Relaciones y funciones

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Relaciones y funciones
En matemáticas, una relación es un conjunto de pares ordenados. Como si se tratara de coordenadas de puntos, un conjunto de pares ordenados, forma una relación.
Relación
Es un conjunto no vacío de pares ordenados de valores.
Definición
1
Por ejemplo, el siguiente conjunto es una relación:
{(1, 2), (2, 3), (1, 5), (7, −1), (2, −1)}
En cierta manera podemos imaginar a una relación como una forma de indicar cómo se relacionan
dos variables.
Por ejemplo, en una lista de asistencia, la relación consistiría en asignar un número de la lista a
cada persona que se encuentra en esa lista.
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nombre
Avendaño Apolinar Aarón
Arcadio Domínguez Joas L.
Bravo Cruz Julio César.
Chamlati Guillén Geordi.
Chargoy Rosas Claudia I.
González Flores Gabriel.
Flores Sobrevilla David.
Motilla Zapata Guillermo.
Sobrevilla Santos Isaac.
Sobrevilla Teniente Gabriela B.
El concepto central de todo este semestre es el concepto de función.
Función
Es una relación entre dos conjuntos, llamados dominio y contradominio, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponda a lo más, un elemento del contradominio.
Definición
2
Puedes imaginar a una función como una máquina que transforma números. Nosotros le damos
un número y esta máquina nos devuelve otro (único) número.
No es posible que al darle un valor la función nos devuelva dos o más valores, pero sí es posible
que nosotros le demos un valor y la función no nos pueda devolver valor alguno.
En este último caso decimos que el valor que le dimos a la función no pertenece al dominio de la
función, precisamente porque no lo puede transformar.
Notación funcional
Cuando se refiere a una función f , X se refiere al dominio de la función, Y se refiere al contradominio,
x ∈ X es un elemento del dominio, y f ( x ) es el valor del contradominio que le corresponde al valor x del
dominio de la función.
Utilizando la analogía de la máquina que transforma números, f es el nombre que le damos a esa
máquina, es decir, es la función, x es el número que nosotros le damos a la máquina, el conjunto
de todos los valores que esta máquina puede transformar se denota por X (x ∈ X), f ( x ) es el
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Definición
3
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valor que la máquina nos devuelve cuando le damos x y Y es el conjunto de todos los valores que
la máquina nos devuelve ( f ( x ) ∈ Y).
El siguiente diagrama puede ayudarte a entender mejor el concepto de función:
Función
Dominio
Contradominio
X
Y
f
x
Valores que le
damos a la función
Ejemplo 1
f (x)
Valores que nos
devuelve la función
Las siguientes expresiones son funciones.
• f ( x ) = x,
• f ( x ) = 2 x + 1,
• f ( x ) = x2 − x + 1,
x2 − x + 1
,
x−7
√
• f ( x ) = 2 x + 1,
• f (x) =
1
,
x+1
• f ( x ) = log2 x2 + 1 ,
• f (x) =
• f ( x ) = e− x ,
• f ( x ) = x · e x + ln( x ).
Para identificar una función debemos verificar que se cumple la condición que dice: «para cada
valor del dominio le corresponde a lo más un valor del contradominio.»
Si no se cumple esta condición, entonces se trata de una relación que no es una función.
Veremos una forma sencilla de verificarlo en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Las siguientes son relaciones que no son funciones.
• x2 + y2 = 4, porque cuando graficamos esta relación, obtenemos una circunferencia. Si x
es elemento del dominio, y y es elemento del contradominio, no se cumple que para todo
elemento del dominio haya a lo más un elemento del contradominio.
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y
x 2 + y2 = 4
2
y0
1
−2
x
1 x0 2
−1
−1
− y0
−2
En este caso, para un valor que le damos x0 la relación nos devuelve dos: y0 y −y0 .
• y2 = x, porque cuando graficamos obtenemos una parábola horizontal:
y
x = y2
2
1
x
1
2
3
4
5
−1
−2
Ahora, para x = 3, obtenemos dos valores,
√
√
3 y − 3.
Para diferenciar una función de una relación que no es función frecuentemente utilizamos el
criterio de la línea vertical.
