Inecuaciones.

1 CONOCIMIENTOS PREVIOS.
1
Inecuaciones.
1.
Conocimientos previos.
Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos:
Operaciones básicas con polinomios.
Resolución de ecuaciones de primer grado.
Resolución de ecuaciones de segundo grado.
Resolución de sistemas de ecuaciones.
Intervalos y sus definiciones básicas.
Serı́a conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.
2.
Inecuaciones.
Hay que recordar que, entre las desigualdades, se disponen de relaciones de orden estricto:
> Mayor que.
< Menor que.
Y de relaciones de orden total:
≥ Mayor o igual que.
≤ Menor o igual que.
Definición: Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas.
Las reglas que se usarán para resolverlas son muy similares a las que se emplean en las ecuaciones:
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta el mismo polinomio, se obtiene una inecuación equivalente a la dada.
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por el mismo número real positivo,
resulta una inecuación equivalente a la primera.
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por el mismo número real negativo,
la inecuación inicial cambia de sentido.
Es decir, para resolver una inecuación hay que aplicar las mismas reglas que se usaban para resolver las
ecuaciones convencionales salvo si se multiplica o divide por números negativos.
La solución de la inecuación serán “trozos” de la recta real (conjuntos de números) que harán que se cumpla
la inecuación.
2 INECUACIONES.
2
El método más general (pues hay más de una forma) para resolver las inecuaciones será el siguiente:
Supóngase que se desea resolver la inecuación:
x2 − 5x + 6 > 0
1o Se resuelve la ecuación suponiendo que en lugar de una desigualdad se tiene una igualdad.
x2 − 5x + 6 > 0 → x2 − 5x + 6 = 0
Las soluciones de esta ecuación son x=2 y x=3.
2o Se dibuja la recta real marcando los puntos que se han obtenido como solución. Estos puntos dividirán
la recta real en zonas.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
En este caso se tienen 3 zonas:
(−∞, 2)
(2, 3)
(3, ∞)
3o Se toma un número al azar localizado en cada una de las zonas en las que se ha dividido la recta real y
se sustituye en la inecuación inicial. Si la inecuación se verifica se marca la zona en la recta real.
(−∞, 2) → 0 sustituyendo x2 − 5x + 6 > 0 → 02 − 5 · 0 + 6 > 0 → 6 > 0 se verifica en esta zona.
(2, 3) → 2,5 sustituyendo x2 − 5x + 6 > 0 → 2,52 − 5 · 2,5 + 6 > 0 → −0,3 > 0!!! no se verifica en esta zona.
(3, ∞) → 10 sustituyendo x2 − 5x + 6 > 0 → 102 − 5 · 10 + 6 > 0 → 56 > 0 se verifica en esta zona.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
4o Se comprueban también los valores que separan las diferentes zonas. Si no verifican la condición inicial
se dibuja un cı́rculo en la recta real sobre su valor.
En el actual caso:
Para x = 2: x2 − 5x + 6 > 0 → 22 − 5 · 2 + 6 > 0 → 0 > 0 !!! No se verifica.
Para x = 3: x2 − 5x + 6 > 0 → 32 − 5 · 3 + 6 > 0 → 0 > 0 !!! No se verifica.
-4
-3
-2
-1
Ejercicios: Resolver las siguientes inecuaciones:
1. 2x + 3 > 1
2. x2 − 5x + 6 ≤ 0
3. x2 − 4x + 4 ≥ 0
4. x3 − 6 x2 + 11 x − 6 ≤ 0
0
1
2b
3b
4
3 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE RECTAS.
3.
3
Representación gráfica de rectas.
Para representar gráficamente una recta de la forma ax + by + c = 0 primero se debe despejar la y.
Quedará una expresión similar a:
−ax − c
y=
b
Para dibujarla hay que seguir los siguientes pasos:
Se va a dibujar la siguiente recta:
4x − 2y + 1 = 0
1o Se despeja la y.
y=
1
−4x − 1
→ y = 2x +
−2
2
2o Se elijen dos números al azar y se sustituyen en la expresión obtenida para la y. Se obtendrán dos pares
de valores (x, y)
En este caso se eligen los valores x = 1 y x = −1:
Para x = 1:
y = 2x + 21 → y = 2 · 1 + 21 → y = 25
Para x = −1:
y = 2x + 12 → y = 2 · (−1) + 21 → y = − 32
Se tienen los siguientes pares de puntos (1, 52 ) y (−1, − 23 ).
3o Se dibujan los pares de valores, como puntos, y se unen mediante una recta.
