FLUJO DE FLUIDOS A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO

FLUJO DE UN FLUIDO
A TRAVÉS DE UN
MEDIO POROSO
CURSO: MODELACIÓN MATEMÁTICA
COMPUTACIONAL DE SISTEMAS TERRESTRES I
POSGRADOS: CIENCIAS DE LA TIERRA Y
CIENCIA E INGENIERIA DE LA COMPUTACIÓN
AUTOR: GUILLERMO DE J. HERNÁNDEZ G.
UNAM
FLUJO DE UN FLUIDO EN UN MEDIO
POROSO
Los supuestos generalmente adoptados para modelos de
flujo de fluidos en un medio poroso son:
• El medio poroso es saturado por el fluido;
• La matriz sólida permanece en reposo durante el
proceso de flujo de fluido;
• La matriz sólida es elástica;
• El fluido es compresible;
• Las velocidad de las partículas de fluido cumple con la
ley de Darcy:
• La masa de fluido se conserva;
• El fluido no está sujeto a procesos de difusión, τ = 0.
EL MODELO BÁSICO PARA
EL FLUJO DE UN FLUIDO
A TRAVÉS DE UN MEDIO POROS
EL MODELO BÁSICO PARA EL FLUJO DE UN
FLUIDO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROS
El modelo es basado en solo una propiedad extensiva :
la masa del fluido.
M f t   
B t 
 x, t  x, t dx
Donde   x, t  es la densidad del fluido. La propiedad
intensiva asociada con las propiedad extensiva única
de este modelo es el producto   x, t   x, t .
EL MODELO BÁSICO PARA EL FLUJO DE UN
FLUIDO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROS
Por lo tanto el modelo matemático básico para
el flujo de un fluido a través de un medio poroso es :
 
     v      g
t
El fluido no está sujeto a difusión porque no hay
especies separadas, = 0, y asumiendo que no se genera
masa en el sistema, g = 0, la ecuación del modelo
se reduce a

    v   0
t
EL MODELO BÁSICO PARA EL FLUJO DE UN
FLUIDO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROS
En estudios de flujo regional de agua subterránea
para extracción o inyección por pozos frecuentemente
se incorporan fuentes externas distribuidas, en cuyo caso
g  0:

    v   g
t
Dos clases de velocidad es pueden ser definidas :
la velocidad de las partículas, v, y la velocidad de Darcy,U .
Es necesario poner cuidado en la distinción entre estas dos
velocidad es, que son relacionad as por
U   v;
v   1U
EL MODELO BÁSICO PARA EL FLUJO DE UN
FLUIDO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROS
La sustitución de la ley de Darcy en el modelo conduce a una
ecuación en la que la velocidad se representa vía la variable
de estado de presión, la carga hidráulica , h.
Cuando otras relaciones constitutivas se aplican para describir
los cambios en  y en  en términos de la misma variable
de estado aplicada a la velocidad , la ecuación final tiene
una sola variable de estado incógnita.
MODELADO DE LA
ELASTICIDAD Y LA
COMPRESIBILIDAD
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y
LA COMPRESIBILIDAD
• Bajo los supuestos dados, el producto ερ de las
ecuaciones anteriores es función de la presión,
exclusivamente. Para la aplicación de esas ecuaciones
es necesario hacer más explícita la dependencia del
producto ερ de la presión del fluido. En particular, la
meta del siguiente desarrollo es expresar la derivada
respecto al tiempo ερ en términos de la derivada de la
presión respecto al tiempo.
• Entonces procedemos a descomponer la derivada
respecto al tiempo de ερ en dos contribuciones: una
debida a la compresibilidad del fluido y la otra debida a
la elasticidad de la matriz sólida.
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y
LA COMPRESIBILIDAD
Tal descomposición es inmediata a continuaci ón cuando
la fórmula para la derivada de un producto es aplicada :





t
t
t

Aquí el término
produce una contribución de la
t
compresibilidad del fluido, mientras que el término

