UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS INTEGRALES MARIA ELISA VODNIZZA LIRA e-mail : mvodnizz@cec.unap.cl url : www.unap.cl/~mvodnizz SEPTIEMBRE - 2003 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS INTEGRALES Uno de los problemas importantes en Cálculo es la determinación de la antiderivada de una función dada, es decir encontrar la función primitiva de la cual se conoce su derivada Una antiderivada o primitiva de la función f es una función F tal que F’(x) = f(x) siempre y cuando f(x) esté definida. Ejemplo Dada la función f(x) = 3x 2 , entonces F(x) = x 3 es una antiderivada o primitiva ( ) d x 3 = 3x 2 , también son antiderivadas de f(x) = 3x 2 las dx 1 funciones G(x)= x 3 + 17, H(x) = x 3 - 20, T(x) = x 3 etc. 2 de f(x), ya que Si F’(x) = f (x) en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada primitiva P de f en I tiene la forma P(x) = F(x) + C donde C es una constante. Integral Indefinida La expresión ∫ f ( x )dx representa la integral indefinida de f(x) con respecto de la variable x. Así si F es cualquier primitiva de f en el intervalo I, entonces la primitiva más general de f en I tiene la forma F(x) + C Entonces ∫ f ( x )dx = F ( x) + C ⇔ d (F ( x ) + C )= f ( x ) dx El símbolo de la integral ∫ es una letra S alargada que corresponde a una sumatoria como se verá cuando se trate el tema de la integral definida. Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 2 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS Ejemplos Calcular las siguientes integrales 1) ∫ dx dx = ln x + C x ⇔ (ln x + C )' = 1 x 2) ∫ Cos x dx = Sen x + C ⇔ (Sen x + C )' = Cos x Esta claro que para encontrar una antiderivada de una función dada, es necesario recordar las derivadas de las distintas funciones estudiadas anteriormente. Propiedades. De las propiedades estudiadas para las derivadas se deduce que: a) ∫ [ f ( x ) + g( x ) − t ( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g( x )dx − ∫ t ( x )dx b) ∫ k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx De cada una de las fórmulas fundamentales de derivación, podemos deducir una fórmula elemental de integración, las que se pueden probar derivando el segundo miembro de la igualdad. INTEGRALES INMEDIATAS u n +1 +c 1) ∫ u du= n+1 n 3) u u ∫ e du=e + c 5) ∫ Senu du=− Cos u+ c Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 2) du ∫ u =ln u + c 4) 1 u u a du = a + c ∫ ln a 6) ∫ Cos u du= Senu+ c 3 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS 7) ∫ Sec 9) ∫ Sec u tg u du= Sec u+c 11) ∫ 13) ∫u 2 u du= tg u+ c u = arc sen + c a a 2 − u2 du 8) ∫ Co sec u du= − cot g u+ c 10) ∫ Co secu cot g u du=− cos ec u + c 12) du 1 u = arc tg + c 2 ∫ a +u a a 2 2 1 u = arc sec + c a u2 − a 2 a du Ejercicios Resueltos [ ] 1) Calcular ∫ 4 x 2 + 5 x − 6 dx = 4 ∫ x 2dx + 5 ∫ x dx − 6 ∫ dx Propiedades a) y b) = 2) Calcular ∫ 4 3 5 2 x + x − 6x + C 3 2 Fórmula 1 8x − 3 dx 4x − 3x + 5 2 Cuando