TEMA11. CORRIENTE ALTERNA

TEMA11. CORRIENTE ALTERNA
11.1.-FUERZAS ELECTROMOTRICES SINUSOIDALES.
Se ha visto el comportamiento de algunos circuitos de corriente continua, en los
que las corrientes, tensiones y fem son constantes, no varían en el tiempo, y algunos
circuitos de corriente variable, pero que esta corriente permanece durante un intervalo
de tiempo pequeño. En este capítulo examinaremos circuitos de corriente variable, pero
que permanece en el tiempo. Estos circuitos disponen de un generador de corriente
alterna o sea un generador que produce corriente variable cuyo sentido de circulación va
cambiando sucesivamente en el transcurso del tiempo. En estos circuitos aparecen
resistencias, condensadores e inductores. Se recurrirá al hecho de que estos elementos
responden en una forma lineal, es decir, la corriente alterna a través de cada elemento es
proporcional al voltaje instantáneo alterno a través del elemento.
Si esta corriente alterna es periódica y sus valores pueden expresarse mediante el
seno o el coseno de una función del tiempo, se denomina sinusoidal. A este tipo de
corrientes limitaremos nuestro estudio por ser las que presentan un interés mayor.
Existen varias razones para estudiar las corrientes y las tensiones sinusoidales. Los
generadores industriales están proyectados para generar una fem sinusoidal. Cuando en
un circuito la corriente no es sinusoidal, puede analizarse en función de sus
componentes sinusoidales utilizando el análisis de Fourier, o sea, los resultados
obtenidos para las corriente sinusoidales pueden aplicarse a cualquier tipo de corriente
alterna.
Se podrá ver también que cuando la salida del generador es sinusoidal, la
corriente eléctrica en los elementos es sinusoidal aunque no necesariamente esté en fase
con la fem del generador.
Un generador sencillo de corriente alterna consiste en una bobina girando en un
campo magnético uniforme, como se ve
en la figura.
El flujo magnético que atraviesa la
bobina es
φm = NBS cos θ
siendo N el número de vueltas y S el área
de la bobina. Si se hace girar a la bobina
mecánicamente con una velocidad
angular ω , el flujo que atraviesa la bobina
variará en el tiempo y de acuerdo con la
Ley de Faraday-Henry se inducirá una
fem en la bobina
ε=−
dφ m
d
= − (NBS cosθ)
dt
dt
Si consideramos que para t = 0 , θ = 0 ; tendremos que θ = ωt . Sustituyendo
ε = − NBS
d(cos ωt )
= NBSω senωt = ε max sen ωt
dt
donde ε max = NBSω es el valor máximo de la fem, que es sinusoidal. De este modo
pueden producirse fem sinusoidales haciendo girar una bobina con velocidad constante.
Normalmente se utiliza una frecuencia de 50 Hz, y como ω = 2πf se sabe la velocidad
angular de giro. En este tipo de fuente de fem, se convierte la energía mecánica en
energía eléctrica.
En los diagramas de los circuitos a los generadores de corriente alterna se les representa
por
para distinguirlos de los de corriente continua.
11.2.- VALORES MEDIOS Y VALORES EFICACES.
El valor medio de una magnitud que varia con el tiempo x(t), sobre un intervalo
de tiempo entre t1 y t 2 , se define como
1
xm =
t 2 − t1
t2
∫ ()
x t dt
t1
en donde la integral representa el área limitada por la
curva x(t) y por las dos líneas verticales t1 y t 2 .
