Trigonometría esférica

Trigonometría esférica
1.- En un triángulo esférico rectilátero a = 90°:
a) cos A = cos B. cos C
b) sen A = sen c / sen C
c) sen A = sen B / sen b
2.-Sea A B C un triángulo esférico rectángulo con A = 90°. Puede ocurrir que:
a) B+C<90º
b) b = 70°, B = 130°
c) b = 70°, c = 130°
3.- En un triángulo esférico rectángulo (A=90º) se puede asegurar que:
a) cos a = sen c. sen b
b) sen c = sen a. sen C
c) cos c = cotg B. tg b
4.-Consideremos un triángulo esférico rectángulo donde A = 90°. Es posible que:
a) c = 30°, C = 100°
b) a, b<90°, c>90°.
c) Ninguna de las anteriores
5.- En un triángulo esférico rectángulo, un cateto y su ángulo opuesto:
a) Son ambos menores de 90°.
b) Son ambos mayores de 90°.
c) Son ambos menores, o ambos mayores de 90°.
6.- Sean A = 90°, b = 45°, c = 55°, entonces:
a) a <90°
b) a>90°
c) No pueden ser los dos catetos agudos.
7.- Los lados y ángulos de un triángulo esférico verifican:
a) 0<a+b+c<180º
b) 180º<A+B+C<540º
c) Si A<90º entonces a<90º
8.- En un triángulo esférico rectilátero (a=90°), se cumple:
a) cos a = cos b. cos c
b) cos b = sen b. cos A
c) cos c = sen b. cos C
9.- Si un triángulo esférico T tiene por lados a=b=c=100o
a) Su triángulo polar tiene por lados ap=bp=cp=80o.
b) Su triángulo polar tiene la misma superficie.
c) Su triángulo polar tiene por ángulos Ap=Bp=Cp=80o.
10.- En un triángulo esférico la altura esférica sobre el lado “c” es tal que:
a) sen h c = sen a sen C
b) sen h c = sen a sen B
c) sen h c = sen c sen A
11- Indicar en qué caso es posible construir un triángulo esférico con los siguientes datos:
a) A = 70D B = 40D C = 70D
b) a = 170D b = 150D c = 50D
c) a = 42D b = 52D c = 57D
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12.- En un triángulo rectángulo (A=90º), NO se puede asegurar que:
a) sen c = cotg B tg b
b) tg C = tg c cosec b
c) cos B = sen C sen c
13.- Sea ABC un triángulo esférico rectángulo (A = 90 D ), se verifica:
a) b y c son ambos agudos o ambos obtusos.
b) b y B son ambos agudos o ambos obtusos.
c) Si c y C son ambos agudos o ambos obtusos, entonces la hipotenusa a es aguda.
14.- Sea A`B`C` el triángulo polar del triángulo esférico ABC; entonces, se verifica:
a) El defecto esférico del triángulo ABC coincide con el exceso esférico del A`B`C`.
b) A`= 180 D − A, B`= 180 D − B, C`= 180 D − C
c) Ambos triángulos tienen la misma superficie sobre una determinada esfera.
15.- Es posible obtener un triángulo esférico ABC cuyos lados sean:
a) 170 D , 150 D , 10 D
b) 170 D , 150 D , 50 D
c) 160 D , 110 D , 85 D
16.- Dos ciclos son ortogonales si y sólo si:
a) Uno pasa por los polos del otro.
b) Ambos son ortogonales a otro ciclo.
c) Ambos son paralelos a otro ciclo.
17.- Dado un triángulo esférico tal que A = B = C = 90D , su superficie sobre una esfera de radio R
vale:
a) 4πR 2
1
b) πR 2
2
1 3
c) πR
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18.- En un triángulo esférico rectilátero (a=90°), se cumple:
a) cos a = cos b. cos c
b) cos c = sen b. cos C
c) cos a = cos b. sen A
19.- En todo triángulo esférico rectángulo (A=90º)
a) Los tres lados son menores de 90º.
b) Sólo uno de ellos es menor de 90º.
c) Los tres lados son menores de 90º, o uno tan sólo de ellos es menor de 90º.
20.- Sea ABC un triángulo esférico rectángulo cuya hipotenusa a mide 30º. Podemos afirmar:
a) A es agudo por serlo a.
b) B y C son ambos agudos o ambos obtusos.
c) Un cateto es agudo y el otro es obtuso.
21.- En un triángulo esférico rectángulo, se verifica:
a) La hipotenusa es menor que la suma de los catetos.
b) La hipotenusa es aguda si los catetos son uno agudo y otro obtuso.
c) Un cateto y su ángulo opuesto son uno agudo y otro obtuso.
