TEMA 9. VECTORES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Página 158 Págs. 158 a 169 Página 161 1. Obtenemos los siguientes vectores: 4. La representación es la siguiente: ! " ) ! !#$#" ! !#%#" " %" ! ! " ( ­2 x − 3 = −9 ; 5. a) ® ¯4 = 6 − y &! '! Página 159 2. u = (2, 0) v = (0, 3) x = (3, 3) = a u + b v → a = 3 / 2, b = 1 y = (3, 6) = a u + b v → a = 3 / 2, b = 2 z = (3, 1) = a u + b v → a = 3 / 2, b = 1 / 3 3. u = (1, 0) x = −3, y = 2 ­4 − 5x = −11 b) ® ; ¯− 6 = 2 x + y x = 3, y = −12 9 6. a) (7, 7) b) (−8, −5) c) (−3, −1) d) (16, 17) e) (−10, 3) f) (28, 22) 7. u = (a , b) a) a = 11, b = 6 → u = (11, 6) v = (0, 2) b) a = −7, b = 18 → u = (−7, 18) a = (3, 4) = k u + h v → k = 3, h = 2 c) a = 9, b = 14 → u = (9, 14) b = (4, 1) = k u + h v → k = 4, h = 1 / 2 d) a = −11, b = −6 → u = (−11, −6) c = (3, −4) = k u + h v → k = 3, h = −2 Página 162 Piensa y contesta • Suponiendo que sea k el número no nulo: u = − h h h v → u1 = − v 1 , u2 = − v 2 k k k Por lo tanto, los dos vectores tienen la misma dirección. 8. u ⋅ v = 3 ⋅ 8 ⋅ cos 60 = 12 9. proy v u = 5 ⋅ cos 45 = 3,54 10. Si tienen el mismo sentido, sí, si no, es −6 porque cos 0 = 1 y cos 180 = −1 11. Si tienen el mismo sentido, 1. Si tienen sentidos opuestos, −1. 9-9 © VICENS VIVES Página 160 TEMA 9. VECTORES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs.158 a 169 Página 163 Por lo tanto: 12. a) 2 ⋅ 3 + (−3) ⋅ 4 = −6 b) 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 4 = 19 ­8x − 3y = 0 → ® 2 2 ¯x + 3 = 45 c) (2, −3) ⋅ (−7, −4) = 2 ⋅ (−7) + (−3) ⋅ (−4) = −2 Dos soluciones: d) (3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 4) ⋅ (8, −12) = 19 ⋅ (8, −12) = (152, , −228) x = −6, y = −16 x = 6, y = 16 e) (2, −3) ⋅ (4, 8) = 2 ⋅ 4 + (−3) ⋅ 8 = −16 f) (4, −6) ⋅ (9, 12) = 4 ⋅ 9 + (−6) ⋅ 12 = −36 13. u ⋅ v = 2 ⋅ 6 + (−3) ⋅ 4 = 0 → Página 167 → Forman un ángulo de 90° 1. Módulo: longitud del vector 14. u ⋅ v = 2x − 12 = 4 → x = 8 Dirección: recta en la que se apoya u ⋅ v = 2x − 12 = 0 → x = 6 9 Sentido: orientación que tiene el vector en la recta Página 164 2. Cuando se puede escribir w = a u + b v donde a y b son números reales. Actividad personal. Piensa y contesta 3. Deben ser no nulos y tener diferente dirección. • ku = (ku 1 )2 + (ku 2 )2 ( ) = k 2 u 12 + u 22 = = k u 12 + u 22 = k u 5. Son los números reales con los que se escribe como combinación lineal de los vectores de la base. 12 + 2 2 = 5 15. a) ( ) 22 + 4 2 b) 16. a) u = 5 2 + 2 = 36 = 6 ( 11) 2 6. Suma → se suman las componentes = 36 = 6 → b) v = 12 2 + 16 2 = 400 = 20 → § 12 16 · § 3 4 · § 3 4· → ¨ , ¸ = ¨ , ¸ y ¨ − ,− ¸ 20 20 5 5 © ¹ © ¹ © 5 5¹ ( ) −10 + 0 ( ) 30 + 56 © VICENS VIVES b) cos u , v = 18. 