en el integrando se presenta el cuociente de dos polinomios, es conveniente calcular la derivada del denominador y tratar de formarla en el numerador. Haciendo u = 4 x 2 − 3 x + 5 , du = (8 x − 3) dx entonces ∫ 4x 8x − 3 dx = − 3x + 5 2 3) Calcular ∫ ∫ du = ln u + C u = ln 4 x 2 − 3 x + 5 + C Fórmula 2 x3 + x2 + x + 2 dx x +1 No parece corresponder a ninguna de la fórmulas de integrales inmediatas, pero dividiendo los polinomios tenemos: (x 3 ) + x 2 + x + 2 ÷ (x + 1)= x 2 + 1 Profesora: María Elisa Vodnizza Lira resto 1 4 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS x3 + x2 + x + 2 1 La fracción = x2 + 1 + x +1 x +1 ∫ Así x3 + x2 + x + 2 dx = x +1 ∫ x 2 +1 + 1 dx x + 1 = ∫ x 2dx + ∫ dx + ∫ dx = x +1 x3 + x + ln x + 1 + C 3 4) Calcular ∫ e 5 x dx Haciendo u = 5x, du = 5dx ∫e 5x dx = ∫ 5) Calcular ∫ dx 9 − 4x ∫e du = dx entonces 5 1 1 1 du = ∫ e u du = e u + C = e 5 x + C 5 5 5 5 u dx 9 − 4x2 se puede escribir como 2 Fórmula 3 dx ∫ 3 − (2 x ) 2 2 que corresponde a la du = dx 2 1 2x arc sen +C 2 3 fórmula 11, donde a = 3 , u = 2x , du = 2dx ∧ entonces 6) Calcular ∫ ∫ dx 9 − 4x (2 x 2 = 2 1 2∫ du 2 3 − u2 = ) − 1 dx 3 2x − 3x + 1 −1 Podemos escribir la integral dada como ∫ (2 x 3 − 3 x + 1) 2 (2 x 2 − 1)dx Haciendo u = (2 x 3 − 3 x + 1), du = (6 x 2 − 3)dx ( ) du = 3 2 x 2 − 1 dx du = 2 x 2 − 1 dx entonces 3 ( Profesora: María Elisa Vodnizza Lira ) 5 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS ∫ (2 x 2 ) − 1 dx 3 2x − 3x + 1 = ∫ (2 x 3 − 3x + 1 −1 2 ) (2 x 2 ) − 1 dx 1 1 − = ∫ u 2 du 3 1 7) Calcular ∫ 1 u2 2 2 u= 2 x3 − 3x + 1 + C = = 1 3 3 3 2 x −1 dx x + 4x + 8 2 Cuando en el integrando se presenta el cuociente de dos polinomios, es conveniente calcular la derivada del denominador y tratar de formarla en el numerador . Haciendo u = x 2 + 4 x + 8 , du = (2 x + 4) dx entonces x −1 1 2x − 2 1 2x + 4 − 4 − 2 1 2x + 4 − 6 = 2 = 2 = 2 entonces 2 x + 4x + 8 2 x + 4x + 8 2 x + 4x + 8 x + 4x + 8 2 ∫ 1 2x + 4 − 6 1 2x + 4 6dx x −1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 dx = ∫ 2 2 x + 4x + 8 x + 4 x + 8 2 x + 4x + 8 x + 4x + 8 2 La primera integral es inmediata ∫ x 2 2x + 4 du = ln u + C = ln x 2 + 4 x + 8 + C dx = ∫ + 4x + 8 u Fórmula 2 La segunda integral, debemos arreglarla para visualizarla como inmediata ∫x 2 6dx dx = 6∫ haciendo u = x+2, du = dx ∧ a = 2 tenemos + 4x + 8 (x + 2)2 + 4 ∫x 2 6dx du 6 u x + 2 = 6∫ 2 = arc tg = 3 arc tg +C 2 + 4x + 8 u +2 2 2 2 Fórmula 12 Por lo tanto la respuesta al ejercicio es: ∫ x −1 1 3 x + 2 dx = ln x 2 + 4 x + 8 arc tg +C x + 4x + 8 2 2 2 2 Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 6 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS 8) Calcular ∫ Sen 2 x dx No parece corresponder a ninguna de la fórmulas dadas de integrales inmediatas, pero si usamos la identidad trigonométrica 1 [1 − cos 2 x ] 2 sen 2 x = ∫ sen x dx 2 = tenemos: [ ] 1 (1 − cos 2 x )dx = 1 ∫ dx − ∫ cos 2 x dx = ∫ 