Radiogoniómetro formado por dos espiras

ANTENAS
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Radiogoniómetro formado por dos espiras
Un radiogoniómetro es una de las ayudas a la navegación más
antiguas y permite conocer la dirección de llegada de una señal
emitida por una radiobaliza. La antena de la figura está formada por
dos espiras ortogonales.
El sistema funciona a 300 kHz. Las dos espiras son iguales y tienen
lados l1=1.1 m. y l2=0.8 m. Se pide analizarlas cuando sus bornes
están conectados como se indica en la figura, obteniendo:
El diagrama de radiación de la antena. Represéntelo en los
planos z=0 e y=0, φ = 135º
b)
La polarización de la antena en las direcciones de los ejes
coordenados.
d)
La directividad de la antena
e)
La longitud efectiva de la antena
a)
l2
Z
l1
Y
X
I0
Nota: Se recomienda emplear las expresiones basadas en el momento
dipolar.
G
G
G
m = ∫∫ Inˆ ' dS ' , y N = jkm × rˆ
S'
⎡ rˆ ⎤ ⎡sen θ cos φ sen θ sen φ
⎢ ˆ⎥ ⎢
⎢θ ⎥ = ⎢cos θ cos φ cos θ sen φ
⎢φˆ ⎥ ⎢ − sen φ
cos φ
⎣ ⎦ ⎣
cos θ ⎤ ⎡ xˆ ⎤
− sen θ ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ yˆ ⎥⎥
⎥⎦ ⎢⎣ zˆ ⎥⎦
0
© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia
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Solución
Diagramas de radiación
Los momentos dipolares de las espiras son
G
ˆ ' = I l1l2 yˆ
m1 = ∫∫ IydS
S'
G
ˆ ' = I l1l2 xˆ
m2 = ∫∫ IxdS
siendo I = I 0 / 2
S'
El vector de radiación es
G
N1 = jkIl1l2
xˆ
0
sen θ cos φ
yˆ
1
sen θ sen φ
zˆ
0 = jkIl1l2 ( cos θ xˆ − sen θ cos φ zˆ )
cos θ
G
N 2 = jkIl1l2
xˆ
1
sen θ cos φ
yˆ
0
sen θ sen φ
zˆ
0 = jkIl1l2 ( − cos θ yˆ − sen θ sen φ zˆ )
cosθ
Para obtener el diagrama de radiación basta pasar el vector de
radiación a esféricas. En general
2
d (θ , φ ) =
Nθ (θ , φ ) + Nφ (θ , φ )
2
Nm á x
N1θ = N1x cos θ cos φ − N1z sen θ = jkIl1l2 ( cos 2 θ cos φ + sen 2 θ cos φ ) = jkIl1l2 cos φ
N1φ = − N1x sen φ = − jkIl1l2 cos θ sen φ
N 2θ = N 2 y cos θ sen φ − N 2 z sen θ = − jkIl1l2 ( cos 2 θ sen φ + sen 2 θ sen φ ) = − jkIl1l2 sen φ
N 2φ = N 2 y cos φ = − jkIl1l2 cos θ cos φ
Sumando ambas contribuciones,
Nθ = N1θ + N 2θ = jkIl1l2 ( cos φ − sen φ )
Nφ = N1φ + N 2φ = − jkIl1l2 cos θ ( cos φ + sen φ )
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El diagrama de radiación en el plano Z=0,
particularizando las expresiones anteriores en θ = 90º
d (θ = 90º , φ ) =
Nθ (φ )
=
N máx
obtiene
1
cos φ − sen φ
2
90
120
se
1
60
0.8
0.6
150
30
0.4
0.2
F( φ )
0
180
0
210
0
330
240
300
270
φ
Nótese que el diagrama representado es el plano-H de la antena ya
que contiene la dirección del máximo y el vector de campo
magnético en dicha dirección
El diagrama de radiación en el plano Y=0,
particularizando las expresiones anteriores en φ = 0º
2
Nθ (θ ) + Nφ (θ )
d (θ , φ = 0º ) =
N máx
2
=
obtiene
1
1 + cos 2 θ
2
90
120
se
1
60
0.8
0.6
150
30
0.4
0.2
F( θ )
0
180
0
210
0.707
330
240
300
270
θ
Finalmente, el diagrama de radiación en el plano φ = 135º es
d (θ, φ = 135º ) = cte . Nótese que este plano contiene al máximo de
radiación y al vector de campo eléctrico en dicha dirección y es por
tanto el diagrama plano E de la antena
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Polarización
La polarización en la dirección de los ejes se obtiene
particularizando en las expresiones del vector de polarización
eje X: (θ=90º, φ=0º)
Nθ = jkIl1l2
Polarización lineal según θ̂
Nφ = 0
eje y: (θ=90º, φ=90º)
Nθ = − jkIl1l2
Nφ = 0
Polarización lineal según θ̂
eje Z: (θ=0º, φ=indeterminado) No podemos expresar la polarización
en función de los vectores de esféricas. Observamos la polarización
de cada espira por separado y aplicamos superposición:
G
N1 = jkIl1l2 xˆ
G
N 2 = − jkIl1l2 yˆ
Lineal según xˆ − yˆ
Directividad
El cálculo de la directividad podemos hacerlo a partir de la
integración del diagrama de potencia de la antena
Dmáx =
4π
∫∫ t (θ ,φ ) d Ω
Ω
siendo
2
t (θ , φ ) =
Nθ (θ , φ ) + Nφ (θ , φ )
N máx
2
2
=
1⎡
2
2
cos φ − sen φ ) + cos 2 θ ( cos φ + sen φ ) ⎤
(
⎦
2⎣
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1
∫∫Ω t (θ , φ )d Ω = 2
2π
2π
π
1
2
∫0 dφ ∫0 sen θ dθ + 2 ∫0 dφ ∫0 cos θ sen θ dθ +
2π
+
π
π
1⎛
4π ⎞
2
∫0 sen φ cos φ dφ ∫0 (1 − cos θ ) sen θ dθ = 2 ⎜⎝ 4π + 3 ⎟⎠
La directividad resulta Dmáx = 1.5. Valor esperado ya que cualquier
antena eléctricamente pequeña presenta esta directividad.
Longitud efectiva
e) La longitud efectiva máxima de la antena se obtiene mediante
G
jkl l
1 G
I
lef máx = N máx = jkl1l2 ( xˆ + yˆ ) = 1 2 ( xˆ − yˆ )
I0
I0
2
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