Tema 4 (20 Puntos)
Un taque contiene 800 galones de agua pura. Le entra salmuera que tiene 6 libras de sal por galón a razón
de 10 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque a razón de 8 gal/min. ¿Determine la cantidad
A(t) de gramos de sal que hay en el tanque después de 30 minutos?.
Tema 5 (15 Puntos)
El estroncio tiene una vida media de 25 años.
a) Encuentre la masa que queda de una muestra de 18 mg. De estroncio después de 90 años.
b) Cuanto tiempo pasaría para que la masa decayera hasta 2 mg.
Tema 6 (15 Puntos)
Una momia egipcia descubierta hace poco se determinó que el 45% de su carbono 14 se había
desintegrado. ¿Hallar la antigüedad de esa momia egipcia?
Tema No. 1 (10 Puntos)
Se aplica una fuerza electromotriz de 450 voltios a un circuito LR con 0.25 henrios de inductancia y 90
ohm de resistencia. 𝑖(0) = 0. Determine la corriente cuando "𝑡" tiende al infinito.
Solución:
Primero realizamos un resumen de los datos que nos están proporcionando los cuales son:
𝑬 = 𝟒𝟓𝟎 𝑽𝒐𝒍𝒕𝒊𝒐𝒔
𝑳 = 𝟎. 𝟐𝟓 𝑯𝒆𝒏𝒓𝒊𝒐𝒔
𝑹 = 𝟗𝟎 𝑶𝒉𝒎
Condición inicial
𝒊(𝟎) = 𝟎
La Ecuación Diferencial (E. D.) a utilizar es:
𝑳
𝒅𝒊
+ 𝑹𝒊 = 𝑬
𝒅𝒕
Sustituyendo los valores proporcionados y llevando la E. D. a forma estándar:
𝒅𝒊
+ 𝟗𝟎𝒊 = 𝟒𝟓𝟎
𝒅𝒕
𝒅𝒊
((𝟎. 𝟐𝟓) + 𝟗𝟎𝒊 = 𝟒𝟓𝟎) ∗ 𝟒
𝒅𝒕
𝒅𝒊
+ 𝟑𝟔𝟎𝒊 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
𝒅𝒕
(𝟎. 𝟐𝟓)
Resolviendo la ecuación diferencial.
Encontrando factor de integración:
Integrando ambos lados, simplificando y
despejando para 𝒊.
𝒆∫ 𝟑𝟔𝟎𝒅𝒕 = 𝒆𝟑𝟔𝟎𝒕
Multiplicando el F. I. con la E.D. y
simplificando.
(
∫
𝒅𝒊
+ 𝟑𝟔𝟎𝒊 = 𝟏𝟖𝟎𝟎) ∗ 𝒆𝟑𝟔𝟎𝒕
𝒅𝒕
𝒆𝟑𝟔𝟎𝒕
𝒅(𝒆𝟑𝟔𝟎𝒕 𝒊)
= ∫ 𝟏𝟖𝟎𝟎𝒆𝟑𝟔𝟎𝒕 𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝒆𝟑𝟔𝟎𝒕 𝒊 =
𝒅𝒊
+ 𝟑𝟔𝟎𝒆𝟑𝟔𝟎𝒕 𝒊 = 𝟏𝟖𝟎𝟎𝒆𝟑𝟔𝟎𝒕
𝒅𝒕
𝟏𝟖𝟎𝟎𝒆𝟑𝟔𝟎𝒕
+𝑪
𝟑𝟔𝟎
𝒆𝟑𝟔𝟎𝒕 𝒊 = 𝟓𝒆𝟑𝟔𝟎𝒕 + 𝑪
𝒊(𝒕) = 𝟓 + 𝑪𝒆−𝟑𝟔𝟎𝒕
𝒅(𝒆𝟑𝟔𝟎𝒕 𝒊)
= 𝟏𝟖𝟎𝟎𝒆𝟑𝟔𝟎𝒕
𝒅𝒕
Aplicando condición inicial para encontrar el valor 𝑪.