produce una contribución de la elasticida d de la
t
matriz sólida en su conjunto (no solo los granos individual es).
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA
COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad del fluido
• Aquí se hará uso de del supuesto de que el
fluido satisface una ecuación de estado, que
permite expresar la densidad como función de
la presión, ρ(p), exclusivamente. Por otro lado,
en el procedo de flujo de un fluido la presión
es función de la posición x, y el tiempo t. No
obstante, el fluido se asume homogéneo, es
decir, satisface la misma ecuación de estado en
cada punto del espacio y del tiempo.
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA
COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad del fluido
La densidad como función de la posición y del tiempo es dada por
    p x, t 
Lo cual implica que :
 d p
p

 
t dp t
t
Esta ecuación define el parámetro  , el cual es conocido como
compresibilidad del fluido , y más explícitam ente es definido por :
1 d
1 dV


 dp
V dp
Donde V representa el volumen específico del fluido,
el cual es definido por
V   1
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA
COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad del fluido
V representa el volumen específico del fluido, definido por
V   1
Lo cual en palabras es :
que el volumen específico es el volumen por unidad de masa.
En las anteriores definicion es se ha usado la siguiente relación
1 d d ln 
d ln  1
d ln V
1 dV




 dp
dp
dp
dp
V dp
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA
COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
• El siguiente análisis es para entender el proceso que
produce y determina la compresibilidad de la matriz
sólida. Sea ptot la presión total (fuerza por unidad de
área) atribuible al sistema sólido fluido (asumiendo
estado de estrés isotrópico). Parte del sistema es
soportado por la matriz sólida y la otra por el fluido.
La notación pef (presión efectiva) es usada para el
soporte provisto por la matriz sólida.
• Entonces
ptot  pef  p
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA
COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
ptot  pef  p
• La magnitud de ptot depende de las condiciones
del ambiente que rodea al sistema medio
poroso - fluido. Por ejemplo, si tal sistema lo
constituye el suelo en el cual un edificio es
localizado, ptot va a cambiar el edificio es
removido. En el análisis que sigue se asume
que las condiciones del ambiente que rodea el
sistema poro-fluido no cambia, y la presión
total no cambia durante el tiempo considerado
en el análisis.
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA
COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
ptot  pef  p
• En problemas considerados en mecánica de
suelos e ingeniería de cimentaciones consiste
en estudiar las modificaciones en la
distribución de la presión del fluido producida
por un cambio en ptot debida a, por ejemplo, a
la construcción de obras civiles como
edificios. Un análisis similar no incluido aquí,
puede ser aplicado a tal problema.
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA
COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
Cuando el supuestode ptot independiente del tiempo es adoptado,
cualquier cambio en la presión del fluido es acompañado por
un cambio en la presión efectiva.
Esta observació n implica que :
pef  p  ptot  0
Aquí el símbolo  es para indicar incremento o cambio :
cuando la presión de poro tiene un incremento ,
la presión efectiva sufre decremento ,
y el poro se expande.
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
La siguiente notación será usada a continuaci ón :
 S  densidad del material sólido
VS  volumen específico del sólido   -1
 tot  densidad de la matriz sólida
-1
Vtot  volumen específico de la matríz sólida   tot
Las compresibilidades de la matriz sólida  tot y
compresibilidad de los gramos sólidos  S son,
respectivamente, dados por :
d S
1 dVtot
1 dVS
 tot  
y S  
 S
Vtot dpef
VS dpef
dpef
Se observa que
 tot  1   S y Vtot 
1
1    S
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA
COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
El análisis se inicia con la siguiente identidad

1    S
VS
  1
 1
S
vtot
Derivando esta relación y multiplicando y dividiendo
el segundo término por VS :
VS 1 dVtot VS 1 dVS
d


dpef Vtot Vtot dpef Vtot Vs dpef
Esta ecuación puede escribirse usando la anterior ecuación
V
d
  S   tot  S   S   tot 1   
dpef
Vtot
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA
COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
De lo anterior
d
d

