Movimiento del punto libre - Escuela Técnica Superior de

Movimiento del punto libre
Mecánica II
Tema 2 - Continuación
Manuel Ruiz Delgado
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos
Universidad Politécnica de Madrid
Movimiento del punto libre– p. 1/??
Mecánica Orbital
Problema de los dos cuerpos
Formulación Inercial
Formulación CDM
Formulación relativa
Simplificaciones → Problema de Kepler
Formulación
Integrales primeras
Trayectoria
Energía y Periodo
Velocidad
Ley horaria: Ecuación de Kepler
Elementos clásicos de la órbita
Movimiento del punto libre– p. 2/??
Problema de dos cuerpos: formulación inercial
m1 , m2 partículas; S1 sistema inercial
r2
r1
S1
Movimiento del punto libre– p. 3/??
Problema de dos cuerpos: formulación inercial
m1 , m2 partículas; S1 sistema inercial
F12 , F21 atracción gravitatoria
F21
F12
r2
r1
S1
Movimiento del punto libre– p. 3/??
Problema de dos cuerpos: formulación inercial
m1 , m2 partículas; S1 sistema inercial
F12 , F21 atracción gravitatoria
P1 , P2 otras fuerzas (“Perturbaciones”)
P2
F21
F12
r2
P1
r1
S1
Movimiento del punto libre– p. 3/??
Problema de dos cuerpos: formulación inercial
m1 , m2 partículas; S1 sistema inercial
F12 , F21 atracción gravitatoria
P1 , P2 otras fuerzas (“Perturbaciones”)
P2
F21
F12
r2
r1
S1
P1
m1 r̈1 =
m2 r̈2 = −
G m 1 m2
3
(r2 − r1 ) + P1
3
(r2 − r1 ) + P2
|r2 − r1 |
G m 1 m2
|r2 − r1 |
Movimiento del punto libre– p. 3/??
Problema de dos cuerpos: formulación inercial
m1 , m2 partículas; S1 sistema inercial
F12 , F21 atracción gravitatoria
P1 , P2 otras fuerzas (“Perturbaciones”)
P2
F21
F12
r2
r1
S1
P1
m1 r̈1 =
m2 r̈2 = −
G m 1 m2
3
(r2 − r1 ) + P1
3
(r2 − r1 ) + P2
|r2 − r1 |
G m 1 m2
|r2 − r1 |
Integración numérica: r1 (t), r2 (t)
Movimiento del punto libre– p. 3/??
Problema de dos cuerpos: formulación CDM
G Centro de masas de m1 y m2
G
r2
r1
S1
Movimiento del punto libre– p. 4/??
Problema de dos cuerpos: formulación CDM
G Centro de masas de m1 y m2
(m1 + m2 ) rG = m1 r1 + m2 r2
G
r2
r1
S1
Movimiento del punto libre– p. 4/??
Problema de dos cuerpos: formulación CDM
G Centro de masas de m1 y m2
S0
(m1 + m2 ) rG = m1 r1 + m2 r2
G
S0 Sistema k al fijo, origen en G
r2
r1
S1
Movimiento del punto libre– p. 4/??
Problema de dos cuerpos: formulación CDM
r′2
G Centro de masas de m1 y m2
S0
(m1 + m2 ) rG = m1 r1 + m2 r2
G
S0 Sistema k al fijo, origen en G
(
2
r′1 = r1 − rG = m1m+m
(r1 − r2 )
2
m1 ′
1
r′2 = r2 − rG = m1m+m
(r
−
r
)
=
−
2
1
m2 r1
2
r′1
r2
r1
S1
Movimiento del punto libre– p. 4/??
Problema de dos cuerpos: formulación CDM
r′2
G Centro de masas de m1 y m2
S0
(m1 + m2 ) rG = m1 r1 + m2 r2
G
S0 Sistema k al fijo, origen en G
(
2
r′1 = r1 − rG = m1m+m
(r1 − r2 )
2
m1 ′
1
r′2 = r2 − rG = m1m+m
(r
−
r
)
=
−
2
1
m2 r1
2
r′1
r2
r1
S1
(m1 + m2 ) r̈G = m1 r̈1 + m2 r̈2 = P1 + P2
Movimiento del punto libre– p. 4/??
Problema de dos cuerpos: formulación CDM
r′2
G Centro de masas de m1 y m2