𝟎 = 𝟓 + 𝑪𝒆−𝟑𝟔𝟎(𝟎)
𝟎 = 𝟓 + 𝑪(𝟏)
𝑪 = −𝟓
Sustituyendo el valor de 𝑪
𝒊(𝒕) = 𝟓 − 𝟓𝒆−𝟑𝟔𝟎𝒕
Encontrando 𝒊 cuando 𝒕 tiende al infinito:
𝒊(∞) = 𝟓 − 𝟓𝒆−𝟑𝟔𝟎(∞)
𝒊(∞) = 𝟓 − 𝟓(𝟎)
𝒊(∞) = 𝟓
Cuando el tiempo tiende al infinito tenemos un Corriente de 5 Amperios.
Tema 2 (20 Puntos)
La población del mundo era de 4,450 millones en 1980 y de 5,300 millones en 1990. Encuentre un
modelo exponencial para estos datos y úselo para predecir la población del mundo en el año 2020. B)
¿Cuándo sobrepasara a los 10,000 millones la población mundial?
Solución:
Tabulando los datos y tomando en cuenta que el 1980 será 𝑡 = 0, tenemos:
𝑡 (Años)
0
10
𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
4,450 5,300
(Millones)
40
?
?
10,000
Para crecimiento poblacional tenemos la siguiente ecuación diferencial (E. D.).
𝒅𝑷
− 𝒌𝑷 = 𝟎
𝒅𝒕
𝑷(𝟎) = 𝟒, 𝟒𝟓𝟎
Resolviendo la E. D.
Encontrando factor de integración:
𝒆∫ −𝒌𝒅𝒕 = 𝒆−𝒌𝒕
Multiplicando el F. I. con la E.D. y
simplificando.
(
𝒅𝑷
− 𝒌𝑷 = 𝟎 ) ∗ 𝒆−𝒌𝒕
𝒅𝒕
𝒆−𝒌𝒕
𝒅𝑷
− 𝒌𝒆−𝒌𝒕 𝑷 = 𝟎
𝒅𝒕
𝒅(𝒆−𝒌𝒕 𝑷)
=𝟎
𝒅𝒕
Integrando ambos lados, simplificando y
despejando para 𝑷.
∫
𝒅(𝒆−𝒌𝒕 𝑷)
= ∫ 𝟎𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝒆−𝒌𝒕 𝑷 = 𝑪
𝑷 = 𝑪𝒆𝒌𝒕
𝑷(𝒕) = 𝑪𝒆𝒌𝒕
Aplicando condición inicial para encontrar el valor de 𝑪.
𝟒, 𝟒𝟓𝟎 = 𝑪𝒆𝒌(𝟎)
𝟒, 𝟒𝟓𝟎 = 𝑪(𝟏)
𝑪 = 𝟒, 𝟒𝟓𝟎
Sustituyendo el valor de 𝑪
𝑷(𝒕) = 𝟒, 𝟒𝟓𝟎𝒆𝒌𝒕
Encontrando el valor de la constante de proporcionalidad 𝒌 en este caso de crecimiento poblacional
utilizando los datos proporcionados.
𝑃(10) = 5,300
𝟓, 𝟑𝟎𝟎 = 𝟒, 𝟒𝟓𝟎𝒆𝒌(𝟏𝟎)
𝟓, 𝟑𝟎𝟎
= 𝒆𝒌(𝟏𝟎)
𝟒, 𝟒𝟓𝟎
𝟓𝟑𝟎
= 𝒆𝒌(𝟏𝟎)
𝟒𝟒𝟓
𝒍𝒏 (
𝟓𝟑𝟎
) = 𝒍𝒏(𝒆𝒌(𝟏𝟎) )
𝟒𝟒𝟓
𝒍𝒏 (
𝟓𝟑𝟎
) = 𝟏𝟎𝒌
𝟒𝟒𝟓
𝟓𝟑𝟎
𝒍𝒏 (
)
𝟒𝟒𝟓 ≅ 𝟎. 𝟎𝟏𝟕𝟒𝟖𝟎
𝒌=
𝟏𝟎
Sustituyendo el valor de 𝒌
𝑷(𝒕) = 𝟒, 𝟒𝟓𝟎𝒆𝟎.𝟎𝟏𝟕𝟒𝟖𝟎𝒕
Resolviendo para un tiempo 𝒕 = 𝟒𝟎 sustituimos en la ecuación anterior.
