EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA I.T.O.P. Alberto Luceño Fco. Javier González Universidad de Cantabria 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 1. 1. Estadı́stica descriptiva En un estudio entre 145 familias, se ha observado que el número de hijos se distribuye de la siguiente manera: hijos frecuencia 0 31 1 25 2 35 3 20 4 0 5 16 6 12 7 5 8 1 Se pide: a) Hacer un diagrama de barras. b) Calcular, la media, la moda, la mediana y la desviación tı́pica. ◮ 2. x̄ = 2,41, Mo = 2, Me = 2, Sx = 2,11 En diferentes dı́as se ha observado el número de veces que ha sonado la alarma en un servicio de bomberos, obteniéndose los siguientes datos: {5, 3, 1, 5, 3, 6, 4, 2, 5, 6, 3, 6, 5, 2, 6, 7, 3} Se pide: a) Obtener la moda, la mediana, Q1 , Q3 y el cuantil 0,40. b) Obtener la media y la desviación tı́pica. c) Efectuar un diagrama apropiado. ◮ 3. a) Mo = 3, 5, 6, M e = 5, Q1 = 3, Q3 = 6, c0,40 = 3 b) x̄ = 4,235, Sx = 1,751 El porcentaje de algodón en una tela utilizada para elaborar camisas para hombre se presenta en la siguiente tabla. Calcular los estadı́sticos más importantes y construir el histograma de frecuencias. 32,1 33,4 33,8 34,4 34,7 35 35,5 36,8 32,5 33,5 34 34,5 34,7 35,1 35,6 36,8 porcentaje 32,6 32,7 33,6 33,6 34,1 34,1 34,5 34,6 34,7 34,7 35,1 35,1 35,7 35,8 36,8 37,1 de algodón 32,8 32,9 33,6 33,6 34,1 34,2 34,6 34,6 34,7 34,7 35,2 35,3 35,9 36,2 37,3 37,6 33,1 33,6 34,3 34,6 34,9 35,4 36,4 37,8 33,1 33,8 34,3 34,6 35 35,4 36,6 37,9 a) Diseñar la distribución de frecuencias con un cambio de variable. b) Calcular los estadı́sticos: media, moda, mediana, Q1 , Q3 , c0,6 , varianza y desviación tı́pica. c) Representar el diagrama de tallo y hojas. d) A partir del diagrama anterior determinar la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil y compárese los resultados con los obtenidos a partir de la distribución de frecuencias. e) Representar los histogramas de frecuencias absolutas y acumuladas. Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 2 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA f) Representar el diagrama de caja y determinar los valores extremos. ◮ 4. 2 b) Sx = 1,82, Mo = 34,8, Q1 = 33,8, Q3 = 35,475, c0,60 = 34,9 Un ingeniero se plantea la elección entre dos fabricantes distintos para el suministro de cierto aditivo para el hormigón. El ingeniero recibe las muestras de los suministradores A y B. Realiza las medidas para 15 bolsas de cada tipo del suministro. Los resultados se recogen en la tabla: Laboratorio A 2,769 2,955 3,051 2,865 2,969 3,017 Laboratorio B 2,813 2,962 3,076 2,901 2,984 3,039 2,863 2,98 3,123 2,923 2,981 3,044 2,875 3,007 3,161 2,940 2,996 3,057 2,924 3,028 3,216 2,945 3,002 3,14 Se pide: a) Diseñar una distribución de frecuencias para cada tipo de aditivo. b) Realizar los histogramas adecuados para comparar gráficamente ambos aditivos. c) Determinar los principales estadı́sticos. d) Justificar el aditivo elegido. ◮ Descriptive Statistics Variable N Mean Median LabA 15 2,9869 2,9800 LabB 15 2,9869 2,9840 Variable LabA LabB 5. Minimum 2,7690 2,8650 Maximum 3,2160 3,1400 TrMean 2,9860 2,9845 Q1 2,8750 2,9400 StDev SE Mean 0,1273 0,0329 % 0,0688 0,0178 % Q3 % 3,0760 % 3,0390 Las puntuaciones obtenidas por un grupo de alumnos en un test de habilidad psicomotriz han sido las siguientes: Puntuaciones [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) xi 7’5 12’5 17’5 22’5 27’5 fi 3 6 13 7 2 31 xi fi 22’5 75 227’5 157’5 55 537’5 Fi 3 9 22 29 31 a) Calcular los principales estadı́sticos centrales. b) Rango intercuartil. ◮ 6. a) x̄ = 17,34, Me = 17,5, Q1 = 13,96, Q3 = 20,9 b) RIQ = 16,94 En la siguiente tabla de frecuencias, se registran los pesos en gramos de ciertas tornillos. Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 3 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA intervalo 1≤x<3 3≤x<5 5≤x<7 7≤x<9 9 ≤ x < 11 marca de clase frecuencia 5 7 10 2 a) Dar las marcas de clase y calcular la frecuencia correspondiente al cuarto intervalo, sabiendo que la media x es igual a 6 gramos. b) Hallar el tercer cuartil Q3 . ◮ 1.1. 7. a) f4 = 13 b) Q3 = 7, 885 Distribución conjunta de dos variables La siguiente tabla registra en diferentes horas la temperatura (T) del agua de un rı́o y su contenido en oxı́geno disuelto (DO): T 29,57 29,99 30,58 31,00 31,34 31,26 31,17 30,96 30,50 29,99 DO 9,88 12,14 13,66 14,19 14,50 13,72 12,54 11,48 9,92 8,32 T 29,48 29,06 28,81 28,60 28,51 28,51 28,43 28,34 28,34 28,26 DO 6,67 5,29 4,23 3,56 2,98 2,58 2,32 2,14 2,09 2,27 T 28,43 28,64 29,02 29,52 30,07 30,67 31,17 31,55 31,76 31,81 DO 2,90 3,94 5,52 7,83 10,68 12,98 14,26 14,93 14,91 14,61 T 31,68 31,34 31,00 30,79 30,45 30,07 29,69 29,36 29,02 28,76 DO 13,80 12,32 11,00 10,00 8,45 6,48 4,91 3,89 3,21 2,83 T 28,51 28,30 28,09 28,00 28,13 28,30 28,72 29,14 29,74 30,37 DO 2,58 2,41 2,51 2,71 3,48 4,36 5,71 7,91 10,61 12,66 Se pide: a) Construir una distribución conjunta de frecuencias para las dos variables T y DO tomando 5 intervalos. b) Dibujar un diagrama de dispersión conjunto de las dos variables. c) Hacer un estudio de las distribuciones marginales. d) Calcular la matriz de varianzas-covarianzas. ◮ Véase el capı́tulo 1 del libro de Luceño y González(2003) 8. En cierto colectivo de personas se toma una muestra de 30 personas a las que se observa el peso, obteniéndose los siguientes datos: {57,2; 92,5; 72,8; 74,8; 60,1; 96,1; 74,3; 89,1; 69,2; 77,7; 65,0; 82,1; 66,2; 51,3; 83,9; 71,3; 84,8; 62,5; 103,2; 64,1; 73,1; 87,3; 58,9; 76,1; 45,8; 79,1; 68,9; 62,5; 81,5; 65,7} Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 4 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Obtener los estadı́sticos más importantes. ◮ Variable peso Variable peso 9. N 30 Minimum 45,80 Mean 73,24 Median 72,95 Maximum 103,20 TrMean 73,10 Q1 63,70 StDev 13,26 SE Mean % 2,42 Q3 % 82,55 La duración en horas de una serie de bombillas viene dada por la siguiente 7, 24, 31, 34, 26, 19, 88, 76, 81, 44, 43, 40, 54, 55, 61, 58, 59, 29, 37, 36, 47, 49, 66, 70, 39, 50, 68 Obtener los estadı́sticos más importantes. ◮ Variable horas Variable horas 10. N 27 Minimum 7,00 Mean 47,81 Maximum 88,00 Median 47,00 Q1 34,00 TrMean 47,84 StDev 19,65 SE Mean % 3,78 Q3 % 61,00 Se han obtenido las siguientes medidas en milı́metros de una serie de 30 tornillos cogidos al azar. 124, 116, 144, 133, 109, 120, 146, 114, 112, 110, 123, 115, 123, 138, 127, 111, 125, 137, 132, 140, 121, 139, 126, 130, 139, 131, 125, 142, 124, 122 Obtener los estadı́sticos más importantes. Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 5 2. PROBABILIDAD 2. 11. Probabilidad (Espacio muestral). Describir el espacio muestral de las siguientes experiencias aleatorias: a) E1 = {Lanzamiento de un dado y anotamos el resultado}. b) E2 = {Lanzamiento tres dados y sumamos las puntuaciones}. c) E3 = {La duración de una lámpara hasta que se funde}. d) e) f) 12. E4 = {La resistencia a rotura de unos tubos de aluminio}. E5 = {Número de piezas defectuosas de un lote de 5000}. E6 = {Lanzamiento de dos monedas}. Sean A y B sucesos con P (A) = a, P (B) = b y P (A∩B) = c. Expresar las probabilidades siguientes en función de a, b y c. P (A ∪ B) ◮ 13. a) P (A ∪ B) = 1 − c P (A ∩ B) b) P (A ∩ B) = b − c P (A ∪ B) P (A ∩ B) c) P (A ∪ B) = 1 − a + c d) P (A ∩ B) = 1 − a − b + c Sabiendo que P (A) = 0,2, P (B) = P (C) = 0,2 y P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 0,1 y P (A ∩ B ∩ C) = 0,05. Calcular la probabilidad de P (A ∪ B ∪ C). ◮ P (A ∪ B ∪ C) = 0,35 14. El problema de Galileo. Un prı́ncipe italiano preguntó en una ocasión al famoso fı́sico Galileo, ¿por qué cuando se lanzan tres dados, se obtiene con más frecuencia la suma 10 que la suma 9, aunque se puedan obtener de seis maneras distintas cada una? ◮ 15. a) P (suman 9) = 25 = 0,116 63 b) P (suman 10) = 27 63 = 0,125 Una urna contiene dos bolas blancas y tres bolas rojas. Efectuadas dos extracciones sucesivas, determinar la probabilidad de extraer una bola blanca y, a continuación, una bola roja: a) Cuando habiendo extraı́do la primera bola ésta es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción. b) Cuando habiendo extraı́do la primera bola ésta no es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción. ◮ 16. a) P (BR) = 6 25 b) P (BR) = 6 20 Se extrae una carta de una baraja de 40 cartas. Comprobar cuales de los siguientes pares de sucesos son independientes: a) A = {rey} B = {espadas} c) A = {rey} B = {f iguras} b) A = {f iguras} B = {espadas} Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 6 2. PROBABILIDAD ◮ 17. b) si c) no De una baraja de 40 cartas se extrae una al azar y se mira. Se repite esta operación 4 veces. Tenemos que apostar a que la 1a es copa, la 2a es oro, la 3a es bastos y la 1a es espadas. Si nos dejan elegir entre reponer o no la carta extraı́da, ¿qué elegiremos? ◮ 18. a) si a) con reposición µ 1 4 ¶4 b) sin reposición 10 · 10 · 10 · 10 40 · 39 · 38 · 37 El problema del caballero de la Meré. Se considera generalmente 1654 como el año del nacimiento de la teorı́a de probabilidades: el caballero de la Meré, filósofo y hombre de letras en la corte de Luis XIV, propuso dos problemas al célebre matemático Blaise Pascal; a) ¿Qué es más probable, obtener al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dado, u obtener al menos un doble seis al lanzar 24 veces dos dados? b) Se lanza una moneda varias veces. Por cada “1” obtenido, A recibe un punto, y por cada “0”, se adjudica un punto B. Gana la apuesta el primero que obtenga 5 puntos. Al cabo de siete jugadas, A tiene 4 puntos y B tiene 3. En este momento se interrumpe el juego. ¿Cómo repartir la apuesta de la manera más equitativa? Las propuestas de Meré dieron lugar a un intercambio de correspondencia entre Pascal y Fermat, del que nacieron los fundamentos de la teorı́a de probabilidades. (Engel, Probabilidad y Estadı́stica, Mestral, 1988). ◮ 19. a) P (S) = 0, 51775, P (T ) = 0, 4914 b) deben repartir lo apostado en razón de 3 a 1 El problema de las uvas pasas. ¿Cuántas uvas pasas se deben mezclar con 500 gramos de harina para tener una certeza del 99 % de que un bollo de 50 gramos contenga al menos una pasa? (Engel, Probabilidad y Estadı́stica, Mestral, 1988). ◮ 20. En una habitación hay una reunión de n personas. ¿Cuál es la probabilidad de que el cumpleaños de al menos dos personas sea el mismo dı́a? ◮ 2.1. 21. 22. n ≥ 44 p=1− 365 · 364 · 363 · · · (365 − n + 1) 365n Probabilidad condicionada Demostrar que si dos sucesos A y B son independientes, también lo son los sucesos complementarios de A y B. Demostrar: P (A|B) > P (A) =⇒ P (B|A) > P (B) 23. Sean dos sucesos A y B, donde P (A) = 0,5 y P (A ∪ B) = 0,8. Asignar el valor de P (B) para que: a) A y B sean incompatibles. b) A y B sean independientes. ◮ Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González a) P (B) = 0,3 b) P (B) = 0,6 7 2. PROBABILIDAD 24. Indicar en cada caso si los sucesos A y B son incompatibles o independientes: a) P (A) = 0,2, P (B) = 0,4 y P (A ∪ B) = 0,6. b) P (A) = 0,3, P (B) = 0,5 y P (A ∪ B) = 0,65. c) P (A) = 0,4, P (B) = 0,5 y P (A ∪ B) = 0,7. 25. Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Tres jugadores A, B y C extraen una bola sin devolución en este mismo orden. Gana el primer jugador que saca una blanca. Calcular la probabilidad de que gane C. ◮ P (GA ) = 26. 36 15 5 ; P (GB ) = ; P (GC ) = 56 56 56 Supongamos que tenemos 10 urnas: 5 de ellas son de tipo U1 y contienen 3 blancas y 3 negras, 3 de ellas son de tipo U2 y contienen 4 blancas y 2 negras, y el resto son de tipo U3 y contienen 1 blanca y 5 negras. Se pide: a) Probabilidad de que una bola extraı́da al azar de una de las 10 urnas sea blanca. b) Probabilidad de que habiendo salido una bola negra, proceda de una urna del tipo U2 . c) Sabiendo que ha salido una bola negra, ¿de qué tipo de urna es más probable que haya salido? ◮ 27. a) 29 60 b) 6 31 c) U1 Alarma Falsa. En cierto lugar se ha instalado un dispositivo de alarma. Si hay peligro, el dispositivo se pone en funcionamiento el 99 % de las ocasiones. Por otra parte, la probabilidad de que se dispare la alarma espontáneamente es del 0,5 %, y la probabilidad de que una noche haya un intento de robo es 0,1 %. Si una noche determinada se oye la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que sea falsa (no haya peligro)? ◮ 0,83 28. Una persona tiene dos negocios en funcionamiento, A y B. El primer negocio tiene pérdidas en el 25 % de los balances, mientras que el 2o , donde la perspectiva de beneficio es menor, tiene pérdidas sólo en el 5 % de los casos. Se supone que el conjunto de operaciones es análogo en ambos negocios. Si, analizando el resultado económico de una de las operaciones, se observan pérdidas, ¿cuál es la probabilidad de que dicha operación correspondiese al negocio B? ◮ 1/6 29. Para la elección de las personas de un jurado se disponen de dos urnas. En la 1a hay 10 papeletas con nombres de 6 hombres y 4 de mujeres, en la 2a hay 5 papeletas con nombres de 2 hombres y 3 de mujeres. Alguien cambia una papeleta de la 1a urna a la 2a e inmediatamente después se extrae al azar una papeleta de la 2a urna que resulta ser nombre de mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que la papeleta cambiada contenga un nombre de mujer? ◮ 16/34 30. Considérese tres cartas: una con las dos caras negras, otra con ambas caras blancas y la tercera con una blanca y la otra negra. Se elige una carta al azar y se coloca sobre la mesa. La cara superior resulta negra, ¿cuál es la probabilidad de que la cara oculta sea blanca? Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 8 2. PROBABILIDAD A B C ◮ 1/3 31. Una fábrica de ladrillos suministra estos a buen precio pero el 10 % de ellos son defectuosos. Con objeto de mejorar la calidad del producto se someten los ladrillos a un ensayo no destructivo antes de su venta. Este ensayo da como buenos el 99 % de los que son buenos y da por malos el 98 % de los que son malos. a) Determinar la probabilidad de que un ladrillo en mal estado supere el proceso de control de calidad. b) Determinar la probabilidad de aceptar como bueno un ladrillo cualquiera. c) Determinar la probabilidad de que un ladrillo, que ha sido aceptado, esté en malas condiciones d) Si el coste estimado por cada ladrillo fabricado en malas condiciones es C euros. Determinar el precio máximo que debe pagarse por ensayo no destructivo para que este sea rentable. ◮ 32. 33. 34. a) 0,02 b) 0,893 c) 0, 0022 d) 0,098 · C Los almacenes A, B y C, que están dirigidos por la misma persona, tienen 50, 75 y 100 empleados, y, respectivamente, el 50 %, 60 % y 70 % de ellos son mujeres. El hecho de que una persona sea despedida del trabajo es igualmente probable entre todos los empleados, independientemente del sexo. Se despide un empleado, que resulta ser mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que trabajara en el almacén C? ◮ 0,5 Dos proveedores A y B entregan la misma mercancı́a a un fabricante, que guarda todas las existencias de esta mercancı́a en un mismo lugar. Los antecedentes demuestran que el 5 % de la mercancı́a entregada por A es defectuosa y que el 9 % lo es de B. A entrega 4 veces más que B. Si se saca una pieza y no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la haya fabricado A? ◮ 0,806 Se diseña un dispositivo de frenado para evitar que un automóvil patine en el que incluye un sistema electrónico e hidraúlico. El sistema completo puede descomponerse en tres subsistemas en serie que operan de manera independiente: un sistema electrónico, un sistema hidraúlico y un sistema mecánico. En un frenado particular, las probabilidades de estas unidades funcionen son aproximadamente 0,995, 0,993 y 0,994, respectivamente. Calcular la probabilidad de que sistema frene. ◮ Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 9 0,98 2. PROBABILIDAD 35. El volumen de producción diario en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la 1a , 1000 en la 2a y 2000 en la 3a planta. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en las plantas es de 1 %, 0,8 % y 2 %, respectivamente, determinar la probabilidad de que: a) Extraı́da una unidad al azar, resulte no defectuosa. b) Habiendo sido extraı́da una unidad defectuosa, haya sido producida en la primera planta. ◮ 36. a) 0,985 b) 0,094 Tres imprentas realizan trabajos para la oficina de publicaciones de la Universidad de Cantabria. La oficina de publicaciones no negocia una multa contractual por trabajos atrasados, y los datos siguientes reflejan una gran experiencia con estas imprentas. imprenta i 1 2 3 fracción de contratos 0,2 0,3 0,5 fracción de tiempo con retraso 0,2 0,5 0,3 Un departamento observa que un pedido tiene más de un mes de retraso. ¿Cuál es la probabilidad de que el contrato se haya otorgado a la imprenta 3? ◮ 37. 15/34 Una compañia de aviones dispone de 20 pilotos y 15 auxiliares de vuelo. Si en cada vuelo viajan como equipo responsable, dos pilotos y tres auxiliares. Se pide: a) ¿De cuántos equipos distintos dispone la compañia para los vuelos? b) El piloto RX34 tiene a su mujer como auxiliar de vuelo. Si tomamos un vuelo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vaya el matrimonio en el personal de vuelo? c) Si elegimos un vuelo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vaya RX34 o su mujer en el personal de vuelo? a) 86,450 ◮ 38. b) 0,14 c) 0, 28 Una fábrica dispone de 20 transportistas, 45 empleados de mantenimiento y 5 ingenieros supervisores. La contratación de todo el personal se divide en fija y temporal. De los transportistas 8 son fijos; de los empleados de mantenimiento 35 son fijos y de los ingenieros 3 son fijos. Si elegimos una persona al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un contrato temporal? b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un contrato temporal y no sea ingeniero? c) Si elegimos una persona que tiene contrato fijo, ¿cuál es la probabilidad de que sea un transportista? ◮ Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González a) 24 70 b) 22 70 c) 8 46 10 3. VARIABLES ALEATORIAS 3. 3.1. 39. Variables aleatorias Variables aleatorias discretas En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. A continuación se lanzan tres dados. Si el número elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3 veces lo apostado, y se recupera éste. Si no aparece el número elegido, se pierde lo apostado. Sea X la variable aleatoria que proporciona la ganancia. Obtener E(X). ◮ 40. E[X] = −0, 078 Una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad, x P (x) 1 0,05 2 0,20 3 0,05 4 0,45 5 0,25 a) Comprobar que es una función de probabilidad. b) c) d) e) f) Calcular P (x ≤ 3). Calcular P (x > 3). Calcular P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5). Calcular E(X). Representar la función de distribución FX (x). ◮ 41. 42. b) 0,3 c) 0,7 d) 0,35 e) 3,65 Fiabilidad de un componente. Para una componente de un sistema, sea A el suceso “la componente funciona”. Se define la función indicatriz del suceso A como aquella función IA tal que IA = 1 si A es cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Qué indica E(IA )? A partir la figura 3.1 a) Determinar la función indicatriz de los sistemas. b) Determinar la fiabilidad de los sistemas. c) Suponiendo p1 = p2 = p3 = 0,90, determinar la fiabilidad de los sistemas y compararlos. 1 1 2 1 2 2 3 3 (a) Circuito1 (b) Circuito2 (c) Circuito3 Figura 3.1: Función indicatriz y fiabilidad ◮ a) 1 − (1 − I1 )(1 − I2 )(1 − I3 ), I1 I2 , 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 ) Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González b) 1 − q1 q2 q3 , p1 p2 , 1 − (1 − p1 p2 )q3 11 3. VARIABLES ALEATORIAS 1 2 1 3 4 2 (a) Circuito4 1 2 (b) Circuito5 Figura 3.2: Función indicatriz y fiabilidad 43. Determinar la función indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.2 ◮ a) I = 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 I4 ), R = 1 − (1 − p1 p2 )(1 − p3 p4 ) b) I = [1 − (1 − I1 )(1 − I2 )][1 − (1 − I3 )(1 − I4 )], R = (1 − q1 q2 )(1 − q3 q4 ) 44. Determinar la función indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.3 1 2 1 3 3 2 4 5 4 (a) Circuito6 (b) Circuito7 Figura 3.3: Función indicatriz y fiabilidad ◮ a) I = 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 )(1 − I4 I5 ), R = 1 − (1 − p1 p2 )(1 − p3 )(1 − p4 p5 ) b) I = I1 + I2 (1 − I1 )(I3 + I4 − I3 I4 ), R = p1 + p2 (1 − p1 )(p3 + p4 − p3 p4 ) 45. Sea una variable aleatoria definida por su función de distribución: 0 x < −2 0,4 −2 ≤ x < 0,5 F (x) = 0,8 0,5 ≤ x < 3 1 x≥3 a) Representar F (x) y calcular la función de probabilidad de esta variable. b) Calcular E(X). ◮ 46. b) E(X) = 0 Se lanza una moneda tres veces; sea X el número de caras obtenidas. Hallar la función de probabilidad y de distribución de X. ◮ 47. a) P (−2) = 0,4, P (0,5) = 0,4, P (3) = 0,2 P (0) = 1/8, P (1) = 3/8, P (2) = 3/8, P (3) = 1/8 ; F (0) = 1/8, F (1) = 4/8, F (2) = 7/8, F (3) = 1 El número medio de personas que acuden a un local es de 1000 con una desviación tı́pica σ = 20. ¿Cuál es el número de sillas necesarias para asegurar que todos los asistentes puedan sentarse, con una probabilidad de 0,75? (Usar la desigualdad de Chebyschev.) ◮ n ≥ 1090 Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 12 3. VARIABLES ALEATORIAS 48. Sea X variable aleatoria cuya distribución de probabilidad viene dada por 3 1 2 r! (4 − r)! P (X = r) = 0 P (X = r) = r = 0, 1, 2, 3, 4 para otros valores Hallar P (X = 3); P (1 ≤ X ≤ 2,5) y P (X ≤ 2,5). P (3) = 1/4, P (1 ≤ X ≤ 2,5) = 5/8, P (X ≤ 2,5) = 11/16 ◮ 49. Los artı́culos en venta en unos grandes almacenes se someten al control diario ¡ ¢ry se estima que la probabilidad de que en un dı́a sean vendidos r artı́culos defectuosos es 32 31 . Determinar la probabilidad de que en un dı́a elegido al azar, de los artı́culos vendidos: a) Dos o más sean defectuosos. b) Cinco sean defectuosos. c) Tres ó menos sean defectuosos. d) Determinar la esperanza del número de artı́culos defectuosos vendidos en el dı́a. ◮ 3.2. 50. a) 1/9 b) 2 3 µ 1 3 ¶5 c) 1 − µ 1 3 ¶4 d) E[X] = 3 Variables aleatorias continuas De las siguientes afirmaciones sobre la función de distribución de una variable aleatoria, marcar con ⊠ las que sean correctas. a) F (−∞) = 0, F (∞) = 1. ¤ b) F es monótona no decreciente. ¤ c) F es monótona creciente. ¤ d) F es continua por la derecha, es decir, F (x) = lı́m+ F (a). ¤ e) P (X = x) = F (x) − F (x− ). ¤ P (x < X ≤ y) = F (y) − F (x). ¤ P (X ≥ x) = 1 − F (x). ¤ f) g) a→x − P (X = x) = F (x) − F (x ). ¤ h) P (x < X < y) = F (y) − F (x). i) 51. ¤ Sea X una variable aleatoria que tiene como función de densidad de probabilidad f (x) = a(1 + x2 ) si x ∈ (0, 3) y f (x) = 0 en los demás casos. Se pide: a) Hallar a y la función de distribución de X. b) Hallar la probabilidad de que X esté comprendido entre 1 y 2. c) P (X < 1). d) P (X < 2|X > 1). Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 13 3. VARIABLES ALEATORIAS e) Calcular P (|X − µ| ≥ k σ), con k = 2. ◮ 52. 1 12 a) a = 1/12, F (x) = µ ¶ 1 3 x +x 3 b) 5 18 c) P (X < 1) = Sea Y una variable aleatoria con función de densidad 0,2 0,2 + k y pY (y) = 0 1 9 45 144 e) 0,054 c) 0,25 d) 0,71 d) P (X < 2|X > 1) = dada por: −1 ≤ y ≤ 0 0<y≤1 en el resto a) Determinar el valor de k. b) Determinar la función de distribución, FY (y). c) Calcular P (0 ≤ Y ≤ 0,5). d) P (Y > 0,5|Y > 0,1). ◮ 53. a) k = 1,2 b) FY (y) = 0,2y + 0,2 −1<y <0 La cantidad aleatoria de dinero ahorrado por una dada por: 0 x2 1 F (x) = 2 x 4 1 FY (y) = 0,6y 2 + 0,2y + 0,2 0≤y<1 persona en un mes sigue una ley de probabilidad x<0 0≤x<1 1≤x<2 2≤x<4 4≤x donde x viene expresado en cientos de euros. Determinar la probabilidad de que, en un mes la cantidad de dinero ahorrado: a) Sea superior a 200 euros. b) Sea inferior a 450 euros. c) Sea superior a 50 euros y menor ó igual a 250 euros. d) Calcular el ahorro mensual medio. ◮ 54. a) 0,5 b) 1 c) 3/8 d) 175 euros Con objeto de establecer un plan de producción, una empresa ha estimado que la demanda aleatoria de sus potenciales clientes se comportará semanalmente con arreglo a la ley de probabilidad definida por la función de densidad ½ 3 2 0≤x≤2 8 (4x − 2x ), pX (x) = 0, en el resto donde x viene expresada en millones de unidades. ¿Qué cantidad C deberá tener dispuesta a la venta, al comienzo de cada semana, para poder satisfacer la demanda en dicho periodo con una probabilidad de 0,5? ◮ C=1 Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 14 3. VARIABLES ALEATORIAS 55. Cierta aleación se forma con la mezcla fundida de dos metales. La aleación que resulta contiene cierto porcentaje de plomo X, que puede considerarse como una variable aleatoria. Suponiendo que X tiene la siguiente función de densidad de probabilidad: pX (x) = 10−5 3x(100 − x) , 5 0 ≤ x ≤ 100, y que el beneficio neto G obtenido al vender esta aleación, es una función del porcentaje de plomo: G = A + BX, se pide calcular el beneficio esperado. ◮ E[G] = A + 50 B 56. Si la duración en horas de cierto tubo de radio es una variable aleatoria continua X con función de densidad 100 pX (x) = 2 , x > 100, x SE PIDE: a) Probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo funciona todavı́a después de 150 horas de servicio. b) Si se instalan tres de estos tubos en un conjunto, probabilidad de que exactamente uno tenga que ser sustituido después de 150 horas de servicio. c) ¿Cuál es el número mı́nimo de tubos n que se pueden poner en un sistema en paralelo, de modo que haya una probabilidad 0,999 de que después de 150 horas de servicio funcione todavı́a el sistema? ◮ 57. a) 1/4 b) 4/9 c) n ≥ 7 El tiempo de vida (en cientos de horas) de un transistor es una variable aleatoria Z con función de distribución ½ 0 z<0 FZ (z) = −z 2 1−e 0≤z SE PIDE: a) Demostrar que FZ (z) es una función de distribución. b) Obtener la función de densidad de probabilidad pZ (z). c) Calcular la probabilidad de que un determinado transistor dure más de 200 horas. ◮ 58. b) pZ (z) = 2z e−z 2 c) 1 e4 Una estructura metálica puede sufrir, debido al calor, una dilatación que (medida en cm) es una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad dada por: ax 0≤x≤3 b 3<x<5 pX (x) = b 3 (8 − x) 5 ≤ x ≤ 8 a) Sabiendo que la función de densidad de probabilidad es una función continua de x, determinar a y b. Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 15 3. VARIABLES ALEATORIAS b) Calcular e interpretar la probabilidad de que la dilatación sea inferior a 3. c) Si con un aparato se ha observado que la estructura ha dilatado más de 3 cm, ¿con qué probabilidad la dilatación estará entre 3 y 5 cm? a) a = ◮ 59. 1 1 ;b= 15 5 b) 3 10 4 7 c) Sea una variable aleatoria X, que tiene como función de densidad: ( x+6 −6 ≤ x ≤ 4 pX (x) = 50 0 resto a) Calcular la función de distribución de X. b) Hallar k, si P (k ≤ x ≤ k + 1) = 0,09. ◮ 60. 62. 1 1 2 ( x + 6x + 18) 50 2 b) k = −2 La demanda, expresada en toneladas, de un determinado producto es una variable aleatoria cuya función de densidad es: x pX (x) = 2≤x≤4 6 ¿Cuales son la media, la varianza y la mediana de esta demanda? El fabricante del producto sabe que cada kilo vendido reporta un beneficio de 12 euros, y cada kilo que queda sin vender supone una pérdida de 6 euros. Es por tanto, importante para él establecer cuál es la cantidad a fabricar. Si el criterio para establecer dicha cantidad es el maximizar la ganancia esperada, determinar cuál es la fabricación óptima. 3.3. 61. a) F (x) = Cambio de variable Sea X una variable aleatoria con E(X) = 2 y V ar(X) = 0,5. Sea Y = 3X − 8. Hallar E(Y ) y V ar(Y ). Supongamos que una variable aleatoria X tiene función de densidad de probabilidad: pX (x) = 2x 0<x<1 Determinar la función de densidad de probabilidad de las variables Y = H1 (X) = 3X + 1, Z = H2 (X) = e−X y W = H3 (X) = X 2 . a) FY (y) = ◮ ³ y−1 3 b) FZ (z) = 1 − ln2 z c) FW (x) = w 63. ´2 pY (y) = 2 3 ³ y−1 3 pZ (z) = −2 pW (w) = 1 ´ 1<y<4 ln z z e−3 < z < e−1 0<w<1 Para medir la velocidad del aire se usa un tubo que permite medir la diferencia de presión. Esta diferencia está dada por R = 12 d V 2 , con d la densidad del aire (supuesta constante) y V la velocidad del viento (en km/h). Si V es una función de densidad de probabilidad uniforme en (10, 20), encontrar la función de densidad de probabilidad de R. ◮ Universidad de Cantabria. pR (r) = Alberto Luceño y Fco. Javier González 1 √ 10 2rd ; 50d < r < 200d 16 3. VARIABLES ALEATORIAS 64. La tabla siguiente representa la distribución de probabilidad conjunta de la variable aleatoria discreta (X, Y ). Determinar Y \X 1 2 3 1 2 1 12 1 6 1 9 1 4 0 1 18 3 0 1 5 2 15 a) Calcular P (X = 2, Y = 1); P (X = 2); P (Y = 1) y P (X = 3|Y = 2). b) 65. Calcular E(X); E(Y ) y Cov(X, Y ). Dos lı́neas de producción fabrican cierto tipo de artı́culo. Supóngase que la capacidad es de 5 artı́culos para la lı́nea I y de 3 artı́culos para la lı́nea II, y que el número verdadero de artı́culos producidos por cada lı́nea es una variable aleatoria. Sea (X, Y ) la representación de la variable aleatoria bidimensional que da el número de artı́culos producidos por la lı́nea I y por la lı́nea II: Y \X 0 1 2 3 0 0 0,01 0,01 0,01 1 0,01 0,02 0,03 0,02 2 0,03 0,04 0,05 0,04 3 0,05 0,05 0,05 0,06 4 0,07 0,06 0,05 0,096 5 0,09 0,08 0,06 0,05 a) Determinar la probabilidad del suceso: la lı́nea I produce más artı́culos que la lı́nea II. b) Hallar las distribuciones marginales. c) Calcular P (X = 3) y P (Y = 1). d) Calcular E(X) y E(Y ). e) Calcular P (X = 2|Y = 2). ◮ Universidad de Cantabria. a) 0,13 c) P (x = 3) = 0,21, P (y = 1) = 0,26 Alberto Luceño y Fco. Javier González d) E[X] = 3,39, E[Y ] = 1,48 17 e) 1 5 4. DISTRIBUCIONES DISCRETAS MÁS COMUNES 4. 66. Distribuciones discretas más comunes Suponiendo que cada bebé tiene una probabilidad 0,51 de ser varón, hállese la probabilidad de que una familia de 6 hijos tenga: a) Por lo menos un niño. b) Por lo menos una niña. ◮ 67. 70. 1 − q 10 − 10 p q 9 , con p = 1/5 y q = 4/5 Demostrar que si la variable aleatoria X tiene distribución binomial (X ∼ Bin(n, p)), se tiene: µX = np 69. b) 0,982 Si la probabilidad de acertar en un blanco es 1/5 y se hacen 10 disparos de forma independiente, ¿cuál es la probabilidad de acertar por lo menos dos veces? ◮ 68. a) 0,986 ; 2 σX = npq. Se lanza una moneda 500 veces. Estimar la probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre 240 y 260. ◮ 0,6208 En una regulación de calles por semáforos, la luz verde está encendida durante 15 segundos, la luz ámbar 5 segundos y la luz roja 55 segundos. Supongamos que las condiciones de tráfico inducen variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automóviles, de forma que “llegar cuando el semáforo está verde” es un suceso aleatorio. Para cinco coches que lleguen en tiempos diferentes e indeterminados, calcular la probabilidad de que: a) solo tres encuentren la luz verde; b) a lo sumo cuatro encuentren la luz verde; c) más de uno encuentre la luz verde. ◮ 71. a) 0, 0512 b) 0, 99968 c) 0, 26272 Una firma de pedidos por correo envı́a una carta a sus clientes. La probabilidad de que un cliente elegido al azar conteste a esa carta es de p = 0,1. Hallar: a) Distribución de probabilidad del número X de cartas que debe enviar hasta obtener exactamente 1 respuesta. b) La esperanza y varianza matemática de la variable X. c) Distribución de probabilidad del número Y de cartas que debe enviar para obtener exactamente k respuestas. d) La esperanza y varianza matemática de la variable Y . ◮ Universidad de Cantabria. a) P (X = k) = p q k−1 µ ¶ n−1 c) pk q n−k k−1 Alberto Luceño y Fco. Javier González b) E[X] = 1/p,V ar[X] = q/p2 d) E[Y ] = k/p,V ar[Y ] = kq/p2 18 4. DISTRIBUCIONES DISCRETAS MÁS COMUNES 72. Una caja con 12 artı́culos tiene 4 defectuosos. Si se toma una muestra de 3, en un caso con reemplazamiento y en otro sin reemplazamiento, ¿cuál será la probabilidad de no incluir artı́culos defectuosos µ ¶ 8 3 336 en la muestra? ◮ a) b) 12 73. 1320 Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta que aparece un 6. Si X mide el número del lanzamiento en que ocurre. Se pide: a) ¿Qué función de probabilidad tiene la variable aleatoria X? b) Calcular P (X = 3). c) Calcular P (X > 4). ◮ a) P (X = k) = p q k−1 b) p(X = 3) = p q 2 c) p(X > 4) = q 4 , siendo p la probabilidad de que salga un 6 y q =1−p 74. Sea X una variable aleatoria geométrica de parámetro p. Demostrar que: P (X > a + b|X > a) = P (X > b), para cualesquiera constantes positivas a y b. 75. Para controlar la natalidad, un polı́tico algo excéntrico, propone para los nuevos matrimonios la siguiente norma: únicamente podrán tener hasta un varón y como máximo 5 hijos. Sea X la variable número de hijos y V la variable número de varones de un matrimonio. Se pide: a) Probabilidad de que un matrimonio solo tenga un hijo. 76. b) Probabilidad de que un matrimonio tenga k hijos. c) Número medio de hijos por matrimonio. d) Número medio de varones por matrimonio. e) ¿Reduce esta norma la frecuencia de varones en la población? Tres personas A, B, y C lanzan sucesivamente en el orden A, B, C un dado. La primera persona que saque un 6 gana. Si p es la probabilidad de sacar un 6 y q = 1 − p, ¿cuáles son sus respectivas probabilidades de ganar? ◮ P (GA ) = 77. p ; 1 − q3 P (GB ) = pq ; 1 − q3 P (GC ) = pq 2 1 − q3 Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta obtener dos seises y X mide el número del lanzamientos hasta que dicho suceso ocurre. Se pide: a) ¿Qué función de probabilidad tiene la variable aleatoria X? b) P (X = 3). c) P (X > 4). Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 19 4. DISTRIBUCIONES DISCRETAS MÁS COMUNES 78. Sea X una variable aleatoria binomial negativa N B(k, p). Demostrar que: µ= 79. k p ; σx2 = k q . p2 Se conoce de estudios anteriores que el tipo de grupo sanguı́neo de una población se distribuye de acuerdo a los siguientes datos. Grupo Porcentaje A 43,2 B 14,2 AB 6 O 36,6 En determinada situación de emergencia se necesitan realizar 5 transfusiones del tipo A. Se solicitan voluntarios a la población y se realizan extracciones sucesivas. ¿Cuál es la probabilidad de cubrir la emergencia con el décimo donante? 80. Sea X binomial Bin(n, p) y sea Y binomial negativa N B(k, p), demostrar las siguientes relaciones entre ellas: a) P (Y ≤ n) = P (X ≥ r). b) 81. P (Y > n) = P (X < r). La centralita telefónica de un hotel recibe un número de llamadas por minuto que sigue una ley de Poisson con media 0,5. Determinar la probabilidad de que en un minuto al azar: a) Se reciba una única llamada. b) Se reciban un máximo de dos llamadas. c) La centralita quede bloqueada, sabiendo que no puede realizar más de 3 conexiones por minuto. ◮ 82. a) 0, 303 b) 0, 986 c) 0, 002 En una gran ciudad se producen 2 incendios anuales por término medio. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo año se produzcan más de cuatro? ◮ 83. Sea X una variable aleatoria de Poison de parámetro λ, P o(λ). Demostrar que: µ=λ ; 84. 0, 0527 σx2 = λ. Se lanza una moneda 500 veces. Hallar la probabilidad de que la frecuencia relativa de caras esté comprendida entre 0,45 y 0,65. ◮ 0,987 85. ¿Cuántas veces habrı́a que lanzar una moneda regular a fin de tener al menos un 95 % de seguridad de que la frecuencia relativa de caras diste a lo más 0,1 de la probabilidad teórica 0,5? ◮ 96 Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 20 4. DISTRIBUCIONES DISCRETAS MÁS COMUNES 86. 87. 88. 89. ¿Cuántas veces habrı́a que lanzar un dado regular a fin de tener al menos un 95 % de seguridad de que la frecuencia relativa de caras diste a lo más 0,1 de la probabilidad teórica 1/6? ◮ 54 Una fábrica produce artı́culos defectuosos con una probabilidad del 5 %. ¿Cuántas tornillos habrı́a que inspeccionar para tener al menos un 98 % de seguridad de que la frecuencia relativa de tornillos defectuosos fD diste de 0,05 en menos de 0,02? Contestar a la pregunta anterior si la probabilidad real de 0,05 es desconocida. ◮ n ≥ 643 n ≥ 3383 Dos personas juegan a cara o cruz y han convenido en continuar la partida hasta que tanto la cara como la cruz se hayan presentado por lo menos 3 veces. Hallar la probabilidad de que el juego no se acabe cuando se han hecho 10 tiradas. ◮ 0, 109375 Un test psicotécnico comprende 50 preguntas, para cada una existe una única respuesta correcta sobre 5 posibles. Cada respuesta correcta vale 1 punto. a) Si se somete a una persona a este test y responde al azar, hallar la probabilidad de que obtenga cero puntos. b) Si fuesen 200 personas respondiendo al azar, hallar el número medio de personas que obtienen 10 puntos. ◮ 90. a) 1,4 10−5 Una gran empresa celebra, exactamente dentro de un año, su centenario. La dirección decide que todos los hijos de los trabajadores que nazcan el dı́a del centenario tendrán derecho a una cuenta de ahorro de 5000 euros. Suelen nacer 730 niños al año, es decir, unos 2 por dı́a. El valor esperado del desembolso a efectuar es de 10000 euros. La dirección destina 25000 euros para prevenir alguna desviación. ¿Cuál es la probabilidad de que esta cantidad resulte insuficiente? ◮ 91. 92. b) 28 0,0166 El 4 % de las reservas de un vuelo no son utilizadas. Según esta observación, una compañia de aviación vende 75 billetes para 73 plazas. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los pasajeros consigan plaza? ◮ 0,8069 Supóngase que en un estudio dental sobre niños se ha obtenido la proporción p = 2/3 de la población infantil que tiene alguna caries. Calcular: a) Probabilidad de que haya que examinar 6 niños para encontrar uno con caries. b) Probabilidad de que haya que examinar 15 niños para encontrar 5 con caries. ◮ 93. a) p q 5 b) µ 14 4 ¶ p5 q 10 El departamento de matemáticas propone un exámen de test consistente en 25 cuestiones. Cada cuestión tiene 5 respuestas listadas. Si un estudiante no conoce la respuesta correcta de ninguna cuestión y prueba suerte, calcular: a) ¿Cuál es el número esperado de respuestas correctas y su desviación tı́pica? Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 21 4. DISTRIBUCIONES DISCRETAS MÁS COMUNES b) Suponiendo que cada respuesta acertada vale 1 punto, ¿cuánto debe valer cada respuesta fallada para que la nota esperada del estudiante que prueba suerte sea nula? c) Si se pasa el examen cuando se responden correctamente 13 cuestiones, ¿cuál es la probabilidad de que pase el alumno que ha probado suerte? ◮ 94. 95. a) E[X] = 5, σ = 2 b) −0,25 c) 0,004 Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta que aparece un 6. Si sabemos que no salió en la primera tirada, ¿cuál es la probabilidad de necesitar más de 3 lanzamientos? ◮ 0,694 Una caja contiene 100 artı́culos, de los que 4 son defectuosos. Sea X el número de artı́culos defectuosos encontrados en una muestra de 9. a) Hallar P (X = 2). b) Aproximar la probabilidad anterior por una binomial. c) Aproximar la probabilidad anterior por una Poisson. ◮ 96. a) 0,0376 b) 0,0432 c) 0,0452 Supóngase que el número de llamadas telefónicas que recibe una operadora desde las 9:00 horas hasta las 9:05 horas sigue una distribución de Poisson con λ = 4. Hallar: a) Probabilidad de que la operadora no reciba ninguna llamada al dı́a siguiente en ese intervalo de tiempo. b) Probabilidad de que en los dos próximos dias la operadora reciba un total de 3 llamadas en ese intervalo de tiempo. ◮ 97. a) 0,018 b) 0,0286 Un almacén suministra un determinado tipo de grúa. El número de pedidos por dı́a se ajusta a una distribucción de Poisson con parámetro λ = 2. Tres de estas grúas por lo general se tienen disponibles en el almacén. Si se piden más de tres, el comprador debe desplazarse a una distancia considerable hasta una empresa de ingenierı́a. a) En un dı́a cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que se realice un viaje a la empresa de ingenierı́a? b) ¿Cuál es el número medio de pedidos por dı́a? c) ¿Cuántas grúas de repuesto deben permanecer en el almacén para despachar a los compradores el 90 % de las veces? d) ¿Cuál es el número medio de compradores atendidos diariamente en el almacén? e) ¿Cuál es el número esperado de veces que el compradores realizará el viaje a la empresa de ingenierı́a? ◮ 98. a) 0,1680 b) E[X] = 3 c) n = 5 d) 2,328 e) 0,672 Se supone que el número de accidentes por semana que ocurren en una fábrica sigue una distribución de Poisson con parámetro λ = 2. Se pide: Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 22 4. DISTRIBUCIONES DISCRETAS MÁS COMUNES a) b) c) d) e) Probabilidad de que en una semana cualquiera ocurra un solo accidente. Probabilidad de que, en un grupo de 10 semanas, ocurran 3 accidentes en tres semanas distintas. Probabilidad de que en una semana haya más de 3 accidentes. Función de densidad del tiempo entre dos accidentes. Probabilidad de que el tiempo entre dos accidentes sea superior a 3 semanas. ◮ 99. a) p = 0, 27067 b) µ 10 3 ¶ p3 q 7 c) 0, 14288 d) Exponencial(α = 2) e) 0, 002 Una agencia inmobiliaria dedicada a la venta de apartamentos en la Costa ha realizado un estudio de ventas, comprobando que solo el 5 % de las personas que acuden a visitar el piso piloto compran un apartamento. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que tenga que recibir 10 visitas hasta vender un apartamento. b) Calcular la probabilidad de que tenga que recibir 10 visitas hasta vender dos apartamentos. c) Se han tenido que recibir 10 visitas hasta vender 2 apartamentos. ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 primeras visitas no efectuaran ninguna compra? ◮ 100. a) 0, 03151 b) 0, 01493 c) 6/9 Un video club tiene 12 pelı́culas infantiles para alquilar a diario. Para este grupo se estima que la demanda sigue un proceso de Poisson con tasa 10 pelı́culas/dı́a. Se pide: a) Probabilidad de que en un dı́a se hayan alquilado todas las pelı́culas. b) ¿Cuantas pelı́culas deberı́a haber en existencia para que la probabilidad de no satisfacer la demanda de un dı́a solo fuese del 0,07 %? ◮ 101. 102. a) 0, 208 b) n = 15 Un lote de 10 motores eléctricos se debe rechazar totalmente o vender, según el resultado de la siguiente operación: se escogen dos motores al azar sin sustitución y se inspeccionan. Si uno o más son defectuosos, el lote se rechaza; en otro caso es aceptado. Supongamos que cada uno de los motores cuesta 75$ y se vende por 100$. Si el lote contiene un motor defectuoso, ¿cúal es beneficio neto esperado del fabricante? ◮ E[B] = 50 A un hotel llegan dos carreteras A y B. El número de llegadas diarias por cada carretera siguen distribuciones de Poisson independientes con parámetros 8 y 9 respectivamente. a) Si un dı́a llegaron 12 personas, ¿cuál es la probabilidad de que 7 llegaran por la carretera A? b) El coste diario de manutención por persona es de 2000 euros si son menos de 5 personas y 1500 euros si son 5 ó más personas. ¿Cuál será el coste diario esperado? ◮ 103. a) 0, 16834 Una empresa de fabricación de explosivos tiene dos secciones una segura S y otra con riesgo de accidentes R. En la sección S hay 2000 empleados donde el número de accidentes XS por año sigue una distribución de Poisson de parámetro λ1 = 5 y en R hay 500 empleados y el número de accidentes YR por año sigue una distribución de Poisson de parámetro λ2 = 10. Los accidentes se producen de forma independiente en las dos secciones. Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 23 4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS MÁS COMUNES a) ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan cinco accidentes en la sección S? b) ¿Cuál es el número medio de accidentes por año en la empresa? c) Si en un año se han registrado 8 accidentes, ¿cuál es la probabilidad de que se hayan producido 6 accidentes en la sección R? La compañia ”La Avispa.asegura a cada empleado de la sección S por una prima de p1 euros y a cada empleado de la sección R por una prima de p2 euros y una indemnización común de 10 millones por accidentado. d ) Expresar los beneficios B por año de la compañia. e) ¿Cuáles son los valores mı́nimos justos de las primas p1 y p2 , para que el beneficio esperado por la compañia no sea negativo? a) 0, 1754 ◮ 4. 104. c) 0,273 e) p1 = 2500 , p2 = 20000 Distribuciones continuas más comunes Una variable aleatoria X se distribuye de forma uniforme en (2, 4). Se pide: a) b) c) d) 105. b) 15 P (X < 2,5) P (X > 3,2) P (2,2 < X < 3,5) E(X) y V ar(X) Se sabe que la cantidad aleatoria demandada durante un cierto periodo de tiempo por parte de una empresa textil tiene distribución uniforme y no supera la tonelada. Determinar para dicho periodo de tiempo: a) Probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900 kg. b) Probabilidad de que la cantidad demandada esté comprendida entre 800 y 900 kg. c) La demanda esperada. ◮ 106. 107. b) 0,1 c) E[X] = 500 kilos Una empresa tiene una función de costes que viene dada por C = 100,000 + 2X. En el mercado vende cada unidad a 5 euros y la demanda X del citado artı́culo tiene una distribución uniforme entre 25000 y 30000 unidades. ¿Cuál será el beneficio esperado? ◮ −17,500 Comprobar que si T es exponencial de parámetro α se cumple la propiedad µT = 108. a) 0, 9 1 α ; σT2 = 1 . α Comprobar que si T es exponencial de parámetro α se cumple la propiedad P (T > s + t|T > s) = P (T > t) ¿Porqué se suele decir que la variable aleatoria exponencial “no tiene memoria”? Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 24 4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS MÁS COMUNES 109. La variable aleatoria T es de tipo Exponencial(λ). ¿Cuál es la probabilidad de que T sea superior a su valor esperado? ¿Cuál es la probabilidad de que T sea superior al doble de su valor esperado? a) e−1 ◮ 110. b) e−2 La función de densidad del tiempo T entre dos averı́as de una instalación de cálculo es f (t) = 0,25e−0,25t . Para resolver un determinado problema es necesario que funcione la instalación sin fallos durante 3 minutos, que es el tiempo necesario para la resolución del problema. Si falla la instalación durante el periodo de 3 minutos hay que volver a empezar con el cálculo del problema teniendo en cuenta que la existencia de una averı́a sólo se aprecia después de los tres minutos. Sea Y el tiempo total necesario para la resolución del problema. Hallar: a) Distribución de Y . b) Tiempo medio de resolución del problema. c) Probabilidad de que en 18 minutos puedan ser resueltos 3 problemas. ◮ 111. a) P (Y = 3k) = p q k−1 con p = 0,472 b) 6, 35 c) 0,7072 La duración de la vida de una bombilla es Exponencial(α). La probabilidad de que sobrepase las 100 horas de uso es 0,9. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrepase 200 horas de uso? b) 112. 113. ¿Cuántas horas se mantiene funcionando con una probabilidad 0,95? El tiempo medio de funcionamiento de una bombilla es de 120 horas. Se ponen en funcionamiento 6 bombillas al mismo tiempo. Sea Ti el tiempo que transcurre hasta que se estropean i bombillas. Determinar E[Ti ] para i = 1, 3, 6. ◮ Grado de dificultad: Grande En la figura 4.4 cada componente tiene una función de fiabilidad de tipo exponencial con parámetro αi . Determinar la función de fiabilidad del sistema y el tiempo medio de vida del sistema. α1 α1 α2 α2 (a) Sistema-1 (b) Sistema-2 Figura 4.4: Fiabilidad en serie y paralelo a) G(t) = e−(α1 +α2 )t ◮ 114. E[t] = 1 α1 +α2 b) G(t) = 1 − (1 − e−α1 t )(1 − e−α2 t ) E[t] = 1 α1 + 1 α2 − 1 α1 +α2 En la figura 4.5 cada componente tiene la misma función de fiabilidad de tipo exponencial con parámetro α. Determinar la función de fiabilidad del sistema y el tiempo medio de vida del sistema. Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 25 4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS MÁS COMUNES α1 α2 α3 (a) Sistema-3 Figura 4.5: Fiabilidad en serie y paralelo 115. 116. 117. En la figura 4.4 cada componente tiene una función de fiabilidad de tipo exponencial con parámetro αi . Sea A el suceso la componente 1 se estropea antes que la componente 2. Determinar la probabilidad del suceso A. Sean 30 instrumentos electrónicos E1 , E2 , . . . , E30 . Tan pronto como falla E1 se activa E2 , y ası́ sucesivamente. Si el tiempo en que falla Ei , para cualquier i, es de tipo exponencial con parámetro α = 0,1 hora−1 y T es el tiempo total de funcionamiento de los 30 instrumentos, hallar la probabilidad de que T supere las 350 horas. Sea Z una variable aleatoria normal con µ = 0 y σ = 1. Calcular: a) p(Z ≤ 0) c) p(Z > 1) e) p(−1 < Z < 1) 118. Sea X una variable aleatoria normal con µ = 50 y σ 2 = 25. Calcular: a) p(X ≤ 40) c) p(X > 65) e) p(40 < X < 60) 119. 120. b) p(Z ≤ 1) d) p(Z > −1) f ) p(−2 < Z < −1) b) p(X ≤ 60) d) p(X > 35) f ) p(30 < X < 42) Se sabe que el número X de personas que entran diariamente en unos grandes almacenes se distribuye normalmente. Si hay una probabilidad 0,58 de que entren menos de 75 clientes y una probabilidad 0,38 de que entren entre 75 y 80 clientes, determinar la media y la varianza de la variable X. ◮ µ = 74,35 y σ = 3,22 La duración aleatoria de un determinado tipo de artı́culos, en horas, viene regulada por la ley de probabilidad N (180, 5). Determinar la probabilidad de que la duración de tal artı́culo: a) Sea superior a 170 horas. b) Sea inferior a 150 horas. ◮ 121. a) 0,9773 b) 0 Sabiendo que la demanda aleatoria de gasolina durante un cierto periodo de tiempo se comporta con arreglo a la ley normal de media 150000 litros y desviación tı́pica 10000 litros, determinar la cantidad que hay que tener dispuesta a la venta en dicho periodo para poder satisfacer la demanda con una probabilidad de 0,95. ◮ C = 169600 litros Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 26 4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS MÁS COMUNES 122. Un instrumento electrónico está formado por tres componentes. Dos formas posibles de disponer estas componentes son: i) en serie, ii ) en paralelo. Si los tiempos de fallo de cada componente son independientes y siguen una distribución exponencial con función de densidad: f (t) = 0,01 e−0,01t , se desea saber: a) Probabilidad de que el instrumento funcione después de 50 horas en los dos casos. b) Si el sistema no ha fallado durante 20 horas, ¿cuál es la probabilidad de que falle en las 30 horas siguientes? ◮ 123. 