Ideas estocásticas fundamentales

Ideas estocásticas
fundamentales
1
Obj ti
Objetivos
„
„
„
Experimentar
E
i
t
un proceso de
d aprendizaje
di j de
d
ideas estocásticas fundamentales a partir de una
situación didáctica adecuada para Educación
Secundaria.
Introducir algunos tipos de análisis didácticos
propuestos por Godino, Font y Wilhelmi (2008),
ejemplificándolos en la situación.
Analizar las posibles dificultades y
razonamientos incorrectos de los estudiantes.
2
Ideas estocásticas fundamentales
„
„
„
¿Qué contenidos enseñar en la clase la
probabilidad?
¿Cuáles son realmente las ideas que servirán al
alumno en sus estudios y su vida?
¿Con qué criterios podríamos elegirlas?
‹ Aparecen
en cualquier situación aleatoria
‹ Son contraintuitivas y deben ser educadas
‹ Pueden enseñase con diversos grados de
formalización desde la escuela a la universidad
‹ Papel fundamental dentro del desarrollo del cálculo
de probabilidades
3
Bruner "El proceso de educación"
„
El principio decisivo de instrucción es transmitir las ideas
fundamentales.
„
Las ideas fundamentales son una guía desde la escuela
primaria a la universidad
–Se usarán en diferentes niveles
cognitivos
g
y lingüísticos
g
en una
"espiral curricular".
–La transición
i ió a un nivel
i l cognitivo
ii
superior se facilita si el tema ha sido
estudiado en etapas anteriores.
4
„
„
¿Por qué es importante?
¿Cómo se desarrolla?
Intuición para Fischbein
Es global,
E
l b l se opone a llo analítico
lí i
‹ Tiene certeza intrínseca
‹ Tiene capacidad explicativa y extrapolatoria
‹ Es dificil de cambiar (coercitiva)
‹
Intuiciones
Correctas y erróneas
‹ Primarias y secundarias
‹
5
„
„
„
Las intuiciones en probabilidad son con frecuencia
erróneas
La estadística y probabilidad no se ha enseñado
hasta la adolescencia, cuando las intuiciones
primarias están ya formadas
Es importante proporcionar una experiencia
aleatoria desde los primeros años
6
Idea Fundamental
Universidad
Bachillerato
Secundaria
Proporciona
Modelos explicativos
Primaria
Varia en
Nivel Intuitivo
Nivel cognitivo
Nivel linguístico
g
7
Generalidad
Probabilida
d
Espacio
p
muestral
Independencia
Muestra
Ley de los
grandes
números
Equidistribución
y simetría
Variable
aleatoria
Simulación
8
Regla de la
Adición
Ideas Fundamentales
en Estocástica
Combinatoria
(Heitele, 1976)
Actividad
Plantearemos un Juego
Plantearemos un Problema a resolver
Reflexión sobre las ideas estocásticas que
q
aparecen
Reflexión sobre la metodología didáctica
1.
2.
3.
4.
9
Tengo tres fichas. Una tiene las dos caras rojas; la otra
las dos azules y la tercera una cara roja y la otra azul.
azul
Saco al azar una ficha y enseño una cara. Hay que adivinar
el color de la cara oculta
Se gana un punto cada vez que se adivina el color
Gana el que consiga más puntos
10
Registro de los datos (10 ensayos)
1
Color
Mostrado
Color
previsto
Color de la
Cara oculta
11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1. Probabilidad (medida de creencia)
„
„
„
„
En el lenguaje ordinario usamos expresiones
verbales p
para cuantificar la incertidumbre
Estas expresiones son poco precisas. Es
fundamental asociar a cada suceso un valor
numérico
éi
La probabilidad reduce el complejo mundo que
nos rodea al intervalo [0
[0.1]
1] y lo hace accesible a
los métodos matemáticos
Sin embargo, la probabilidad como idea
matemática tarda en desarrollarse y adquiere
distintos sentidos
12
Teoría Clásica:
„
Abraham de Moivre (1718 ,The doctrine of chances)
‹ “Si consideramos la fracción cuyo denominador
es ell número
ú
d
de posibilidades
ibilid d que pueden
d
realizar un suceso y el denominador el número
de p
posibilides q
que p
pueden o p
pueden no realizarlo,,
esta fracción es una verdadera definición de su
probabilidad”
‹ Laplace
(Essai philosophique sur les probabilités,
1812)
‹ Proporción
del número de casos favorables al
número de casos posibles, siempre que todos los
casos sean equiprobables”
equiprobables
13
Teoría Clásica:
Controversias en la definición
1. El decidir si los sucesos son equiprobables
puede ser subjetivo.