𝑷(𝟒𝟎) = 𝟒, 𝟒𝟓𝟎𝒆𝟎.𝟎𝟏𝟕𝟒𝟖𝟎(𝟒𝟎)
𝑷(𝟒𝟎) = 𝟒, 𝟒𝟓𝟎𝒆𝟎.𝟔𝟗𝟗𝟐
𝑷(𝟒𝟎) = 𝟖𝟗𝟓𝟒. 𝟎𝟑 ≅ 𝟖𝟗𝟓𝟒
Para el año 2020 se tendrá una población de 8,954 millones.
Resolviendo para una población de 10,000 millones despejamos para 𝒕.
𝟏𝟎, 𝟎𝟎𝟎 = 𝟒, 𝟒𝟓𝟎𝒆𝟎.𝟎𝟏𝟕𝟒𝟖𝟎𝒕
𝟏𝟎, 𝟎𝟎𝟎
= 𝒆𝟎.𝟎𝟏𝟕𝟒𝟖𝟎𝒕
𝟒, 𝟒𝟓𝟎
𝒍𝒏 (
𝟏, 𝟎𝟎𝟎
) = 𝒍𝒏(𝒆𝟎.𝟎𝟏𝟕𝟒𝟖𝟎𝒕 )
𝟒𝟒𝟓
𝒍𝒏 (
𝟏, 𝟎𝟎𝟎
) = 𝟎. 𝟎𝟏𝟕𝟒𝟖𝟎𝒕
𝟒𝟒𝟓
𝟏, 𝟎𝟎𝟎
𝒍𝒏 (
)
𝟒𝟒𝟓 ≅ 𝟒𝟔. 𝟑𝟐
𝒕=
𝟎. 𝟎𝟏𝟕𝟒𝟖𝟎
En el año 2026 se tendrá una población de 10,000 millones.
Tema 3 (20 Puntos)
Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a
70°F. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 85°F. Una
hora después una segunda medición mostro que la temperatura del corazón era de 80°F. Suponga que el
tiempo de la muerte corresponde a t = 0. Y que la temperatura del corazón en ese momento era de 98.6°F.
Determine ¿cuantas horas pasaron antes de que se encontrará el cadáver?
Solución:
Tabulando los datos:
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎
𝐴𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
(𝑇𝑚 , °𝐹)
𝑡 (𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠)
70
0
𝑡
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎
98.6 85
(°𝐹)
𝑡+1
80
Para cambios de temperatura tenemos la siguiente ecuación diferencial (E. D.)
𝒅𝑻
= 𝒌(𝑻 − 𝟕𝟎)
𝒅𝒕
𝑻(𝟎) = 𝟗𝟖. 𝟔
Resolviendo la E. D. por separación de variables.
𝒅𝑻
= 𝒌𝒅𝒕
(𝑻 − 𝟕𝟎)
Integrando ambos lados.
𝒅𝑻
= ∫ 𝒌𝒅𝒕
(𝑻 − 𝟕𝟎)
𝒍𝒏|𝑻 − 𝟕𝟎| = 𝒌𝒕 + 𝑨
𝑻 − 𝟕𝟎 = 𝒆𝒌𝒕+𝑨
𝑻 = 𝟕𝟎 + 𝑪𝒆𝒌𝒕
∫
Aplicando condición inicial para encontrar el valor de 𝑪.
𝟗𝟖. 𝟔 = 𝟕𝟎 + 𝑪𝒆𝒌(𝟎)
𝟗𝟖. 𝟔 = 𝟕𝟎 + 𝑪(𝟏)
𝟗𝟖. 𝟔 − 𝟕𝟎 = 𝑪
𝑪 = 𝟐𝟖. 𝟔
Sustituyendo el valor de 𝑪
𝑻 = 𝟕𝟎 + 𝟐𝟖. 𝟔𝒆𝒌𝒕
Para encontrar el valor de 𝒕 utilizamos las dos condiciones restantes.