S0
(m1 + m2 ) rG = m1 r1 + m2 r2
G
S0 Sistema k al fijo, origen en G
(
2
r′1 = r1 − rG = m1m+m
(r1 − r2 )
2
m1 ′
1
r′2 = r2 − rG = m1m+m
(r
−
r
)
=
−
2
1
m2 r1
2
r′1
r2
r1
S1
(m1 + m2 ) r̈G = m1 r̈1 + m2 r̈2 = P1 + P2
m1 r̈′1 = m1 r̈1 − m1 r̈G =
Movimiento del punto libre– p. 4/??
Problema de dos cuerpos: formulación CDM
r′2
G Centro de masas de m1 y m2
S0
(m1 + m2 ) rG = m1 r1 + m2 r2
G
S0 Sistema k al fijo, origen en G
(
2
r′1 = r1 − rG = m1m+m
(r1 − r2 )
2
m1 ′
1
r′2 = r2 − rG = m1m+m
(r
−
r
)
=
−
2
1
m2 r1
2
r′1
r2
r1
S1
(m1 + m2 ) r̈G = m1 r̈1 + m2 r̈2 = P1 + P2
m1 r̈′1 = m1 r̈1 − m1 r̈G =
=
G m1 m2
|r2 −r1 |3
(r2 − r1 ) + P1 −
m1
m1 +m2
(P1 + P2 )
⇒
Movimiento del punto libre– p. 4/??
Problema de dos cuerpos: formulación CDM
r′2
G Centro de masas de m1 y m2
S0
(m1 + m2 ) rG = m1 r1 + m2 r2
G
S0 Sistema k al fijo, origen en G
(
2
r′1 = r1 − rG = m1m+m
(r1 − r2 )
2
m1 ′
1
r′2 = r2 − rG = m1m+m
(r
−
r
)
=
−
2
1
m2 r1
2
r′1
r2
r1
S1
(m1 + m2 ) r̈G = m1 r̈1 + m2 r̈2 = P1 + P2
m1 r̈′1 = m1 r̈1 − m1 r̈G =
=
G m1 m2
|r2 −r1 |3
(r2 − r1 ) + P1 −
m1
m1 +m2
(P1 + P2 )
⇒
Movimiento del punto libre– p. 4/??
Problema de dos cuerpos: formulación CDM
r′2
G Centro de masas de m1 y m2
S0
(m1 + m2 ) rG = m1 r1 + m2 r2
G
S0 Sistema k al fijo, origen en G
(
2
r′1 = r1 − rG = m1m+m
(r1 − r2 )
2
m1 ′
1
r′2 = r2 − rG = m1m+m
(r
−
r
)
=
−
2
1
m2 r1
2
r′1
r2
r1
S1
(m1 + m2 ) r̈G = m1 r̈1 + m2 r̈2 = P1 + P2
m1 r̈′1 = m1 r̈1 − m1 r̈G =
=
G m1 m2
|r2 −r1 |3
(r2 − r1 ) + P1 −
m1 r̈′1 = −Gm1 m2 1 +
m1
m2
−2
m1
m1 +m2
r′1
|r′1 |3
⇒
(P1 + P2 )
+
m1 m2
m1 +m2
P1
m1
−
P2
m2
Movimiento del punto libre– p. 4/??
Problema de dos cuerpos: formulación Primario
S2
Sistema k al fijo, no inercial, origen en m2
m1
m2
S2
Movimiento del punto libre– p. 5/??
Problema de dos cuerpos: formulación Primario
Sistema k al fijo, no inercial, origen en m2
r = r1 − r2
Vector posición relativo
S2
m1
r
m2
S2
Movimiento del punto libre– p. 5/??
Problema de dos cuerpos: formulación Primario
Sistema k al fijo, no inercial, origen en m2
r = r1 − r2
Vector posición relativo
S2
m1
Movimiento de G:
(m1 + m2 ) r̈G = P1 + P2
r
m2
S2
Movimiento del punto libre– p. 5/??
Problema de dos cuerpos: formulación Primario
Sistema k al fijo, no inercial, origen en m2
r = r1 − r2
Vector posición relativo
S2
m1
(m1 + m2 ) r̈G = P1 + P2
Movimiento relativo:
r
m2
Movimiento de G:
r̈ = r̈1 − r̈2
S2
Movimiento del punto libre– p. 5/??
Problema de dos cuerpos: formulación Primario
Sistema k al fijo, no inercial, origen en m2
r = r1 − r2
Vector posición relativo
S2
m1
Movimiento de G:
Movimiento relativo:
r
m2
S2
h
m2
(r2 − r1 ) +
r̈ = |rG−r
|3
2
(m1 + m2 ) r̈G = P1 + P2
1
i h
P1
G m1
(r2 − r1 ) +
−
−
m1
|r −r |3
2
1
r̈ = r̈1 − r̈2
P2
m2
i
⇒
Movimiento del punto libre– p. 5/??
Problema de dos cuerpos: formulación Primario
Sistema k al fijo, no inercial, origen en m2
r = r1 − r2
Vector posición relativo
S2
m1
Movimiento de G:
r̈ = r̈1 − r̈2
Movimiento relativo:
r
m2
S2
h
m2
(r2 − r1 ) +
r̈ = |rG−r
|3
2
(m1 + m2 ) r̈G = P1 + P2
1
i h
P1
G m1
(r2 − r1 ) +
−
−
m1
|r −r |3
2
1
r̈ = −G (m2 + m1 )
r
|r|3
+
P2
m2
P1
m1
i
−
⇒
P2
m2
Movimiento del punto libre– p. 5/??
Problema de dos cuerpos: formulación Primario
Sistema k al fijo, no inercial, origen en m2
r = r1 − r2
Vector posición relativo
S2
P1
m1
r F12
Movimiento de G:
1
r̈ = r̈1 − r̈2
Movimiento relativo:
m2
S2
h
m2
(r2 − r1 ) +
r̈ = |rG−r
|3
2
(m1 + m2 ) r̈G = P1 + P2
i h
P1
G m1
(r2 − r1 ) +
−
−
m1
|r −r |3
2
1
r̈ = −G (m2 + m1 )
r
|r|3
+
P2
m2
P1
m1
i
−
⇒
P2
m2
Movimiento del punto libre– p. 5/??
Problema de dos cuerpos: formulación Primario
Sistema k al fijo, no inercial, origen en m2
r = r1 − r2
Vector posición relativo
S2
P1
m1
P2
r F12
Movimiento de G:
(m1 + m2 ) r̈G = P1 + P2
r̈ = r̈1 − r̈2
Movimiento relativo:
F21
m2
S2
h
m2
(r2 − r1 ) +
r̈ = |rG−r
|3
2
1
i h
P1
G m1
(r2 − r1 ) +
−
−
m1
|r −r |3
2
1
r̈ = −G (m2 + m1 )
r
|r|3
+
P2
m2
P1
m1
i
−
⇒
P2
m2
Movimiento del punto libre– p. 5/??
Problema de dos cuerpos: formulación Primario
Sistema k al fijo, no inercial, origen en m2
r = r1 − r2
Vector posición relativo
S2
P1
m1
−F21
r F12
−P2
Movimiento de G:
1
r̈ = r̈1 − r̈2
Movimiento relativo:
m2
S2
h
m2
(r2 − r1 ) +
r̈ = |rG−r
|3
2
(m1 + m2 ) r̈G = P1 + P2
i h
P1
G m1
(r2 − r1 ) +
−
−
m1
|r −r |3
2
1
r̈ = −G (m2 + m1 )
r
|r|3
+
P2
m2
P1
m1
i
−
⇒
P2
m2
Movimiento del punto libre– p. 5/??
Formulaciones del problema de los dos cuerpos
1
1
G
2
En ejes inerciales
r′1
1
r′2
r
2
G
2
Relativo al CDM
Relativo al
Primario
Primario: uno de los dos cuerpos, que se toma como origen
Puede ser cualquiera de los dos
Suele ser el mayor, m2 ≫ m1 (Planeta/satélite, Sol/planeta)
Movimiento del punto libre– p. 6/??
Problema de dos cuerpos: Simplificaciones
r
P1
P2
−
r̈ = −G (m2 + m1 ) 3 +
m1 m2
|r|
|
{z }
|
{z
}
Problema de Kepler
Perturbación
Movimiento del punto libre– p. 7/??
Problema de dos cuerpos: Simplificaciones
r
P1
P2
−
r̈ = −G (m2 + m1 ) 3 +
m1 m2
|r|
|
{z }
|
{z
}
Problema de Kepler
Sistema aislado: P1 = P2 = 0
Perturbación
→
Problema de Kepler
Movimiento del punto libre– p. 7/??
Problema de dos cuerpos: Simplificaciones
r
P1
P2
−
r̈ = −G (m2 + m1 ) 3 +
m1 m2
|r|
|
{z }
|
{z
}
Problema de Kepler
Perturbación
Sistema aislado: P1 = P2 = 0
→
Problema de Kepler
Masa pequeña:
m2 ≫ m1 → G(m2 + m1 ) ≃ G m2 = µ2 Constante Gravitatoria
Movimiento del punto libre– p. 7/??
Problema de dos cuerpos: Simplificaciones
r
P1
P2
−
r̈ = −G (m2 + m1 ) 3 +
m1 m2
|r|
|
{z }
|
{z
}
Problema de Kepler
Perturbación
Sistema aislado: P1 = P2 = 0
→
Problema de Kepler
Masa pequeña:
m2 ≫ m1 → G(m2 + m1 ) ≃ G m2 = µ2 Constante Gravitatoria
Par cercano: (Tierra/Luna, Tierra/satélite)
Perturbaciones de
P1
P2
−
→
Problema de Kepler
terceros cuerpos: m
m2 ≃ 0
1
Movimiento del punto libre– p. 7/??
Problema de Kepler
r
r
r̈ = −G M m
F =
m
= −µ m
3
r
r3
d r
v
=