124. a) e−1 0,8452 b) 0,4512 0,1261 Para ganar el jubileo un peregrino decide ir, a golpe de alpargata, desde su pueblo hasta Santiago de Compostela, siendo la distancia entre ambos lugares de 300 km. Este peregrino es precisamente fabricante de dicho tipo de calzado y sus datos han permitido establecer a un ingeniero, que vive en el pueblo, a efectos de control de calidad, que los kilómetros que se pueden recorrer con un par de alpargatas, antes de que queden inservibles, es una variable N (20, 16). Aunque el peregrino no le importa disciplinarse severamente, tampoco quiere correr un riesgo excesivo de destrozarse los pies. Por eso, quiere saber cuál es el menor número de pares de alpargatas que debe llevar para tener una garantı́a de al menos un 91 % de que no tendrá que caminar descalzo. ◮ n ≥ 17 Un individuo juega con probabilidad de ganar igual a 1/2 en cada juego. Si gana en un juego obtiene 5 euros y si pierde paga 5 euros. Durante una tarde juega 400 veces. ¿Con cuánto dinero debe acudir si quiere tener una probabilidad de 0,95 de hacer frente a sus posibles pérdidas? ◮ 196 125. 126. 127. Un corredor de bolsa adquiere 50 acciones diferentes. Se sabe, por estudios anteriores, que los beneficios de cada acción se distribuyen uniformemente en el intervalo (1000, 2000), y que dichos beneficios son independientes. Dicho corredor concierta con sus clientes una ganancia, por cada acción de 1200 euros, ¿qué probabilidad tiene de no perder dinero? ◮ 0,8 Un instituto de opinión publica quiere obtener una muestra de votantes de un cierto estado, suficientemente grande para que la probabilidad de obtener una proporción de votos a favor del candidato A inferior al 50 %, sea de 0,01, si la intención de voto a favor de dicho candidato es realmente del 52 %. ¿Qué tamaño deberá tener la muestra? ◮ n ≥ 3388 Dos individuos A y B realizan un juego bajo las siguientes condiciones: se lanza un dado perfecto, si sale “1 o 2” el jugador A paga 6 euros a B, pero si sale “3, 4, 5 ó 6” el jugador B paga 21 euros a A. Se pide: a) Si juegan 300 partidas determinar la probabilidad de A gane entre 175 y 230 euros. b) El beneficio esperado para ambos jugadores en 300 partidas. c) Si B lleva en el bolsillo 200 euros, ¿cuántas partidas al menos hay que jugar para que B lo pierda todo con una probabilidad de al menos 0,9772? Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 27 4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS MÁS COMUNES ◮ 128. a) 0,99 b) E[BA ] = 3600 E[BB ] = −3600 c) n ≥ 28 El contenido de un bote de cerveza se distribuye normalmente con media 30 cl, y desviación tı́pica 2 cl. a) ¿Cual es la probabilidad de que un bote determinado tenga más de 33 cl? b) En un envase de 6 botes ¿cual es la probabilidad de que el contenido lı́quido total sea inferior a un litro y tres cuartos? ◮ 129. 130. a) 0,0668 b) 0 Sabiendo que el 30 % de los enfermos con infartos de miocardio que ingresan en un hospital, fallecen en el mismo, y que al año ingresan 2000, determinar la probabilidad de que fallezcan en el hospital un máximo de 550. ◮ 0,0073 En un proceso de fabricación se sabe que el número aleatorio de unidades defectuosas producidas diariamente, viene dado por la ley de probabilidad: P (X = r) = e−10 10r r! r = 0, 1, 2, . . . Determinar la probabilidad de que en 150 dı́as, el número de unidades defectuosas producidas supere las 1.480 unidades. ◮ 0,69 131. 132. 133. 134. Una empresa sabe que la demanda aleatoria de un artı́culo que produce, se ajusta por la ley N(10000, 100). Si la empresa decide seguir produciendo el artı́culo en el futuro, supuesto que la demanda esté comprendida entre 9930 y 10170 unidades, determinar la probabilidad de que no siga produciendo tal artı́culo. ◮ 0,2866 Una tienda comercial dispone a la venta diariamente sólo dos artı́culos a precios p1 y p2 , de forma que: el 70 % de las unidades ofrecidas lo son del artı́culo de precio p1 y el 30 % restante lo son del artı́culo de precio p2 . Si en un dı́a determinado se venden 2000 unidades, determinar la probabilidad de que más de 800 unidades correspondan al artı́culo de precio p2 . ◮ 0 Un concesionario de automóviles vende a particulares vehı́culos de la misma marca. Sabiendo que la probabilidad de que este tipo de vehı́culos esté en servicio dos años después es de 0,8, determinar la probabilidad de que–de 4000 automóviles vendidos–más de 3120 estén en servicio dentro de dos años. ◮ 0,9992 La demanda de un producto oscila diariamente entre 20 y 40 unidades. Determinar la probabilidad de que en un periodo de 182 dı́as, el n0 de unidades demandadas supere 6370 unidades, supuesta la independencia de la demanda de cada dı́a respecto de las restantes. ◮ Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 0 28 5. AJUSTE DE DISTRIBUCIONES 5. 135. Ajuste de Distribuciones Se lanza un dado 1200 veces y se obtienen los siguientes resultados: Xi Oi : frecuencia 1 175 2 215 ¿Es el dado regular? 136. 4 190 5 170 6 230 ◮ Se rechaza con χ2 = 15,75 > χ25 = 11,07 para α = 0,05 Para cuatro variedades de plantas, la teorı́a de Mendel predice descendientes en la proporción 9 : 3 : 3 : 1. Por cruzamiento se tomaron 240 descendientes y se agruparon por variedades, obteniéndose: Xi Oi : frecuencia Var1 120 ¿Están de acuerdo los resultados con la teorı́a? 137. 3 220 Var 2 40 Var 3 55 Var 4 25 ◮ Se rechaza con χ2 = 11,11 > χ23 = 7,81 para α = 0,05 Durante la Segunda Guerra Mundial se dividió el mapa de Londres en cuadrı́culas de 1/4 km y se contó el número de bombas caı́das en cada cuadrı́cula durante un bombardeo alemán. Los resultados fueron: x: Impactos en cuadrı́cula Oi : frecuencia 0 229 1 211 2 93 3 35 4 7 5 1 Se quiere contrastar la hipótesis de que los datos siguen una distribución de Poisson. Se pide: a) Diseñar las columnas adecuadas que registren las frecuencias observadas y las esperadas. b) Calcular el estadı́stico del contraste χ2 . c) Hallar el cuantil 0,95 de la distribución χ2g.l. y decidir si se acepta que los datos de la muestra se ajustan a la distribución teórica. b) χ2 = 1,02 ◮ 138. c) χ23;0,95 = 7,81 Se desea contrastar que el número de rayos gamma emitidos por segundo, por cierta sustancia radiactiva, es una variable aleatoria que tiene ddistribución de Poisson con λ = 2,6. Utilizar los siguientes datos obtenidos en 300 intervalos de un segundo para contrastar esta hipótesis nula en el nivel de significación del 0,05. Número de rayos gamma Oi : frecuencia 0 19 1 48 2 66 3 74 4 44 5 35 6 10 7 ó más 4 ◮ Se acepta con χ2 = 12,4 < χ27 = 14,07 139. para α = 0,05 El tiempo de vida de 70 motores se registra en la siguiente tabla: Años de funcionamiento Oi : frecuencia Universidad de Cantabria. (0, 1) 30 (1, 2) 23 (2, 3) 6 Alberto Luceño y Fco. Javier González (3, 4) 5 ≥4 6 29 5. AJUSTE DE DISTRIBUCIONES Contrastar la hipótesis de que los datos siguen una distribución exponencial. ◮ Se acepta con χ2 = 3,18 < χ23 = 7,81; 140. α = 0,05 La siguiente tabla proporciona los tiempos (en minutos) que transcurren entre sucesivas conexiones de los usuarios al servidor encargado de mantener el servicio del sitio Web de una empresa. 9,71 15,58 3,76 6,07 17,59 39,88 0,72 1,27 0,96 20,31 2,59 12,69 16,76 2,47 9,16 2,44 3,53 10,97 16,47 16,28 Se pide: a) Dibujar la muestra en papel probabilı́stico exponencial. b) Usando pruebas del tipo de la de Kolmogorov-Smirnov, contrastar la hipótesis nula que afirma que los datos proceden de una distribución exponencial de parámetro desconocido. ◮ Véase el capı́tulo 5 del libro de Luceño y González(2003) 141. La siguiente tabla proporciona los tiempos (en años) que transcurren hasta que se averı́a una máquina. 2,63 1,8 2,5 3,25 3,52 2,94 2,79 3,7 4,56 4,33 5,03 3,09 4,99 4,16 3,68 3,86 3,28 4,21 2,12 3,27 Se pide: a) Dibujar la muestra en papel probabilı́stico de Weibull. b) Usando pruebas del tipo de la de Kolmogorov-Smirnov, contrastar la hipótesis nula que afirma que los datos proceden de una distribución de Weibull de parámetros desconocidos. ◮ β̂ = 4,49434; θ̂ = 3,82296. Véase el capı́tulo 5 del libro de Luceño y González(2003) 142. Los números de pedidos recibidos en una fábrica durante las últimas 20 semanas aparecen en la siguiente tabla. 298 300 302 302 305 288 297 296 283 317 309 319 286 295 292 304 304 313 307 306 Se pide: a) Dibujar la muestra en papel probabilı́stico de normal. b) Usando pruebas del tipo de la de Kolmogorov-Smirnov, contrastar la hipótesis nula que afirma que los datos proceden de una distribución normal de parámetros desconocidos. ◮ x̄ = 301,15; s = 9,65333. D + = 0,072; D − = 0,062; D = 0,072; no se rechaza H0 : α > 0,15. A2 = 0,143; α = 0,965. Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 30 6. CALIDAD Y MONITORIZACIÓN DE PROCESOS 6. 143. Calidad y monitorización de procesos En una fábrica de automóviles que produce discos de frenado se han observado los diámetros de 30 discos. Los datos obtenidos están dados en centı́metros en la siguiente tabla: Intervalo de muestreo (t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Diámetro xt1 14,97 15,00 14,97 15,01 15,07 14,99 15,00 15,01 14,96 15,06 Diámetro xt2 14,98 15,03 14,96 15,02 15,04 15,00 15,01 15,01 15,03 14,97 Diámetro xt3 14,98 14,97 15,01 14,98 14,99 15,00 14,97 14,97 14,98 15,04 Estos datos han sido obtenidos a lo largo de 10 intervalos de muestreo sucesivos (t = 1, 2, . . . , 10 horas), en cada uno de los cuales se han elegido al azar 3 discos para medir sus diámetros (xt1 , xt2 y xt3 ). Se pide: a) Calcular las abscisas y las ordenadas de los puntos que hay que dibujar en un gráfico X̄. Calcular las abscisas y las ordenadas de los puntos que hay que dibujar en un gráfico R. b) Dibujar el gráfico X̄. A la vista de este gráfico, ¿puede decirse que la media del proceso está bajo control estadı́stico? c) Dibujar el gráfico R. A la vista de este gráfico, ¿puede decirse que la variabilidad del proceso está bajo control estadı́stico? d) Dibujar el gráfico co-plot usando una constante de suavización de 0,7 para el gráfico EWMA. e) Dibujar el gráfico CUSUM unilateral superior suponiendo que el valor objetivo del diámetro es 15 cm, que se desea detectar variaciones en la media del proceso del orden de +0,04 cm y que el intervalo de decisión es 0,12 cm. Repetir el gráfico usando MINITAB. f) Dibujar el gráfico EWMA usando MINITAB. Explicar las diferencias observadas respecto del gráfico EWMA dibujado previamente. ◮ Véase el capı́tulo 6 del libro de Luceño y González(2003) 144. Usando los datos del ejercicio anterior, se pide: a) Estimar los ı́ndices de capacidad Cp , CpU , CpL , Cpk , Cpm y Cpc usando estimadores “globales”. b) Estimar los ı́ndices de capacidad Cp , CpU , CpL y Cpk usando estimadores “dentro de” cada intervalo de muestreo. c) Obtener el análisis de capacidad proporcionado por MINITAB. ◮ Véase el capı́tulo 6 del libro de Luceño y González(2003) Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 31 6. CALIDAD Y MONITORIZACIÓN DE PROCESOS 145. En una fábrica de barras de acero se va a empezar a producir un nuevo tipo de barras que debe tener una resistencia a tracción en el intervalo 1250 ± 10 Kg/cm2 . Después de dedicar algún tiempo para tratar de poner el proceso de fabricación bajo control se desea conocer si el estado de control alcanzado es adecuado para comenzar la fabricación en serie de dichas barras. Para ello, durante 10 horas sucesivas, se han ensayado a rotura 3 barras elegidas al azar de entre las producidas en cada hora, habiéndose obtenido los datos de la tabla siguiente. t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xt1 1247,10 1247,25 1248,63 1250,87 1249,18 1248,15 1245,88 1249,49 1246,91 1251,93 xt2 1250,15 1255,38 1248,63 1250,00 1249,95 1251,03 1249,15 1249,08 1248,89 1252,18 xt3 1247,75 1246,75 1248,71 1251,34 1246,98 1251,37 1244,17 1248,65 1251,58 1248,87 Se pide: a) Estimar los ı́ndices de capacidad Cp , CpU , CpL , Cpk , Cpm y Cpc usando estimadores “globales”. b) Estimar los ı́ndices de capacidad Cp , CpU , CpL y Cpk usando estimadores “dentro de” cada intervalo de muestreo. c) Obtener el análisis de capacidad proporcionado por MINITAB. ◮ Véase el capı́tulo 6 del libro de Luceño y González(2003) 146. El jefe de obra de la empresa que está construyendo una autopista utiliza una norma según la cual debe extraer diariamente 50 probetas de hormigón y vigilar que el porcentaje de probetas que superan una baterı́a de ensayos se mantenga constantemente alrededor de 60 %. Los números de probetas que han superado la baterı́a de ensayos durante los últimos 40 dı́as han sido los siguientes. 