2 2 1 1 x − sen 2 x + C 2 4 Ejercicios Propuestos Calcular las siguientes integrales indefinidas: 1) dy a − by ∫ t 3dt 2) 2 ∫ t 2t + 3dt 5) ∫ x 2dx ∫ 2 + x3 4) ∫ 7) x 2 x ∫ tg 2 sec 2 dx 8) 10) senx ∫ 1 − cos x dx 11) 13) ∫t a4 + t 4 dt 2t 14) Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 2 + ln x dx x ( x 2 + 2)dx ∫ x +1 ∫ e x dx x e −5 4 x2 3) ∫ 6) ∫ senaxcos axdx 9) ∫y 12) ∫ 15) ∫x x3 + 8 dx y+2 dy 2 + 4y ( x + 4)dx 2x + 3 2 2x + 5 dx + 5x + 6 7 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS e x dx 17) ∫ x e −2 dx 16) ∫ x e 19) senx ∫ 1 + cos x dx ax dx x4 + b4 22) ∫ 25) ∫ 1+ x 28) ∫ 1 + 2x 3s − 2 9 − s2 2 dx ds x 2 dx 31) ∫ 1 + x6 34) ∫ xsen(1 − x 2 )dx dx 20) ∫ 23) dt ∫ ( t − 2)2 + 9 26) ∫ 29) 32) 35) Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 16 − 9 x x −1 1− x ∫ dx ∫ cos 18) 2 21) 2 dx ( x + 2)dx 24) ∫ 27) ∫ 30) 4 x − x2 ∫ 2 x 5 xdx 1 − x4 2e x 1 − e2x dx ( 3 x − 1)dx x2 + 9 ∫ x + ln x dx x ∫ (cosax + senax ) dx 33) ∫ sec (ax + b)dx 2 ∫ 3 2 1 + ln x dx x 8 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS Respuestas −2 a − by + c 1) b 4) a4 + t 4 +c 2 7) x tg + c 2 1 2) 6 5) ln 1 − cos x 13) − 2 +c t x2 a 2 + c arctg 22) 2b 2 b 2 26) − 1 − x − arcsenx + c 11) 30) 33) 35) ln x +c 2 1 tg(ax + b ) + c a 3 +c +c x2 − x + 3 ln x + 1 + c 2 −1 +c ex 1 3x +c 20) arcsen 3 4 1 t − 2 arctg +c 23) 3 3 27) 2 2 x+ 2 3 ) +3 +c (2 + ln x )2 8) 16) 19) − ln (1 + cos x ) + c 2 ln 2 + x 3 2 10) (2t 3 1 x ln x 2 + 9 − arctg + c 2 3 3 3) 8 x3 + 8 +c 3 6) sen 2 ax +c 2a ln y 2 + 4 y 9) +c 2 12) x 5 ln 2 x + 3 + +c 2 4 18) tg x + c 21) 5 arcsen x 2 + c 2 25) arctg x + ln 1 + x 3 31) 1 arctg x 3 + c 3 1 cos 2ax + c 2a 34) 1 cos 1 − x 2 + c 2 x− ( ) 33 (1 + ln x )4 + c 4 Profesora: María Elisa Vodnizza Lira +c 28) − 3 9 − s 2 − 2arcsen s x −2 29) − 4 x − x 2 + 4arcsen +c 2 32) 2 9 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS METODOS DE INTEGRACION Todos los ejemplos anteriores se han caracterizado porque las integrales se han podido calcular en forma inmediata. Pero es necesario conocer algunas estrategias o métodos de integración, para facilitar el cálculo de integrales indefinidas, que no sean inmediatas. I Integración por partes Sean u y v funciones diferenciables de la variable x, entonces la derivada de su producto es: d (u ⋅ v ) = u dv + v du dx dx dx en notación de diferenciales, tenemos: despejando integrando por lo tanto d (u ⋅ v ) = u dv + v du u dv = d ( u ⋅ v ) − v du ∫ d (u ⋅ v ) − ∫ v du ∫u⋅v = ∫u⋅v = u ⋅ v − ∫ v du Este método de integración por partes es útil para resolver integrales en las que el integrando es un producto de funciones: exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc. Este método permite sustituir la función y la diferencial, dando origen a otra integral ∫ v ⋅ du que en grado de dificultad debe ser menor o a lo sumo igual que la integral original. Ejemplos 1) Calcular ∫ x cos 3 x dx Haciendo u = x ⇒ du = dx 1 sen 3 x 3 x 1 x 1 ∫ x Cos 3 x dx = 3 sen 3 x − 3 ∫ sen 3 x dx = 3 sen 3 x + 9 cos 3 x + C dv = cos 3 x dx ⇒ v = Entonces Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 10 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS 2) Calcular ∫ x sen x cos x dx Haciendo u = x ⇒ du = dx dv = sen x cos x dx ⇒ v = sen 2 x 2 Entonces x 1 ∫ x Senx Cosx dx = 2 sen x − 2 ∫ sen x dx 2 2 usando sen 2 x = 1 [1 − cos 2 x ] 2 x 1 sen 2 x − ∫ (1 − cos 2 x )dx 2 4 x 1 1 = sen 2 x − x + sen 2 x + c 2 4 8 = El mismo ejercicio puede resolverse también como Haciendo u = x ⇒ du = dx dv = sen x cos x dx ⇒ v = x ∫ x Senx Cosx dx = 2 cos 2 x− cos 2 x 2 1 cos 2 x dx ∫ 2 cos 2 x = 1 (cos 2 x ) + 1 2 x 1 = cos 2 x − ∫ (cos 2 x + 1)dx 2 4 1 1 x = cos 2 x − sen 2 x − x + C 2 8 4 3) Calcular ∫ ln x dx x3 Haciendo ∫ 1 dx x dx 1 dv = 3 ⇒ v = − 2 x 2x u = ln x ⇒ du = ln x ln x dx 1 - 2lnx - 1 − ln x dx = − 2 + ∫ 3 = +C − 2 +c = 3 2 x 2x 2x 2x 4x 4x 2 Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 11 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS El método de integración por partes, puede aplicarse varias veces en un ejercicio. En algunas ocasiones al repetir la integración por partes se vuelve a la integral original, como se muestra en el siguiente ejercicio. 4) Calcular ∫ e x senx dx Haciendo ∫e x u = sen x ⇒ du = cos x dx dv = e x dx ⇒ v = e x Senx dx = e x senx − ∫ e x Cosx dx aplicando por partes nuevamente u = cos x ⇒ du = -sen x dx * dv = e xdx ⇒ v = e x * ∫ e x cos x dx = e x cos x + ∫ e x senx dx Entonces , la int egral original queda exp resada como ∫ e Senx dx = e senx − e cos x − ∫ e 2 ∫ e Senx dx = e senx − e cos x x x x x x x senx dx x Finalmente 1 ∫ e Senx dx = 2 e (senx − cos x ) + C x x Ejercicios Propuestos Determine la integral dada usando integración por partes 1) ∫ x cos 3 x dx 2) ∫ xsenx cos xdx 4) ∫ ln x dx x3 5) 2 ∫ x senxdx 3) ∫ xarctgxdx 6) ∫ (x − 8 ) 2x 3 dx Algunas Respuestas xsen3 x cos 3 x + +c 3 9 x2 + 1 x arctgx − + c 3) 2 2 1) Profesora: María Elisa Vodnizza Lira − x cos 2 x sen2 x + +c 4 8 1 − ln x − 2 +c 4) 2 2x 4x 2) 12 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS II Integración por Sustitución a) Sustituciones Algebraicas: Haciendo un cambio de variable adecuado es posible eliminar las raíces del integrando Ejemplos 1) Calcular ∫ x dx x+1 sustitución algebraica ∫ x dx = x +1 ∫ (u 2 x + 1 = u2 ⇒ u = x = u2 − 1 dx = 2u d u ) − 1 (2u du ) = u ( x +1 ) 2 ∫ u 2 − 1 du u3 = 2 − u + C 3 volviendo a la var iable original 2 (x + 1)3 − 2 x + 1 + C = 3 2) Calcular 1+ x x ∫1+ dx Sustitución a lg ebraica x = u 2 ⇒ u = dx = 2u du 1+ x ∫1+ x dx = ∫ (1 + u )(2u du) 2 1+ u = 2∫ u3 + u : u + 1 = u2 − u + 2 − x u3 + u du u+1 2 u+1 2 dx = 2 ∫ u 2 − u + 2 − du u + 1 x u3 u2 = 2 − + 2u − 2 ln u + 1 + C 2 3 volviendo a la var iable original 1+ x ∫1+ x3 x = 2 − + 2 x − 2 ln u + 1 + C 2 3 Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 13 