−µ rr3
dt v
m
r F
M
r = r (t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 )
Movimiento del punto libre– p. 8/??
Problema de Kepler
r
r
r̈ = −G M m
F =
m
= −µ m
3
r
r3
d r
v
=
−µ rr3
dt v
m
r F
M
r = r (t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 )
Autónomo: C6 corresponde al tiempo inicial t − t0
Movimiento del punto libre– p. 8/??
Problema de Kepler
r
r
r̈ = −G M m
F =
m
= −µ m
3
r
r3
d r
v
=
−µ rr3
dt v
m
r F
M
r = r (t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 )
Autónomo: C6 corresponde al tiempo inicial t − t0
Masas puntuales o simetría esférica
Movimiento del punto libre– p. 8/??
Problema de Kepler
r
r
r̈ = −G M m
F =
m
= −µ m
3
r
r3
d r
v
=
−µ rr3
dt v
m
r F
M
r = r (t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 )
Autónomo: C6 corresponde al tiempo inicial t − t0
Masas puntuales o simetría esférica
Fuerza potencial:
F = −∇V
V = − µr
Movimiento del punto libre– p. 8/??
Problema de Kepler
r
r
r̈ = −G M m
F =
m
= −µ m
3
r
r3
d r
v
=
−µ rr3
dt v
m
r F
M
r = r (t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 )
Autónomo: C6 corresponde al tiempo inicial t − t0
Masas puntuales o simetría esférica
Fuerza potencial:
F = −∇V
V = − µr
Fuerza central: F = −f (r) r ⇒ r ∧ r̈ = 0 ⇒ r ∧ v = Cte.
Movimiento del punto libre– p. 8/??
Problema de Kepler
r
r
r̈ = −G M m
F =
m
= −µ m
3
r
r3
d r
v
=
−µ rr3
dt v
m
r F
M
r = r (t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 )
Autónomo: C6 corresponde al tiempo inicial t − t0
Masas puntuales o simetría esférica
Fuerza potencial:
F = −∇V
V = − µr
Fuerza central: F = −f (r) r ⇒ r ∧ r̈ = 0 ⇒ r ∧ v = Cte.
Varios caminos:
Fórmulas de Binet
Cuadraturas de los movimientos centrales
Buscar integrales primeras (magnitudes conservadas)
Movimiento del punto libre– p. 8/??
Integrales del movimiento
Potencial: conservación de la energía específica
v2 µ
E
− =
2
r
m
Movimiento del punto libre– p. 9/??
Integrales del movimiento
Potencial: conservación de la energía específica
Central: momento cinético específico
v2 µ
E
− =
2
r
m
r∧v =h
Movimiento del punto libre– p. 9/??
Integrales del movimiento
Potencial: conservación de la energía específica
Central: momento cinético específico
v2 µ
E
− =
2
r
m
r∧v =h
h
r
⇒
Movimiento plano
v
Movimiento del punto libre– p. 9/??
Integrales del movimiento
Potencial: conservación de la energía específica
Central: momento cinético específico
v2 µ
E
− =
2
r
m
r∧v =h
h
r
F∝
− r12
⇒
Movimiento plano
v
r h∧v
→ Vector de Laplace/Runge-Lenz − −
=e
r
µ
Movimiento del punto libre– p. 9/??
Integrales del movimiento
Potencial: conservación de la energía específica
Central: momento cinético específico
v2 µ
E
− =
2
r
m
r∧v =h
h
r
⇒
Movimiento plano
v
r h∧v
F∝
→ Vector de Laplace/Runge-Lenz − −
=e
r
µ
−µr
µr
d
(h ∧ v) = ḣ
∧ v + h ∧ v̇ = (r ∧ v) ∧ 3 = 3 ∧ (r ∧ v) =
dt
r r
r
µ
ṙ
r
v
d
r = r ur
= 3 r ṙ r − r2 v = µ
−
= −µ
2
r
r
r
dt r
v = ṙ ur + r θ̇ uθ
− r12