0 = 9-10 8x − 3y 45 ⋅ v 10 ⋅ 10 74 ⋅10 = = −1 10 = −0,316 → 108,43° 86 74 ⋅10 Producto por un número real → se multiplican las dos componentes por el número. 7. Es el producto de los módulos de los vectores y el coseno del ángulo que forman. Es 0 cuando son perpendiculares. § 5 11 · § 5 · ¸ y ¨ − ,− 11 ¸ →¨ , ¨6 6 ¸ ¨ 6 6 ¸¹ © ¹ © 17. a) cos u , v = 4. Base ortogonal es aquella en la que los vectores que la forman son perpendiculares. Base ortonormal es aquella en la que, además de ser perpendiculares, tienen módulo 1. = 0,9997 → 1,33° El producto escalar verifica la propiedad conmutativa, distributiva respecto de la suma y para cualquier ( ) ( ) 8. Es el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Si el ángulo que forman los vectores es obtuso, es negativo, si es agudo, positivo. 9. u ⋅ v = u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 Entonces: = ( ) ( ) número real k, k u ⋅ v = k u ⋅ v = u ⋅ k v = u ⋅ v k. u ⋅ u = u1 ⋅ u1 + u2 ⋅ u2 = u Por otra parte: 2 TEMA 9. VECTORES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES ( ) ( ) u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos u , v → cos u , v = = u⋅v u⋅v Págs. 158 a 169 = !#$#" " " u 1 ⋅ v1 + u 2 ⋅ v 2 ! u 12 + u 22 ⋅ v 12 + v 22 %&" 10. Sí, si tienen el mismo sentido. Si el sentido es opuesto, el módulo es la diferencia entre módulos. 2 u + v = ( u + v) 1 ⋅ ( u + v) 1 + ( u + v) 2 ⋅ ( u + v) 2 = = (u 1 + v 1 ) ⋅ (u 1 + v 1 ) + (u 2 + v 2 ) ⋅ (u 2 + v 2 ) = = u 1 ⋅ u 1 + v1 ⋅ v1 + 2 ⋅ u 1 ⋅ v1 + 2 ,! %'#*!#$#"+ 2 + u 2 ⋅ u 2 + v2 ⋅ v2 + 2 ⋅ u 2 ⋅ v2 = u + v + 2 ! 2 + 2 ⋅ u ⋅ v = u + v ± 2 ⋅ u ⋅ v donde el signo será positivo si los vectores tienen el mismo sentido, pues cos 0 = 1, y negativo si tienen sentidos opuestos, pues cos 180 = −1. 14. Los vectores son los siguientes: 9 Por lo tanto: u + v = u + v si tienen el mismo sentido. " ( ! ! u + v = u − v si tienen sentido opuesto. ! 11. Las sumas son las siguientes: ! ) ! " !#$#" 15. u = (3, 0) "#$#! v = (0, 3) ! " x = (2, −4) y = (3, 2) z = (6, 1) 12. Las sumas son las siguientes: w = (3, −2) " Por lo tanto: ! " *!