TEMA I.5 - Velocidad de una Onda Transversal

TEMA I.5
Velocidad de una Onda Transversal
Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui
Departamento de Astronomı́a
Universidad de Guanajuato
DA-UG (México)
papaqui@astro.ugto.mx
División de Ciencias Naturales y Exactas,
Campus Guanajuato, Sede Noria Alta
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Velocidad de una Onda Transversal
Ejercicio: Definir funciones de onda que contengan:
a) κ y ν,
b) λ y f ,
c) λ y T ,
d) f y ν, y
e) ω y ν.
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Ejercicio: Demostrar explı́citamente que las siguientes funciones satisfacen
la ecuación de onda:
a) y (x, t) = (x + νt)3 ;
√
b) y (x, t) = A e iκ(x−νt) , en donde A y κ son constantes e i = −1;
c) y (x, t) = ln κ(x + νt).
Ejercicio: Demostrar que la función y = A sen(κx)cos(ωt) satisface la
ecuación de onda.
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Velocidad de una Onda Transversal
Derivando la función de onda en función de t y manteniendo x = cte,
deducimos la velocidad transversal de cualquier partı́cula en una onda
senosoidal en una cuerda.
∂y νy = ∂t = +ω A sen(κx − ωt)
y
Esto implica que la velocidad máxima será: νy = ωA.
Derivando una segunda vez deducimos la aceleración transversal:
ay (x, y ) =
∂ 2 y (x, y )
= −ω 2 A sen(κx − ωt)
∂t 2
= −ω 2 y (x, t)
Este resultado es el mismo que el del MAS.
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También podemos derivar en función de x, y manteniendo t = cte.
∂y
∂x = pendiente de la cuerda.
2
derivada ∂∂xy2 = curvatura de la onda.
Primera derivada
Segunda
La razón de ambas es igual a:
∂ 2 y (x, t)/∂t 2
ω2
=
= ν2
∂ 2 y (x, t)/∂x 2
κ2
De esta relación, deducimos la ecuación de onda:
1 ∂ 2 y (x, t)
∂ 2 y (x, t)
=
∂x 2
ν 2 ∂t 2
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Deducción de la velocidad de una onda transversal
La densidad de masa lineal se denota con µ, y tiene las siguientes unidades
[µ] = kg
m.
Consideramos una cuerda perfectamente flexible (ver Figura I.5.1a). En la
posición de equilibrio la tensión es FT .
Si aplicamos una fuerza constante Fy al extremo opuesto (en el extremo
izquierdo de la cuerda, ver Figura I.5.1b). Una onda se formará, la cual
viaja a una velocidad ν (en el sentido x > 0).
Según el teorema impulso-cantidad de movimiento obtenemos:
Fy t = mνy
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Deducción de la velocidad de una onda transversal
Figura I.5.1: Propagación de una onda transversal en una cuerda. (a) Cuerda en
equilibrio; (b) parte de la cuerda en movimiento.
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Deducción de la velocidad de una onda transversal
A partir del teorema impulso-cantidad de movimiento se deduce que:
Fy t = m νy
[Fy t] = [m νy ]
[Fy t] = [N · s] = [kg
[Fy t] = [kg ·
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m
· s]
s2
m
] = [m · v ]
s
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Deducción de la velocidad de una onda transversal
En el instante t, el punto del extremo izquierdo tiene una altura νy t, y el
frente de la perturbación (en el punto P) ha avanzado una distancia νt.
La fuerza total para estirar la cuerda (la tensión aumenta un poco) tiene
las componentes FT y Fy , y una amplitud (FT2 − Fy2 ). Por lo tanto:
νy t
νy
Fy
=
≈ Fy = FT
FT
νt
ν
El impulso transversal es: Fy t = FT νy
ν t.
m
La masa desplazada es m = µ · L = µνt ([m] = [ kg
m · s · s] = [kg ]) de
modo que la cantidad de movimiento transversal es mνy = µνtνy .
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Deducción de la velocidad de una onda transversal
Igualando esta expresión al impulso transversal obtenemos:
FT
νy
t = µνtνy
ν
Deducimos la velocidad de la onda:
s
ν=
F
µ
La velocidad de la onda (propagación de la perturbación) aumenta con la
tensión (la fuerza que restablece el equilibrio) y disminuye con la masa (la
inercia).
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Ejemplo: Tensión en una cuerda I
La densidad de masa es:
kg
m
¿Para producir una velocidad ν = 12.0 m/s? ¿Qué tensión necesitamos?
µ = 0.250
F = µν 2 = 0.250
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m 2
m
kg · 12.0
= 36.0 kg · 2 = 36.0 N
m
s
s
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Ejemplo: Tensión en una cuerda II
Una cuerda es tensada por un peso de 20.0 kg , dentro de un pozo que
tiene 80.0 m de profundidad, y la masa de la cuerda es de 6.0 kg . El
geólogo abajo manda señales por la cuerda hacia su colega arriba a una
frecuencia de f = 2.0 1/s.
Ignorando la variación de tensión a lo largo de la cuerda.
a) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?
F = 20.0 kg · 9.8
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m
= 196 N
s2
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Figura I.5.2: Envı́o de señales mediante ondas transversales en una cuerda vertical.
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b) ¿Cuál es la masa por unidad de longitud de la cuerda?
µ=
6.0 kg
kg
= 0.075
80.0 m
m
c) ¿Cuál es la velocidad con la que viaja la señal?
s
s
F
196 N
m
=
= 51.1
ν=
kg
µ
s
0.075
m
d) ¿Cuál es la longitud de onda? λ =
ν
f
=
51.1 m/s
2.0 s −1
= 25.6 m
Si consideramos el peso de la cuerda, la rapidez aumentara (FT aumenta)
y la longitud de onda aumentara (si no cambia la frecuencia). Podemos
comprobar que la velocidad de la onda arriba es de ν = 58.3 m/s.
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Ejercicio: Tensión en una cuerda II
Si en FT (0 m) = 192 N y en FT (80 m) = 255 N. Deducir una ecuación
para la tensión de la siguiente forma FT (x) = a · x + b.
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