Universidad Autónoma de Madrid Teoría Macroeconómica II Prof. Beatriz de Blas 2o. Semestre 06/07 Repaso de matemáticas 1 Valor presente (o valor presente descontado) Cómo valorar renta futura ahora. Podemos usa el tipo de interés real: Un bien en período t Entonces, 1 bienes en período t 1 + rt ! 1 + rt bienes en período t + 1 ! 1 bien en período t + 1 Si ahorramos durante 2 períodos, lo que conseguimos es Un bien en t Entonces, 1 bienes en t (1 + rt )(1 + rt+1 ) 1.1 ! 1 + rt bienes en t + 1 ! (1 + rt )(1 + rt+1 ) bienes en t + 2 ! 1 bienes en t + 1 (1 + rt+1 ) ! 1 bien en t + 2 In…nito número de períodos En general, si recibimos renta wt en el período t; wt+1 en t + 1; y así sucesivamente, entonces el valor presente (desde el punto de vista del momento t) de toda esta renta es: V P D = wt + wt+1 wt+2 wt+3 + + + ::: 1 + rt (1 + rt )(1 + rt+1 ) (1 + rt )(1 + rt+1 )(1 + rt+2 ) (1) donde rt es el tipo de interés real entre t y t + 1: Pero si tanto la renta como el tipo de interés son constantes, podemos simpli…car la fórmula. Para ello, hacemos como sigue: (1 x)(1 + x + x2 + x3 + :::) = 1 + x + x2 + x3 + ::: (x + x2 + x3 + x4 :::) = 1 (2) y entonces, tenemos una de las fórmulas clave 1 + x + x2 + x3 + ::: = 1 1 x : (3) Si tanto el tipo de interés real r como la renta w son constantes para todos los períodos, entonces el valor presente descontado de todo el ‡ujo de renta es V PD = w + w w 1 1 + + ::: = w 1 + + + ::: 1 + r (1 + r)2 1 + r (1 + r)2 w = 1 1 1+r ; (4) es decir, V PD = 1+r w: r (5) Universidad Autónoma de Madrid Teoría Macroeconómica II 1.2 Prof. Beatriz de Blas 2o. Semestre 06/07 Número …nito de períodos Si el tipo de interés real r es constante, y recibimos un ‡ujo de renta constante w desde el período 0 hasta el período T; entonces el valor presente descontado de ese ‡ujo de renta, en términos del período 0; es V PD = w + w w 1+r w + ::: + = + w 2 T 1 + r (1 + r) (1 + r) r w (1 + r)T +1 w (1 + r)T +2 :::; (6) es decir, V PD = 2 1 1+r w: r 1 (1 + r)T +1 (7) Resumen de las principales ecuaciones Consideremos la siguiente progresión geométrica: 1 + x + x2 + x3 + ::: + xn ; (8) de razón x: Si la progresión geométrica es …nita 1 + x + x2 + x3 + ::: + xn ; la suma de todos sus términos es 1 + x + x2 + x3 + ::: + xn = 1 xn+1 : 1 x (9) Si la progresión geométrica es in…nita y se cumple que x < 1; entonces la suma es 1 + x + x2 + x3 + ::: = 1 1 x : (10)