ESTADÍSTICA II Tema II 1 TEMA II: DISTRIBUCIONES

ESTADÍSTICA II
TEMA II: DISTRIBUCIONES RELACIONADAS CON LA NORMAL
II.1.- Distribución chi-cuadrado.
II.1.1.-
Definición.
II.1.2.-
Función de densidad. Representación gráfica.
II.1.3.-
Media y varianza.
II.1.4.-
Función de distribución. Uso de tablas.
II.2.- Distribución F de Fisher-Snedecor.
II.2.1.-
Definición.
II.2.2.-
Función de densidad. Representación gráfica.
II.2.3.-
Media y varianza.
II.2.4.-
Función de distribución. Uso de tablas.
II.3.- Distribución t-student.
II.3.1.-
Definición.
II.3.2.-
Función de densidad. Representación gráfica.
II.3.3.-
Media y varianza.
II.3.4.-
Función de distribución. Uso de las tablas.
II.4.- Tablas.
1
Tema II
ESTADÍSTICA II
II.1.- Distribución chi-cuadrado (ji-cuadrado).
II.1.1.- Definición.
Sean x1, x2, ..., xn variables independientes que siguen una
distribución N(0,1).
Sea X una nueva variable definida según:
n
X = x21 + x 22 + ...+ x 2n = ∑ x 2i
i =1
en este caso, se dice que X se distribuye como una CHICUADRADO, con n grados de libertad, que representamos
como: X → χ2n
II.1.2.- Función de densidad. Representación gráfica.
La obtenemos a partir de la función de densidad de la
distribución GAMMA:
 λα
α -1 λ x
si x > 0
 Γ( α ) X e

f(x)= 

0
si x ≤ 0


G(t)= (
λ α
)
λ- t
397







para λ > t
Tema II
Distribuciones relacionadas con la Normal
398
Tema II
ESTADÍSTICA II
α=
sustituyendo los valores de
n
1
y λ=
2
2
en la función de
densidad y generatriz de momentos de la GAMMA, obtenemos
las funciones correspondientes de la distribución CHICUADRADO.
 1 n2

( )

1
 2 X n2 -1 e - 2 X si x > 0 
 Γ( n )