28 34 31 26 36 28 28 30 31 32 30 31 30 24 25 38 35 30 30 31 27 29 25 30 27 33 26 25 25 24 26 28 28 31 33 28 24 34 30 35 Se pide: a) Dibujar un gráfico np. Repetir el gráfico usando MINITAB con todos los tests disponibles. b) Dibujar un gráfico EWMA con λ = 0,2. Repetir el gráfico usando MINITAB con todos los tests disponibles. c) Dibujar un gráfico CUSUM suponiendo que se desea detectar variaciones en la media del proceso del orden de ±0,5σ y que el intervalo de decisión es 14. Repetir el gráfico usando MINITAB. ◮ Véase el capı́tulo 6 del libro de Luceño y González(2003) Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 32 6. CALIDAD Y MONITORIZACIÓN DE PROCESOS 147. El jefe de relaciones con los clientes de una gran marca considera normal que el número medio semanal de reclamaciones de los clientes sea alrededor de 80. Si aumenta el número de reclamaciones, quiere enterarse lo antes posible puesto que ello puede indicar que está disminuyendo la calidad de sus productos. Si disminuye el número de reclamaciones, también desea saberlo cuanto antes porque ello puede indicar un cambio de actitud de los clientes hacia su marca. Durante las últimas 20 semanas se han producido los siguientes números de reclamaciones. 82 89 97 94 93 80 81 87 91 93 80 78 85 97 79 92 100 79 82 104 Se pide: a) Dibujar un gráfico c. Repetir el gráfico usando MINITAB con todos los tests disponibles. b) Dibujar un gráfico EWMA con λ = 0,25. Repetir el gráfico usando MINITAB con todos los tests disponibles. c) Dibujar un gráfico CUSUM unilateral superior suponiendo que se desea detectar variaciones en la media del proceso del orden de +5 y que el intervalo de decisión es 36. Repetir el gráfico usando MINITAB. ◮ Véase el capı́tulo 6 del libro de Luceño y González(2003) Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 33 7. INFERENCIA ESTADÍSTICA 7. 148. Inferencia Estadı́stica Se ha analizado un conjunto de n microprocesadores y se encuentran x defectuosos. a) No se conoce la probabilidad p de que uno cualquiera sea defectuoso. Estimar p por el método de los momentos. b) No se conoce n, pero sı́ la probabilidad de ser defectuoso p. Estimar n por el método de los momentos. ◮ 149. a) p b= x n b) n b = Los defectos en una placa fotográfica siguen una distribución de Poisson P o(λ). Se estudian 7 placas encontrando 3, 5, 2, 2, 1, 3 y 4 defectos, respectivamente. Calcular el estimador de máxima verosimilitud de λ. ◮ 150. b = 20 λ 7 Si x1 , x2 , . . . , xn es una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria normal de media µ y varianza σ 2 , y consideramos la cuasi-varianza muestral Pn (xi − x̄)2 2 s = i=1 n−1 determinar E[s2 ]. 151. x p ◮ E[ŝ2 ] = σ 2 Una máquina automática fabrica piezas, de las cuales se desea controlar su longitud X, que se sabe se distribuye de forma N (60; 1,52 ). Se extraen regularmente muestras de 9 piezas. a) ¿Cuál es la ley de probabilidad de X̄? b) ¿En qué intervalo (a, b) simétrico respecto de µ existe una probabilidad 0,95 de hallar X̄? c) Para controlar la varianza σ 2 se estudian los valores de la variable S2 = 9 X 1 (Xi − X̄)2 ¿cuál es la ley de probabilidad de S 2 /σ 2 ? d) ¿Cuál es la esperanza de S 2 ? ¿Cuál es su varianza? e) En qué intervalo (0, a) debe encontrarse S 2 con una probabilidad 0,95? ◮ 152. √ a) N (60,1; 52 / 9) b) 60,1 ± 3, 267 c) χ28 d) E h S2 σ2 i =8 V ar h S2 σ2 i = 16 e) 0 < S 2 < 68,25 El diámetro interior de un anillo de pistón seleccionado al azar es una variable aleatoria con media 12 cm y desviación tı́pica 0,04 cm. a) Si x̄ es el diámetro medio de una muestra de n = 16, ¿donde está centrada la distribución de x̄, y cuál es la desviación tı́pica de la distribución de x̄? Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 34 7. INFERENCIA ESTADÍSTICA b) Contestar a las preguntas anteriores si n = 64. c) Suponiendo que X se distribuye de forma Normal, calcular P (11,99 ≤ X̄ ≤ 12,01) cuando n = 16. d) Suponiendo que X se distribuye de forma Normal, ¿cuál es la distribución de la cuasi-varianza muestral s2 ? e) Hallar P (10−3 ≤ s2 ≤ 2 10−3 ). ◮ 153. a) µ = 12; σx̄ = 0,01 b) µ = 12; σx̄ = 0,005 c) 0,6826 d) 15 s2 2 ∼ χ15 σ2 e) 0,6318 Cierto tipo de componentes eléctricas tienen una resistencia media de 200 Ω, con desviación tı́pica σ = 10 Ω. Se utilizan 25 de ellas en un circuito: a) Calcular la probabilidad de que la resistencia media de las 25 componentes esté entre 199 y 202 Ω. b) Calcular la probabilidad de que la resistencia total de las 25 componentes no supere lo 5100 Ω. ◮ 154. a) 0,5328 b) 0,9772 Sea p la proporción de fumadores en una población. Entre 1000 personas elegidas al azar, hay 600 fumadores. Determinar un intervalo de confianza para p, con un nivel de confianza 0,95. ◮ 0,6 ± 0,030 155. La proporción de escolares zurdos es p. En una muestra aleatoria de 100 escolares, hay 10 zurdos. Dar un intervalo de confianza para p, con un nivel de confianza 0,95. ◮ 0,1 ± 0,0588 156. Al examinar a 20000 madrileños, se han obtenido los siguientes resultados: Grupo sanguı́neo Porcentaje A 43,2 B 14,2 AB 6 O 36,6 Determinar un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 95,45 % para la proporción p de personas con grupo sanguı́neo del tipo O. ◮ 0,366 ± 0,00667 157. Se quiere estimar la proporción de zurdos en una población con una confianza del 95 % y una precisión de 0,01. a) ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra elegida? b) Mediante un muestreo previo se estima que p ≈ 0,1. ¿Qué tamaño debe tener la muestra si para calcularlo se utiliza la estimación de p dada? ◮ 158. a) n ≥ 97 b) n ≥ 35 Se quiere estimar la proporción p de electores que votarán al candidato polı́tico A, con un nivel de confianza 0,9 y una precisión de 0,05. ¿Qué tamaño debe tener la muestra? ◮ n ≥ 269 Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 35 7. INFERENCIA ESTADÍSTICA 159. En una población muy grande, se extrae al azar una muestra de 100 votantes para conocer sus opiniones respecto de dos candidatos. De los individuos de la muestra, 55 apoyan al candidato A y 45 apoyan al candidato B. Se pide: a) Calcular un intervalo de confianza para la proporción de votos a favor de cada candidato. b) Calcular cuál deberı́a ser el tamaño de la muestra para que una fracción 0,55 de partidarios de A nos dé una confianza del 95 % de que éste saldrá elegido. ◮ 160. a) 0,55 ± 0, 097 0,45 ± 0, 097 b) n ≥ 400 La resistencia media de fractura de cierto tipo de vidrio es de 1 kg/cm2 con una desviación tı́pica de 0,14 kg/cm2 : a) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia media de una muestra de 100 piezas sea superior a 1,028 kg/cm2 ? b) Construir un intervalo de confianza al nivel de confianza 95 % para la media de la muestra x. ◮ 161. a) 0,0228 b) 1 ± 0,02744 Si la vida en horas de una bombilla eléctrica de 75 watios se distribuye de forma normal, con desviación tı́pica σ = 5 horas y elegimos una muestra aleatoria de 20 bombillas cuya vida media es de 1014 horas, se pide: a) Construir un intervalo de confianza bilateral para la vida media de las bombillas con un nivel de significación del 0,05. b) Construir un intervalo de confianza inferior al para la vida media de las bombillas con un nivel de significación del 0,05. c) Si queremos tener un nivel de confianza del 95 % de que el error en la estimación de la vida media fuera menor que dos horas, ¿qué tamaño de muestra elegirı́amos? 162. 163. Un fabricante de pinturas desea determinar el tiempo de secado en promedio de una nueva pintura para interiores. Si en 12 áreas de prueba de igual tamaño, él obtuvo un tiempo de secado medio de 66,3 minutos y una cuasi-desviación tı́pica de 8,4, construir un intervalo de confianza con un nivel de significación del 0,05. ◮ 66,3 ± 5,33 Las resistencias a fractura X, en kg/cm2 , de unas placas de acero fueron: 69,5; 71,9; 72,6; 73,3; 73,5; 75,5; 75,7; 75,8; 76,1; 76,2; 77; 77,9; 78,1; 79,6; 79,7; 79,9; 80,1; 82,2; 83,7; 93,7 Calcular un intervalo de confianza para la desviación tı́pica σx de la distribución de la resistencia a fractura al nivel de confianza 0,99. ¿Es válido este intervalo, cualquiera que sea el tipo de distribución de la variable aleatoria X? ◮ 13,275 < σ 2 < 74,84 164. La longitud de los cráneos de 10 esqueletos fósiles de una especie de aves extinta tiene una media de 5,68 cm y una cuasi-desviación tı́pica de 0,29 cm. Suponiendo que estas longitudes están distribuidas de forma normal, obtener un intervalo de confianza al 95 % de la longitud media de los cráneos de esta especie de aves. ◮ 5,68 ± 0,207 Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 36 7. INFERENCIA ESTADÍSTICA 165. Una empresa se dedica a la fabricación de lámparas de radio y televisiones. Las de radio tienen una duración media de 2500 horas y una desviación tı́pica de 250 horas. Las de televisión una media de 2200 horas y 100 horas de desviación. Se cogen 50 lámparas de radio y 75 de televisión al azar. Se pide: a) Distribución muestral de la diferencia de medias. b) Probabilidad de que la diferencia de medias esté comprendida entre 250 y 400. c) Probabilidad de que la duración media de las lámparas de radio no sea superior en más de 200 horas a la duración media de las lámparas de televisión. ◮ 166. 167. 168. a) N (300; 37,2) b) 0,9069 c) 0,0036 Se están probando dos composiciones diferentes de gasolina sin plomo para determinar sus octanajes. La varianza del octanaje para la composición 1 es σ12 = 1,5 y para la composición 2 es σ22 = 1,5. Se extraen sendas muestras aleatorias de tamaño n1 = 15 y n2 = 20, y se miden los octanajes medios respectivos, x̄1 = 89,6 y x̄2 = 92,5. Construir un intervalo de confianza al 95 % para estimar la diferencia de los octanajes medios de las dos composiciones de gasolina sin plomo. Se tomaron muestras aleatorias de tamaño 20 de dos poblaciones independientes. Las medias y las desviaciones tı́picas de las muestras fueron x̄1 = 22, x̄2 = 21,5, s1 = 1,8 y s2 = 1,5. Suponiendo que σ12 = σ22 construir un intervalo de confianza al nivel de confianza 95 % para µ1 − µ2 . Las capacidades de producción de calor del carbón extraı́do de dos minas se estudian con dos muestras: M inaA M inaB 8500 7710 8330 7890 8480 7920 7960 8270 8030 7860 Suponiendo que los datos constituyen muestras aleatorias independientes tomadas de poblaciones con varianzas iguales, construir un intervalo de confianza al nivel 95 % para la diferencia entre el promedio real de las capacidades de producción de calor del carbón extraı́do de ambas minas. ◮ 169. 170. 440 ± 336 Se lleva a cabo un estudio para determinar la proporción de casas que poseen al menos dos aparatos de televisión. ¿De qué tamaño debe ser la muestra si se desea tener una confianza del 99 % de que el error al estimar esta proporción sea menor que 0,01? Un técnico en computadoras está investigando la eficacia de dos lenguajes de diseño diferentes en el mejoramiento de tareas de programación. A 12 programadores expertos, familiarizados con ambos lenguajes, se les pide que codifiquen una función estándar en ambos lenguajes, y se registra el tiempo en minutos que ambos códigos emplean en su ejecución. Los tiempos se muestran en la tabla: Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 37 7. INFERENCIA ESTADÍSTICA programador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 lenguaje 1 17 16 21 14 18 24 16 14 21 23 13 18 lenguaje 2 18 14 19 11 23 21 12 13 19 24 15 20 Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia en los tiempos de codificación medios. ¿Hay alguna indicación de que uno de los lenguajes de diseño sea preferible? ◮ 171. (−2,2; 1,2) Un médico dice poseer un método para determinar el sexo de los niños 6 meses antes de su nacimiento con una efectividad del 80 %. Para probar esta afirmación se utiliza el siguiente procedimiento. Se le dejan hacer 14 predicciones. Si el número de éxitos X es al menos de 11, se acepta su método y en caso contrario no se acepta. a) Calcular la probabilidad de que se acepte su método siendo malo. b) Calcular la probabilidad de que se rechace su método siendo bueno. c) ¿Parece justo este procedimiento? ◮ a) 0,0286 b) 0,30 c) Este procedimiento no parece justo pues, aunque es pequeña la probabilidad de que se le admita su método siendo realmente malo, la probabilidad de rechazarle cuando su método es válido es del 0,30. Un buen procedimiento debe tener estas dos probabilidades pequeñas. 172. Un grafólogo busca empleo. Con el fin de verificar su cualificación, se le entregan 10 pares de muestras de escrituras. Cada par contiene la escritura de un médico y de un abogado. Se le contratará si identifica correctamente por lo menos 8 de los 10 pares. Sea p su probabilidad de éxito. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad L(p) de que sea contratado? b) Determinar L(p) para p = 0,5 y p = 0,85. ◮ 173. a) L(p) = P 10 i=8 µ 10 i ¶ pi q 10−i b) L(0,5) = 0,055 L(0,85) = 0,82 Se dispone de una moneda cuyo aspecto no es simétrico. Se quiere contrastar si es regular, es decir, si p = 1/2. Se lanza la moneda 1000 veces y se obtiene 550 veces “cruz”. ¿Qué podemos decidir? ◮ no es realmente regular 174. En la experiencia de la “moneda regular”, se ha obtenido 530 veces “cruz”. ¿Es significativo este resultado en contra de la hipótesis de que la moneda es regular para un nivel de significación 5 %? ◮ si: α = 0,0287 Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 38 7. INFERENCIA ESTADÍSTICA 175. 