Aplicando esta definición a una magnitud que
varia senoidalmente
x = x max sen ωt
el valor medio para un periodo (ciclo completo) es
ω
xm =
2π
∫
2π ω
0
x max sen ωt dt = 0
pues el área positiva del ciclo comprendido
entre 0 y π ω es igual al área negativa del ciclo
entre π ω y 2π ω . Por consiguiente, solo cabe
hablar de valor medio de una magnitud senoidal
en el intervalo de un semiperiodo.
xm =
ω
π
∫
πω
x max sen ωt dt =
0
2
x max
π
La mayoría de los aparatos de medida en alterna no miden los valores máximos
y no marcarían nada si midieran los medios, lo que miden es el valor cuadrático medio o
valor eficaz, es decir
x ef2 =
ω
2π
2π ω
2
max
0
∫
x
sen 2 ωt dt =
1 2
x max
2
con lo cual
x ef =
x max
2
Así por ejemplo en la fem podemos
poner
ε = ε max sen ωt = 2 εef sen ωt
11.3.- CORRIENTE ALTERNA EN UNA RESISTENCIA
Considérese un circuito simple de corriente alterna constituido por una
resistencia y un generador de corriente alterna sin resistencia interna. La caída de
potencial entre los extremos de la resistencia V es igual
a la fem del generador. Aplicando la ley de Ohm
V = IR = ε max sen ωt
La corriente es proporcional a la fem y viene
dada por
I=
ε max
sen ωt = I max sen ωt
R
en donde la corriente máxima vale ε max R , y por tanto la corriente eficaz vale
Ief =
I max
ε
ε
= max = ef
R
2
2R
Tanto la corriente como la diferencia
de potencial son proporcionales a sen ωt , de
modo que ambas están en fase, sus gráficas se
pueden observar en la figura
Con mucha frecuencia se utilizan
diagramas de fasores para representar la
relación de fase entre la corriente y la tensión.
En estos diagramas se representan las
cantidades alternas mediante vectores que
giran con velocidad angular ω en el sentido
contrario a las agujas dl reloj. El módulo del
vector es la corriente máxima o la tensión máxima
y su proyección sobre el eje de ordenadas nos
proporciona el valor instantáneo de la corriente o
la tensión. En el caso que nos ocupa el diagrama
de fasores es el representado en la figura
11.4.- CORRIENTE ALTERNA EN UN CONDENSADOR
Ahora considérese un condensador unido a los bornes de un generador de
corriente alterna. El condensador empieza a cargarse,
tomando mayor carga cuanto mas crezca el valor de ε .
Cuando esta comienza a disminuir el condensador
comienza a descargarse. Si la fem cambia de sentido el
condensador se cargará con signo contrario, esto es, la
armadura que antes era positiva pasa a ser ahora la
negativa.
Por consiguiente, en corriente alterna un
condensador intercalado en un circuito no interrumpe el
proceso de conducción, se comporta como si la intensidad lo atravesase simplemente.
Admitiendo que I es positiva en el sentido expresado, y que q es la carga del
condensador y que despreciamos la resistencia interna del generador tenemos que la
tensión en el condensador es
q
V = = ε max sen ωt
C
Se conoce que
I=
dq
dt
despejando el valor de la carga e introduciéndolo en la expresión de la corriente
I=
d(ε max C sen ωt )
π
π


= ε max C ω cosωt = ε max C ω sen ωt +  = I max sen ωt + 
dt
2
2


en donde
I max = ε max ωC
Aquí se observa que la corriente no está en fase con la diferencia de potencial en
las armaduras del condensador. La intensidad está adelantada un cuarto de periodo
respecto a la tensión.
A la magnitud
1
= x C se le denomina reactancia capacitativa, sus unidades
ωC
son Ω . Así
ε max = x C I max
o bien εef = x C Ief
11.5.- CORRIENTE ALTERNA EN UNA BOBINA
Se conectan ahora una inductancia constante L a
los terminales de un generador de corriente alterna.
Aplicando la ley de Ohm, y recordando que la resistencia
es nula, se tiene
V=L
y
dI
= ε max sen ωt
dt
dI =
ε max
sen ωt dt
L
integrando
I=−
ε max
ε
π
π


cos ωt = max sen  ωt −  = I max sen  ωt − 
ωL
ωL
2
2


en donde la corriente máxima es ε max ωL .
En este caso se observa que la intensidad está desfasada π 2 en retraso respecto
a la tensión.