Condición 𝑻(𝒕) = 𝟖𝟓
𝟖𝟓 = 𝟕𝟎 + 𝟐𝟖. 𝟔𝒆𝒌𝒕
𝟖𝟓 − 𝟕𝟎 = 𝟐𝟖. 𝟔𝒆𝒌𝒕
𝟏𝟓
= 𝒆𝒌𝒕
𝟐𝟖. 𝟔
𝟏𝟓
) = 𝒌𝒕
𝒍𝒏 (
𝟐𝟖. 𝟔
𝟏𝟓
𝒍𝒏 (
)
𝟐𝟖.
𝟔 ≅ −𝟎. 𝟔𝟒𝟓𝟑𝟔
𝒌=
𝒕
𝒕
Condición 𝑻(𝒕 + 𝟏) = 𝟖𝟎
𝟖𝟎 = 𝟕𝟎 + 𝟐𝟖. 𝟔𝒆𝒌(𝒕+𝟏)
𝟖𝟎 − 𝟕𝟎 = 𝟐𝟖. 𝟔𝒆𝒌(𝒕+𝟏)
𝟏𝟎
= 𝒆𝒌(𝒕+𝟏)
𝟐𝟖. 𝟔
𝟏𝟎
) = 𝒌(𝒕 + 𝟏)
𝒍𝒏 (
𝟐𝟖. 𝟔
−𝟏. 𝟎𝟓𝟎𝟖𝟐
𝒌=
𝒕+𝟏
Igualando las constantes 𝒌 y simplificando.
−𝟎. 𝟔𝟒𝟓𝟑𝟔 −𝟏. 𝟎𝟓𝟎𝟖𝟐
=
𝒕
𝒕+𝟏
𝒕 + 𝟏 𝟏. 𝟎𝟓𝟎𝟖𝟐
=
𝒕
𝟎. 𝟔𝟒𝟓𝟑𝟔
𝒕 + 𝟏 = 𝟏. 𝟔𝟐𝟖𝟐𝟖𝒕
𝟏. 𝟔𝟐𝟖𝟐𝟖𝒕 − 𝒕 = 𝟏
𝟎. 𝟔𝟐𝟖𝟐𝟖𝒕 = 𝟏
𝟏
𝒕=
≅ 𝟏. 𝟔𝟎
𝟎. 𝟔𝟐𝟖𝟐𝟖
El tiempo que transcurrido antes de encontrar el cadáver es de 1.60 horas.
Tema 4 (20 Puntos)
Un taque contiene 800 galones de agua pura. Le entra salmuera que tiene 6 libras de sal por galón a razón
de 10 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque a razón de 8 gal/min. ¿Determine la cantidad
A(t) de gramos de sal que hay en el tanque después de 30 minutos?.
Solución:
Primero realizamos un resumen de los datos que nos están proporcionando los cuales son:
𝑪𝒊 = 𝟔 𝒍𝒃⁄𝒈𝒂𝒍
𝒈𝒂𝒍⁄
𝑹𝒊 = 𝟏𝟎
𝒎𝒊𝒏
𝒈𝒂𝒍⁄
𝑹𝒐 = 𝟖
𝒎𝒊𝒏
𝑨(𝟑𝟎) = ?
Condición inicial
𝑨 (𝟎) = 𝟎
Para mezcla de tenemos la siguiente ecuación diferencial (E. D.)
𝒅𝑨
𝑨𝑹𝒐
= 𝑹𝒊 𝑪 𝒊 −
𝒅𝒕
𝑽𝒐 + ( 𝑹 𝒐 − 𝑹 𝒊 ) 𝒕
Sustituyendo valores en la E. D.
𝒅𝑨
𝑨(𝟖)
= (𝟏𝟎)(𝟔) −
𝒅𝒕
𝟖𝟎𝟎 + (𝟖 − 𝟏𝟎)𝒕
Simplificando.
