4.2 Filtro eliminación de banda R Tomando como tensión de salida V 2 , la tensión en extremos de la conexión serie de la bobina y el condensador, tenemos: 1 V 2 = I 1 ⋅ j ωL − ωC 1 V 1 = I 1 ⋅ R + j ωL − ωC La ganancia en tensión es: V2 = G ( jω ) = V1 1 j ωL − ωC 1 R + j ωL − ωC 1 ωL − ωC G (ω ) = V2 C y la tensión de entrada es: La magnitud o módulo de la ganancia es: L V1 1 R + ωL − ωC G ( jω ) = G (ω ) = 2 2 1 ± 90º ωL − ωC 2 1 ωL − 1 ωC R 2 + ωL − arctg R ωC 1 R 1+ 1 ωL − ωC 2 Dando valores crecientes a la frecuencia a partir de 0Hz se obtiene la curva de ganancia del circuito. Se observa que para la frecuencia de 0Hz y para valores elevados, la ganancia es máxima y vale la unidad, es decir, las señales de baja y alta frecuencia aplicadas a la entrada aparecen a la salida. Sin embargo existe un punto mínimo en la curva que corresponde a la frecuencia de resonancia del circuito. A esta frecuencia la tensión de entrada V 1 y la intensidad I 1 están en fase, es decir, se anulan las impedancias reactivas del circuito y por tanto V 2 se anula, atenuando completamente la señal de frecuencia igual a la frecuencia de resonancia. 1 ω rC ω rL = 1 LC ωr = Existen dos puntos para un valor de la ganancia de Gc = 1 2 fr = 1 2π LC , es decir, hay dos frecuencias de corte fc1 y fc2 : R 2 = 1+ ω − 1 L c ω cC Como GVmax = 1 : Gc = 1= R 1 ω cL − ω cC ωcL − 1 = 2 1 R 1+ 1 ωcL − ω cC 1 =R ω cC 2 ω 2c LC − ω c RC − 1 = 0 ω 2c − 2 1 R =0 ωc − L LC Esta ecuación de segundo grado tiene dos soluciones para ωc y para fc: ωc 1 = R 1 − 2L 2 4 R2 R 1 + =− + 2L 2 L2 LC ωc 2 = R 1 + 2L 2 4 R2 R 1 + = + 2L 2 L2 LC 4 R2 + L2 LC f c1 = − 4 R2 + L2 LC f c2 = El ancho de banda eliminada del filtro es: 1 R + 4πL 4π 1 R + 4πL 4π ∆f = f c 2 − f c1 = 4 R2 + L2 LC 4 R2 + 2 L LC R 2πL La curva de la ganancia que se observa en la figura corresponde a unos valores de R=100Ω, L=20mH y C=2 µF. La frecuencia de resonancia es por tanto: La frecuencia de corte inferior es: fr = 1 2π ⋅ 20 ⋅ 10 − 3 ⋅ 2 ⋅ 10 − 6 . Hz f c1 = 49182 La frecuencia de corte superior es: f 2 1287 59 H = 795.77 Hz El ancho de banda del filtro es: ∆f = 100 = 795.77 Hz 2π ⋅ 20 ⋅ 10− 3 Entre las frecuencias de corte la ganancia es inferior a 0.707. ωL 1 α G (ω ) = ±90º + arctg − R ωRC El ángulo de fase de la ganancia es: Módulo de la ganancia en tensión Ángulo de fase de la ganancia en tensión Dando valores a la frecuencia el ángulo es: para para para ω=0 ⇒ α G = 0º ω = ω c1 ⇒ α G = −45º ω = ωr ⇒ α G = ±90º para para ω = ω c2 ⇒ α G = 45º ω=∞ ⇒ α G = 0º La curva correspondiente al ángulo de la ganancia en función de la frecuencia es la mostrada en la figura.