Colección de problemas de Poder de Mercado y Estrategia

Colección de problemas de
Poder de Mercado y Estrategia
Curso 3º
Grado en Economía
2012-2013
Iñaki Aguirre
Jaromir Kovarik
Marta San Martín
Fundamentos del Análisis Económico I
Universidad del País Vasco UPV/EHU
Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
Tema 1. Teoría de Juegos y estrategia competitiva
1.- Considere los siguientes juegos en forma extensiva:
L
(4, 2)
L
(4, 2)
(2, 3)
I
2
(2, 3)
I
M
M
2
O
1
(3, 2)
1
D
2
(1, 1)
P
L
(3, 2)
M
(1, 1)
D
Juego 1
Juego 2
(2, 3)
I
(0, 0)
O
D
1
u
2
2
P
1
r
(3, 0)
s
r
(0, 3)
(1, 1)
s
(4, 2)
v
Juego 3
(1, 2)
L
(-1, 0)
T
M
1
(3, 1)
u
2
P
1
v
2
Juego 4
I
1
(0, 0)
M
O
D
2
s
(3, 1)
L
2
r
1
u
(2, 2)
v
u
(3, 0)
(0, 3)
P
Juego 5
2
1
v
(1, 1)
(1, 3)
(1, 1)
Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
(i) Para todos los juegos: describa las estrategias de cada jugador y los subjuegos.
(ii) Represente en forma normal los juegos 1, 2, 3 y 5.
(iii) Obtenga los equilibrios de Nash de todos los juegos. Considerando la
representación de los juegos en forma normal, ¿qué equilibrios sobreviven a la
eliminación de estrategias débilmente dominadas?
(iv) Obtenga los equilibrios perfectos en subjuegos.
Solución
(i) Juego 1 ⇒ 3 subjuegos. Estrategias jugador 1: I y D. Estrategias jugador 2: LO, LP,
MO y MP. Juego 2 ⇒ 1 subjuego. Estrategias jugador 1: I y D. Estrategias jugador 2: L
y M. Juego 3 ⇒ 3 subjuegos. Estrategias jugador 1: Iu, Iv, Du y Dv. Estrategias jugador
2: Or, Os, Pr y Ps. Juego 4 ⇒ 4 subjuegos. Estrategias jugador 1: Lu, Lv, Mu y Mv.
Estrategias jugador 2: Tr, Ts, Pr y Ps. Juego 5 ⇒ 5 subjuegos. Estrategias jugador 1:
Iuu, Iuv, Ivu, Ivv, Duu, Duv, Dvu y Dvv. Estrategias jugador 2: LO, LP, MO y MP.
(ii) Inmediato desde apartado (i).
(iii) Juego 1 ⇒ EN ⇒ (I, MP) y (D, MO) (sobrevive a EIEDD). Juego 2 ⇒ EN ⇒ (I,
M) .
(iv) Juego 1 ⇒ EPS ⇒ (D, MO). Juego 2 ⇒ EPS ⇒ (I, M). Juego 3 ⇒ EPS ⇒ (Dv,
PS). Juego 4 ⇒ EPS ⇒ (Mu, Pr). Juego 5 ⇒ EPS ⇒ (Ivv, LP).
3
Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
2.- Considere el siguiente juego en forma extensiva:
(2, 1)
T
I
2
1
(3, α)
S
P
D
a
(2, 2)
b
(1, 3)
a
(3, β)
1
2
Q
(0, 0)
b
(i) Represente el juego en forma normal.
(ii) ¿Para qué valores de α y β la combinación de estrategias (Ia, SP) constituye el
único equilibrio perfecto en subjuegos?
(iii) ¿Existen valores de α y β tales que la combinación de estrategias (Db, TP) es un
equilibrio de Nash?
(iiiv) Suponga que α = 0, ¿Hay algún valor de β que haga que la combinación de
estrategias (Da, SQ) sea un equilibrio perfecto en subjuegos?
Solución
(ii) α >1 y β < 2. (iii) No. (iv) No.
4
Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
3.- Se dispone de la siguiente información sobre el juego en forma estratégica adjunto:
a) La estrategia B domina débilmente a la estrategia A del jugador 1.
b) La combinación de estrategias (C, I) no es un equilibrio de Nash.