𝒅𝑨
𝟖𝑨
= 𝟔𝟎 −
𝒅𝒕
𝟖𝟎𝟎 + 𝟐𝒕
𝒅𝑨
𝟖𝑨
= 𝟔𝟎 −
𝒅𝒕
𝟐(𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)
𝒅𝑨
𝟒𝑨
= 𝟔𝟎 −
𝒅𝒕
𝟒𝟎𝟎 + 𝒕
𝒅𝑨
𝟒𝑨
+
= 𝟔𝟎
𝒅𝒕 𝟒𝟎𝟎 + 𝒕
Resolviendo la E. D.
Encontrando factor de integración:
𝟒
Integrando ambos lados, simplificando y despejando
para 𝑨.
𝟒
𝒆∫𝟒𝟎𝟎+𝒕𝒅𝒕 = 𝒆𝒍𝒏(𝟒𝟎𝟎+𝒕) = (𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)𝟒
∫
Multiplicando el F. I. con la E.D. y simplificando.
𝒅𝑨
𝟒𝑨
(
+
= 𝟔𝟎) ∗ (𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)𝟒
𝒅𝒕 𝟒𝟎𝟎 + 𝒕
𝒅((𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)𝟒 ∗ 𝑨)
= ∫ 𝟔𝟎(𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)𝟒 𝒅𝒕
𝒅𝒕
(𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)𝟒 ∗ 𝑨 =
𝒅𝑨 𝟒𝑨((𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)𝟒 )
(𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)𝟒
+
= 𝟔𝟎(𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)𝟒
𝒅𝒕
𝟒𝟎𝟎 + 𝒕
𝟔𝟎
(𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)𝟓 + 𝑪
𝟓
(𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)𝟒 ∗ 𝑨 = 𝟏𝟐(𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)𝟓 + 𝑪
𝑨(𝒕) = 𝟏𝟐(𝟒𝟎𝟎 + 𝒕) + 𝑪(𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)−𝟒
𝒅((𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)𝟒 ∗ 𝑨)
= 𝟔𝟎(𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)𝟒
𝒅𝒕
Aplicando condición inicial para encontrar el valor 𝑪.
𝟎 = 𝟏𝟐(𝟒𝟎𝟎 + 𝟎) + 𝑪(𝟒𝟎𝟎 + 𝟎)−𝟒
𝟎 = 𝟏𝟐(𝟒𝟎𝟎) + 𝑪(𝟒𝟎𝟎)−𝟒
−𝟒𝟖𝟎𝟎 = 𝑪(𝟒𝟎𝟎)−𝟒
𝑪 = −𝟒𝟖𝟎𝟎(𝟒𝟎𝟎)𝟒 ≅ −𝟏. 𝟐𝟐𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟒
Sustituyendo el valor de 𝑪
𝑨(𝒕) = 𝟏𝟐(𝟒𝟎𝟎 + 𝒕) − 𝟏. 𝟐𝟐𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟒(𝟒𝟎𝟎 + 𝒕)−𝟒
Encontrando 𝑨(𝟑𝟎), utilizando la ecuación anterior y simplificando.
𝑨(𝟑𝟎) = 𝟏𝟐(𝟒𝟎𝟎 + 𝟑𝟎) − 𝟏. 𝟐𝟐𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟒(𝟒𝟎𝟎 + 𝟑𝟎)−𝟒
𝑨(𝟑𝟎) = 𝟏𝟐(𝟒𝟑𝟎) − 𝟏. 𝟐𝟐𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟒(𝟒𝟑𝟎)−𝟒
𝑨(𝟑𝟎) = 𝟓𝟏𝟔𝟎 − 𝟏. 𝟐𝟐𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟒 (𝟒𝟑𝟎)−𝟒
𝑨(𝟑𝟎) = 𝟓𝟏𝟔𝟎 − 𝟑𝟓𝟗𝟒. 𝟐𝟒
𝑨(𝟑𝟎) = 𝟏𝟓𝟔𝟓. 𝟕𝟔 𝒍𝒃
Convirtiendo a gramos 𝑨(𝟑𝟎)
𝟏𝟓𝟔𝟓. 𝟕𝟔 𝒍𝒃 ∗
𝟒𝟓𝟒 𝒈
= 𝟕𝟏𝟎𝟖𝟓𝟓. 𝟎𝟒 𝒈
𝟏 𝒍𝒃
𝑨(𝟑𝟎) = 𝟕𝟏𝟎𝟖𝟓𝟓. 𝟎𝟒 𝒈
Tema 5 (15 Puntos)
El estroncio tiene una vida media de 25 años.
a) Encuentre la masa que queda de una muestra de 18 mg. De estroncio después de 90 años.
b) Cuanto tiempo pasaría para que la masa decayera hasta 2 mg.