2


f(x)= 

 0
si x ≤ 0 










La
representación
gráfica
de
la
función
de
densidad,
depende de los grados de libertad. Para valores pequeños
de n la función de densidad de χ2n tiene una larga cola a
la derecha. Al crecer n, el centro de la distribución se
desplaza hacia la derecha y la forma de la función de
densidad se hace más simétrica; para n grande (n>30) la
función
χ2n se puede aproximar por una N(n, 2n).
II.1.3.- Media y varianza.
Se puede demostrar fácilmente con el uso de la función
generatriz e momentos y de la relación de la chi-cuadrado
con la distribución Gamma que la media de una distribución
chi-cuadrado de n grados de libertad vale n y su varianza
2n.
II.1.4.- Función de distribución. Uso de las tablas.
La
función
de
distribución
399
de
una
distribución
chi-
Tema II
Distribuciones relacionadas con la Normal
cuadrado se obtiene mediante la integral de la función de
densidad.
F(x)= P(X ≤ x) = ∫ x0 f(X) dx
para X > 0
Llegando al siguiente resultado
1 n
)2 n 1
-1 - x
F(x)= ∫ 0x 2
2 dx
n X2 e
Γ( )
2
(
que como se puede observar no es nada manejable. Es por
ello que en vez de trabajar con esta expresión, y tal y
como se hizo con la distribución normal, trabajaremos con
tablas. Estas tablas pueden informarnos bien del propio
valor
de
la
función
complementario
de
la
de
distribución,
función
de
o
bien,
distribución.
En
el
el
apartado II.4 de este tema tenemos las tablas de la chicuadrado en la cual se nos da el complementario de la
función de distribución. Como se puede observar, la tabla
de la chi-cuadrado se encuentra dividida en dos partes.
Centrándonos en la primera parte de la tabla (la segunda
es totalmente similar en cuanto a interpretación), la
primera columna no da los grados de libertad y la primera
fila la probabilidad que deja a su derecha el punto que
nos indica la parte central de la tabla.
Esto significa que, por ejemplo, el valor de la variable
2.55821 correspondiente a una chi-cuadrado de 10 grados de
libertad deja a su derecha una probabilidad igual a 0.99.
Obsérvese que a partir de esta tabla calcular la función
de distribución es inmediato. De esta manera, la función
de
distribución
de
una
chi-cuadrado
de
15
grados
de
libertad en el punto 7.26094 es iagual a 1-0.95=0.05
400
Tema II
ESTADÍSTICA II
EJEMPLO: La variable aleatoria U sigue una distribución
Chi-cuadrado. Calcular "a" tal que:
P(U>a) = 0,05
a)
Para 18 grados de libertad.
b)
Para 55 grados de libertad.
SOLUCION:
a)
P(U>28,9) = 0,05
b)
P(U>73,3) = 0,05
En
este
entre
caso
hemos
interpolado
50 y 60 grados de libertad.
II.2.- Distribución F de Fisher-Snedecor.
II.2.1.- Definición.
Sean U y V dos variables aleatorias independientes, tal
que:
U → χ2m y V → χ2n
Sea una variable X definida como:
X=
X
así
definida,
sigue
una
U/m
V/n
distribución
F
DE
FISHER-
SNEDECOR de m y n grados de libertad, que representamos
como: x → F m,n
II.2.2.- Función de densidad. Representación gráfica.
La función de densidad de una F se obtiene a partir de la
401
Tema II
Distribuciones relacionadas con la Normal
función
de
densidad
conjunta
de
U
y
V,
y
tiene
la
siguiente expresión.
m+ n
) m n m
m +n
m
2
f(x)=
( ) 2 x 2 -1 (1 + x )- 2
m
n
n
Γ( ) Γ( ) n
2
2
Γ(
para todo valor de x>0. Es evidente, por su construcción,
que
solo
puede
tomar
valores
positivos,
como
la
chi-
cuadrado.
La
forma
de
la
representación
gráfica
depende
de
los
valores
m y n, de tal forma que si m y n tienden a infinitos,
dicha distribución se asemeja a la distribución normal.
II.2.3.- Media y varianza.
La media
existe si "n" es mayor o igual que 3, y la
varianza existe si "n" es mayor o igual que 5 y sus
valores son:
µ = α1 =
2
2
σ = α2 - α1 =
n
n -2
2 n2 (m + n - 2)
m(n - 2 )2 (n - 4)
II.2.4.- Función de distribución. Uso de tablas.
La
función
de
distribución
la
tendremos
que
calcular
mediante la expresión general.
402
Tema II
ESTADÍSTICA II
F(x)= ∫0x f(x) dx
que dada la forma de la función de densidad se hace muy
poco manejable por lo cual tendremos que recurrir de nuevo
al uso de las tablas.
En
el
epígrafe
II.4
se
muestran
las
tablas
de
la
distribución F de Fisher-Snedecor.
En este epígrafe se puede observar que las tablas de la
distribución F se han dividido en 10 partes. Vamos a
explicar la parte 1 solamente puesto que el resto tienen
una lectura similar.
En la tabla de la F de Fisher-Snedecor se presentan: en la
primera columna, los grados de libertad del denominador,
esto es el valor de n. En la primera fila se muestra
primero el valor de α, que como puede verse en la gráfica
de la tabla es la probabilidad que queda a la derecha del
punto seleccionado. A continuación aparecen los grados de
libertad del numerador, es decir, el valor de m. En el
interior de la tabla se muestran los valores que dejan a
su derecha una probabilidad α para los grados de libertad
m y n seleccionados.
Por ejemplo, el valor 9.12 de una distribución F de 4 y 3
grados de libertad deja a su derecha una probabilidad
igual a 0.05. Obsérvese que el cálculo de la función de
distribución es inmediato. De esta manera, la función de
distribución de una distribución F de 4 y 3 grados de
libertad en el punto 9.12 es 1-0.05=0.95
Una PROPIEDAD de esta distribución es que la inversa de
una variable aleatoria con distribución Fm,n sigue también
403
Tema II
Distribuciones relacionadas con la Normal
una distribución F con n y m grados de libertad. Es decir,
Si X → F m,n ⇒ X -1 → F n,m
Y como consecuencia de esta propiedad se cumple:
P( F m,n ≥ C) = P(
1
1
1
≤ ) = P( F n,m ≤ )
c
F m,n c
Con este resultado podemos obtener los valores de Fm,n
correspondientes al 0.9, 0.95, 0.975, 0.99 y 0.995 tomando
los valores inversos de los valores de Fn,m correspondientes
al 0.1, 0.05, 0.025 y 0.005 que son los que se muestran en
las tablas de la F que se presentan en el epígrafe II.4.
EJEMPLO: Las tablas nos dan, para m = 10 y n = 6, el
percentil 90 =2,94; el percentil 95 = 4,06. Calcular los
valores de la distribución F de 6 y 10 grados de libertad
que dejan a su izquierda una masa de probabilidad de 0.1 y
0.05 respectivamente.
SOLUCION:
P( F 10,6 ≤ 2,94) = 0,9
P( F 10,6 ≤ 4,06) = 0,95
1
= 0,34
2,94
1
= 0,25
4,06
P( F 6,10 ≤ 0,34) = 0,1
P( F 6,10 ≤ 0,25) = 0,05
II.3.- Distribución t-Student.
404
Tema II
ESTADÍSTICA II
II.3.1.- Definición.
Sea "U" una variable aleatoria que sigue una distribución
N(0,1).
Sea "V" una variable aleatoria que sigue una distribución
Chi-cuadrado con "n" grados de libertad. Ambas variables,
U y V, son independientes.
La nueva variable formada como:
X=
U
V/n
sigue una distribución t-STUDENT con n grados de libertad.
II.3.2.- La función de densidad. Representación gráfica.
Esta variable toma valores en todo el conjunto de los
números reales y su función de densidad es de la forma:
2