Movimiento del punto libre– p. 9/??
Integrales primeras: Dependencias
E.D.O. autónoma de orden 6:
r = r t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ,
C6
→ t − t0
7 Constantes: E (1), h (3), e (3) → Sólo 5 independientes
Movimiento del punto libre– p. 10/??
Integrales primeras: Dependencias
E.D.O. autónoma de orden 6:
r = r t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ,
→ t − t0
C6
7 Constantes: E (1), h (3), e (3) → Sólo 5 independientes
r h∧v
h=r∧v ⊥ e=− −
r
µ
h
r
e
v
Movimiento del punto libre– p. 10/??
Integrales primeras: Dependencias
E.D.O. autónoma de orden 6:
r = r t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ,
→ t − t0
C6
7 Constantes: E (1), h (3), e (3) → Sólo 5 independientes
r h∧v
h=r∧v ⊥ e=− −
r
µ
h
r
e
v
µ2 m 2
E=
e −1
2
2h
Movimiento del punto libre– p. 10/??
Integrales primeras: Dependencias
E.D.O. autónoma de orden 6:
r = r t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ,
→ t − t0
C6
7 Constantes: E (1), h (3), e (3) → Sólo 5 independientes
r h∧v
h=r∧v ⊥ e=− −
r
µ
h
r
e
v
µ2 m 2
E=
e −1
2
2h
⊥
−h
z
}|
{
z
}| {
r 2 h ∧ v 2 r · (h ∧ v)
2
2
h v
h·v∧r
2
e = e·e =
+
+2
= 1+ 2 +2
=
r
µ
rµ
µ
rµ
2 h2 v 2 µ h2 v 2 2 h2
2h2 E
=1+ 2 −
=1+ 2
−
=1+ 2
µ
rµ
µ
µ m
|2 {z r}
E/m
Movimiento del punto libre– p. 10/??
Trayectoria
m
Coordenadas polares en el plano orbital (⊥ h)
Eje principal: dirección de e
r
M
θ
e
Movimiento del punto libre– p. 11/??
Trayectoria
m
Coordenadas polares en el plano orbital (⊥ h)
Eje principal: dirección de e
r
M
θ
e
r·h∧v
h·r∧v
r·e = r e cos θ = −r−
= −r+
=
µ
µ
h2
= −r +
µ
⇒
h2 /µ
r=
1 + e cos θ
Movimiento del punto libre– p. 11/??
Trayectoria
Coordenadas polares en el plano orbital (⊥ h)
Eje principal: dirección de e
m
r
M
θ
e
r·h∧v
h·r∧v
r·e = r e cos θ = −r−
= −r+
=
µ
µ
θ : Anomalía verdadera
h2
= −r +
µ
⇒
h2 /µ
r=
1 + e cos θ
Ecuación polar de una Cónica
Movimiento del punto libre– p. 11/??
Trayectoria
Coordenadas polares en el plano orbital (⊥ h)
Eje principal: dirección de e
m
r
M
θ
e
r·h∧v
h·r∧v
r·e = r e cos θ = −r−
= −r+
=
µ
µ
θ : Anomalía verdadera
h2
= −r +
µ
⇒
h2 /µ
r=
1 + e cos θ