2
1
H
I
J
A
(4, 2)
(2, 0)
(0, 3)
B
(5, 1)
(3, 2)
(c, 4)
C
(5, 1)
(6, 2)
(a, b)
Discuta la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
(i) El jugador 2 tiene una estrategia dominante.
Si la combinación de estrategias (C, J) constituye un equilibrio de Nash:
(ii) Es el único equilibrio de Nash.
(iii) La estrategia C domina estrictamente a la estrategia A.
(iv) (C, J) es el único equilibrio no basado en estrategias débilmente dominadas.
Solución
(i) Verdadera, J es una estrategia dominante.
(ii) Falsa. (a) ⇒ c ≥ 0 y si (C, J) es un EN ⇒ a ≥ c ⇒ pueden existir más equilibrios.
(iii) Falsa.
(iv) Verdadera.
5
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Colección de problemas
4.- Considere el siguiente juego en forma extensiva:
L2
L1
h1
(2, 1)
f1
(3, 0)
1
l1
2
S2
2
1
1
M1
2
r1
T2
(-1, -1)
M2
(0, 0)
l2
(2, 2)
r2
l2
(0, 4)
(4, 0)
r2
(1, 1)
(a) Defina la noción de equilibrio de Nash.
(b) ¿Es (M1 f1 r1, L2 T2 r2) un equilibrio de Nash?
(c) Defina la noción de equilibrio perfecto en subjuegos?
(d) Obtenga el equilibrio perfecto en subjuegos?
Solución
(b) No. ⇒ MR1(L2T2 r2 ) = {L1 f1l1 , L1 f1r1}
(d) EPS ⇒ (L1 f1r1 ,S2 M2 r2 ) .
5.- Considere el siguiente juego de tres jugadores en forma extensiva:
L2
L1
L3
(2, 0, 0)
M3
(2, 1, 1)
3
2
L3
(3, 2, 2)
M3
S3
(0, 2, 0)
M2
1
M1
S2
T3
3
2
T2
6
S3
T3
(4, 2, 1)
(0, 0, 3)
(-1, -2, 0)
(2, -1, -1)
Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
¿Son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones? ¿ Por qué?:
(a) Se trata de un juego de información perfecta.
(b) La mejor respuesta del jugador 2 ante la combinación de estrategias de los demás
jugadores (M1, L3T3) es S2.
(c) (4, 2, 1) es un equilibrio de Nash.
(d) (M1, L2T2,L3S3) es un equilibrio de Nash.
(e) Existe un único equilibrio perfecto en subjuegos.
Solución
(a) No. (b) No, S2 no es una estrategia del jugador 2. (c) No. Un equilibrio de Nash
siempre será una combinación de estrategias. (d) No, el jugador 1 tiene incentivos a
cambiar de estrategia (v) Si. EPS ⇒ (L1, M2S2,L3T3).
6. Considere el siguiente juego de tres jugadores en forma extensiva:
(a) Defina las nociones de estrategia y equilibrio de Nash.
(0, 2, 1)
(5, 3, 4)
(10, 5, 3)
(11, 5, 11)
w
3
(9, 20, 5)
(7, 9, 11)
(9, 7, 8)
w
(b) Obtenga los equilibrios de Nash.
7
(2, 15, 6)
Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
(c) Obtenga los equilibrios perfectos en subjuegos.
Solución
(b) EN: (I, MP, w), (D, LP, u) y (D, MP, u).
(c) EPS: (D, MP, u).
7.- Considere el siguiente juego simultáneo con tres jugadores
Jugador 2
H
A
Jugador 2
H
I
(5, 3, 2)
(4, 11, 1)
I
A
(1, 3, 6)
(5, 11, 0)
B
(9, 0, 3)
(4, 8, 2)
Jugador 1
Jugador 1
B
(3, 11, 0)
(0, 8, 2)
R
T
Jugador 3
Obtenga los equilibrios de Nash.
Solución
(5, 3, 2) (4, 11, 1)
(1, 3, 6) (5, 11, 0)
(3, 11, 0) (0, 8, 2)
(9, 0, 3) (4, 8, 2)
8
Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
8. (i) Defina las nociones de estrategia estrictamente dominada y de equilibrio de Nash
(en estrategias puras).
