Cálculo Diferencial - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Razones de cambio relacionadas
Un hombre de 2 metros de altura se aleja de una lámpara a 3.6 km/h. Si la altura de la lámpara
es 5 m., sobre el piso, ¿con qué rapidez se está moviendo el punto más lejano de su sombra?
Ejemplo 1
• La rapidez con la que se mueve el hombre es de 1 m/s.
• Ahora formamos un triángulo rectángulo.
3 El cateto vertical es el poste (5 m),
3 la hipotenusa es la trayectoria que sigue la luz que pasa por encima de la cabeza de la
persona y
3 el otro cateto (horizontal) es la distancia entre el pie del poste y el extremo de la sombra
de la persona ( L = D + x ).
• Dentro de este triángulo podemos formar otro triángulo: el cateto horizontal será la altura
de la persona (2 m), el cateto horizontal la longitud de la sombra que proyecta la persona
( x ) y la hipotenusa la trayectoria de la sombra medida desde la cabeza de la persona hasta
el punto donde toca al suelo.
• Los dos triángulos así formados son semejantes. Se tienen, entonces la siguiente proporción:
5
L
=
2
x
⇒
L=
5
x
2
• Donde L es ( x + D ). De aquí, x = L − D. Entonces, utilizando esta información, tenemos
que :
5
5
L = x = ( L − D)
2
2
lo cual implica que:
5
L= D
3
• De aquí, podemos encontrar
dL =
• Esto es:
5
(dD )
3
dL
5 dD
=
dt
3 dt
• Ahora basta sustituir los valores conocidos:
5 dD
dL
=
=
dt
3 dt
5
5
(1) =
3
3
• La sombra crece a razón de 1.6̄ metros por segundo.
Un estudiante usa un popote para sorber agua de un cono de papel, cuyo eje es vertical, a
razón de 6 cm3 /s. Si la altura del cono es 10 cm., y el diámetro de la parte abierta es 6 cm., ¿con
qué rapidez baja el líquido cuando la copa está llena hasta la mitad?
www.aprendematematicas.org.mx
1/6
Ejemplo 2
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• El volumen del cono de radio r y altura h está dado por:
V=
1
π r2 h
3
• De acuerdo a los datos proporcionados por el texto, debemos considerar la mitad de la
capacidad del cono, esto es V = 60 π cm3
• Conocemos además la razón de decrecimiento del volumen de agua contenido en el cono,
constante e igual a
dV
= 6 cm3 .
dt
• De la expresión para el volumen, podemos encontrar dV como función de dh.
• Aquí debe quedar claro que usamos dh en lugar de dr, porque necesitamos encontrar cómo
varía la altura cuando el cono tiene la mitad de su capacidad de agua.
• Entonces,
dV =
1
π r2 (dh)
3
• De aquí se tiene que:
dV
1
dh
= π r2
dt
3
dt
• Despejamos de esta expresión dh, y sustituyendo los valores conocidos, obtenemos el resultado buscado:
dV
3
dh
3 (6)
2
= dt2 =
= cm/s.
2
dt
π
πr
π (3)
• NOTA: Como sabemos que el diámetro es 6 cm, el radio debe ser la mitad, igual a 3 cm.
Debes tener cuidado de no sustituir el valor del diámetro, por obvias razones.
Ejemplo 3
Un aeroplano que vuela en dirección norte a 640 mi/h., pasa sobre cierta ciudad a mediodía.
Un segundo aeroplano que va en dirección oeste a 600 mi/h., está verticalmente sobre la misma
ciudad 15 minutos más tarde. Si los aeroplanos están volando a la misma altura, ¿con qué
rapidez se están alejando a la 1:15?
• Aquí, primero debemos encontrar a qué distancia se encuentra cada uno del punto por
donde ambos aeroplanos pasaron.
• En una hora el primer aeroplano viaja 640 millas, en 15 minutos la cuarta parte, esto es, 160
millas.
• Entonces hasta la 1:15 ya viajó 640 + 160 = 800 millas.
• Por otra parte, el segundo aeroplano solamente ha avanzado durante una hora, dado que
pasó 15 minutos después de las 12:00.
• Entonces se encuentra a 600 millas del punto por donde ambos pasaron.
• Ahora, debemos encontrar la distancia entre ambos aeroplanos.
www.aprendematematicas.org.mx
2/6
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Para esto, utilizamos el teorema de Pitágoras. Esto gracias a que las direcciones de los
aeroplanos son perpendiculares. Entonces:
8002 + 6002 = 640 000 + 360 000 = 1 000 000 = 10002 .
• De aquí se entiende que la distancia entre los aeroplanos a la 1:15 es de 1000 millas.
• Conocemos la razón de cambio de posición de ambos aeroplanos.
• Ahora nos imaginaremos que uno se encuentra sobre el eje x (el que se mueve al oeste) y el
otro sobre el eje y (el que se mueve hacia el norte).
• Es claro que siempre satisfacen la ecuación: D2 = x2 + y2 , que es el teorema de Pitágoras,
aplicado a las posiciones.
• Aquí x representa la distancia que ha recorrido el aeroplano que se mueve hacia el oeste, y
representa la distancia que ha recorrido el aeroplano que se mueve hacia el norte y "D" es la
distancia entre ambos aeroplanos.