„
„
„
Características:
Aplicable en juegos de azar (los primitivos
problemas surgieron en este campo)
E circular,
Es
i l ya que ell té
término
i que se d
define
fi
entra en la definición
Ess muy
uy restrictiva,
est ct a, no
o puede ap
aplicarse
ca se e
en:
‹ casos no equiprobables
‹ infinitos sucesos
14
Uso escolar de la concepción clásica
„
„
„
Los niños se di
divierten
ierten con los jjuegos
egos de a
azar
ar y
juegan incluso fuera de la clase de matemáticas
El cálculo de los casos posibles podría requerir
razonamiento combinatorio que es difícil para el
niño
No se puede mostrar toda la aplicabilidad de la
probabilidad sólo con jjuegos
p
g de azar
15
Teoría frecuencial:
„
La estabilidad de las frecuencias, y la demostración por
Bernoulli que la probabilidad “clásica” refleja esta
convergencia lleva a la idea que la probabilidad es una
característica objetiva de los sucesos aleatorios
“Límite
Límite al que tiende la frecuencia relativa al aumentar la
serie de experimentos” (Von Mises, 1928, Probability,
Statistics and Truth)
16
•Características:
•Amplía
A lí la
l concepción
ió clásica
lá i y ell campo de
d
aplicaciones
•Conecta la estadística con la probabilidad
•Se restringe
g a experimentos
p
repetibles
p
en
idénticas condiciones
•Controversias
Controversias
•¿Cómo podemos saber que las condiciones son
idénticas?
•¿Cuál es el número mínimo de experimentos
necesarios
i para estimar
ti
la
l probabilidad?
b bilid d?
17
Uso escolar de la definición frecuencial
„
„
„
„
En los nuevos currículos se recomienda
comenzar la probabilidad con experimentos y
simulaciones
i l i
Los alumnos se interesan por los experimentos y
simulación
Permite ampliar las aplicaciones
Dificultad de gestión de la clase
‹ Los
experimentos de diversos alumnos convergen
a distintos valores
‹ Se añade un tiempo a la clase
‹ Tecnología (disponibilidad)
18
Probabilidad subjetiva: Regla de Bayes
„
Si Ai son los sucesos que pueden llevar a unos datos
D, las probabilidades finales de los sucesos P(Ai/D),
conocidas
id sus probabilidades
b bilid d iiniciales
i i l P(Ai) y
verosimilitudes P(D/Ai) vienen dadas por:
P(Ai) x P(D/Ai)
P(Ai/D)=
( )
P(A1)× P(D/ A1) + P(A2 )× P(D/ A2 ) +... + P(An )× P(D/ An )
Las probabilidades de los sucesos pueden ser
revisadas por la experiencia y pierden su carácter
objetivo
objetivo.
19
Teorías Subjetivas:
„
“La probabilidad p(E/H) es una medida en la escala
[0,1] de la verosimilitud que una persona concede a un
suceso E en las condiciones H”
Características:
C
t í ti
„ Condicionada a la información H
„ Carácter
C á t subjetivo,
bj ti
depende
d
d de
d la
l persona
„ La asignación de probabilidades debe respetar
postulados de coherencia
„ Permite revisarla en función de la nueva información
20
La probabilidad subjetiva en la escuela
Los niños tienen ideas subjetivas sobre la probabilidad
de los sucesos que podrían cuantificar en una “escala de
probabilidad
probabilidad”
Se puede ver la estadística /probabilidad como proceso
de aprendizaje
„
„
0
½
1
0
10
5
10
10
10
21
Probabilidad axiomática: Kolmogorov
„
„
Se parte de un algebra de sucesos
Es cualquier aplicación que satisface los axiomas
(E, A)
A
[0, 1]
P(A)
(A)
•P(E) = 1;
E = Suceso seguro
•∀Aε A
0 ≤ P(A) ≤ 1
• Si A ∩ B = ∅, P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
22
Esta definición no indica cómo interpretar o asignar
la probabilidad
¿Qué concepción de probabilidad seria deseable
enseñar en la escuela?
„
„
„
„
Expresar
p
las creencias p
personales y revisarlas en
función de la nueva información (p. subjetiva)
Adquirir una experiencia de lo aleatorio y apreciar la
utilidad de la estadística para interpretar los datos (p.
frecuencial)
Construir modelos matemáticos que expliquen los
fenómenos aleatorios y ayuden a tomar decisiones
informadas (p
(p. clásica)
El modelo formal axiomático es el último paso
23
Problema
„
„
„
„
¿Aparece la idea de probabilidad? ¿Cómo?