#$#"+#$#( 13. Las representaciones son las siguientes: *"#$#(+#$#! ( ! x = 2 4 u− v 3 3 y =u + © VICENS VIVES ( 2 v 3 z = 2u + 1 v 3 9-11 TEMA 9. VECTORES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES w =u − 2 v 3 u y v forman una base y, por lo tanto, cualquier vector podría expresarse como combinación lineal de ellos. Págs.158 a 169 d) (17, 15) 19. a) (−1, 9) b) (33, −24) c) (21, −21) d) (−4, 15) Página 168 16. u = (2, 0) v = (0, 1) x = (1, −3) y = (4, 1) z = (6, 2) w = (−3, 0) s = (−2, 2) t = (0, 3) 9 Por lo tanto: x = 1 u − 3v 2 ­2 = a + b b) ® → a = 3, b = −1 → r = 3 u − 1 v ¯7 = 2a − b ­1 = a + b c) ® → a = −1, b = 2 → s = − u + 2 v ¯− 4 = 2a − b 21. No pueden ser iguales. 22. a) b) 3x − 3 6 = → x = −8 9 −2 6 3x = → 108 = 3x2 → 3x2 − 108 = 0 → x = ±6 x 18 23. a) 2,4 y = 2u + v b) 5 ⋅ 2 ⋅ 0,5 = 5 z = 3u + 2 v c) 8 ⋅ 3 ⋅ w =− 3 u 2 s = − u + 2v t = 3v §1 · 17. x = ¨ ,−3 ¸ 2 © ¹ y = (2, 1) z = (3, 2) § 3 · w = ¨ − ,0 ¸ © 2 ¹ s = (−1, 2) © VICENS VIVES ­5 = a + b 20. a) ® → a = 2, b = 3 → w = 2 u + 3 v ¯1 = 2a − b t = (0, 3) 18. a) (−7, −12) b) (−10, −14) c) (0, 11) 9-12 3 = 12 3 2 24. 3 ⋅ 5 ⋅ 0,2588 = 3,882 25. a) 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 6 = 24 b) 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 3 = 1 c) 3 ⋅ 5 − 6 ⋅ 3 = −3 d) (2, 3) ⋅ (8, 3) = 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 3 = 25 e) (4, 6) ⋅ (15, −9) = 4 ⋅ 15 − 6 ⋅ 9 = 6 f) 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = 13 26. a) 25 + 144 = 169 = 13 b) 1+1 = 2 c) 3 +1 = 4 = 2 d) 2+2 = 4 =2 e) 225 + 64 = 289 = 17 f) 2+7 = 9 =3 27. u = 8 + 1 = 9 = 3 TEMA 9. VECTORES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES El vector es, por ejemplo: Págs. 158 a 169 ( ) u §¨ 2 2 1 ·¸ , = 3 ¨© 3 3 ¸¹ cos u , v = ( ) 35. a) cos u ,⋅v = El vector es, por ejemplo: u §¨ 2 2 2 2 ·¸ §¨ 2 2 ·¸ ,− ,− . = = ¨ ¸ ¨ 4 © 4 4 ¹ © 2 2 ¸¹ 5 34 − 12 + 20 ( ) b) cos u , v = 27 34 → 170 =− 52 29 8 = 1.508 = 4 377 → 377 12 − 7 58 17 = 5 986 = 5 986 → 986 El ángulo es 80,84°. 100 / 2 2 = 25 = 5 , un vector es: 36. a) (1, −3) ⋅ (10, 16) = 1 ⋅ 10 − 3 ⋅ 16 = −38 b) (1, −3) ⋅ (−25, −28) = −1 ⋅ 25 + 3 ⋅ 28 = 59 u § 6 8· = ¨ − , ¸ = (− 3,4 ) 2 © 2 2¹ c) u = 1 + 9 = 10 30. u = 81 + 144 = 225 = 15 − − 27 El ángulo es 78,11°. 