Dualidad onda partícula

MECÁNICA CUÁNTICA
Ondas de De Broglie
En 1924 De Broglie postula como
parte de su tesis doctoral un
planteamiento donde sugería que,
así como la luz posee características
corpusculares, por la simetría de la
naturaleza, que las partículas, en
particular los electrones, muestran
propiedades ondulatorias, pues se
les considera asociada una onda de
materia.
En un principio se
había asociado a un
fotón con un campo
electromagnético, si
empleamos una
relación inversa,
podríamos suponer
un longitud de onda
λ y la frecuencia υ
del campo
monocromático
asociado con una
partícula de
momentum p y
energía E, esta dada
por:
h
h
p= ⇒λ=
p
λ
ε = hυ ⇒ υ =
k=
2π
λ
ω = 2π υ
ε
h
1
2
3
4
h 2π
h
λ= =
⇒p=
k ⇒ p = hk
p
k
2π
ε
ω
h
υ= =
⇒υ =
ω ⇒ υ = hω
h 2π
2π
h =1, 0544 x 10 −34 J s
5
6
Comprobación experimental
Experimento de la doble rendija
Experimento de Difracción de Electrones
Clinton Davisson y Lester Halbert Germer (1927)
George Paget Thomson (1927)
Doble rendija con electrones
En 1961, C. Jönsson of Tübingen
lograron mostrar interferencia
de doble rendija haciendo
rendijas muy finitas y usando
distancias larguísimas entre las
rendijas y la pantalla.
Se comportaron exactamente
igual que la luz
Paquetes de ondas (Ondas de materia)
1
Ψ ( x, t ) = A cos(kx − ωt )
Tal como lo planeado por De
Broglie existe una onda de
Donde Ψ ( x, t ) ≡ Función de onda.
materia asociada al movimiento
2π
k=
ω = 2πν
2
de una partícula, sin embargo
λ
no es posible hablar de la
ψ(x,t)t
trayectoria de una partícula,
como en el sentido clásico,
menos aún tiene sentido hablar
2π
k
de los electrones que se mueven
en órbitas elípticas, por lo que
x
para describir su movimiento
consideraremos la llamada
función de onda.
Al especificar la
función de onda
como un paquete de
ondas de extensión
infinita, entonces la
posición exacta de
la partícula no es
especificada. Una
posible solución
sería tratar de
ubicar la partícula
dentro de un pulso
de amplitud
variable, para ello
consideremos dos
ondas:
ψ1 ( x, t ) = A cos(kx − ωt )
3
ψ 2 ( x, t ) = Acos[(k + ∆k ) x − (ω + ∆ω)t ]
Siendo ∆k «k y ∆ω«ω
5
Ψ ( x, t ) = ψ 1 ( x, t ) + ψ 2 ( x, t )
4
6
∆ω 
 ∆k
x−
t  cos(kx − ωt )
Ψ = 2 A cos
2 
 2
A
Ψ ( x, t ) = A cos(kx - ωt)
7
8
De 7 :
cos(kx − ωt ) ≡ Fase de onda
∆ω 
 ∆k
cos
x−
t  ≡ Grupo de ondas
2 
 2
∆k
∆ω
kg =
; ωg =
2
2
9
ψ
ψ1
x
ψ2
x
ψ1 + ψ 2
x
Región de posible localización
Velocidad de fase: vf
Es la velocidad de propagación de
cada una de las ondas.
v f = λυ , pero λ =
2π
ω
ω
, υ=
⇒ vf =
k
2π
k
10
Velocidad de grupo: vg
Cuando a una partícula se le asocia una
onda, ésta se propaga con la velocidad
grupo. Se le define como:
dω
vg =
11,
v f = λυ ,
dk
 h  E  E mc 2
empleando la Hipótesis de De Broglie : v f =    = =
 p  h  p mv
c2
⇒ vg =
12
v = Velocidad de la partícula
v
Sabemos que:
derivando E
respecto a p,
tenemos:
E =
dE
=
dp
p 2 c 2 + m 02 c 4
pc 2 pc 2 mv
=
=
=
2
2 2
2 4
E
mc
m
p c + m0 c
dE
⇒v=
dp
pc 2
13
dω
d ( 2 πυ )
dυ
=
=
dk
 2π 
 1 
d
d 

 λ 
λ 
1
dE
dE
h
vg =
⇒ vg =
14
1
dp
dp
h
De 13 y 14 , se tiene v g = v 15
vg =
Principio de Incertidumbre de Heisemberg
Sabemos que:
dω
dυ
vg =
=
dk d 1
( λ)
dυ
=h
dp
dυ
⇒ vg = h
dp
Tomando diferencias, De 1:
considerando que vg= v,
y que Δx = Imprecisión vg = h ∆υ = v = ∆x ⇒ h∆υ ∆t = ∆p ∆x
∆p
∆t
en la localización de
una partícula.
1 1
Sabemos que:
T = =
f
1
2
υ
1
⇒ ∆t ≥
⇒ ∆t ∆υ ≥ 1 ⇒ de 2: h(1) ≥ ∆p∆x
∆υ
⇒ ∆p∆x ≥ h
3
Donde Δp = Indeterminación de la cantidad de
movimiento de la partícula.
h
⇒ ∆x ≥ → ∆x → ∞
0
Si p es conocido (Δp = 0)
esto significa que al conocer p con precisión, no es posible
ubicar con exactitud dicha partícula.
Sabemos que :
E = hυ , ∆E = h∆υ
4
⇒ ∆E ∆ t ≥ h
5