Solución:
Tabulando los datos, tenemos:
𝑡 (Años)
0
𝑀𝑎𝑠𝑎 (𝑀)
18
(Miligramos)
25 90 ?
9
?
2
Para vida media del estroncio tenemos la siguiente ecuación diferencial (E. D.).
𝒅𝑴
− 𝒌𝑴 = 𝟎
𝒅𝒕
𝑴(𝟎) = 𝟏𝟖
Resolviendo la E. D.
Encontrando factor de integración:
𝒆∫ −𝒌𝒅𝒕 = 𝒆−𝒌𝒕
Multiplicando el F. I. con la E.D. y
simplificando.
𝒅𝑴
(
− 𝒌𝑴 = 𝟎 ) ∗ 𝒆−𝒌𝒕
𝒅𝒕
𝒆−𝒌𝒕
𝒅𝑴
− 𝒌𝒆−𝒌𝒕 𝑨 = 𝟎
𝒅𝒕
𝒅(𝒆−𝒌𝒕 𝑴)
=𝟎
𝒅𝒕
Integrando ambos lados, simplificando y
despejando para 𝐴.
∫
𝒅(𝒆−𝒌𝒕 𝑴)
= ∫ 𝟎𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝒆−𝒌𝒕 𝑴 = 𝑪
𝑴 = 𝑪𝒆𝒌𝒕
𝑴(𝒕) = 𝑪𝒆𝒌𝒕
Aplicando condición inicial para encontrar el valor de 𝑪.
𝟏𝟖 = 𝑪𝒆𝒌(𝟎)
𝟏𝟖 = 𝑪(𝟏)
𝑪 = 𝟏𝟖
Sustituyendo el valor de 𝑪
𝑴(𝒕) = 𝟏𝟖𝒆𝒌𝒕
Encontrando el valor de la constante de proporcionalidad 𝒌 , utilizando los datos proporcionados.
𝑀(25) = 9
𝟗 = 𝟏𝟖𝒆𝒌(𝟐𝟓)
𝟗
= 𝒆𝒌(𝟐𝟓)
𝟏𝟖
𝟏
= 𝒆𝒌(𝟐𝟓)
𝟐
𝟏
𝒍𝒏 ( ) = 𝒍𝒏(𝒆𝒌(𝟐𝟓) )
𝟐
𝟏
𝒍𝒏 ( ) = 𝟐𝟓𝒌
𝟐
𝒌=
𝟏
𝒍𝒏 (𝟐)
𝟐𝟓
≅ −𝟎. 𝟎𝟐𝟕𝟕𝟐
Sustituyendo el valor de 𝒌
𝑴(𝒕) = 𝟏𝟖𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟕𝟕𝟐𝒕
a) Resolviendo para un tiempo 𝒕 = 𝟗𝟎 sustituimos en la ecuación anterior.
𝑴(𝟗𝟎) = 𝟏𝟖𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟕𝟕𝟐(𝟗𝟎)
𝑴(𝟗𝟎) = 𝟏𝟖𝒆−𝟐.𝟒𝟗𝟒𝟖
𝑴(𝟗𝟎) ≅ 𝟏. 𝟓𝟎 𝒎𝒈
La masa restante después de transcurrir 90 años es de 𝟏. 𝟓𝟎 𝒎𝒈.
b) Encontrando el 𝒕 para una masa restante de 𝟐 𝒎𝒈
𝟐 = 𝟏𝟖𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟕𝟕𝟐𝒕
𝟐
= 𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟕𝟕𝟐𝒕
𝟏𝟖
𝟏
= 𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟕𝟕𝟐𝒕
𝟗
𝟏
𝒍𝒏 ( ) = 𝒍𝒏(𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟕𝟕𝟐𝒕 )
𝟗
𝟏
𝒍𝒏 ( ) = −𝟎. 𝟎𝟐𝟕𝟕𝟐𝒕
𝟗
𝒕=
𝟏
𝒍𝒏 (𝟗)
−𝟎. 𝟎𝟐𝟕𝟕𝟐
≅ 𝟕𝟗. 𝟐𝟔
Para tener un restante de masa de 2 𝒎𝒈 tendrá que transcurrir 79.26 años.