  tot   S 1   
dp
dpef
Y entonces
d
d p
p

  tot   S 1   
dt
dp t
t
Usualmente  tot   S , y entonces  S se desprecia :
d
p
  tot 1   
dt
t
Esta condición se cumple cuando el cambio en el
volumen de poros es mucho mayor que el cambio en
el volumen del material sólido que forma la matriz sólida.
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA
COMPRESIBILIDAD
Coeficiente de almacenamiento
Con los resultados anteriores , la derivada del producto  queda así
d
p
    1    tot   S 
dt
t
El coeficient e de almacenami ento específico , S S , es definido como
S S  gˆ   1    tot   S 
donde gˆ es la aceleració n gravitacional
La ecuación de balance inicialmen te planteada que ahora como
p
SS
 gˆ   v    gˆq
t
donde la razón de suministro externo de masa, g , ha sido sustituida
por una forma que es usual en hidrología subtrránea
g   ρq
LEY DE DARCY
LEY DE DARCY
• Esta ley es una ecuación constitutiva que relaciona la
velocidad del fluido y la distribución espacial de
presión del fluido. Fue establecida en el siglo
diecinueve por el ingeniero francés Henri Darcy para
flujo saturado unidimensional a través de arena, y desde
entonces ha sido generalizada para considerar
regímenes de flujo más complicados; en particular ,
• en forma generalizada, también es ahora usada para
describir flujo multifásico en medios porosos
anisotrópicos. Aquí consideramos el caso en que el
fluido tiene solo una fase; el flujo multifásico se discute
en temas avanzados.
LEY DE DARCY
• Generalmente, cuando la matriz sólida es anisotrópica, el
medio poroso tiene direcciones preferenciales para el flujo de
fluidos. En este caso general, la Ley de Darcy para un fluido
monofásico es dado por la ecuación
U  v  
1

k  p   gˆ 
donde
gˆ es la aceleració n debida a la gravedad (un vector)
 es la vis cos idad dinámica del fluido
k es el tensor de permeabili dad intrínseca
U es la velocidad de Darcy
LEY DE DARCY
• El tensor de de permeabilidad intrínseca, k es una
matriz simétrica y positiva definida.
• Es notable la similitud entre esta la ley de Darcy y las
Leyes de Fourier(flujo de calor) y de Fick (flujo de
masa de soluto). Sin embargo en la ley de Darcy, la
fuerza de la gravedad juega un un papel especial, algo
que no sucede en las otras dos leyes.
• También debe notarse que en flujos en los que la ley de
Darcy aplica, la presión del fluido es siempre continua.
Esto es necesario porque de otra forma el gradiente de
la presión sería de magnitud infinita, y también lo
serían las velocidades del fluido.
LEY DE DARCY
• Según se estableció la ecuación aplica en el
caso general en que la matriz porosa puede ser
anisotrópica.
• En el caso particular en que la matriz sólida es
isotrópica no hay direcciones preferenciales de
flujo debidas a la matriz porosa, y el tensor de
permeabilidad intrínseca tiene la forma
k  kI
LEY DE DARCY
Si la matriz sólida es isotrópica, el tensor de
permeabili dad intrínseca tiene la forma
k  kI
la permeabili dad intrínseca k es un escalar.
El tensor de permeabili dad intrínseca es
positivo definido si y solo si k > 0.
LEY DE DARCY
Dado un punto cualquiera x del espacio físico,
entonces z(x) es la elevación con respecto
a un nivel de referencia dado.
La aceleració n debida a la gravedad es
gˆ  gˆz
donde es la magnitud de la aceleració n
de la gravedad.
LEY DE DARCY
La ecuación para la ley de Darcy es :
1
U   k  p  gˆz 

usando notación indicial :
k ij  p
z
Ui   
 gˆ
  x j
x j

;


i  1,2,3;
U 1 
 
U  U 2 
U 
 3
y cuando la matriz sólida es isotrópica :
1
U   k  p  gˆz 

Las anteriores ecuaciones para U son comúnmente usadas en
la industria petrolera para expresar la velocidad de Darcy
NIVEL PIEZOMÉTRICO
NIVEL PIEZOMÉTRICO
Cuando se modela el flujo a través de medios porosos,
especialmente en el estudio de la hidrología del agua subterránea, los
conceptos de carga piezométrica o nivel piezométrico es muy útil.
Para su introducción, se puede iniciar con la definición de una función
auxiliar :
1 p d
H  p, z   
z
p
0
gˆ
  