• Utilizamos derivación implicita, respecto del tiempo:
dD
dx
dy
= 2x
+2y
dt
dt
dt
2D
• Ahora, simplificamos esta expresión:
D
dD
dx
dy
=x
+y
dt
dt
dt
• Despejamos (dD/dt) y obtenemos:
dx
dy
x
+y
dD
dt
dt
=
dt
D
• Sustituyendo los valores conocidos obtenemos el resultado buscado:
dD
dt
dx
dy
+y
dt
dt
D
(600)(600) + (800)(640)
= 872 millas por hora.
1 000
x
=
=
Un tendedor de alambre trepa a un poste telefónico a razón de 2.5 m/s, mientras su jefe está
sentado a la sombra de un árbol vecino observándolo. Si el terreno es llano, y el jefe está a 36
metros de la base del poste, ¿cuánto tiene que trepar el tendedor para que la distancia entre él
y su jefe crezca a razón de 1 m/s?
• Aquí también utilizaremos teorema de Pitágoras.
• Sea h la altura a la cual se encuentra el tendedor, entonces, podemos ver que h2 + 362 = D2 ,
donde D es la distancia entre el tendedor y su jefe.
• Podemos encontrar la derivada implícita de esta ecuación:
2 h (dh) = 2 D (dD )
www.aprendematematicas.org.mx
3/6
Ejemplo 4
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• De aquí encontramos
h
dh
dD
=D
dt
dt
• Ahora despejamos h:
h=
D dD
dt
dh
dt
• Ahora sustituimos los valores conocidos:
D dD
D (1)
D
dt
=
=
dh
2.5
2.5
dt
√
2p 2
h + 362 .
pero D = h2 + 362 , luego h =
5
h=
⇒
h=
2
D
5
• Nuestro nuevo problema consiste en encontrar h, porque una vez que conozcamos la altura
a la cual debe estar el tendedor, podremos fácilmente encontrar cuánto tiempo debe trepar
por el poste, dado que conocemos la rapidez a la que va subiendo. Luego,
h
=
⇒
p
2p 2
h + 362
⇒
5 h = 2 h2 + 362
5
25 h2 = 4 (h2 + 362 ) = 4 h2 + 4 · 362
⇒ 21 h2 = 22 · 362
⇒
√
72
24
24 7
⇒ h= √ = √ =
7
7
21
h2 =
722
21
• Sabemos que debe subir h metros. Para calcular el tiempo tenemos: v = h/t. Ahora conocemos tanto h como v. Despejando t obtenemos:
√
24 7
√
h
48 7
7
t= =
=
segundos.
5
v
35
2
Ejemplo 5
Un tubo metálico de 6 m de longitud está recostado sobre una pared. Si el extremo inferior
del tubo se hace resbalar sobre el pavimento liso, alejándose de la pared, a razón de 0.2 m/s,
¿con qué rapidez estará decreciendo la altura del punto medio del tubo cuando el pié de éste
se encuentre a 4 metros de la pared?
• Colocamos un sistema de coordenadas cartesiano, de forma que el eje y esté sobre la orilla
de la pared y el eje x esté representando al pavimento.
• De acuerdo al problema, el tubo mide 6 metros y está recargado a la pared y al suelo, por
tanto siempre forma triángulos rectángulos de hipotenusa 6 m.
• Esto se expresa matemáticamente por medio del teorema de Pitágoras:
x2 + y2 = 36
www.aprendematematicas.org.mx
4/6
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Sin embargo, debemos tener en mente un triángulo que tenga la mitad de las dimensiones
para poder considerar el punto medio del tubo, en lugar del extremo recargado en la pared.
La expresión para el nuevo triángulo será:
x 2 + y2 = 9
• Realizamos la derivación implícita de la última expresión:
2x
dy
dx
+2y
=0
dt
dt
• Sabemos que (dx/dt) = 0.2 m/s, y x = 4. Encontramos el valor de y usando el teorema de
Pitágoras:
p
√
y = 36 − 42 = 20
• Despejamos la incógnita de nuestro problema y sustituimos los valores conocidos:
dy
dt
dx
)(0.2)
8
dt = (4√
√
=
y
20
10 20
√
2
4
2 5
√
= √ =
metros por segundo.
25
5 5
5 4·5
x
=
=
• Pero esta velocidad es la del punto donde se apoya el tubo. La velocidad del punto medio
debe ser la mitad, por semejanza de triángulos.
Una partícula se mueve a lo largo de la curva 3 y = x3 + 2. Encuentre los puntos sobre la curva
en los cuales la ordenada está cambiando 9 veces más rápido que la abscisa.
• Conocemos la ecuación de la curva sobre la cual se mueve la partícula. Encontramos la
derivada de esta función con respecto al tiempo:
dy
dx
= x2
dt
dt
• Por otra parte, debes notar que:
dy
= x2
dx
• De aquí se sigue que:
dy
dy dx
=
·
dt
dx dt
dy
dy
= 9 , pero ya sabemos que
= x2 = 9. Por lo tanto, para que
dx
dx
la ordenada crezca 9 veces más rápido que la abscisa es necesario que x2 = 9, esto es, que
x = 3 ó que x = −3.
• De acuerdo al problema,
www.aprendematematicas.org.mx
5/6
Ejemplo 6
Profr. Efraín Soto Apolinar.
Créditos
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Albert
Einstein
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 01 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx
www.aprendematematicas.org.mx
6/6