Tema 6 (15 Puntos)
Una momia egipcia descubierta hace poco se determinó que el 45% de su carbono 14 se había
desintegrado. ¿Hallar la antigüedad de esa momia egipcia?
Solución:
Tabulando los datos y conociendo de que la vida media de 𝐶14 es de 5,600, tenemos:
𝑡 (Años) 0 5600
𝐶14
?
1 0.50 0.55
Para vida media del 𝐶14 tenemos la siguiente ecuación diferencial (E. D.).
𝒅𝑨
− 𝒌𝑨 = 𝟎
𝒅𝒕
𝑨 ( 𝟎) = 𝟏
Resolviendo la E. D.
Encontrando factor de integración:
Integrando ambos lados, simplificando y
despejando para 𝐴.
𝒆∫ −𝒌𝒅𝒕 = 𝒆−𝒌𝒕
Multiplicando el F. I. con la E.D. y
simplificando.
(
∫
𝒆−𝒌𝒕 𝑨 = 𝑪
𝒅𝑨
− 𝒌𝑨 = 𝟎 ) ∗ 𝒆−𝒌𝒕
𝒅𝒕
𝒆−𝒌𝒕
𝒅(𝒆−𝒌𝒕 𝑨)
= ∫ 𝟎𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝑨 = 𝑪𝒆𝒌𝒕
𝒅𝑨
− 𝒌𝒆−𝒌𝒕 𝑨 = 𝟎
𝒅𝒕
𝑨(𝒕) = 𝑪𝒆𝒌𝒕
𝒅(𝒆−𝒌𝒕 𝑨)
=𝟎
𝒅𝒕
Aplicando condición inicial para encontrar el valor de 𝑪.
𝟏 = 𝑪𝒆𝒌(𝟎)
𝟏 = 𝑪(𝟏)
𝑪=𝟏
Sustituyendo el valor de 𝑪
𝑨(𝒕) = 𝒆𝒌𝒕
Encontrando el valor de la constante de proporcionalidad 𝒌 , utilizando los datos proporcionados.
𝐴(5,600) = 0.50
𝟎. 𝟓𝟎 = 𝒆𝒌(𝟓,𝟔𝟎𝟎)
𝒍𝒏(𝟎. 𝟓𝟎) = 𝒍𝒏(𝒆𝒌(𝟓,𝟔𝟎𝟎) )
𝒍𝒏(𝟎. 𝟓𝟎) = 𝟓, 𝟔𝟎𝟎𝒌
𝒌=
𝒍𝒏(𝟎. 𝟓𝟎)
≅ −𝟏. 𝟐𝟑𝟕𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒
𝟓, 𝟔𝟎𝟎
Sustituyendo el valor de 𝒌
−𝟒 𝒕
𝑨(𝒕) = 𝒆−𝟏.𝟐𝟑𝟕𝟖∗𝟏𝟎
Encontrando el 𝒕 para un 𝟓𝟓% de 𝑪𝟏𝟒
𝟎. 𝟓𝟓 = 𝒆−𝟏.𝟐𝟑𝟕𝟖∗𝟏𝟎
−𝟒 𝒕
−𝟒 𝒕
𝒍𝒏(𝟎. 𝟓𝟓) = 𝒍𝒏(𝒆−𝟏.𝟐𝟑𝟕𝟖∗𝟏𝟎
)
𝒍𝒏(𝟎. 𝟓𝟓) = −𝟏. 𝟐𝟑𝟕𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝒕
𝒕=
𝒍𝒏(𝟎. 𝟓𝟓)
≅ 𝟒𝟖𝟐𝟗. 𝟖𝟑
−𝟏. 𝟐𝟑𝟕𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒
La momia tiene aproximadamente 4,830 años de edad.