cuando el fluido es incompresible,  ( ) es una constante independiente
de  y entonces la ecuación queda como :
p  p0
H  p, z  
z
gˆ
NIVEL PIEZOMÉTRICO
En cualquier tiempo t y cualquier punto x de un medio poroso
saturado, definimos el nivel piezométrico, h(x, t), como :
h x, t   H  px, t , z  x 
o más explícitam ente
1 p  x ,t  d
h  x, t   
 z x 
p
0
gˆ
  
cuando el fluido es incompresible
p  x, t   p 0
h  x, t  
 z x 
gˆ
NIVEL PIEZOMÉTRICO
El agua es poco compresible bajo condicione s normales. Debido a esto
la última ecuación es ampliament e usada en hidrología subterránea.
Con base en la ecuación anterior podemos escribir
p
h
 gˆ
t
t
NIVEL PIEZOMÉTRICO
Otra propiedad importante del nivel piezométrico, que a su
vez motiva su uso extensivo, es :
p  gˆz  gˆh
esta puede ser escrita como
gˆ
U 
k  h

donde el tensor de conductivi dad hidráulica es definido como
gˆ
K
k

y la ecuación previa se puede escribir como
U   K  h
NIVEL PIEZOMÉTRICO
Cuando la matriz sólida es isotrópica,
gˆ
K
kI  KI