e=0



e<1
e Excentricidad → e Vector Excentr.

e=1


e>1
Ecuación polar de una Cónica
Círculo
Elipse
Parábola
Hipérbola
Movimiento del punto libre– p. 11/??
Trayectoria
Coordenadas polares en el plano orbital (⊥ h)
Eje principal: dirección de e
m
r
M
θ
e
r·h∧v
h·r∧v
r·e = r e cos θ = −r−
= −r+
=
µ
µ
θ : Anomalía verdadera
h2
= −r +
µ
⇒
h2 /µ
r=
1 + e cos θ

e=0



e<1
e Excentricidad → e Vector Excentr.

e=1


e>1
Ecuación polar de una Cónica
Círculo
Elipse
Parábola
Hipérbola
p = h2 /µ Parámetro o semilatus rectum: radio a 90o
Movimiento del punto libre– p. 11/??
Trayectoria
e<1
ra
e=1
p r
θ
c
a F′ F e
rp
∞
e>1
p
r
ra
θ
F
F′
r
p
θ
F e
e
F′
b
Elipse
Parábola
Hipérbola
Parámetro
p
h2 /µ
h2 /µ
h2 /µ
Excentricidad
e
<1
1
>1
Pericentro
rp
p
2
p
1+e
Apocentro
ra
∞
∄
Semieje mayor
a
Semieje menor
b
p
1+e
p
1−e
p
(1−e2 )
√ p
1−e2
Distancia focal
c
ae
∞
∞
∞
−p
(e2 −1)
√ p
e2 −1
ae
Movimiento del punto libre– p. 12/??
Energía
E relacionada con h y e :
E
µ2 2
= 2 e −1
m
2h
Movimiento del punto libre– p. 13/??
Energía
E
µ2 2
E relacionada con h y e :
= 2 e −1
m
2h
µ(e2 − 1)
1
De la trayectoria identificamos:
=−
2
h
a
Movimiento del punto libre– p. 13/??
Energía
E
µ2 2
E relacionada con h y e :
= 2 e −1
m
2h
µ(e2 − 1)
1
De la trayectoria identificamos:
=−
2
h
a
Luego:
E
µ
=−
m
2a
El tamaño de la órbita depende sólo de E
Movimiento del punto libre– p. 13/??
Energía
E
µ2 2
E relacionada con h y e :
= 2 e −1
m
2h
µ(e2 − 1)
1
De la trayectoria identificamos:
=−
2
h
a
Luego:
E
µ
=−
m
2a
El tamaño de la órbita depende sólo de E

 E < 0 Elipse
E también muestra el tipo de cónica:
E = 0 Parábola

E > 0 Hipérbola
Movimiento del punto libre– p. 13/??
Periodo de la órbita elíptica
2a ley de Kepler: iguales áreas barridas por unidad de tiempo
dA =
1 2
2 r dθ
→
dA
dt
=
1 2 dθ
2 r dt
=
1
2h
dθ
r
dA
Movimiento del punto libre– p. 14/??
Periodo de la órbita elíptica
2a ley de Kepler: iguales áreas barridas por unidad de tiempo
dA =
dA
dt
=
1 2
2 r dθ
Area
Period
=
→
dA
dt
πab
T
= 12 h
=
1 2 dθ
2 r dt
s
1
√
T · h = πab = πa ap = πa
2
=
h2
a
µ
dθ
r
1
2h
dA
⇒
T = 2π
s
a3
µ
Movimiento del punto libre– p. 14/??
Periodo de la órbita elíptica
2a ley de Kepler: iguales áreas barridas por unidad de tiempo
dA =
dA
dt
=
1 2
2 r dθ
Area
Period
=
→
dA
dt
πab
T
= 12 h
=
1 2 dθ
2 r dt
s
1
√
T · h = πab = πa ap = πa
2
=
h2
a
µ
dθ
r
1
2h
dA
⇒
T = 2π
s
a3
µ
3a ley de Kepler: cuadrado del periodo ∝ cubo del semieje.
Movimiento del punto libre– p. 14/??
Periodo de la órbita elíptica
2a ley de Kepler: iguales áreas barridas por unidad de tiempo
dA =
dA
dt
=
1 2
2 r dθ
Area
Period
=
→
dA
dt
πab
T
= 12 h
=
1 2 dθ
2 r dt
s
1
√
T · h = πab = πa ap = πa
2
=
h2
a
µ
dθ
r
1
2h
dA
⇒
T = 2π
s
a3
µ
3a ley de Kepler: cuadrado del periodo ∝ cubo del semieje.
r
2π
µ
a
Velocidad angular media :
n=
=
T
a3
a
La velocidad angular de la órbita es la del radio vector desde el centro, no la de la
partı́cula. Los puntos no tienen velocidad angular.
Movimiento del punto libre– p. 14/??
Energía y Excentricidad
D
C
V
B
A
r =, v ↑
E ↑, h ↑
a ↑, e l
E
v2 µ
µ
=− =
−
m
2a
2
r
Movimiento del punto libre– p. 15/??
Energía y Excentricidad
D
C
1
V
0.5
B
A
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
2
–0.5
–1
r =, v ↑
E ↑, h ↑
a ↑, e l
E
v2 µ
µ
=− =
−
m
2a
2
r
r =, v =, r,
cv ↑
E =, h ↑
a =, e ↓
2E
2h
e2 = 1 + 2
µ m
Movimiento del punto libre– p. 15/??
Velocidad