176. 177. Al lanzar un dado 600 veces se obtienen 120 “seises”. ¿Es significativo este resultado en contra de la hipótesis de que el dado es regular para un nivel de significación 5 %? Cierta enfermedad es mortal en el 10 % de los casos. De doscientos mineros afectados por dicha enfermedad, se mueren 29. ¿Significa esto que los mineros son más vulnerables a la citada enfermedad? ¿Cuál es la probabilidad de obtener, al azar, una desviación tan grande? Un ingeniero se plantea la elección entre dos fabricantes distintos para el suministro de cierto aditivo para el hormigón. El ingeniero recibe las muestras de los laboratorios A y B. Realiza un estudio de las 15 bolsas de cada tipo del suministro obteniendo: Descriptive Statistics Variable N Mean Median LabA 15 2,9869 2,9800 LabB 15 2,9869 2,9840 Variable LabA LabB Minimum 2,7690 2,8650 Maximum 3,2160 3,1400 TrMean 2,9860 2,9845 Q1 2,8750 2,9400 StDev 0,1273 0,0688 SE Mean 0,0329 % 0,0178 Q3 3,0760 % 3,0390 ¿Cuál es el aditivo más conveniente? 178. Los datos que aparecen en la siguiente tabla fueron obtenidos en un experimento diseñado para estimar la posible diferencia sistemática entre los rendimientos obtenidos en un proceso quı́mico con dos catalizadores diferentes, que llamaremos A y B. Dı́a 1 2 3 4 5 6 7 8 Catalizador A 81,31 77,40 80,89 82,15 79,25 80,77 81,19 79,86 Catalizador B 81,01 77,57 74,72 81,73 74,60 78,68 78,80 81,17 Se teme que el rendimiento pueda variar de unos dı́as a otros dependiendo de factores que no pueden controlarse. Por ello, se eligieron 8 dı́as diferentes y en cada uno de dichos dı́as se realizó el proceso una vez con el catalizador A y otra vez con el catalizador B. El orden en que se usaron los catalizadores A y B se eligió al azar cada dı́a. 2 Sean µA y σA la media y la varianza poblacionales de los rendimientos obtenidos con el catalizador 2 A. Análogamente, sean µB y σB la media y la varianza poblacionales de los rendimientos obtenidos con el catalizador B. Se pide: a) Estimar la diferencia de medias µA − µB puntualmente y mediante un intervalo de confianza para al nivel de confianza 0,95. Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 39 7. INFERENCIA ESTADÍSTICA b) ¿Puede rechazarse la hipótesis nula H0 : µA = µB frente a la hipótesis alternativa H1 : µA 6= µB con un riesgo de primera especie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de significación de la prueba usada. 2 2 2 2 c) ¿Puede rechazarse la hipótesis nula H0 : σA = σB frente a la hipótesis alternativa H1 : σA 6= σB usando un riesgo de primera especie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de significación de la prueba usada. ◮ 179. a) 1,818; (−0,312; 3,947) b) no: α ≈ 0,083 c) Véase el capı́tulo 7 de Luceño y González(2003): Datos apareados. Los datos que aparecen en la siguiente tabla fueron obtenidos en un experimento diseñado para estimar la posible diferencia sistemática entre los rendimientos obtenidos en un proceso quı́mico con dos catalizadores diferentes, que llamaremos A y B. Catalizador A 81,31 77,40 80,89 82,15 79,25 80,77 81,19 79,86 Catalizador B 73,93 75,62 70,38 75,91 71,65 72,77 76,45 73,13 Durante 16 dı́as consecutivos se realizó el proceso quı́mico con uno de los catalizadores elegido al azar entre A y B, realizando el sorteo de forma que no se obtuvieran más de 8 datos con ninguno de los catalizadores. 2 Sean µA y σA la media y la varianza poblacionales de los rendimientos obtenidos con el catalizador 2 A. Análogamente, sean µB y σB la media y la varianza poblacionales de los rendimientos obtenidos con el catalizador B. Se pide: a) Estimar la diferencia de medias µA − µB puntualmente y mediante un intervalo de confianza para al nivel de confianza 0,95. b) ¿Puede rechazarse la hipótesis nula H0 : µA = µB frente a la hipótesis alternativa H1 : µA 6= µB con un riesgo de primera especie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de significación de la prueba usada. 2 2 2 2 c) ¿Puede rechazarse la hipótesis nula H0 : σA = σB frente a la hipótesis alternativa H1 : σA 6= σB usando un riesgo de primera especie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de significación de la prueba usada. ◮ 180. a) 6,623; (4,604; 8,641) b) sı́: α < 0,001 c) no: α ≈ 0,347(testF ); α ≈ 0,219(Levene). Datos independientes. El departamento de control de calidad de una empresa ha examinado 1000 unidades de un producto fabricado por la empresa, habiéndose observado que no hay ninguna unidad defectuosa en la muestra. Se pide: a) Estimar puntualmente la proporción de unidades defectuosas producidas en la fábrica. Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 40 7. INFERENCIA ESTADÍSTICA b) Calcular intervalos de confianza para dicha proporción al nivel de confianza 0,95, usando dos métodos diferentes. c) Una hipótesis nula que afirma que la proporción de unidades defectuosas producida es igual a 0.001. ¿Puede rechazarse esta hipótesis? ◮ 181. a) 0 b) un intervalo es (0,000000; 0,002991) c) no puede rechazarse: α ≈ 0,4 En un experimento sobre la influencia de la propaganda en los gustos de las personas, se ha seleccionado una muestra al azar de 350 personas. A todas estas personas se les ha pedido que dijeran si les gusta o no un cierto tipo de comida rápida. De las 350 personas consultadas, 125 contestaron que sı́ les gusta y el resto contestaron que no. Después de invitar a estas personas a ver una pelı́cula que contiene anuncios subliminales, se les invitó a una merienda en las que se les proporcionó “exactamente” el tipo de comida rápida objeto del estudio. Posteriormente, se les pasó una encuesta para que dijeran si les habı́a gustado o no la merienda. De las 125 personas que contestaron afirmativamente a la pregunta del apartado anterior, 110 dijeron que les gustó la merienda y 15 que no les gustó. De las 225 personas que contestaron negativamente a la pregunta del apartado anterior, 75 dijeron que les gustó la merienda y 150 que no les gustó. Se pide: a) Estimar puntualmente la diferencia entre las proporciones de personas que contestaron afirmativamente antes y después de la proyección de la pelı́cula. b) Calcular un intervalo de confianza para la diferencia entre las proporciones de personas que contestan afirmativamente antes y después de ver pelı́culas con anuncios subliminales, usando un nivel de confianza 0,95. c) Una hipótesis nula que afirma que no hay diferencia entre las proporciones del apartado anterior. ¿Puede rechazarse esta hipótesis? ◮ Véase el capı́tulo 7 del libro de Luceño y González(2003). Es el caso de datos apareados. 182. Para realizar el acabado de una superficie metálica pueden usarse dos máquinas diferentes: A y B. De las 150 veces que se usó la máquina A, en 10 ocasiones fue necesario hacer una segunda pasada para conseguir una superficie sin defectos. De las 150 veces que se usó la máquina B, solamente fue necesaria una segunda pasada en 6 ocasiones. Se pide: a) Estimar puntualmente la diferencia entre las proporciones de veces que hay que hacer una segunda pasada con cada una de las máquinas. b) Calcular un intervalo de confianza para la diferencia entre las proporciones de veces que hay que hacer una segunda pasada con cada una de las máquinas, usando un nivel de confianza 0,95. c) Una hipótesis nula que afirma que no hay diferencia entre las proporciones del apartado anterior. ¿Puede rechazarse esta hipótesis? ◮ a) 0,02667 b) (−0,0240966; 0,0774299) Universidad de Cantabria. c) no puede rechazarse: α ≈ 0,3. Es el caso de datos independientes. Alberto Luceño y Fco. Javier González 41 8. TABLAS ESTADÍSTICAS 8. Tablas estadı́sticas α d(α) 0,15 1,138 0,1 1,224 0,05 1,358 0,025 1,480 0,01 1,628 Tabla 5.4: Tabla de Smirnov. Caso I II III IV Ki (n) √ √ n − 0,01 + 0,85 n √ 0,5 n + 0,26 + √ n √ √n n Gi (n) 0 0,2 n 0,15 0,775 0,926 0 0 0,1 0,819 0,995 1,160 0,803 α 0,05 0,895 1,094 1,290 0,874 di (α) 0,025 0,995 1,184 1,420 0,939 0,01 1,035 1,298 1,530 1,007 Tabla 5.9: Generalizaciones de la tabla de Smirnov para los siguientes casos: (I) Normal con µ̂ = x̄ y σ̂ 2 = s2 ; (II) Gumbel con ψ conocido y δ estimado usando ML; (III) Gumbel con δ conocido y ψ estimado usando ML; y (IV) Gumbel con δ y ψ estimados usando ML. Caso 0 I II III IV Ki (n) 1 + 1/n 1 + 0,5/n 1 + 0,16/n 1 √ 1 + 0,2/ n Gi (n) 0,4 0,6 n − n2 0 0 0 0 0,15 0,284 0,091 0,148 0,1 0,347 0,104 0,175 0,320 0,102 α 0,05 0,461 0,126 0,222 0,431 0,124 di (α) 0,025 0,581 0,148 0,271 0,547 0,146 0,01 0,743 0,178 0,338 0,705 0,175 Tabla 5.10: Tabla de Cramer-von Mises para los casos: (0) Cualquier distribución continua con todos sus parámetros especificados (I) Normal con µ̂ = x̄ y σ̂ 2 = s2 ; (II) Gumbel con ψ conocido y δ estimado usando ML; (III) Gumbel con δ conocido y ψ estimado usando ML; y (IV) Gumbel con δ y ψ estimados usando ML. Caso 0 I II III IV Ki (n) √ √ n + 0,155 + 0,24 n √ 0,82 √ n + 0,05 + n √ √ n + 0,24 + 0,35 n √ n √ n Universidad de Cantabria. Gi (n) 0 0 0,2 n 0 0 0,15 1,537 1,320 1,445 0,1 1,620 1,386 1,527 1,460 1,372 α 0,05 1,747 1,489 1,655 1,580 1,477 di (α) Alberto Luceño y Fco. Javier González 0,025 1,862 1,585 1,774 1,690 1,557 0,01 2,001 1,693 1,910 1,810 1,671 42 8. TABLAS ESTADÍSTICAS Tabla 5.11: Tabla de Kuiper para los mismos casos que la tabla 5.10. Caso 0 I II III IV Ki (n) 1 + 0,8/n 1 + 0,5/n 1 + 0,16/n √ 1 + 0,15/√ n 1 + 0,2/ n Gi (n) 0,1 0,1 n − n2 0 0 0 0 0,15 0,131 0,085 0,112 0,1 0,152 0,096 0,129 0,123 0,097 α 0,05 0,187 0,116 0,159 0,152 0,117 di (α) 0,025 0,221 0,136 0,189 0,181 0,138 0,01 0,267 0,163 0,230 0,220 0,165 0,025 3,070 0,918 1,591 2,854 0,877 0,01 3,857 1,092 1,959 3,640 1,038 Tabla 5.12: Tabla de Watson para los mismos casos que la tabla 5.10. Caso 0 I II III IV Ki (n) 1 1 + 4/n − 25/n2 1 + 0,6/n 1 √ 1 + 0,2/ n Gi (n) 0 0 0 0 0 0,15 1,610 0,576 0,916 0,1 1,933 0,656 1,062 1,725 0,637 α 0,05 2,492 0,787 1,321 2,277 0,757 di (α) Tabla 5.13: Tabla de Anderson-Darling para los casos que la tabla 5.10. n d2 2 1,128 3 1,693 4 2,059 5 2,326 6 2,534 7 2,704 8 2,847 9 2,970 10 3,078 9 3,676 10 3,861 Tabla 6.1: Valores de d2 para la fórmula (6.5). n dR 2 1,323 3 1,906 4 2,340 5 2,691 6 2,988 7 3,247 8 3,472 Tabla 6.2: Valores de dR para la fórmula (6.6). Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 43 8. TABLAS ESTADÍSTICAS x 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 Φ(x) 0.50000 0.51994 0.53983 0.55962 0.57926 0.59871 0.61791 0.63683 0.65542 0.67364 0.69146 0.70884 0.72575 0.74215 0.75804 0.77337 0.78814 0.80234 0.81594 0.82894 0.84134 0.85314 0.86433 0.87493 0.88493 0.89435 0.90320 0.91149 0.91924 0.92647 0.93319 0.93943 0.94520 0.95053 x 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30 2.35 2.40 2.45 2.50 2.55 2.60 2.65 2.70 2.75 2.80 2.85 2.90 2.95 3.00 3.05 3.10 3.15 3.20 3.25 3.30 3.35 Φ(x) 0.955435 0.959941 0.964070 0.967843 0.971284 0.974412 0.977250 0.979818 0.982136 0.984222 0.986097 0.987776 0.989276 0.990613 0.991802 0.992857 0.993790 0.994614 0.995339 0.995975 0.996533 0.997020 0.997445 0.997814 0.998134 0.998411 0.998650 0.998856 0.999032 0.999184 0.999313 0.999423 0.999517 0.999596 x 3.40 3.45 3.50 3.55 3.60 3.65 3.70 3.75 3.80 3.85 3.90 3.95 4.00 4.05 4.10 4.15 4.20 4.25 4.30 4.35 4.40 4.45 4.50 4.55 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80 4.85 4.90 4.95 5.00 6.00 Φ(x) 0.999663019 0.999719659 0.999767327 0.999807344 0.999840854 0.999868846 0.999892170 0.999911555 0.999927628 0.999940919 0.999951884 0.999960908 0.999968314 0.999974378 0.999979331 0.999983367 0.999986646 0.999989304 0.999991454 0.999993188 0.999994583 0.999995703 0.999996599 0.999997315 0.999997885 0.999998339 0.999998698 0.999998982 0.999999206 0.999999382 0.999999520 0.999999628 0.999999713 0.999999999 Tabla 8.1: Algunos valores de la función de distribución normal estándar. Debe tenerse en cuenta que Φ(−x) = 1 − Φ(x). Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 44 8. TABLAS ESTADÍSTICAS α 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 Φ−1 (α) 0.00000 0.02507 0.05015 0.07527 0.10043 0.12566 0.15097 0.17637 0.20189 0.22755 0.25335 0.27932 0.30548 0.33185 0.35846 0.38532 0.41246 0.43991 0.46770 0.49585 0.52440 0.55338 0.58284 0.61281 0.64334 0.67449 0.70630 0.73885 0.77219 0.80642 0.84162 0.87790 0.91537 0.95416 α 0.840 0.850 0.860 0.870 0.880 0.890 0.895 0.900 0.905 0.910 0.915 0.920 0.925 0.930 0.935 0.940 0.941 0.942 0.943 0.944 0.945 0.946 0.947 0.948 0.949 0.950 0.951 0.952 0.953 0.954 0.955 0.956 0.957 0.958 Φ−1 (α) 0.99446 1.03643 1.08032 1.12639 1.17499 1.22653 1.25357 1.28155 1.31058 1.34075 1.37220 1.40507 1.43953 1.47579 1.51410 1.55477 1.56322 1.57179 1.58047 1.58927 1.59819 1.60725 1.61644 1.62576 1.63524 1.64485 1.65463 1.66456 1.67466 1.68494 1.69540 1.70604 1.71688 1.72793 α 0.968 0.969 0.970 0.971 0.972 0.973 0.974 0.975 0.976 0.977 0.978 0.979 0.980 0.981 0.982 0.983 0.984 0.985 0.986 0.987 0.988 0.989 0.990 0.991 0.992 0.993 0.994 0.995 0.996 0.997 0.998 0.999 0.9999 0.99999 Φ−1 (α) 1.85218 1.86629 1.88079 1.89570 1.91103 1.92684 1.94314 1.95996 1.97737 1.99539 2.01409 2.03352 2.05375 2.07485 2.09693 2.12007 2.14441 2.17009 2.19728 2.22621 2.25713 2.29036 2.32634 2.36561 2.40892 2.45727 2.51213 2.57583 2.65209 2.74777 2.87815 3.09024 3.71947 4.26546 Tabla 8.2: Algunos valores de la función Φ−1 (α), inversa de la función de distribución normal estándar, para 0,5 ≤ α < 1. Para 0 < α ≤ 0,5 puede usarse la relación Φ−1 (1 − α) = −Φ−1 (α). Obsérvese además que Φ−1 (α) ≡ zα siendo zα el cuantil α de la distribución normal estándar. Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 45 8. TABLAS ESTADÍSTICAS n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 100 200 ∞ α= 6.3137 2.9200 2.3534 2.1318 2.0150 1.9432 1.8946 1.8595 1.8331 1.8125 1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531 1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247 1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081 1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973 1.6839 1.6706 1.6602 1.6525 1.6449 0.1 12.7062 4.3027 3.1824 2.7765 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860 2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595 2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423 2.0211 2.0003 1.9840 1.9719 1.9600 0.05 t(n, 1 − α/2) 31.8210 63.6559 6.9645 9.9250 4.5407 5.8408 3.7469 4.6041 3.3649 4.0321 3.1427 3.7074 2.9979 3.4995 2.8965 3.3554 2.8214 3.2498 2.7638 3.1693 2.7181 3.1058 2.6810 3.0545 2.6503 3.0123 2.6245 2.9768 2.6025 2.9467 2.5835 2.9208 2.5669 2.8982 2.5524 2.8784 2.5395 2.8609 2.5280 2.8453 2.5176 2.8314 2.5083 2.8188 2.4999 2.8073 2.4922 2.7970 2.4851 2.7874 2.4786 2.7787 2.4727 2.7707 2.4671 2.7633 2.4620 2.7564 2.4573 2.7500 2.4233 2.7045 2.3901 2.6603 2.3642 2.6259 2.3451 2.6006 2.3263 2.5758 0.02 0.01 318.2888 22.3285 10.2143 7.1729 5.8935 5.2075 4.7853 4.5008 4.2969 4.1437 4.0248 3.9296 3.8520 3.7874 3.7329 3.6861 3.6458 3.6105 3.5793 3.5518 3.5271 3.5050 3.4850 3.4668 3.4502 3.4350 3.4210 3.4082 3.3963 3.3852 3.3069 3.2317 3.1738 3.1315 3.0902 0.002 636.5776 31.5998 12.9244 8.6101 6.8685 5.9587 5.4081 5.0414 4.7809 4.5868 4.4369 4.3178 4.2209 4.1403 4.0728 4.0149 3.9651 3.9217 3.8833 3.8496 3.8193 3.7922 3.7676 3.7454 3.7251 3.7067 3.6895 3.6739 3.6595 3.6460 3.5510 3.4602 3.3905 3.3398 3.2905 0.001 Tabla 8.3: Algunos cuantiles de la distribución t(n) de Student. Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 46 8. TABLAS ESTADÍSTICAS n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 50 60 70 80 90 100 250 500 α= 3.9E-05 0.010 0.072 0.207 0.412 0.676 0.989 1.344 1.735 2.156 2.603 3.074 3.565 4.075 4.601 5.142 5.697 6.265 6.844 7.434 8.034 8.643 9.260 9.886 10.520 13.787 20.707 27.991 35.534 43.275 51.172 59.196 67.328 196.160 422.303 0.005 9.8E-04 0.051 0.216 0.484 0.831 1.237 1.690 2.180 2.700 3.247 3.816 4.404 5.009 5.629 6.262 6.908 7.564 8.231 8.907 9.591 10.283 10.982 11.689 12.401 13.120 16.791 24.433 32.357 40.482 48.758 57.153 65.647 74.222 208.098 439.936 0.025 3.841 5.991 7.815 9.488 11.070 12.592 14.067 15.507 16.919 18.307 19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 26.296 27.587 28.869 30.144 31.410 32.671 33.924 35.172 36.415 37.652 43.773 55.758 67.505 79.082 90.531 101.879 113.145 124.342 287.882 553.127 0.95 χ2 (n, α) 5.024 7.378 9.348 11.143 12.832 14.449 16.013 17.535 19.023 20.483 21.920 23.337 24.736 26.119 27.488 28.845 30.191 31.526 32.852 34.170 35.479 36.781 38.076 39.364 40.646 46.979 59.342 71.420 83.298 95.023 106.629 118.136 129.561 295.689 563.851 0.975 6.635 9.210 11.345 13.277 15.086 16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 32.000 33.409 34.805 36.191 37.566 38.932 40.289 41.638 42.980 44.314 50.892 63.691 76.154 88.379 100.425 112.329 124.116 135.807 304.939 576.493 0.99 7.879 10.597 12.838 14.860 16.750 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 26.757 28.300 29.819 31.319 32.801 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997 41.401 42.796 44.181 45.558 46.928 53.672 66.766 79.490 91.952 104.215 116.321 128.299 140.170 311.346 585.206 0.995 10.827 13.815 16.266 18.466 20.515 22.457 24.321 26.124 27.877 29.588 31.264 32.909 34.527 36.124 37.698 39.252 40.791 42.312 43.819 45.314 46.796 48.268 49.728 51.179 52.619 59.702 73.403 86.660 99.608 112.317 124.839 137.208 149.449 324.831 603.446 0.999 Tabla 8.4: Algunos cuantiles de la distribución χ2 (n) de Pearson. Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 47 8. TABLAS ESTADÍSTICAS n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 50 75 100 125 150 200 500 ∞ n1 = 647.8 38.51 17.44 12.22 10.01 8.813 8.073 7.571 7.209 6.937 6.724 6.554 6.414 6.298 6.200 6.115 6.042 5.978 5.922 5.871 5.827 5.786 5.750 5.717 5.686 5.568 5.424 5.340 5.232 5.179 5.147 5.126 5.100 5.054 5.024 1 799.5 39.00 16.04 10.65 8.434 7.260 6.542 6.059 5.715 5.456 5.256 5.096 4.965 4.857 4.765 4.687 4.619 4.560 4.508 4.461 4.420 4.383 4.349 4.319 4.291 4.182 4.051 3.975 3.876 3.828 3.800 3.781 3.758 3.716 3.689 2 864.2 39.17 15.44 9.979 7.764 6.599 5.890 5.416 5.078 4.826 4.630 4.474 4.347 4.242 4.153 4.077 4.011 3.954 3.903 3.859 3.819 3.783 3.750 3.721 3.694 3.589 3.463 3.390 3.296 3.250 3.222 3.204 3.182 3.142 3.116 3 F (n1 , n2 ) 899.6 937.1 39.25 39.33 15.10 14.73 9.604 9.197 7.388 6.978 6.227 5.820 5.523 5.119 5.053 4.652 4.718 4.320 4.468 4.072 4.275 3.881 4.121 3.728 3.996 3.604 3.892 3.501 3.804 3.415 3.729 3.341 3.665 3.277 3.608 3.221 3.559 3.172 3.515 3.128 3.475 3.090 3.440 3.055 3.408 3.023 3.379 2.995 3.353 2.969 3.250 2.867 3.126 2.744 3.054 2.674 2.962 2.582 2.917 2.537 2.890 2.511 2.872 2.494 2.850 2.472 2.811 2.434 2.786 2.408 4 6 948.2 39.36 14.62 9.074 6.853 5.695 4.995 4.529 4.197 3.950 3.759 3.607 3.483 3.380 3.293 3.219 3.156 3.100 3.051 3.007 2.969 2.934 2.902 2.874 2.848 2.746 2.624 2.553 2.461 2.417 2.390 2.373 2.351 2.313 2.288 7 956.6 39.37 14.54 8.980 6.757 5.600 4.899 4.433 4.102 3.855 3.664 3.512 3.388 3.285 3.199 3.125 3.061 3.005 2.956 2.913 2.874 2.839 2.808 2.779 2.753 2.651 2.529 2.458 2.366 2.321 2.295 2.278 2.256 2.217 2.192 8 968.6 39.40 14.42 8.844 6.619 5.461 4.761 4.295 3.964 3.717 3.526 3.374 3.250 3.147 3.060 2.986 2.922 2.866 2.817 2.774 2.735 2.700 2.668 2.640 2.613 2.511 2.388 2.317 2.224 2.179 2.153 2.135 2.113 2.074 2.048 10 Tabla 8.5: Cuantiles q0,975 de la distribución F de Snedecor. Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 48 8. TABLAS ESTADÍSTICAS n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 50 75 100 125 150 200 500 ∞ n1 = 976.7 39.41 14.34 8.751 6.525 5.366 4.666 4.200 3.868 3.621 3.430 3.277 3.153 3.050 2.963 2.889 2.825 2.769 2.720 2.676 2.637 2.602 2.570 2.541 2.515 2.412 2.288 2.216 2.123 2.077 2.050 2.032 2.010 1.971 1.945 12 982.5 39.43 14.28 8.684 6.456 5.297 4.596 4.130 3.798 3.550 3.359 3.206 3.082 2.979 2.891 2.817 2.753 2.696 2.647 2.603 2.564 2.528 2.497 2.468 2.441 2.338 2.213 2.140 2.046 2.000 1.973 1.955 1.932 1.892 1.866 14 986.9 39.44 14.23 8.633 6.403 5.244 4.543 4.076 3.744 3.496 3.304 3.152 3.027 2.923 2.836 2.761 2.697 2.640 2.591 2.547 2.507 2.472 2.440 2.411 2.384 2.280 2.154 2.081 1.986 1.939 1.911 1.893 1.870 1.830 1.803 16 F (n1 , n2 ) 990.3 993.1 39.44 39.45 14.20 14.17 8.592 8.560 6.362 6.329 5.202 5.168 4.501 4.467 4.034 3.999 3.701 3.667 3.453 3.419 3.261 3.226 3.108 3.073 2.983 2.948 2.879 2.844 2.792 2.756 2.717 2.681 2.652 2.616 2.596 2.559 2.546 2.509 2.501 2.464 2.462 2.425 2.426 2.389 2.394 2.357 2.365 2.327 2.338 2.300 2.233 2.195 2.107 2.068 2.033 1.993 1.937 1.896 1.890 1.849 1.862 1.820 1.843 1.801 1.820 1.778 1.779 1.736 1.751 1.708 18 20 1001.4 39.46 14.08 8.461 6.227 5.065 4.362 3.894 3.560 3.311 3.118 2.963 2.837 2.732 2.644 2.568 2.502 2.445 2.394 2.349 2.308 2.272 2.239 2.209 2.182 2.074 1.943 1.866 1.765 1.715 1.685 1.665 1.640 1.596 1.566 30 1009.8 39.48 13.99 8.360 6.123 4.959 4.254 3.784 3.449 3.198 3.004 2.848 2.720 2.614 2.524 2.447 2.380 2.321 2.270 2.223 2.182 2.145 2.111 2.080 2.052 1.940 1.803 1.721 1.612 1.558 1.524 1.502 1.474 1.423 1.388 60 1018.3 39.50 13.90 8.257 6.015 4.849 4.142 3.670 3.333 3.080 2.883 2.725 2.595 2.487 2.395 2.316 2.247 2.187 2.133 2.085 2.042 2.003 1.968 1.935 1.906 1.787 1.637 1.545 1.417 1.347 1.303 1.271 1.229 1.137 1.000 ∞ Tabla 8.6: Cuantiles q0,975 de la distribución F de Snedecor (continuación). Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 49 8. TABLAS ESTADÍSTICAS n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 50 75 100 125 150 200 500 ∞ n1 = 16212 198.5 55.55 31.33 22.78 18.63 16.24 14.69 13.61 12.83 12.23 11.75 11.37 11.06 10.80 10.58 10.38 10.22 10.07 9.944 9.829 9.727 9.635 9.551 9.475 9.180 8.828 8.626 8.366 8.241 8.167 8.118 8.057 7.950 7.879 1 19997 199.0 49.80 26.28 18.31 14.54 12.40 11.04 10.11 9.427 8.912 8.510 8.186 7.922 7.701 7.514 7.354 7.215 7.093 6.987 6.891 6.806 6.730 6.661 6.598 6.355 6.066 5.902 5.691 5.589 5.529 5.490 5.441 5.355 5.298 2 21614 199.2 47.47 24.26 16.53 12.92 10.88 9.597 8.717 8.081 7.600 7.226 6.926 6.680 6.476 6.303 6.156 6.028 5.916 5.818 5.730 5.652 5.582 5.519 5.462 5.239 4.976 4.826 4.635 4.542 4.488 4.453 4.408 4.330 4.279 3 F (n1 , n2 ) 22501 23440 199.2 199.3 46.20 44.84 23.15 21.98 15.56 14.51 12.03 11.07 10.05 9.155 8.805 7.952 7.956 7.134 7.343 6.545 6.881 6.102 6.521 5.757 6.233 5.482 5.998 5.257 5.803 5.071 5.638 4.913 5.497 4.779 5.375 4.663 5.268 4.561 5.174 4.472 5.091 4.393 5.017 4.322 4.950 4.259 4.890 4.202 4.835 4.150 4.623 3.949 4.374 3.713 4.232 3.579 4.050 3.407 3.963 3.325 3.912 3.277 3.878 3.245 3.837 3.206 3.763 3.137 3.715 3.091 4 6 23715 199.4 44.43 21.62 14.20 10.79 8.885 7.694 6.885 6.303 5.865 5.524 5.253 5.031 4.847 4.692 4.559 4.445 4.345 4.257 4.179 4.109 4.047 3.991 3.939 3.742 3.509 3.376 3.208 3.127 3.080 3.048 3.010 2.941 2.897 7 23924 199.4 44.13 21.35 13.96 10.57 8.678 7.496 6.693 6.116 5.682 5.345 5.076 4.857 4.674 4.521 4.389 4.276 4.177 4.090 4.013 3.944 3.882 3.826 3.776 3.580 3.350 3.219 3.052 2.972 2.925 2.894 2.856 2.789 2.744 8 24222 199.4 43.68 20.97 13.62 10.25 8.380 7.211 6.417 5.847 5.418 5.085 4.820 4.603 4.424 4.272 4.142 4.030 3.933 3.847 3.771 3.703 3.642 3.587 3.537 3.344 3.117 2.988 2.823 2.744 2.698 2.667 2.629 2.562 2.519 10 Tabla 8.7: Cuantiles q0,995 de la distribución F de Snedecor. Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 50 8. TABLAS ESTADÍSTICAS n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 50 75 100 125 150 200 500 ∞ n1 = 24427 199.4 43.39 20.70 13.38 10.03 8.176 7.015 6.227 5.661 5.236 4.906 4.643 4.428 4.250 4.099 3.971 3.860 3.763 3.678 3.602 3.535 3.474 3.420 3.370 3.179 2.953 2.825 2.661 2.583 2.536 2.506 2.468 2.402 2.358 12 24572 199.4 43.17 20.51 13.21 9.878 8.028 6.872 6.089 5.526 5.103 4.775 4.513 4.299 4.122 3.972 3.844 3.734 3.638 3.553 3.478 3.411 3.351 3.296 3.247 3.056 2.831 2.703 2.540 2.461 2.415 2.385 2.347 2.281 2.237 14 24684 199.4 43.01 20.37 13.09 9.758 7.915 6.763 5.983 5.422 5.001 4.674 4.413 4.201 4.024 3.875 3.747 3.637 3.541 3.457 3.382 3.315 3.255 3.201 3.152 2.961 2.737 2.609 2.445 2.367 2.320 2.290 2.252 2.185 2.142 16 F (n1 , n2 ) 24766 24837 199.4 199.4 42.88 42.78 20.26 20.17 12.98 12.90 9.664 9.589 7.826 7.754 6.678 6.608 5.899 5.832 5.340 5.274 4.921 4.855 4.595 4.530 4.334 4.270 4.122 4.059 3.946 3.883 3.797 3.734 3.670 3.607 3.560 3.498 3.464 3.402 3.380 3.318 3.305 3.243 3.239 3.176 3.179 3.116 3.125 3.062 3.075 3.013 2.885 2.823 2.661 2.598 2.533 2.470 2.369 2.306 2.290 2.227 2.244 2.180 2.213 2.150 2.175 2.112 2.108 2.044 2.064 2.000 18 20 25041 199.5 42.47 19.89 12.66 9.358 7.534 6.396 5.625 5.071 4.654 4.331 4.073 3.862 3.687 3.539 3.412 3.303 3.208 3.123 3.049 2.982 2.922 2.868 2.819 2.628 2.401 2.272 2.105 2.024 1.976 1.944 1.905 1.835 1.789 30 25254 199.5 42.15 19.61 12.40 9.122 7.309 6.177 5.410 4.859 4.445 4.123 3.866 3.655 3.480 3.332 3.206 3.096 3.000 2.916 2.841 2.774 2.713 2.658 2.609 2.415 2.184 2.050 1.876 1.790 1.738 1.704 1.661 1.584 1.533 60 25466 199.5 41.83 19.32 12.14 8.879 7.076 5.951 5.188 4.639 4.226 3.904 3.647 3.436 3.260 3.111 2.984 2.873 2.776 2.690 2.614 2.546 2.484 2.428 2.377 2.176 1.932 1.786 1.589 1.485 1.420 1.374 1.314 1.184 1.000 ∞ Tabla 8.8: Cuantiles q0,995 de la distribución F de Snedecor (continuación). Universidad de Cantabria. Alberto Luceño y Fco. Javier González 51