¿Hay
H alguna
l
estrategia
t t i que permita
it ganar más
á
puntos?
CONSIGNA
‹ Pensar si existe esta estrategia
‹ No comentar la estrategia con los compañeros
‹ Explicar por escrito por qué la estrategia es
buena
Repetimos el juego. Ahora cada uno juega con
24
su estrategia
Registro de los datos (10 ensayos)
1
Color
Mostrado
Color
previsto
Color de la
Cara oculta
25
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. El espacio muestral
„
„
„
Es fundamental listar todos los sucesos que
podrían ocurrir (conjunto de posibilidades)
Permite expresar cualquier otro suceso como
parte de este conjunto (espacio muestral)
Permite interpretar operaciones lógicas con
sucesos
‹ Unión:
Ocurrencia de al menos un suceso
‹ Intersección: Ocurrencia simultánea
‹ Complementario: Suceso contrario
‹ Producto...
26
2. El espacio muestral
„
„
„
27
Ha posibilitado una axiomática satisfactoria
P
Permite
it ttareas de
d comparación
ió d
de
probabilidades a edades tempranas: si un suceso
está contenido en otro su probabilidad es menor
Generalmente se supone que los niños
identifican claramente el espacio muestral del
experimento y no se presta atención en la
enseñanza
Ejemplo: Al lanzar dos dados,
dados ¿cuáles sumas son
más probables?
Espacio muestral
supuesto por el
profesor
11, 12, 13, 14, 15, 16
21, 22, 23, 24, 25, 26
31, 32, 33, 34, 35, 36
41 42
41,
42, 43
43, 44
44, 45
45, 46
51, 52, 53, 54, 55, 56
61, 62, 63, 64, 65, 66
28
Espacio muestral supuesto
por el alumno
11, 12, 13, 14, 15,16
22, 23, 24, 25, 26
33, 34, 35, 36
44, 45, 46
55 56
55,
66
3. Regla de adición de probabilidades
„
„
Una característica de las matemáticas es construir modelos
complejos a partir de otros más sencillos
La regla de la suma es un buen ejemplo
P(A∪B) = P(A) + P(B)
„
„
Permite calcular la probabilidad de sucesos complejos
dividiendo el problema en partes
Consecuencia: probabilidad del suceso contrario
P(Ā ) = 1- P(A)
29
Sucesivas generalizaciones
g
P(A∪B ∪C) = P(A) + P(B) + P(C)
P(A1∪ A2... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + P(An)
P (∪ Ai)= ∑ P (Ai)
1
x2
P(x1 < X < x2 ) = ∫ n(x; μ, σ )dx =
x1
30
σ
∫
2π
x2
x1
e
−1 / 2[( x−μ ) / σ ]2
dx
„
Mediante la regla del producto es posible la
composición no sólo de sucesos,
sucesos sino también de
experimentos
E= E1 x E1
„
c+
Al igual que la regla de la suma, podremos extenderla
sucesivamente
E= E1 x E2.... x En
c + + c c + c+ + + c c +
c + + c c + c+ + + c c + c + + c c + c+ + + c c + c + + c c +
c+ + + c c + + + c c + c + + c c + c+ + + c c + c + + c
31
4. Independencia y regla del producto
„
Independencia: Ejemplo de la diferencia entre
el modelo teórico y la aplicación a la realidad
P(A∩B) = P(A) . P(B)
Al lanzar dos monedas,, P(CC)=P(C).P(C)
( ) ( ) ( )
¿Son independientes las caras (mostrada y oculta) en el
juego?
32
La probabilidad condicional
„
„
„
Medida del cambio en nuestras creencias con la nueva
información y nuevos datos
Facilidad de entender
entender, difícil de aplicar
Independencia y probabilidad condicional son ideas
básicas en la mayor parte de los procedimientos
estadísticos
33
Probabilidades diagnósticas
„
Hay muchas situaciones en que nos interesa la
probabilidad de un suceso, dada una
información posterior:
‹ Pruebas
médicas; dado un síntoma, ¿está
¿
enferma la persona?
‹ Juicios: Un acusado se declara inocente, ¿es
realmente
l
t inocente?
i
t ?
‹ Evaluación: Dado el examen que hizo el alumno,
¿tengo garantía que comprende el tema?
34
‹ La
narcolepsia es un trastorno del sueño y 1 de
cada 1000 personas sufre narcolepsia.