4
3
2
-4
-3
-2
4.
-1
1
0
1
2
-1
-2
-3
-4
Inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Serán expresiones de la forma:
ax + by + c > 0
ax + by + c < 0
ax + by + c ≤ 0
3
4
4 INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
4
ax + by + c ≥ 0
En este caso serán regiones del plano, y no de la recta (como en el caso anterior), las que verificarán las ecuaciones. Los polinomios de la forma ax + by + c representan rectas en el plano. Dibujando estas rectas se puede ver
que parten al plano en dos partes. Tomando un punto de cada una de las partes y sustituyendo en la inecuación
se puede determinar que zona del plano va a verificar la inecuación.
Por ejemplo, sea la inecuación:
4x − 2y + 1 ≤ 0
Primero se dibuja la recta 4x − 2y + 1 = 0 siguiendo las indicaciones del apartado 3, se tiene la gráfica de la
figura 1:
-4
-3
-2
-1
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
2
3
4
Figura 1: Gráfica de 4x-2y+1=0.
En la gráfica de la figura 1 la recta divide al plano en dos parte. Habrá una que será válida y otra que no.
Para saber la parte que es válida se toma un punto, al azar, que no esté sobre la recta. Por ejemplo, el punto
(−2, 4), que como se puede ver en el dibujo está en la zona superior que divide la recta. Se sustituye este valor
en la inecuación:
4x − 2y + 1 ≤ 0 ⇒ 4(−2) − 2 · 4 + 1 ≤ 0 ⇒ −15 ≤ 0
Se puede ver que, efectivamente, −15 ≤ 0, por lo que la zona superior es la zona válida. Se marca dicha zona
como válida como se muestra en la figura 2.
En el caso de que al probar el punto se obtiene que no verifica la inecuación, la zona válida será la contraria.
Todos los puntos de la zona válida cumplen la inecuación.
Ejercicios: Resolver las siguientes inecuaciones:
1. x + y ≥ 1
2. 2x − y + 1 ≤ 2
3. 3x + 5y ≥ −1
5 SISTEMAS DE INECUACIONES.
-4
5
-3
-2
-1
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
2
3
4
Figura 2: Gráfica de 4x − 2y + 1 ≤ 0 con la zona válida marcada.
5.
Sistemas de inecuaciones.
Un sistema de inecuaciones lineales será un conjunto de inecuaciones. Por ejemplo:
x+y >0
x−y <0
)
Para resolver un sistema de inecuaciones se deberán representar las inecuaciones en el plano tal y como se hacı́a
en el apartado anterior. Para cada inecuación se dividirá el plano en dos partes, una que será válida y la otra no.
La zona donde se crucen todas las zonas válidas será la solución.
Por ejemplo, sea el sistema:
)
x+y >0
x−y <0
❶ Se dibuja cada inecuación y se marca la zona válida.
Para la primera inecuación x + y > 0, se dibujarı́a su gráfica y se tomarı́a un punto al azar que no estuviese
sobre la recta por ejemplo el punto (2,2). Este punto se sustituye sobre la inecuación:
x+y >0 ⇒ 2+2 >0 ⇒ 4 >0
Por lo que la zona donde está el punto (2,2) es la zona válida. Se deberá marcar como válida como se muestra
en la figura 3.
Después se hace lo mismo con la segunda inecuación x − y < 0. Se debe dibujar sobre la misma gráfica
que la que se dibujó la inecuación anterior. Al final se tendrá una figura similar a la de la figura 4.
❷ La zona en la que coincidan todas las zonas válidas será la solución. Se deberá marcar esta zona como
solución (se le puede dar un color diferente), como se muestra en la figura 5.
Queda una pregunta para el lector: ¿Qué pasa con los puntos de las rectas? ¿En que se diferencia x + y > 0
y el x + y ≥ 0 en este caso?
Ejercicios: Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones:
5 SISTEMAS DE INECUACIONES.
6
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Figura 3: Gráfica de x + y > 0 con la zona válida marcada.
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Figura 4: Gráfica de x + y > 0 y x − y < 0 con las zonas válidas marcadas.
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Figura 5: Gráfica de x + y > 0 y x − y < 0 con la zona válida marcada.
5 SISTEMAS DE INECUACIONES.
7
1.
x + 2y > 0
2x − y < 0
)
3x + 2y ≤ 1
2x + y < 3
)
2.
3.

4.

y≤4

x + 2y ≤ 1

2x − 2y ≥ 3 
y≤2
x≤3
y ≥ −2
x ≥ −1