Al producto de ωL = x L se le denomina reactancia inductiva y se mide en Ω .
Así
ε max = x L I max o bien εef = x L Ief
11.6.- CIRCUITO LCR EN SERIE
Supóngase un circuito dotado con una resistencia R, un condensador C y un
inductor L unidos en serie a un generador de corriente
alterna.
Aplicando la ley de Ohm generalizada
ε = VR + VC + VL
q
dI
ε max sen ωt = IR + + L
C
dt
en donde
I=
dq
dt
La ecuación del circuito es análoga a la de un oscilador forzado, ya que
 dq 
IR =   R
 dt 
Q
C
≡
bv = b
≡
dx
(amortiguación viscosa)
dt
kx
dI
d 2Q
L =L 2
d
dt
≡
d2x
m 2
dt
por tanto, la solución de la ecuación para I contiene una parte de corriente transitoria
que disminuye exponencialmente con el tiempo, mas una corriente variable periodica
que permanece en el tiempo. Una vez transcurrido un tiempo suficiente la corriente
transitoria se hace despreciable, por lo que solo nos centraremos en la corriente
permanente, que tendrá la forma
I = I max sen (ωt − φ )
Para analizar esta expresión se emplearán los diagramas de fasores, que ya se
han visto para cada componente individual en las secciones anteriores.
En la figura se representa los fasores en el instante inicial de la fem, intensidad
de corriente y las diferencias de potencial entre los elementos del circuito. Los módulos
de los favores son
VR = I max R en fase con la corriente
VL = I max x L adelantada π 2 a la corriente
VC = I max x C retrasada π 2 a la corriente
La suma de estas tres caídas de tensión es igual a la fem instantánea, o sea
ε = VR + VL + VC
Como VL y VC tienen la misma dirección y sentidos opuestos podemos construir
el fasor diferencia, cuyo módulo vale
VL + VC = I max x L − I max x C = I max x
en donde x se la denomina reactancia y vale
x = x L − x C = ωL −
1
ωC
con lo cual
ε = VR + VLC
vector cuyo módulo vale
ε max = VR + VLC =
(Imax R )2 + (Imax x )2
= I max R 2 + x 2 = I max Z
donde la magnitud Z cuyas dimensiones son las de una resistencia, toma el nombre de
impedancia. Transcurrido un intervalo de tiempo t, el diagrama de favores es el de la
figura
De la expresión de la impedancia se puede deducir
I max =
ε max
ε
ó Ief = ef
Z
Z
Analizando el triángulo de fasores de tensión, se observa
con lo cual
tg φ =
X X L − XC
=
R
R
que proporciona el ángulo de desfase entre la corriente y la tensión, que según
predomine X L ó X C estará retrasada o adelantada la corriente respecto a la tensión.
11.7.- NOTACION COMPLEJA
Cualquier función alterna senoidal puede expresarse mediante números
complejos, y en el estudio de los circuitos de corrientes alternas facilita su resolución
por lo que vamos a ver las representaciones complejas de las magnitudes eléctricas.
Diferencia de potencial
V = Vef ( cos ωt + j senωt ) = Vef e jωt = Vef ωt
donde j2 = −1
El valor instantáneo de V(t) es la parte imaginaria del complejo [V (t )] 2
Intensidad de corriente
I = I ef [cos(ωt − φ) + j sen (ωt - φ )] = I ef e j(ωt - φ ) = I ef ωt − φ
el valor instantáneo será [I (t )] 2
Impedancia
Vef e jωt
V
Z= =
= Z e jφ = Z φ = R + jX
j( ωt-φ )
I Ief e
así
resistencia
condensador
1
ZC = − j
ωC
ZR = R
inductor
ZL = jωL
Las expresiones complejas nos permiten operar con las magnitudes eléctricas
como el algebra de números complejos, o sea,
Varias impedancias en serie o paralelo valen
Z T = Z1 + Z 2 + ...
1
1
1
=
+
+ ...