22.- La suma de los ángulos de un triángulo esférico es:
a) menor de 180º.
b) mayor de 180º y menor de 360º.
c) mayor de 180º y menor de 540º.
23.- Siendo A=90º, sólo uno de los siguientes triángulos esféricos es posible ¿Cuál?
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a) b=80º, B=95º.
b) a<90º, b>90º, c>90.
c) a>90º, b>90º, c>90
24.-En todo triángulo esférico rectángulo se verifica:
a) Los tres lados son mayores de 90º.
b) Dos lados son menores de 90º.
c) Los tres lados son menores de 90º o tan solo uno de ellos es agudo.
25.- En un triángulo esférico rectángulo, los tres lados pueden ser:
a) Obtusos
b) Agudos
c) Dos agudos y uno obtuso.
26.- En todo triángulo esférico el exceso esférico es siempre:
a) 0.
b) mayor que 360º.
c) positivo.
27.- En un triángulo esférico rectángulo A=90º, puede ocurrir que sean:
a) b agudo y B obtuso.
b) a agudo, B y C obtusos.
c) a, B y C obtusos.
28.- Indicar en qué caso es posible construir un triángulo esférico con los siguientes datos:
‫ ڤ‬a) a=45º, b=49º, c=57º.
‫ ڤ‬b) A=60º, B=40º, C=65º.
‫ ڤ‬c) A=90º, b= 30º, B=130º.
29.- La suma de los ángulos de un triangulo esférico verifica:
a) 0º<A+B+C<540º.
b) 0º<A+B+C<360º.
c) 180º<A+B+C<540º.
30.- En todo triángulo esférico rectángulo se verifica:
a) Los tres lados son agudos o los tres son obtusos
b) Un cateto y su ángulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos simultáneamente.
c) La suma de los ángulos es 180º
31.- En un triángulo esférico se verifica que la suma de los tres lados es:
a) menor que cuatro rectos.
b) mayor que cuatro rectos y menor que seis rectos.
c) mayor que cuatro rectos.
32.- Sobre una esfera, la distancia esférica entre el vértice de un triángulo y su lado opuesto viene
dada por:
a) La mediana esférica sobre dicho lado.
b) La altura esférica sobre dicho lado.
c) La media de las longitudes de los otros dos lados del triángulo.
33.- Consideremos un triángulo esférico rectángulo donde A=90º. Es posible que:
a) b=20º y B=110º.
b) a,b<90º y c>90º.
c) a=30º; c=30º y B=40º.
34.- Es posible encontrar un triángulo esférico rectángulo (A=90º) que verifique:
a) a<90º, B>90º, C<90º.
b) a<90º, B>90º, b<90º.
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c) a<90º, b<90º, C<90º.
35.- En todo triángulo esférico rectángulo, se verifica:
a) Los tres lados son agudos o los tres obtusos.
b) Un cateto y su ángulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos.
c) La suma de los ángulos es menor de 180º.
36.- Considerando la Tierra como una superficie esférica, los triángulos esféricos sobre la misma se
pueden formar con arcos de:
a) paralelos y meridianos.
b) meridianos.
c) ciclos y meridianos.
37.- Sólo uno de los siguientes triángulos esféricos es posible ¿cuál?
a) a=130º, b=145º, c=100º.
b) A=30º, B=45º, C=50º.
c) a=40º, b=70º, c=54º.
38.- Si un triángulo esférico es rectilátero, su triángulo polar es:
a) rectángulo.
b) rectilátero.
c) equilátero.
39.- La superficie de un triángulo esférico en una esfera de radio r cuyos ángulos A, B, y C vienen
expresados en grados sexagesimales es:
πr 2
a) S =
(1 8 0 º − ( A + B + C ) )
180º
πr 2
b) S =
(A + B + C − 18 0 º )
180º
c) S = r 2 ( A + B + C )
40.- En un triángulo esférico cualquiera ABC, se verifica:
a) a<A ⇔ b<B
b) a<b<c ⇔ A<B<C
c) a<90º ⇔ A<90º
41.- Sea A’B’C’ el triángulo polar del triángulo esférico ABC. Se verifica:
a) Ambos triángulos ABC y A’B’C’ tienen la misma área.
b) A’=180º-A, B’=180º-B, C’=180º-C
c) a=180º-A’, b=180º-B’, c=180º-C’
42.- En cualquier triángulo esférico ABC se verifica:
a) b y B son ambos agudos o ambos obtusos.
b) A+B+C<180º.
c) a+b+c<360º.
43.- El polo Norte y dos ciudades A y B situadas sobre el mismo paralelo:
a) No determinan un triángulo esférico.
b) Determinan un triángulo esférico rectángulo.
c) Determinan un triángulo esférico isósceles.