y la conductiv idad hidrá ulica es definida como
gˆ
K
k

y aplicaándo la al caso isotrópico :
U   K  h
Las anteriores ecuaciones para U son comúnmente usadas
en hidrología subterránea para expresar la velocidad de Darcy.
ECUACIÓN GENERAL
GOBERNANTE PARA EL FLUJO A
TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
ECUACIÓN GENERAL GOBERNANTE PARA
EL FLUJO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
En las secciones previas se obtuvieron las siguientes ecuaciones :
p
p
h
SS
 gˆ   v    gˆq,
 gˆ
t
t
t
mismas que en combinació n, producen :
h
SS
  1  U   q
t
que es
h
SS
   U  U  ln    q
t
ECUACIÓN GENERAL GOBERNANTE PARA
EL FLUJO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
Cuando el fluido es poco compresible y la velocidad de Darcy moderada
U  ln    1 y entonces
h
SS
   U  q.
t
Este resultado es usado para derivar modelos de flujo de un fluido monofásico
en un medio poroso.Cuando la ley de Darcy se incorpora en la anterior ecuación
se obtiene
h
SS
   K  h    q.
t
Esta es la ecuación diferencia l básica que es usada extensivam ente en aplicacion es,
particularmente de hidrología subterránea.
ECUACIÓN GENERAL GOBERNANTE PARA
EL FLUJO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
Formas especialesde la ecuación diferencial gobernante
Cuando el medio poroso es isotrópico :
h
SS
   K  h    q.
t
Si la matriz sólida es homogénea, sus propiedades son independientes de la posición :
h
 K 2 h  q.
t
O aplicando la notación  2   :
h
SS
 Kh  q.
t
Que a su vez puede ser escrita como
h
q
 h   .
t
K
donde   K S S .
SS
ECUACIÓN GENERAL GOBERNANTE PARA
EL FLUJO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
La ecuación t iene interés desde la perspectiva del análisis dimensiona l
y de similarida d, si por un cambio de variable, en el que  t  t,
puede ser transformada en la ecuación del calor, cuando q = 0 :
h
 h  0
t
Otro caso de interés especial es cuando el sistema fluido - poro es incompresible.
Entonces S S  0 :
  K  h   q.
y
  K  h   q.
y
h   q K .
Por otro lado, en problemas de estado estacionario, la derivada respecto al tiempo
se anula y las anteriores ecuaciones también se aplican.
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS
Introducción
• La clase de problemas que son bien planteados para
los modelos es determinada por el tipo de ecuación
diferencial gobernante. En el caso de flujo a través de
medios porosos, dos tipos de ecuaciones diferenciales
serán encontradas: parabólicas y elípticas. Para el
caso dado por la ecuación
SS
h
   K  h   q.
t
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS
Introducción
• La anterior es una ecuación diferencial parcial parabólica, siempre
que SS > 0, porque el tensor de conductividad hidráulica, K, es
siempre una matriz positiva definida.
• Sin embargo cuando SS = 0 y para modelos de estado estacionario, la
ecuación diferencial gobernante se reduce a una ecuación diferencial
parcial de tipo elíptico. Estos dos tipos de ecuación también ocurren
cuando se estudia el transporte de solutos por un fluido libre descrito
en el capítulo correspondiente y, consecuentemente, la discusión
siguiente es muy similar a la presentada allí.
• Sin embargo, a pesar de las similitudes entre los modelos
matemáticos gobernando estos dos tipos de sistemas hay diferencias
significativas entre la física que debe ser entendida.
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS
Introducción
• La ecuación gobernante para transporte de un soluto por un fluido libre es
de tipo parabólica; cuando es comparada con la de flujo exhibe diferencia
relevantes que reflejan los dientes principios físicos que intervienen.
• Una muy importante, que tiene implicaciones significantes en su
tratamiento numérico y en las propiedades de las soluciones numéricas
resultantes, es el hecho de que la ecuación de transporte tiene un término de
advección (o convección), cv, que está ausente en la ecuación de flujo.
• Debido a este hecho, el operador diferencial envolviendo las coordenadas
espaciales asociadas con la ecuación de flujo es un operador simétrico,
mientras que es no-simétrico para la ecuación de transporte.
• El coeficiente de la derivada de segundo orden es el escalar D, en la
ecuación de transporte, mientras que es una matriz K en la ecuación de
flujo.
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS
Modelos de estado estacionario
• Para empezar, se considerarán los problemas bien planteados
para modelos para estado estacionario, para los cuales las
ecuaciones diferenciales gobernantes son de tipo elíptico. En
este caso los problemas bien planteados son problemas de
valores a la frontera que buscan obtener una función h(x) que
satisfaga las ecuaciones gobernantes para flujo estacionario en
un dominio Ω en el espacio físico y que satisface condiciones
de frontera en su frontera ∂Ω.
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS
Modelos de estado estacionario
Para la ecuación
   K  h    q
La más general clase de condición de frontera es
una conocida como condición de frontera Robin;
con la siguiente forma :
 U x   n   x hx    x ,  x  
2   2 1
U  x   n es el flujo volumétrico por unidad de área,
que fluye fuera del dominio  a través de la frontera 
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS
Modelos de estado estacionario
Si la ley de Darcy se sustituye :
 n  Kh x     x h x     x ,
 x  
Cuando el medio poroso es isotrópico
h
K
   x h x     x ,
 x  
n
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS
Modelos de estado estacionario
Problemas con carga piezométrica prescrita
Hay dos casos extremos de la condición de frontera generalizada
de Robin.
Una corresponde al problema Dirichlet ( = 0) y su ecuación es
h x   h  x ,  x  
Problemas con flujo volumétrico prescrito
El otro caso extremo de la condición de frontera generalizada
de Robin, corresponde al problema Neumann generalizado (  = 0)
y su ecuación es
U  x   n    x ,  x  
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS
Problemas dependientes del tiempo
• La ecuación diferencial gobernante para problemas
dependientes del tiempo cuando SS>0 es parabólica. Entonces
los problemas bien planteados problemas con valores iniciales
y de frontera, que buscan una función h(x,t) que satisfaga la
ecuación de transporte en el dominio Ω, junto con condiciones
de frontera definidas en un intervalo de tiempo especificado.
•
Estas condiciones de frontera pueden ser cualquiera de las
definidas para estado estacionario. Además la función h(x,t)
debe satisfacer adicionalmente las condiciones iniciales
hx,0  h0 x ,  x  
MODELOS CON UN NÚMERO DE
DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
MODELOS CON UN NÚMERO DE
DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Introducción
• En toda la discusión hasta aquí, el espacio físico ha sido
modelado como un espacio euclidiano tridimensional (3-D).
En algunos problemas de ingeniería y ciencia es útil aplicar
modelos bidimensionales y unidimensionales, esto se justifica
por razones que dependen del problema considerado.
• Por ejemplo en hidrología subterránea las dimensiones
horizontales de los acuíferos son frecuentemente mucho
mayores que su espesor y, cuando se estudian, las variaciones
de parámetros como carga piezométrica en la dirección vertical
son tan pequeñas que pueden ser despreciadas.
MODELOS CON UN NÚMERO DE
DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Introducción
• Para el uso de los modelos simplificados en forma
confiable se necesita información sobre su rango de
aplicabilidad, que se adquieren por medios teóricos o
empíricos. Frecuentemente el análisis teórico de los
errores introducidos por modelos con un número de
dimensiones reducido es tan complicado que no es
práctico llevarlo a cabo, y entonces los únicos medios
para establecer los rangos de aplicabilidad son
empíricos.
MODELOS CON UN NÚMERO DE
DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Introducción
• Hay unos pocos modelos de dimensión
reducida que son basados en completos y poco
complicados fundamentos teóricos. A
continuación se describe un ejemplo cuyo
análisis es también útil para introducir e
ilustrar en forma natural algunas ideas y
conceptos que son básicos para esa clase de
modelos.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional
para un acuífero confinado
• Considérese el acuífero
confinado de la figura, los
siguientes supuestos son
adoptados:
1. Su espesor es uniforme;
2. El acuífero es verticalmente
homogéneo (las propiedades del
material que constituyen la
matriz sólida no dependen de su
coordenada vertical;
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional
para un acuífero confinado
3. La dirección vertical es un eje de
simetría para el tensor de
conductividad hidráulica (es decir,
cualquier vector en la dirección
vertical es un vector propio de la
matriz de conductividad hidráulica); y
4. El estrato que constituye el acuífero es
limitado por dos estratos de baja
permeabilidad y sobreyaciendo y
subyaciendo (es decir, el acuífero es un
acuífero confinado)
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional
para un acuífero confinado
Tomando un sistema de coordenadas Cartesiano en el cual
cada punto del espacio es dado por x   x1 , x2 , x3  definimos
z  x3
Asumimos que el acuífero ocupa esa porción del espacio
para el que 0  z  b.
Entonces si U  x   n  0, entonces U 3 0   U 3 b   0
Ahora la ecuación de flujo se escribe así
h 2 U  U 3
SS