Considere el siguiente juego en forma normal:
H
A
1 B
C
2
I
(2, 0, 1) (4, 1, 3) (0, 3, 1)
2
I
H
J
H
J
J
A
(1, 2, 0) (4, 3, 2) (3, 3, 1)
(3, 2, 4) (3, 3, 2) (5, 1, 2) 1 B
(1, 0, 1) (3, 1, 0) (6, 3, 1) 1 B
(1, 1, 3) (3, 2, 1) (4, 4, 3)
(2, 1, 2) (2, 2, 3) (2, 0, 2)
(3, 0, 1) (4, 1, 1) (1, 0, 0)
(0, 0, 2) (1, 1, 2) (0, 2, 1)
A
C
(1, 2, 3) (4, 4, 1) (5, 1, 0)
2
I
R
C
S
T
3
(ii) ¿Qué estrategias sobreviven a la eliminación iterativa de estrategias estrictamente
dominadas? Explique detalladamente.
(iii) Obtenga el(los) equilibrio(s) de Nash en estrategias puras? Explique su respuesta.
Solución
(iii) EN: (B, J, T).
9.- Considere el siguiente juego con tres jugadores. En la primera etapa del juego el
jugador 1 dispone de dos posibles acciones, L y R. Una vez que ha decidido el jugador 1
el jugador 2 que no observa lo que ha jugado el jugador 1, tiene que elegir entre O y P.
Por último, le toca jugar al jugador 3 que sin observar lo que han elegido los jugadores
1 y 2 tiene que elegir entre h y s. Los pagos (desde arriba hacia abajo en el árbol de
decisión) son (2,1,3) (4,2,1) (0,2,0) (1,0,1) (4,0,2) (3,1,1) (α, β, γ) (0,0,0).
(i) Represente el juego en forma extensiva. Defina la noción de estrategia. Represente el
juego en forma normal.
(ii) Defina la noción de equilibrio de Nash. ¿Bajo qué condiciones existirá en este
juego un único equilibrio de Nash? (R, O, h) único equilibrio de Nash si a) β < 0 b) β =
0 α o γ <0. (R, P, h) único equilibrio de Nash si β>0, α ≥ 0 y γ ≥ 0 .¿Bajo qué
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Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
condiciones existirá en este juego dos equilibrios de Nash? (R, O, h) y (R, P, h) son
ambos equilibrios de Nash si β=0, α ≥ 0 y γ ≥ 0 . Explique detalladamente su respuesta.
(iii) Defina subjuego y equilibrio perfecto en subjuegos. ¿Es cierto que este juego tiene
siempre al menos un equilibrio perfecto en subjuegos? Si β > 0 y α o γ < 0 entonces no
hay equilibrio de Nash y, por tanto, tampoco hay equilibrio perfecto en subjuegos.
10. Dado el siguiente juego en forma estratégica:
B
C
NC
C
(a, a)
(c, d)
NC
(d, c)
(b, b)
A
(i)
¿Qué relación debe existir entre los parámetros para que sea un dilema del
prisionero?
(ii)
Suponga que el juego se repite un número infinito de veces. ¿Cómo debe ser el
factor de descuento para que la colusión se pueda sostener como equilibrio?
Solución
(i) c > b > a > d.
(ii)δ ≥
c−b
.
c−a
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Poder de Mercado y Estrategia
Colección de problemas
11.- Se dispone de la siguiente información sobre el juego en forma normal adjunto:
a) La estrategia B domina débilmente a la estrategia A del jugador 1.
b) La estrategia C domina estrictamente a la estrategia A del jugador 1.
c) La combinación de estrategias (C, J) no es un equilibrio de Nash.
2
1
H
I
J
A
(4, 2)
(2, 0)
(0, 3)
B
(5, 1)
(3, 2)
(c, 4)
C
(5, 1)
(6, 2)
(a, b)
Discuta la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
(i) El jugador 2 tiene una estrategia dominante.
(ii) El jugador 2 tiene una estrategia estrictamente dominada.
(iii) B es una estrategia débilmente dominada para el jugador 1.
(iv) En el juego existe un único equilibrio de Nash.
(v) En el juego existe un único equilibrio de Nash no basado en estrategias débilmente
dominadas.
Solución
a) ⇒ c ≥ 0 ; b) ⇒ a > 0 ; c) ⇒ o b < 2 o c > a o ambas.
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