 derivar la trayectoria r = h2 /µ
1+e cos θ
Cálculo de v(θ)
 usar la ley de áreas
h = r2 θ̇
Coordenadas polares:
r = r ur ,
v = ṙ ur + rθ̇ uθ
Movimiento del punto libre– p. 16/??
Velocidad

 derivar la trayectoria r = h2 /µ
1+e cos θ
Cálculo de v(θ)
 usar la ley de áreas
h = r2 θ̇
Coordenadas polares: r = r ur ,
h
µ
rθ̇ = = (1 + e cos θ)
r
h
v = ṙ ur + rθ̇ uθ
µ q = µp
h
Movimiento del punto libre– p. 16/??
Velocidad

 derivar la trayectoria r = h2 /µ
1+e cos θ
Cálculo de v(θ)
 usar la ley de áreas
h = r2 θ̇
Coordenadas polares: r = r ur ,
h
µ
rθ̇ = = (1 + e cos θ)
r
h
ṙ =
dr
dθ
v = ṙ ur + rθ̇ uθ
µ q = µp
h
µ
h2 /µ
2
µ2
· θ̇ =
(1+e cos θ) = e sin θ
2 e sin θ · h3 (1+e
cos θ)
h
Movimiento del punto libre– p. 16/??
Velocidad

 derivar la trayectoria r = h2 /µ
1+e cos θ
Cálculo de v(θ)
 usar la ley de áreas
h = r2 θ̇
Coordenadas polares: r = r ur ,
h
µ
rθ̇ = = (1 + e cos θ)
r
h
ṙ =
dr
dθ
v = ṙ ur + rθ̇ uθ
µ q = µp
h
µ
h2 /µ
2
µ2
· θ̇ =
(1+e cos θ) = e sin θ
2 e sin θ · h3 (1+e
cos θ)
h
v
rθ̇
µ
v = [e sin θ ur + (1 + e cos θ) uθ ]
j ur
h
θ
µ
µ
v = [uθ + e j] = [− sin θi + (e + cos θ) j] uθ
h
h
ṙ
Movimiento del punto libre– p. 16/??
Lay horaria (elíptica): Ecuación de Kepler
a
Vel. areolar cte.: Área = 12 h · (t − τ )
Q′
Afinidad círculo/alipse:
Area F P Q = ab Area F P Q′
Q
b
r
O
Æ
θ
ae F
P
Movimiento del punto libre– p. 17/??
Lay horaria (elíptica): Ecuación de Kepler
a
Vel. areolar cte.: Área = 12 h · (t − τ )
Q′
Afinidad círculo/alipse:
Area F P Q = ab Area F P Q′
Q
b
r
O
Æ
θ
ae F
P
Æ : Anomalía excéntrica
M = n (t − τ ) : Anomalía media
τ : Tiempo de paso por el pericentro P
Movimiento del punto libre– p. 17/??
Lay horaria (elíptica): Ecuación de Kepler
a
Vel. areolar cte.: Área = 12 h · (t − τ )
Q′
Afinidad círculo/alipse:
Area F P Q = ab Area F P Q′
Q
b
r
O
Æ
θ
ae F
h
(t − τ ) = Area
2
b 1 2
=
a Æ−
a 2
P
Æ : Anomalía excéntrica
M = n (t − τ ) : Anomalía media
τ : Tiempo de paso por el pericentro P
b
FPQ =
Area OP Q′ − Area OF Q′ =
a
1
h
ae a sin Æ
⇒
(t − τ ) = Æ − e sin Æ
2
ab
Movimiento del punto libre– p. 17/??
Lay horaria (elíptica): Ecuación de Kepler
a
Vel. areolar cte.: Área = 12 h · (t − τ )
Q′
Afinidad círculo/alipse:
Area F P Q = ab Area F P Q′
Q
b
r
O
Æ
θ
ae F
P
h
(t − τ ) = Area
2
b 1 2
=
a Æ−
a 2
h
ab
= √h2
a
Æ : Anomalía excéntrica
M = n (t − τ ) : Anomalía media
τ : Tiempo de paso por el pericentro P
b
FPQ =
Area OP Q′ − Area OF Q′ =
a
1
h
ae a sin Æ
⇒
(t − τ ) = Æ − e sin Æ
2
ab
ah /µ
=n
⇒
n (t − τ ) = Æ − e sin Æ = M
Movimiento del punto libre– p. 17/??
Ecuación de Kepler
n (t − τ ) = Æ − e sin Æ = M
( · · · + k 2π)
Anomalía verdadera θ ↔ Æ Anomalía excéntrica
Movimiento del punto libre– p. 18/??
Ecuación de Kepler
n (t − τ ) = Æ − e sin Æ = M
( · · · + k 2π)
Anomalía verdadera θ ↔ Æ Anomalía excéntrica