Z T Z1 Z 2
y
Ley de los nudos y de las mallas
∑I
i
∑V = ∑ I Z
=0 y
i
i
i
i
i
i
igual que en corriente continua para los signos.
11.8.- CIRCUITO LCR EN PARALELO
Los elementos, resistencia, condensador e inductor, de un circuito conectados en
paralelo a una fuente de corriente alterna pueden analizarse por el mismo procedimiento
que los elementos conectados en serie.
Utilizando magnitudes complejas
I = I R + IC + IL =
V
V
V
+
+
=
Z R ZC ZL
1 
1  V
= V  + j ωC −
 = = YV
ωL  Z
R 
donde Y recibe el nombre de admitancia compleja y es la inversa de la impedancia
compleja. Con las admitancias se cumple que
YT =
∑
Yi
i
11.9.- POTENCIA EN ALTERNA
Sea una impedancia Z recorrida por una corriente alterna I(t), generada por una
fuente de tensión alterna ε(t ) . Suponiendo que los valores de la corriente y ddp en los
extremos de Z son
V = ε max sen ωt
I = I max sen (ωt − φ )
Se define la potencia instantánea que intercambia la
corriente en la impedancia como
P(t ) = VI = ε max sen ωt I max sen (ωt − φ)
recordando que
sen a sen b =
1
1
cos(a − b ) − cos(a + b )
2
2
se tiene
P (t ) =
1
1
ε max I max cos φ − ε max I max cos(2ωt − φ )
2
2
o también
P(t ) = εef Ief cos φ − εef Ief cos(2ωt − φ)
que pone de manifiesto que la potencia instantánea tiene un término constante y otro
dependiente del tiempo y de frecuencia doble que la corriente. Al término constante se
le denomina potencia media
Pm = ε ef Ief cos φ
Su representación gráfica es una sinusoide en donde la potencia media desplaza
el eje de abcisas y el
término dependiente
del tiempo expresa
que durante medio
periodo la fuente
suministra energía a la
impedancia y durante
el otro medio le es
devuelta esta energía.
O sea además de una
energía suministrada a
potencia
constante
(como en corriente continua), existe una energía que pasa alternativamente de forma
electrocinética a la forma electromagnética (en los inductores) y electrostática (en los
condensadores) de la impedancia.
Si sobre el triángulo de impedancia multiplicamos por I ef2 cada vector,
obtenemos el triángulo de potencias
El cateto Pa = RIef2 es la
potencia activa, es decir, la que
se disipa en forma de calor.
El cateto Q = XIef2 es la
potencia reactiva, que en un
periodo es nula. Corresponde a
las energías que se almacenan en
unos intervalos en los campo
eléctricos y magnéticos, y que
son devueltas en los siguientes.
Se mide en voltioamperio
reactivo VAr.
La hipotenusa S = ZI ef2 es la potencia aparente suma vectorial de las dos
anteriores. Se mide en kaveas (kilovoltioamperio) kVA.
Se puede comprobar
S = ZI ef2 =
ε ef 2
I ef = ε ef I ef
I ef
con lo cual
Pa = S cosφ = εef Ief cos φ (que coincide con la potencia media)
Q = S senφ = ε ef Ief sen φ
En la expresión de la potencia activa o media al cos φ se le denomina factor de
potencia. Su importancia radica en que la potencia suministrada (generador), transmitida
(línea) o utilizada (motor de corriente alterna u otro elemento) es tanto mayor cuanto
mas grande sea cos φ , es decir cuanto menor sea φ .
En la distribución de energía eléctrica se tiene muy presente, ya que cos φ bajos,
significan altas caídas de potencial en la línea de distribución eléctrica, y por tanto causa
pérdidas.
