PDF - Departamento de Matemáticas

Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
MATE114 Cálculo Vectorial - Secciones: 4,6,7,8 Curso Magistral
Solución Segundo Parcial (25/09/2003)
1
Prof. j.r. ARTEAGA
Prob.
Valor
1 2 3 4
10 15 5 20
Total
50
Puntos
Nombre:
Código:
Justificar matemáticamente toda respuesta.
En caso contrario se invalidará.
1. Encontrar los puntos críticos de la función:
f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy
e investigar su carácter (máximo, mínimo o punto de silla).
Solución:
∇f = 0 ⇒ y = x2 ∧ x = y 2 ⇒ x − x4 = x(1 − x3 ) = 0
Por lo tanto los puntos críticos de f son (0, 0) y (1, 1). La matriz hessiana es:
H=
6x −3
−3 6y
lo cual implica que H(0, 0) < 0 y por lo tanto en (0, 0) hay un punto de silla mientras
que H(1, 1) > 0 y f(1,1) > 0 que nos dice que en (1, 1) hay un punto mínimo local que
en este caso es un mínimo absoluto de f .
2. Escoger un problema. Se calificará solo uno.
(a) Hallar las dimensiones de un rectángulo con área máxima que puede ser inscrito en
una semi-circunferencia de radio 4.
(b) Hallar las distancias máxima y mínima desde el origen a la curva 5x2 +6xy+5y 2 = 8.
(Ayuda: Use multiplicadores de Lagrange)
Solución
1
El juramento del uniandino dice: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la
integridad de mis compañeros o de la misma Universidad
(a) (Método de lagrange) Sean "x" e "y " las coordenadas de un punto sobre la semicircunferencia con centro en el origen de un plano cartesiano y ubicada en el primero
y segundo cuadrante. Sea f la función objetivo (área del rectángulo), f = 2xy y
sea la función de restricción g = x2 + y 2 − 16, para es caso g = 0.
∇f = λ∇g, (1);
g = 0,
(2).
2y = λ(2x), (3);
2x = λ(2y), (4).
De (1) obtenemos
Dado que λ debe ser diferente de cero al igual que x e y (con alguno que sea cero
los tres son cero y no tenemos área), podemos dividir (3)
√ entre (4), lo cual implica
que x2 = y 2 , es decir (reemplazando en (2)), x = y = 2 2 (Descartamos soluciones
negativas por no tener sentido en el problema). Las dimensiones de √
los lados
√ del
rectángulo con área máxima inscrito en una semicircunferencia son: 2 2 y 4 2.
(b) (Método de lagrange) Sea f la función a optimizar el cuadrado de la distancia al
origen (los puntos críticos coinciden), f = x2 + y 2 y la función de restricción la
curva dada g = 5x2 + 6xy + 5y 2 − 8 en el caso g = 0. Por lo tanto:


∇f = λ∇g ⇒

g = 0,
2x = λ(10x + 6y), (1);
, ;
2y = λ(10y + 6x), (2).
(3).
Dado que λ debe ser diferente de cero al igual que x e y (con alguno que sea
cero los tres son cero y x = 0 e y = 0 no son solución del problema, pues este
punto no pertenece a la curva), podemos dividir (1) entre (2), lo cual implica que
x2 = y 2 ⇒ x = y, x = −y . Reemplazando en (3), tenemos que hay cuatro puntos
para analizar:
√
√
A(1/ 2, 1/ 2);
√
√
B(−1/ 2, −1/ 2);
√ √
C( 2, 2);
√ √
D(− 2, 2).
En los puntos A y B f es igual a 1, mientras que en
√ C y D f vale 2, es decir la
distancia máxima entre el origen y la curva dada es 2 y la distancia mínima es 1.
c
√
3. Hallar la longitud de arco de la curva (t) = h(1/2)t2 , ln(t), 2 ti, para 1 ≤ t ≤ 2.
Solución:
c (t) = ht, 1/t, √2i ⇒ kc (t)k = pt + (1/t) + 2 ⇒ kc (t)k = p(t + 1/t)
0
0
2
0
2
2
= t + 1/t ⇒
Z2
l=
(t + 1/t)dt = 3/2 + ln 2
1
4. Dado el campo escalar f (x, y) = 14 x2 , considerar el campo vectorial
(a) (5 puntos)
(b) (5 puntos)
(c) (5 puntos)
F
→
−
F (x, y) = ∇f (x, y).
→
−
Dibujar (x, y), en −2 ≤ x ≤ 2 − 2 ≤ y ≤ 2.
→
−
Dibujar las líneas de ujo de (x, y), indicando el sentido del ujo.
La trayectoria c(t) = het/2 , 2i es una línea de ujo?. Explicar.
F
2
(d) (5 puntos)
Solución:
Es
F (x, y) incompresible?. Es irrotacional?. Explicar.
→
−
i. El campo vectorial son vectores (echas) cuya acción se puede mirar en cualquier
punto del plano cartesiano. En cada punto este vector no tiene componente vertical, su magnitud es igual a la mitad de la distancia al eje "y " y su orientación
es hacia la derecha en el primero y cuarto cuadrante del plano cartesiano y
hacia la izquierda en el segundo y tercer cuadrante.
ii. Las líneas de ujo son semi-rectas orientadas paralelas al eje "x". Las semirectas parten del eje "y " y se orientan hacia la derecha en el primero y cuarto
cuadrante del plano cartesiano y hacia la izquierda en el segundo y tercer
cuadrante.
iii. Debemos vericar que:
F (c(t)) = −c−(t)→
→
−
El lado izquierdo es igual a:
0
F (c(t)) = −→F (et/2, 0) = h e2 , 0i
t/2
→
−
El lado derecho es igual a:
c
−−
et/2
0→
(t) = h
, 0i
2
Por lo tanto si es una línea de ujo, dado que el campo considerado en algún
punto de la curva es igual al vector tangente a la curva en ese punto.
iv. La divergencia es igual:
∇·
F = ∂x∂ (x/2) = 1/2
→
−
El rotacional es igual a:
F
bi
→ ∂
−
∇ × = ∂x
x/2
b
j
∂
∂y
0
b
k
0
0
−
=→
0
F
→
−
Por lo tanto el campo no es incompresible pues ∇· 6= 0, pero si es irrotacional.
Esto indica que un volumen (área) de control considerado entre dos líneas de
ujo se dilata, mientras que una tapa con aspas puesta en el ujo no rota sobre
su centro a pesar que si se mueve con el ujo.
Tiempo: 50 minutos
Buena Suerte!
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