44.- Sea ABC un triángulo esférico con, al menos, un ángulo recto A = 90 D . Si a + b = 180 D ,
entonces:
a) B < 90 D
b) B > 90 D
c) B = 90 D
45.- Sea ABC un triángulo esférico rectángulo (A = 90 D ). Si b < 90 D , entonces:
a) b < B
b) b > B
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D
c) B > 90
46.- Sea ABC un triángulo esférico. Marcar la opción correcta:
a+b
a+b
a) Si tg
= −1 , entonces
= 135º
2
2
a+b
a+b
b) Si tg
= 1 , entonces
= 225º
2
2
a+b
< 0.
c) No puede ocurrir que sea tg
2
47.- En todo triángulo rectángulo se cumple:
 a) Los dos catetos son ambos agudos
 b) Un cateto y la hipotenusa son agudos
 c) Un cateto y su ángulo opuestos son ambos agudos o ambos obtusos
48.- Sobre la superficie de la esfera Terrestre, los círculos máximos son:
 a) Los paralelos y el meridiano de Greenwich.
 b) Los paralelos y los meridianos.
 c) Ninguna de las anteriores.
49.- En cualquier triángulo esférico se verifica:
a) a<A ⇔ b<B
b) A<B ⇔ a<b
c) A+B+C<a+b+c
50.- En un triángulo esférico equilátero y rectángulo la superficie esférica es:
a) Un octante de la esfera.
b) Una cuarta parte de la esfera.
c) La mitad de la esfera.
51.- De los siguientes triángulos, ¿cuál es esférico?
a) A=B=C=100º.
b) A=B=C=60º.
c) a=b=c=120º.
52.- En un triángulo esférico ABC rectángulo en A, se verifica que:
a) sen c = tg b tg B
b) sen C = tg a cotg b
c) cos B = cotg a tg c
53.- Si A’B’C’ es el triángulo polar del ABC, se verifica:
a) A’=180º-A, B’=180º-B, C’=180º-C
b) Ambos triángulos tienen la misma área.
c) A’, B’, y C’ son polos de los arcos a, b y c respectivamente.
54.- En un triángulo esférico rectángulo (A=90º), se puede asegurar que:
a) sen c = cotg B tg b
b) tg C = tg c cos b
c) cos B = sen C sen c
55.- En todo triángulo esférico el exceso esférico es siempre:
a) negativo.
b) nulo.
c) positivo.
56.- Considerando la Tierra como una superficie esférica, la distancia esférica entre dos puntos se
obtiene siempre con arcos de:
a) paralelos y meridianos.
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b) meridianos.
c) circunferencias máximas.
57.- Sólo uno de los siguientes triángulos esféricos es posible ¿cuál?
a) a=130º, b=150º, c=100º.
b) A=60º, B=70º, C=45º.
c) A=90º, b=30º, c=30º.
58.- El ángulo formado por los meridianos que pasan por La Coruña (4º 43’ O, 43º 22’ N), y
Barcelona (5º 50’ E, 41º 24’ N) es:
a) 10º 33’.
b) 1º 7’.
c) 1º 58’.
59.- Si en un triángulo esférico ABC la altura sobre el lado a es interior al triángulo, entonces:
a) Los ángulos B y C son ambos agudos.
b) Los ángulos B y C son ambos agudos o ambos obtusos.
c) Los ángulos B y C tienen distinto carácter (uno agudo y otro obtuso).
60.- Sea ABC un triángulo esférico rectángulo (A = 90º). Se verifica:
a) B, C agudos ⇒ b, c agudos.
b) B, C agudos ⇒ a obtuso.
c) B agudos, C obtuso ⇒ a agudo.
61.- Sea A’B’C’ el triángulo esférico polar del ABC. Se verifica:
a) a’ = 180º - A’.
b) A’ = 180º - a.
c) A = 180º - A’.
62.- Sea ABC un triángulo esférico tal que A=80º, B=100º, C=120º. Su superficie sobre una esfera
de radio R vale:
2
a) πR 2
3
10 2
b)
πR
6
4
c) πR 3
3
63.- Un triángulo esférico se define como:
a) Tres arcos de ciclo que se cortan dos a dos.
b) Toda porción de superficie esférica limitada por tres arcos de ciclo que se cortan dos a
dos.
c) Ninguna de las anteriores.
64.- En toda superficie esférica de radio R, se verifica:
a) La distancia medida, en grados sexagesimales, entre dos cualesquiera de sus puntos
puede medir más de 180º.
b) Cada ciclo tiene dos polos.
πR 2
c) El área de un triángulo esférico ABC es
( A + B + C) .
180º
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