Se define como potencia compleja al producto
P = V I ∗ = S e jφ = Pa + j Q
11.10.- RESONANCIA EN CIRCUITOS LCR. FACTOR DE CALIDAD
Se dispone de un circuito LCR en serie sometido a una diferencia de potencial
alterna V = Vmax sen ωt . Se ha visto anteriormente que X L es proporcional a la
pulsación ω y X C inversamente proporcional a ω , por lo que existirá un valor de la
pulsación ωr que anule el valor de la reactancia X. A ωr se le denomina pulsación de
resonancia y es igual a
X = 0 = ωr L −
1
ωr C
⇒
ωr =
1
LC
Cuando la pulsación de la corriente es ωr , la impedancia se hace mínima Z=R,
la corriente y la tensión aplicadas están en fase
cos φ =
R R
= =1
Z R
circulará la máxima intensidad de corriente Ief = Vef R y la potencia media será
máxima Pm = Vef Ief .
Un circuito RLC que cumple estas características se denomina circuito resonante
y su importancia radica en la aptitud de seleccionar las señales de frecuencias diferentes,
puesto que la característica de ser puramente resistivo sólo se da para una determinada
frecuencia f r = ωr 2π de resonancia, este circuito resulta ser altamente sensible a dicha
frecuencia y escogerla entre muchas señales que podrían ser aplicadas al circuito.
Sin el efecto de resonancia serían imposibles las transmisiones y recepciones de
señales de radio, TV, radar, etc.
Un gráfico de la curva de
resonancia de un circuito proporciona una
indicación visual de sus características de
selectividad. Esta curva se obtiene
comparando la intensidad de corriente con
la pulsación o frecuencia aplicada al
circuito, manteniendo constantes los
valores de L, C y tensión. En donde se
observa, que para menores valores de R, la
curva es mas alta y mas estrecha. Esto nos
indica que la gama de frecuencias entre
ω1 y ω2 , valores por debajo y por encima
de ωr para los cuales la corriente es 0.707 veces la corriente de pico, es mayor para
mayores valores de R, o sea, la selectividad del circuito es peor. Para conocer el grado
de selectividad de un circuito se define el parámetro Q (factor de calidad) como
Q=
ωr L
ωr
=
R
ω2 − ω1
en donde a ω2 − ω1 se le denomina ancho de banda o banda pasante. Cuanto más alto
sea Q mas selectivo será el circuito y menos frecuencias pasarán.
Por el contrario en un circuito RCL en paralelo, aunque la pulsación de
resonancia es la misma ωr = 1 LC , la admitancia y la intensidad de corriente serán
mínimas cuando entre en resonancia. Esto se comprende al observar, que en el circuito
en paralelo, las corrientes I L y IC tienen siempre un desfase exacto de medio periodo;
cuando tienen además la misma magnitud, porque X L = X C , se anulan entre si y la
corriente total es simplemente la que pasa por R. Por ello a este circuito frecuentemente
se le denomina circuito tapón o antirresonante. Su factor de calidad es el inverso del de
el circuito RCL en serie.
11.11.- FILTROS
El distinto comportamiento de los inductores y condensadores frente a la
corriente alterna según su frecuencia nos permite construir circuitos, que ante dos
tensiones de distinta frecuencia, pase una y la otra no, es lo que se denomina filtrado,
evitando que señales no deseadas lleguen a los circuitos eléctricos y electrónicos. El
filtrado también se utiliza para dejar pasar corriente continua ofreciendo gran resistencia
al paso de corriente alterna.
Sabemos que los inductores ofrecen altas reactancias a las frecuencias elevadas,
mientras que en los condensadores es al revés. Así podemos distinguir de forma general:
Filtros pasabajas
Se consiguen conectando un inductor en serie y un condensador en paralelo
entre la fuente de señales y el circuito
receptor. Como la bobina tiene una X L que
va aumentando a medida que aumenta la
frecuencia, atenuará las señales de altas
frecuencias, pero dejará pasar con más
facilidad las de frecuencias bajas. Por su
parte el condensador, cuya X C es mas baja
para frecuencias elevadas, shuntará estas y dejará pasar las señales de más baja
frecuencia, reforzando el efecto ya causado por la bobina.