Criterio de la línea vertical
Si al dibujar una recta vertical sobre la gráfica de una función ésta puede ser cortada en dos puntos,
entonces la relación no es una función.
En el ejemplo anterior, al dibujar una recta vertical es posible cortar la función con la recta en dos
de sus puntos. Esto nos indica que la gráfica corresponde a una relación que no es una función.
Porque si fuera una función, para cada valor de x debería existir a lo más un solo valor de y, pero
en cada caso hay dos valores, por lo que ya no se puede tratar deuna función.
Nota: No todas las relaciones son funciones, pero por definición, todas las funciones son relaciones.
Entonces, cuando desees verificar sin una relación es o no una función, la graficaremos y le
aplicaremos el criterio de la recta vertical.
Las funciones se aplican muy frecuentemente.
Por ejemplo, cuando vas a enviar un paquete a través del correo postal, el importe del envío
depende del peso del paquete. En términos matemáticos decimos que el importe está en función
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Definición
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del peso del paquete. Si I es el importe que debemos pagar por un paquete de peso p, entonces,
I = f ( p ).
En el correo postal un paquete enviado a nivel nacional con un peso de p gramos cuesta I pesos,
de acuerdo a la siguiente tabla:
Peso (gr)
Importe ($)
0 < p ≤ 100
100 < p ≤ 200
200 < p ≤ 300
300 < p ≤ 400
400 < p ≤ 500
Ejemplo 3
Peso (gr)
Importe ($)
500 < p ≤ 600
600 < p ≤ 700
700 < p ≤ 800
800 < p ≤ 900
900 < p ≤ 1000
12.50
19.00
25.25
31.50
37.50
43.50
49.35
55.20
61.00
66.50
¿Representa esta relación entre las variables una función?
• Para verificar si se trata de una función debemos verificar que satisface la definición.
• Si a cada elemento del dominio (peso) le corresponde a lo más un elemento del contradominio (importe), entonces sí se trata de una función.
• Ahora podemos convertir la pregunta a: «¿Existe un peso para el cual se asignen dos importes?»
• Como para cada peso del paquete se le asigna un único importe, entonces sí se trata de una
función.
• Ahora vamos a aplicar la regla de la recta vertical.
• Para eso, primero debemos graficar la función:
I ($)
70
60
50
40
30
20
10
p (gr)
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
• ¿Puedes dibujar una recta vertical que corte en dos puntos a la gráfica de la función?
• Pues no, porque se trata de una función.
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• Observa que la gráfica no está definida para p = 0, porque si no vas a enviar un paquete, no
hay necesidad de calcular el importe.
La función que graficamos se conoce como una función definida por intervalos, porque los valores
que va tomando la función están definidos por distintas expresiones. Dependiendo del valor del
dominio que le demos será la expresión que utilizará para calcular el valor que nos va a devolver.
Otro ejemplo de función definida por intervalos es la siguiente:
f (x) =
2x−1
3x+1
si x < 0
si x ≥ 0
Cuando los valores de x que le damos son negativos, es decir, si x < 0, entonces utilizamos 2 x − 1
para calcular el valor que la función nos devolverá. Pero si x ≥ 0, entonces usamos 3 x + 1.
Si graficas estas dos ramas de la función, obtienes la gráfica que está definida por intervalos como
se indicó.
Cuando se deja caer una piedra desde 10 metros de altura, la distancia y desde el suelo a la
piedra, t segundos después de haberse soltado puede calcularse con la ecuación:
Ejemplo 4
y = 10 − 4.05 t2
Verifica si esta ecuación es una función.
• Lo más sencillo en este caso es graficar la ecuación que nos dieron y verficar si se trata de
una función aplicando la regla de la recta vertical.
y (m)
10
9
8
7
6
y = 10 − 4.905 t2
5
4
3
2
1
1
2
3
4
t (s)
• Como no es posible cortar la gráfica con una recta vertical en dos de sus puntos, se trata de
una función.
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A lo largo del curso seguirás viendo más aplicaciones de las funciones en problemas cotidianos,
técnicos y matemáticos.
Ejemplo 5
Los taxis cobran $7.40 pesos por solicitar en servicio y $4.40 pesos por kilómetro recorrido.
Encuentra la función que transforma los kilómetros recorridos (x) en el importe que debemos
pagar al taxista (y).
