Matemáticas II Septiembre 2002 EJERCICIO A PROBLEMA 2. Dado el plano definido por la ecuación π : 8 x − 4 y + z = 3 , hallar a) La ecuación de la recta perpendicular al plano π que pasa por el punto P(1,-3,7), expresada como la intersección de dos planos. (1 punto) b) La distancia del punto P al plano π . (0,8 puntos) c) Las ecuaciones de los planos que distan 3 unidades del plano π . (1,5 puntos) Solución: a) Como la recta debe ser perpendicular al plano, el vector ortogonal del plano será director de la recta, → nπ (8,−4,1) Las ecuaciones paramétricas de la recta r serán, x = 1 + 8λ r : y = −3 − 4λ z = 7 + λ λ ∈ℜ La ecuación continua, x −1 y + 3 z − 7 = = 8 −4 1 A partir de esta ecuación obtenemos la de dos planos cuya intersección será la recta r, x −1 y + 3 8 = − 4 − 4 x + 4 = 8 y + 24 − 4 x − 8 y = 20 → → x − 1 = 8 z − 56 x − 8 z = −55 x −1 = z − 7 8 −1 La ecuación de la recta expresada como la intersección de dos plano es: (simplificamos la 1ª ecuación) x + 2 y = −5 r: x − 8 z = −55 b) d ( P, π ) = 8 . 1 − 4 (−3) + 7 − 3 = 8 2 + (−4) 2 + 12 8 + 12 + 7 − 3 64 + 16 + 1 = 24 = 81 24 8 = u.l. 9 3 c) Los planos que distan 3 unidades del plano π son paralelos a él, su ecuación general será de la forma: 8x–4y+z=D Como los dos planos son paralelos d (π , π 1 ) = d ( Pπ , π 1 ) Busquemos un punto del plano π , x = 0 , y = 0 luego z = 3 d (π , π 1 ) = d ( Pπ , π 1 ) = d ( (0,0,3) , π 1 ) = Luego 3 = 27 = 3 − D 3− D 64 + 16 + 1 = 3− D 81 = 3− D 9 3− D 9 → 3 − D = 27 → D = −24 3 − D = −27 → D = 30 Por lo que hay dos planos que distan 3 unidades del plano π , son los planos y 8 x – 4 y + z = 30 8 x – 4 y + z = – 24