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS b) Sustituciones trigonométricas: Este método se usa cuando en el integrando aparecen expresiones del tipo a 2 − x 2 , a 2 + x 2 y x 2 − a 2 Es posible eliminar las raíces del integrando mediante una adecuada sustitución trigonométrica. Analizaremos los casos más frecuentes: 1) Para la expresión a 2 − x 2 se recomienda sustituir x = aSen t o bien x = aCos t, obteniendo ( ) a (1 − Cos t ) = aSen t a 2 − x 2 = a 2 − a 2 Sen 2 t = a 2 1 − Sen 2 t = aCos t a 2 − x 2 = a 2 − a 2Cos 2 t = 2 2 2) Para la expresión a 2 + x 2 se recomienda sustituir x = a tg t obteniendo ( ) a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tg 2 t = a 2 1 + tg 2 t = aSec t 3) Para la expresión x 2 − a 2 se recomienda sustituir x = a Sec (t) obteniendo x2 + a2 = ( ) x 2 + x 2 Sec 2 t = a 2 1 + Sec 2 t = a tg t Ejemplos 1) Calcular ∫ dx 1 + x2 Sustitución trigonométrica ∫ sec 2 t dt 1 + tg 2 t =∫ x = tg t dx = sec2 t dt sec 2 t dt sec t sec t + tg = ∫ sec t dt = ∫ sec t sec t + tg sec 2 t + sec t tgt du =∫ dt = ∫ sec t + tgt u t dt t = ln sec t + tg t Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 14 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS Sabiendo que tg t =x , usaremos el tríangulo rectángulo para volver a la variable original 1 + x2 x t 1 sec t = 1 + x 2 dx Finalmente ∫ 2) Calcular ∫x 1+ x = 2 1 + x2 + ln x +C dx 2 4+ x2 x = 2 tg t Sustitución trigonométrica ∫x dx 2 4 + x2 = dx = 2 sec 2t dt 2 sec 2 t dt ∫ 4 tg t 2 4 + 4tg 2 t = 1 4 sec2 t dt ∫ tg 2t sec t 1 sec t 1 dt = ∫ cos ec t ⋅ ctgt dt 2 ∫ 4 tg t 4 1 = cosec t + C 4 = Para volver a la variable original 4 + x2 usaremos el triángulo x t 2 por lo tanto co sec t = Finalmente 4) Calcular ∫ ∫x 2 4+ x x dx 4+ x2 = 2 4 + x2 +C 4x x 2dx x2 − 4 Sustitución trigonométrica x = 2 sec z dx = 2 sec z tg z dz Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 15 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS ∫ 4 sec 2 z (2 sec ztgz ) 4 sec 2 z − 4 3 * 4 ∫ sec 123zdz sec 3 z tg z dz = 4 ∫ dz tg z int egrando por partes I1 u = sec z ⇒ du = sec z tg z dv = sec 2 z dz ⇒ v = tg z I1 = sec ztgz − ∫ sec ztg 2 z dz sec z tg z - ∫ sec z (sec2 z − 1)dz ( ) sec z tg z - ∫ sec3 z − sec z dz sec z tg z - ∫ sec3 z dz + ∫ sec z dz 2 I1 = sec ztgz + ln sec z + tgz 1 sec ztgz + ln sec z + tgz 2 * 4 I1 = 2 sec ztgz + ln sec z + tgz { [ I1 = ] [ [ I = 2 sec ztgz + ln sec z + tgz ] x ] x2 − 4 z 2 Para volver a la variable original usaremos el triángulo, donde sec z = x x2 − 4 x I = 2 ⋅ + ln + 2 2 2 x2 − 4 2 x 2 y tg z = x2 − 4 2 +C x x2 − 4 x + x2 − 4 I= +C + 2 ln 2 2 Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 16 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS Ejercicios Propuestos Determine la integral dada usando integración por sustitución 1) xdx x +1 ∫ 4 ∫ 1 − x dx 2 7 ∫x 5 dx 2 1+ x ∫ 1+ 2) ∫x 8 x2 −1 x dx 3) dx 2 t+5 ∫ (t + 4) 6 4+ x2 dx ∫ (1 + x ) dx ∫ t+2 x3 1 − x2 dt dx * 2 2 • (sugerencia, usar sustitución trigonométrica). RESPUESTAS 2 1) 3 (x + 1)3 − 2 x +1 +c 3) 2 t + 2 + 2arctg t+2 +c 2 x3 x +c 2 2 2 ln 1 + x − + x − 2) 2 3 4) x 1 1 − x 2 + arcsenx + c 2 2 − 4+ x + +c 5) 4x 7) (1 − x ) + 2 2 6) − 1 − x 2 3 2 +c 3 1 x +c 8) arctgx + 2 2 1 + x2 x2 − 1 +c x ( ) III Integración por Fracciones Parciales Este método de integración, se usa cuando el integrando es una función Racional de la forma P( x) la cual puede expresarse como suma de fracciones Q( x ) simples, de tal forma que la integración se simplifique. Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 17 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS Ejemplos 1) Calcular ∫x 2 4x − 7 dx − 3x + 2 4x − 7 = x − 3x + 2 ( x − 2) ( x − 1) A x-2 2 + B x -1 A(x - 1) + B(x - 2) ( x − 2)( x − 1) = A(x - 1) + B(x - 2) = 4x - 7 A=1 B=3 I=∫ dx x-2 + 3 ∫ x − 1 dx = ln x − 2 + 3 ln x − 1 + C ln (x - 2)(x - 1)3 + C 2 x 3 − 11 x 2 + 23 x − 17 2) Calcular ∫ dx x2 − 3x + 2 Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador primeramente hay que dividir 2 x 3 − 11 x 2 + 23 x − 17 : x 2 − 3 x + 2 = 2 x − 5 resto 4 x − 7 2 x 3 − 11 x 2 + 23 x − 17 4x − 7 = 2x − 5 + 2 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 I = ∫ 2 x dx - ∫ 5 dx + 2 x 3 − 11 x 2 + 23 x − 17 dx ∫ x2 − 3x + 2 Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 4x - 7 dx } Ejercicio 1 ∫1 x 42 − 3 x43 +2 2 = x 2 − 5 x + ln ( x − 2) ( x − 1)3 + C 18 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS 4) Calcular ∫ x 4 − 3 x 3 − 21 x 2 + 85 x − 63 dx x 3 + x 2 − 17 x + 15 Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador primeramente hay que dividir x 4 − 3 x 3 − 21 x 2 + 85 x − 63 : x 3 + x 2 − 17 x + 15 = x − 4 2x – 3 ∫ x−4+ x 3 2x − 3 + x 2 − 17 x + 15 2x − 3 x + x 2 − 17 x + 15 (x − 1) x 2 + 2 x − 15 = 3 ( ) dx A + x -1 A= 1 12 I = ∫ x dx - ∫ 4 dx + I= B x+5 B= + 3 16 C x-3 B= - 13 48 1 dx 13 dx 3 dx − + ∫ ∫ ∫ 12 (x - 1) 48 (x + 5 ) 16 (x - 3 ) x2 1 13 3 − 4 x + ln x − 1 − ln x + 5 + ln x − 3 + C 2 12 48 16 x2 1 (x − 1) (x − 3 ) + C I= − 4 x + ln 2 48 (x + 5)13 4 4) Calcular 9 x dx ∫1+ x 3 Fracciones Parciales 1 + x 3 = (1 + x )(1 − x + x 2 ) Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 19 UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS A Bx + C + 2 = A( x 2 − x + 1) + ( Bx + c )(1 + x ) = x 1+ x x − x +1 Ax 2 − Ax + A + Bx + C + Bx 2 + Cx = x (A + B )x 2 + (− A + B + C )x + (A + C ) = x A+B=0 A=− 1 3 B= 1 3 C= 1 3 -A + B + C = 1 I =− dx x+1 1 1 dx + ∫ 2 ∫ 3 1+ x 3 x − x +1 - 1 1 2x − 1 + 3 ln 1 + x + ∫ 2 dx 3 6 x − x+1 - 1 1 2x − 1 dx ln 1 + x + ∫ 2 3 6 x − x +1 * - + ∫x 2 3dx − x + 1 dx 1 1 1 ln 1 + x + ln x 2 − x + 1 + ∫ 2 3 6 2 1 3 x − + 2 44 4 1442 3 I1 I1 = *I = 1 8 dx ∫ ( 2 x − 1) 2 +3 = 1 dx 3 2x - 1 arc tg +c = 2 ∫ 8 2x − 1 8 3 + 1 3 1 x2 − x + 1 3 2x - 1 ln arc tg + c + 2 6 (1 + x ) 8 3 Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 20