Si se desea un filtrado aún mejor
puede conectarse un condensador como
en la figura, filtro que se conoce con el
nombre de filtro tipo pi.
Filtros pasaaltas
Los mismos componentes, inductores y condensadores, pueden ser empleados
para constituir un filtro pasaaltas, como
se muestra en la figura. En este caso el
condensador se conecta en serie con la
fuente de señales, mientras que la bobina
está en paralelo. Este circuito funciona
de forma opuesta al anterior en lo
relativo a la atenuación de las señales de
frecuencias diferentes.
El condensador opone una elevada X C para las señales de baja frecuencia, pero
va disminuyendo a medida que la frecuencia aumenta. Además, la bobina tendrá una
elevada X L para señales de frecuencia elevada y dicha reactancia será menor para las
señales de frecuencia mas bajas, que serán shuntadas en mayor proporción.
Filtros pasabanda
En este caso se emplean un circuito serie y otro paralelo resonantes, como se ve
en la figura. El circuito serie
conectado en serie con la fuente
de señales y a la salida dejará
pasar solamente las señales cuya
frecuencia sea la de resonancia o
las del ancho de banda, y el
circuito paralelo, en paralelo con
la fuente de señales, ofrecerá
una impedancia elevada a las
señales de frecuencia próxima a la de resonancia.
Filtros parabanda
El filtro parabanda actúa de forma opuesta al filtro pasabanda, permitiendo el
paso de todas las señales con
frecuencias diferentes a la de
resonancia, en tanto, que elimina las
señales de frecuencia próxima a la de
resonancia. Está constituido como se
aprecia en la figura
11.12.- EL TRANSFORMADOR
Para transportar la energía eléctrica con alta eficiencia y poca pérdida de calor
,
en
las líneas de transmisión (grandes distancias) es económico emplear alta
IR
tensión y baja corriente. Además existen otras razones se seguridad que reafirman lo
expresado anteriormente. Para conseguir altas tensiones y bajas corrientes se utilizan
los transformadores que son unos dispositivos que varían la tensión y la corriente
alternas con una pérdida de potencia despreciable.
2
Un transformador está compuesto de dos boninas de conductor alrededor de un
núcleo de hierro dulce. La bobina por la que circula la corriente de entrada se denomina
primario y a la otra bobina secundario.
Una corriente alterna que circula por el
primario crea un flujo variable en el núcleo de
hierro, que al atravesar la bobina del secundario
induce una fem. La energía es transferida de
esta forma de una bobina a la otra por medio
del flujo. La función del núcleo de hierro es
aumentar y conducir el flujo de modo que
prácticamente todo el flujo que atraviesa una
vuelta de una bobina atraviese todas las demás
de ambas bobinas.
El núcleo de hierro está laminado para reducir las pérdidas por corrientes de
Foucoult. Otras pérdidas posibles son las I 2 R en las bobinas, que pueden reducirse
utilizando un conductor de baja resistencia para ellas y las pérdidas de histéresis en el
núcleo, se reducen utilizando hierro dulce. Los rendimientos de los transformadores
oscilan entre 90% y 99% y su símbolo es
Para simplificar y teners una idea del comportamiento del transformador se va a
considerar uno ideal, o sea, en el que no hay pérdidas. Si se aplica una fem ε alterna al
primario que consta de N1 vueltas la bobina,
circulará una corriente I10 que estará desfasada
π 2 respecto de ε (generador con inductor, R
despreciable) creando un flujo φm que a través
del núcleo atraviesa el secundario que consta de
N 2 vueltas de bobina. En consecuencia
aplicando la ley de Faraday-Henry
dφ m
dt
dφ m
V2 = − N 2
dt
V1 = − N1
comparando estas ecuaciones se observa
V2 =
N2
V1
N1
con lo cual eligiendo adecuadamente la razón de los números de vueltas N 2 N1 , se
obtiene cualquier tensión en el secundario a partir de una tensión dada en el primario. Si
V2 > V1 resulta un transformador elevador; si V2 < V1 el transformador es reductor.