• Si recorremos cero kilómetros debemos pagar solamente el importe por solicitar el servicio.
• Si recorremos un kilómetro debemos pagar, además $4.40, esto hace un total de $7.40 + $4.40
= $11.80 pesos.
• Si recorremos dos kilómetros debemos pagar: $7.40 + 2×$4.40 = $16.20 pesos.
• En general, si recorremos x kilómetros, debemos pagar:
y = 7.40 + 4.40 x
• Esta es la función que nos pidieron encontrar.
• Por ejemplo, si deseamos conocer cuánto debemos pagar si recorremos 25 kilómetros en el
taxi, basta evaluar la función en x = 25:
y = 7.40 + 4.40 (25) = 117.40 pesos.
• Esta expresión es una función porque a cada valor de x (elemento de su dominio) le asigna
a lo más un valor y (elemento de su contradominio).
• Se te queda como ejercicio graficar esta función.
La evaluación de una función en un punto nos ayuda a conocer el valor de la función en ese
punto. En el ejemplo anterior pudimos calcular el importe gracias a este procedimiento. Por eso
es muy importante.
Para evaluar la función, simplemente sustituye el valor de x donde quieres evaluarla y realiza
todos los cálculos que quedan indicados por la función. El resultado que obtengas es el valor que
toma la función en ese punto.
Por ejemplo, la función f ( x ) = 3x evaluada en x = 2 es 32 = 9. Observa que solamente basta
sustituir 3 en lugar de x. Realizamos los cálculos y el resultado obtenido es el valor que tiene la
función en ese punto.
Dados f ( x ) = 2x − x2 , x0 = 5, y c = 1, calcula:
e. f (c · x0 )
a. f ( x0 )
Ejemplo 6
b. f ( x0 + c)
f. f ( x0 − c)
c. f ( x0 ) + c
d. c · f ( x0 )
g. f ( x0 ) − c
• Sabemos que x0 = 5 y que c = 1.
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• Primero calculamos f ( x0 ):
f (x)
= 2x − x2
f ( x0 )
= 2x0 − x02
f (5)
= 25 − 52
= 32 − 25 = 7
• Para calcular f ( x0 + c), antes de sustituir x0 debemos sumarle c, porque la expresión dice:
«el valor de f evaluada en el punto x0 + c».
• Pero x0 + c = 5 + 1 = 6. Entonces,
f ( x0 + c )
f (6)
= 2 x0 + c − ( x0 + c )2
= 26 − 62
= 64 − 36 = 28
• f ( x0 ) + c lo único que nos pide es que sumemos c al valor que obtuvimos de f ( x0 ), esto es:
f ( x0 ) + c = 7 + 1 = 8
• De manera semejante, c · f ( x0 ) nos pide que multipliquemos el valor de f ( x0 ) por c:
c · f ( x0 ) = (1) · (7) = 7
• f (c · x0 ) nos indica que multipliquemos los números c y x0 y el resultado lo sustituyamos en
f:
• Pero f (c · x0 ) = f (1 · x0 ) = f ( x0 ), porque c = 1.
• Entonces, f (c · x0 ) = f (1 · 5) = f (5) = 7.
• Ahora calcularemos f ( x0 − c).
• Primero calculamos x0 − c = 5 − 1 = 4. Entonces,
f ( x0 − c )
f (4)
= 2 x0 − c − ( x 0 − c )2
= 24 − 42
= 14 − 16 = 0
• Finalmente, f ( x0 ) − c nos pide que restemos c unidades al valor f ( x0 ).
f ( x0 ) − c = f (5) − 1 = 7 − 1 = 6
Dado que las funciones nos devuelven números después de transformarlos, realizar una operación
(suma, resta, etc.) a un par de funciones se puede realizar siempre que éstas estén definidas.
Por ejemplo si f y g son dos funciones definidas en un intervalo, entonces, podemos calcular
f ( x ) + g( x ), f ( x ) − g( x ), f ( x ) · g( x ) en cualquier caso y f ( x ) ÷ g( x ) siempre que g( x ) 6= 0.
Otra operación importante sobre funciones es la composición, que se estudia en la sección ??,
página ??
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Créditos
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Albert
Einstein
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 07 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx
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