29. u = 36 + 64 = 100 = 10 Los vectores son 5 34 = El ángulo es 157,83°. 28. u = 8 + 8 = 16 = 4 Como − 12 − 15 v + w = 100 + 256 = 356 = 2 89 Por lo tanto: u § 9 12 · § 3 4 · = ¨ , ¸= ¨ , ¸ y 15 ©15 15 ¹ © 5 5 ¹ u § 3 4· = ¨ − ,− ¸ 15 © 5 5 ¹ ( ) cos u , v + w = − 38 10 ⋅ 2 89 − 38 = 2 890 = − 19 890 890 9 → 129,56° 31. Un vector perpendicular a u es v = (4, 3). d) v − w = (8, 8) ( ) u ⋅ v − w = 1 ⋅ 8 − 3 ⋅ 8 = −16 v = 16 + 9 = 25 = 5 v − w = 64 + 64 = 128 = 8 2 Los vectores que buscamos son v § 4 3· =¨ , ¸ y 5 © 5 5¹ v § 4 3· − = ¨ − ,− ¸ . 5 © 5 5¹ ( ) cos u , v − w = − 16 10 ⋅ 8 2 = − 16 8 20 = − 20 → 10 → 116,57° ( ) v + (u + w ) = e) v + u + w = (11, 13) 32. Serán perpendiculares cuando el producto escalar sea 0: 121 + 169 = 290 u ⋅ v = −6 + a (a + 1) = 0; a2 + a − 6 = 0 → Página 169 → a1 = 2, a2 = −3 v = 37. a) u ⋅ v = 0 − 6 + 18 3 + 81 34. u = 9 + 25 = 34 v = 16 + 9 = 25 = 5 = 12 84 12 84 = 2 21 7 4 + 3 (x − 1) = 0 → x = −1 / 3 b) 1 x −1 = → 3 = 4 (x − 1) → x = 7 / 4 4 3 © VICENS VIVES 33. proy v u = u⋅v c) u = 1 + ( x − 1) 2 v = 16 + 9 = 25 = 5 9-13 TEMA 9. VECTORES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs.158 a 169 §1 4 · El vector es w = ¨ ,− ¸ . © 5 15 ¹ u ⋅ v = 4 + 3 (x − 1) cos 60 = 0,5 Tenemos la ecuación: 0,5 = 4 + 3( x − 1) 5 1 + ( x − 1) 2 43. u ⋅ v = 0 → 2a − 3b = 0 → a = ; v = 20 → 3b 2 2 2 + b 2 = 20 → 4 + b2 = 20 → b = 2,5 1 + ( x − 1) 2 = 4 + 3(x − 1); = ±4 → a = ±6 6,25 [1 + (x − 1)2] = 9x2 + 6x + 1; Hay dos soluciones: 12,5 + 6,25x2 − 12,5x = 9x2 + 6x + 1; u 1 = (6, −3), v 1 = (2, 4) 2 2,75x + 18,5x + 1 = 0 → x1 = 0,573, x2 = −7,300 Si sustituimos las soluciones en la ecuación original, observamos que x2 no es válida. 38. Calcularemos en primer lugar el ángulo que determinan los vectores: ( ) cos u , v = 9 44. El trabajo W, que se expresa en Julios, es el producto escalar entre la fuerza ejercida y el desplazamiento, por lo tanto: 56 56 = = 0,861538 → 30,51° 5 ⋅ 13 65 Por lo tanto, el área del triángulo determinado por los vectores, la mitad de la del paralelogramo, es: S’ = u 2 = (−6, −3), v 2 = (2, −4) 1 1 u ⋅ v ⋅ sen 30,51 = ⋅ 5 ⋅13 ⋅ 0,50769 = 16,5 2 2 El área que buscamos es S = 2S’ = 33. S = b ⋅ h = v ⋅ h = 13 ⋅ 33 = 33 13 W = 15 ⋅ 20 ⋅ cos 30 = 15 ⋅ 20 ⋅ ( 46. W = 4 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 = 11 N × m Autoevaluación 1. u = (0, 3) ( ) u ⋅ (v ⋅ w ) = u ⋅ (v ⋅ w + v ⋅ w ) v = (2, 