‹ Supongamos
p g
q
que una p
prueba de narcolepsia
p
da
positiva en 99 de cada 100 personas enfermas
‹ También en 2 de cada 100 personas sanas
Una persona que se encuentra fatigada con
f
frecuencia,
i pero no titiene otros
t
síntomas,
í t
se hace
h
la
l
prueba y le da positiva
¿Cuál es la probabilidad de que la persona sufra
narcolepsia?
35
0,99 +
Narcolepsia
0,001
P(N ∩+) =0,001x0,99=0,00099
0,01 —
P(+)
0,999
Sano
0,02 +
P(S ∩+) =0,001x0,99=0,00099
0,98 —
P ( N ∩ + ) 0, 00099
=
= 0, 0
P( N / +) =
04721
7
P (+)
0, 02097
36
5. Equidistribución y simetría
„
„
„
„
Si hay simetría física, todos los casos son
equiprobables
Es la primera idea estratégica sobre el modo de
asignar probabilidades
Difi lt d de
Dificultad
d aplicación:
li
ió ¿Hay
H verdaderamente
d d
t
simetría?
Los alumnos con frecuencia tienen un sesgo de
equiprobabilidad
Cuándo lanzamos dos dados
simultáneamente, ¿Cuál de las sumas es
más probable?
37
Die1 Die2 Rolls
Die1 Die2 Rolls
Die1 Die2 Rolls
1
0
2
0
1
2
0
0
1
3
1
2
2
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
2
1
0
2
0
0
1
0
1
2
1
0
1
http://nces.ed.gov/nceskids/probability/dice_handler.asp
38
6. Variable aleatoria
„
„
„
„
„
39
Permite el desarrollo del cálculo de
probabilidades que pasa de interesarse por
sucesos a estudiar distribuciones de probabilidad
Numerosas aplicaciones
Tres ideas básicas:
Distribución
Diversos modelos q
que se p
pueden observar en la
realidad: uniforme, normal,...
Resultados de 1000 lanzamientos de 1 dado
200
f
frecuen
ncia
160
120
80
40
0
1
40
2
3
4
5
6
1000 puntuaciones en las pruebas de C I
frecu
uencia
100
80
60
40
20
0
50
70
90
110
coef1000
f1000
41
130
150
Esperanza:
Tendencia promedio
Tendencia,
promedio, cantidad equitativa
representante, centro de gravedad
Varianza:
Variabilidad, homogeneidad, dispersión
Medias y d. típicas en distribuciones normales
0,08
Mean,Std. dev.
100 15
100,15
120,15
100,5
0,06
0,04
0,02
0
0
42
40
80
120
x
160
200
„
„
„
El espacio muestral del experimento compuesto se construye
con métodos combinatorios
Las operaciones
p
combinatorias se definen a p
partir de la idea de
muestreo
Muestra
Con reemplazamiento Sin reemplazamiento
Ordenada
VR
V
No Ordenada CR
C
El razonamiento combinatorio no se desarrolla
espontáneamente en todos los sujetos
43
•Fischbein ha sugerido la necesidad de la
instrucción que no debe enforcarse sólo en las
instrucción,
fórmulas
•Importancia
Importancia del diagrama en árbol para visualizar
esta relación
•Importancia de las actividades de enumeración y
el trabajo con material manipulativo
44
Ot ejemplo:
Otro
j
l
„
Una bola se suelta en E.
Si sale
l por R,
R ¿qué
¿ é es
más probable, que haya
seguido
g
el canal I,, o que
q
se haya ido por el canal
II?
45
Resolución del
problema
„
„
„
„
„
Si lanzo 100 bolas por E 50 van por I y
50 por II
De las 50 que van por II 25 van a R
75 llegan a R
De ellas 50 pasaron por I
P(I/R)=2/3
P(I/R) = P(I∩R) =
P(R)
46
P(I)_____ =
P(I∩R) + P(II∩R)
1/2____ = 2/3.