s
cos Æ−e
e+cos θ
cos Æ = 1+e cos θ 
cos θ = 1−e cos Æ
θ
(1 + e)
Æ
tan =
tan
√
√
2
2

2
(1 − e)
2
sin θ = 1−e sin Æ sin Æ = 1−e sin θ
1−e cos Æ
1+e cos θ
Movimiento del punto libre– p. 18/??
Ecuación de Kepler
n (t − τ ) = Æ − e sin Æ = M
( · · · + k 2π)
Anomalía verdadera θ ↔ Æ Anomalía excéntrica

s
cos Æ−e
e+cos θ
cos Æ = 1+e cos θ 
cos θ = 1−e cos Æ
θ
(1 + e)
Æ
tan =
tan
√
√
2
2

2
(1 − e)
2
sin θ = 1−e sin Æ sin Æ = 1−e sin θ
1−e cos Æ
1+e cos θ
Ecuación implícita. Método más simple: Iteración
t → M → Æ → θ ( · · · + k 2π )
Æ1 = M
Æ2 = M + e sin Æ1
Æ3 = M + e sin Æ2
...
Rápido, excepto para e → 1
Movimiento del punto libre– p. 18/??
Elementos clásicos de la órbita
h
Línea
i
Sat.
θ e
ω
de n
odos
Ω
x1
̟ =Ω+ω
L=̟+M
↔ i
Ω
z1
Ω
̟
.
ric
e
P
̟
i
y1
ω
a
e
τ
Longitud del pericentro
Longitud media
Línea de nodos
Ω de a i ∈ [0, 180o ]
Ω ∈ [0, 360o ]
Inclinación
Longitud del nodo ascendente
Argumento del pericentro
Semieje mayor
Excentricidad
Tiempo de paso por el pericentro
Nodo ascendente
Nodo descendente
Punto Aries
ω ∈ [0, 360o ]
Movimiento del punto libre– p. 19/??
Sistemas de referencia y tiempo
h
Líne
a
de n
odos
Ω
x1
z1
i
Sat.
θ e
ω
Ω uN
.
ric
e
P
i
y1
Equatorial i1 ()
j1
Nodal
uN () h ∧ uN
Perifocal
e (Per)
h∧e
Orbital
ur
uθ
k1
h
h
h
Fecha juliana (JD):
Días desde 01-I-4713BC, 12:00 mediodía
Fecha juliana modificada (MJD):
JD-2,400,000.5
J2000=JD 2,451,545.0
Época 1-I- 2000 12:00 TT
J2000=MJD 51,544.5
Época 1-I-2000 12:00 TT
TT: Terrestrial Time; UT: Universal Time; AT: Atomic Time . . .
Movimiento del punto libre– p. 20/??