0) No tiene la propiedad asociativa. z = (6,5, 1) 39. u ⋅ v ⋅ w = (u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2) ⋅ w 1 1 2 x = (4, 3) y = (−3, 3) 2 Por lo tanto: 40. a) Número ⋅ Vector = Vector x = u +2 v b) Número ⋅ Número = Número y= u− 41. Los vectores tienen módulo 4 cm y forman un ángulo de 180 − 30 − 45 = 105°: u ⋅ v = 4 ⋅ 4 ⋅ cos 105 = −4,14 42. Sea w = (a, b): © VICENS VIVES Por una parte: 3b v ⋅ w = 0 → 4a + 3b = 0 → a = − 4 z= 9-14 3 v 2 1 7 u+ v 3 2 2. a) (18, −27) b) (−10,7) 3. Sean a y b las componentes: w = a u + b v → a = 0, b = 2 Por otra parte: w ⋅ u = 1→ − ) 45. F1 + F2 + F3 = i + − 2 + 3 j 3b 4 1 ⋅ 1 − 3b = 1 → b = − → a = 4 15 5 4. [(u ⋅ v)⋅ w − (w ⋅ v)⋅ u ]⋅ v = 3 = 150 3 J 2 TEMA 9. VECTORES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES [( ) ( ) ] (( ) ) − ((v ⋅ w ) ⋅ u ) ⋅ v = (u ⋅ v ) ⋅ (w ⋅ v ) − (v ⋅ w ) ⋅ (u ⋅ v ) = = (u ⋅ v ) ⋅ (v ⋅ w ) − (v ⋅ w ) ⋅ (u ⋅ v ) = = (u ⋅ v ) ⋅ (v ⋅ w ) − (u ⋅ v ) ⋅ (v ⋅ w ) = 0 = u⋅v ⋅w − v⋅w ⋅u ⋅v= u⋅v ⋅w ⋅v− ( 2 =2 2 2 )( 6. Calculamos 3u − 2 v ⋅ w − 5v ) c) cos 120 = −5 + 12( x − 1) 1 + ( x − 1) 2 25 + 144 −0,5 1 + ( x − 1) 2 25 + 144 = −5 + 12 (x − 1); 84,5 + 42,25x2 − 84,5x = 289 − 408x + 144x2; 101,75x2 − 323,5x + 204,5 = 0; x1 = 2,31; x2 = 0,87 Si comprobamos en la ecuación original, observamos que x1 no es una solución válida. 10. Sea u = (a, b) el vector que buscamos: 3u − 2 v = (−6, 1) w − 5v = (3, 13) 5 = a 2 + b 2 → a = ± 25 − b 2 Por lo tanto: Por otra parte: v = (3u − 2v)⋅ (w − 5v) = −18 + 13 = −5 7. u = 50 + 50 = 100 = 10 § 5 2 − 50 · § · u ¸ = ¨− 2 , 2 ¸ − = −¨ , ¨ 10 10 ¸¹ ¨© 2 2 ¸¹ u © 13 17 ± 3 25 − b 2 − 2b = 2,5 ⋅ 13 ; 9 ± 3 25 − b 2 = 2,5 ⋅ 13 + 2b ; 9 (25 − b2) = 81,25 + 36,06b + 4b2; b1 es solución de la ecuación cuando tomamos a positivo y b2 es la solución de la ecuación cuando tomamos a negativo. v = 1 + 16 = 17 −3+8 Finalmente, se debe verificar: 13b2 + 36,06b − 143,75 = 0 → b1 = 2,22, b2 = −4,99 8. u = 9 + 4 = 13 ( ) 9 + 4 = 13 §¨ ± 25 − b 2 , b ·¸ ⋅ (3,−2) = 5 ⋅ 13 ⋅ cos 60; © ¹ El vector que buscamos es: cos u , v = ; = 5 221 = 5 221 → 221 El ángulo es 70,35°. 9. a) −5 + 12 (x − 1) = 0 → x = 17 / 12 1 x −1 = → 12 = −5 (x − 1) → x = −7 / 5 b) − 5 12 b1 = 2,22 → a1 = 4,48 b2 = −4,99 → a2 = −0,32 Las soluciones son: u 1 = (4,48;2,22) u 2 = (− 0,32;−4,99) © VICENS VIVES 5. 4 ⋅ cos 135 = 4 Págs. 158 a 169 9-15