1/2 +1/4
„
La ley de los grandes números indica que, a la
larga la frecuencia de un suceso tiende a su
larga,
probabilidad
„
Esta ley se comprueba empíricamente
„
Su demostración teórica está fuera del nivel escolar
47
„
„
„
Variabilidad local y regularidad global
Hacen posible el cálculo de probabilidades de
muchos sucesos
Dificultades
‹A
veces esperamos una convergencia demasiado
exacta (ley de los pequeños números)
‹ Las
experiencias en clase no siempre convergen en
el sentido deseado
48
„
„
„
Nuevo puente entre probabilidad y estadística
Todo muestro conocimiento se basa en el
muestreo
D id
Dos
ideas contrarias
t i
) representatividad
) variabilidad
„
„
El razonamiento
a o a e to estad
estadístico
st co es pa
parte
te de
del
pensamiento crítico
Un prejuicio es un juicio basado en una muestra
no representativa
49
„
„
Introduce una nueva complejidad en el
estudio, al considerar simultáneamente los
“mismos” objetos en diferentes niveles de
abstracción:
Ejemplo: la media
_
x
‹Media
de los datos de la muestra
‹Media
de la variable en la población
‹Media
de la muestra como variable aleatoria
μ
‹Media
_
X
de todas las posibles medias muestrales
_
⎡
((distribución muestral de medias)) E X ⎤ = μ
50
⎢⎣
⎥⎦
_
Lista de estrategias, ¿cuál es la
mejor?
1.
2.
3.
4.
5.
51
Apostar siempre al mismo color
p
al color mostrado p
por el p
profesor
Apostar
Apostar al color contrario del mostrado
p
al azar
Apostar
Tener en cuenta los colores que salieron en los
ensayos
y anteriores....
P
Para
resolver
l
ell problema:
bl m
Comparar:
„
Probabilidad de obtener
l fi
la
ficha
h con las
l caras
iguales
„
Probabilidad de obtener
la ficha con las caras de
di ti t color.
distinto
l
52
Paso previo:
„
Considerar cada ficha
como un par de
d caras
(R,R) (R,A), (AA)
identificando
correctamente el
espacio muestral
Ficha elegida
g
53
Cara mostrada
Cara oculta
RR
R
R
R
R
RA
R
A
A
R
AA
A
A
A
A
Análisis didáctico 1: Objetos matemáticos
„
„
„
„
„
„
Problema: Encontrar la mejor estrategia
Lenguaje: palabras, símbolos, gráficos, tablas
Conceptos
Procedimientos: algoritmos, operaciones, ...
Propiedades
Argumentos
54
Ejemplos
Tipo
Objeto
matemático
C
Conceptos
t
„
Procedimientos
„
55
Experimento
E
i
t
aleatorio
„......
Listar los
sucesos del
d l
espacio
muestral
„....
Significado en la
situación
Elegir
El
i una fificha
h
„Mostrar una de
las dos caras
„
„
RR, RA, AR
Ejemplos
Tipo
Objeto matemático Significado en la
situación
P bl
Problemas
Encontrar
E
t
la
l mejor
j
„Hallar
H ll lla
estrategia
probabilidad de
obtener rojo
j /azul
Propiedades
56
Equiprobabilidad
„....
„
¿Son iguales las
probabilidades?
„
S
Segundo
d nivel
i l de
d análisis
áli i
„
„
Pensar algunas posibles dificultades de los
alumnos en esta tarea
Lo ocurrido en la sesión puede dar pistas de las
dificultades
57
P ibl difi
Posibles
dificultades
lt d
„
„
„
„
Construir el experimento compuesto
Enumerar el espacio
p
muestral
Decidir sobre la dependencia /Independencia...
.....
58
T
Tercer
nivel
i l de
d análisis
áli i
„
„
„
Diferentes fases didácticas en la tarea
¿Puedes diferenciar fases en las que
¿
q el trabajo
j
en el aula es diferente?
O ¿es homogénea la forma de trabajo en el
aula?
59
Conclusiones
„
„
„
¿ esta lista de ideas completa?
¿Es
p
¿Qué otras ideas son básicas para
comprender la probabilidad?
¿Como podemos aplicar la lista?
‹ Al
diseño de situaciones didácticas
‹ En la evaluación
‹ ¿Para comprender las dificultades de los
alumnos?
60
Reflexiones sobre la metodología del
juego
“juego”
„
Situaciones didácticas
‹ Acción
(juego, búsqueda de la estrategia)
‹ Formulación (anotar los resultados, comunicar las
estrategias a los demás)
‹ Validación (Debate sobre cuál es la mejor
estrategia, demostración)
‹ Institucionalización (Llegar a una acuerdo sobre la
solución
l ió correcta
t d
dell problema)
bl
)
61
„
„
„
El trabajo del alumno
‹ Resolver
R
l
problemas
bl
‹ Formular, comunicar, probar
‹ Descontextualizar (generalizar el
conocimiento matemático)
El trabajo del profesor
‹ Contextualizar: buscar buenos problemas
para ayudar a construir el conocimiento
matemático
El aprendizaje se produce al resolver el
problema
62
Muchas gracias por la
cooperación
„
Recogidas las respuestas de los que quieran
darlas, en un par de meses pondremos los
resultados en Internet
63
64