f(x)= K n 1 + x 
n

-
n+1
2
-∞ ≤ X ≤∞
Kn es el valor necesario para que sea una función de
densidad, es decir, que la integral extendida a todo el
campo de dicha función sea igual a la unidad.
Propiedades de la función de distribución t-Student:
405
Tema II
Distribuciones relacionadas con la Normal
a)
Es simétrica con respecto al origen.
F(-x) = 1 - F(x)
b)
Su forma es muy parecida a la N(0, 1), aunque menos
apuntada.
c)
La recta Y = 0 es una asíntota horizontal:
Lim f(x)= Lim f(x)= 0
x →∞
x→ - ∞
II.3.4.- Media y varianza.
La MEDIA Y VARIANZA de esta distribución son:
µ = E[x] = 0
σ2 =
n
n -2
II.3.4.- La función de distribución. Uso de las tablas .
Tal y como hicimos con las distribuciones chi-cuadrado y F
de Fisher-Snedecor, para el cálculo de probabilidades en
la distribución t-Student utilizaremos tablas. La tabla
correspondiente se muestra en el epígrafe II.4
En la primera fila se muestran los valores de α, es decir,
la probabilidad de que la variable tome un valor mayor que
el
considerado.
En
la
última
columna
se
muestran
los
grados de libertad y en el centro de la tabla nos da los
valores de la probabilidad. De esta manera, una t-Student
de 10 grados de libertad deja a la derecha del punto 2.764
una probabilidad igual a 0.01. Con lo cual, la función de
distribución en el punto 2.764 para una t-Student de 10
grados de libertad vale 1-0.01=0.99
406
Tema II
ESTADÍSTICA II
EJEMPLO:
Calcular
la
probabilidad
de
que
"t"
esté
comprendida entre 0,260 y 1,812 con 10 grados de libertad.
SOLUCION:
P[0,260 ≤ t 10 = 1,812] =
= F(1,812) - F(0,260) =
= 0,95 - 0,60 = 0,35
407
Tema II
Distribuciones relacionadas con la Normal
II.4.- Tablas.
Tabla de la t de Student
408
Tema II
ESTADÍSTICA II
Tabla de la ji-cuadrado. Parte 1
409
Tema II
Distribuciones relacionadas con la Normal
Tabla de la ji-cuadrado. Parte 2
410
Tema II
ESTADÍSTICA II
Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 1
411
Tema II
Distribuciones relacionadas con la Normal
Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 2
412
Tema II
ESTADÍSTICA II
Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 3
413
Tema II
Distribuciones relacionadas con la Normal
Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 4
414
Tema II
ESTADÍSTICA II
Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 5
415
Tema II
Distribuciones relacionadas con la Normal
Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 6
416
Tema II
ESTADÍSTICA II
Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 7
417
Tema II
Distribuciones relacionadas con la Normal
Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 8
418
Tema II
ESTADÍSTICA II
Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 9
419
Tema II
Distribuciones relacionadas con la Normal
Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte10
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