 q
t  1 xa
z
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional
para un acuífero confinado
Integrando la ecuación desde z  0 hasta z  b,
y con las expresiones para U
2
b U
b
 b

S S  h dz   
dz    q dz
0 x
0
t 0
 1
a
El coeficiente de almacenamiento y el
volumen total extraido por unida de área
son dados por
b
b
0
0
S   S S dz  b y Q   qdz
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional
para un acuífero confinado
Usando las definiciones
2
U
h
S
 b   Q
t
 1 xa
La carga piezométrica promedio y la velocidad promedio
son dadas por :
1 b
1 b
h   hdz; y
U    U  dz
o
b
b o
La ley de Darcy, asumiendo la simetría del tensor de
conductividad hidráulica es :
U   K H
h
x
donde K H es la conductividad horizontal.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional
para un acuífero confinado
Con base en lo anterior la ecuación de flujo se transforma en
 h 
 T
  Q
 xa 
donde la transmisibilidad , T , es
T  bK H
h 2 
S

t  1 xa
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional
para un acuífero confinado
• La ecuación de flujo obtenida es una ecuación
exacta para la carga promedio y de allí que
cuando es sujeta a condiciones inicial y de
frontera apropiadas, hace posible en principio,
obtener los valores exactos de la carga promedio.
Cuando las variaciones de carga a través del
espesor del acuífero son pequeñas, su promedio
vertical constituye una buena aproximación de su
valor en cualquier punto a través del acuífero.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• En 1960 M. S. Hantush planteó la posibilidad de que el
material sobre la frontera superior de un acuífero pueda ser
permeable, y de permeabilidad baja (de un acuitardo). Bajo
estas circunstancias el agua puede entrar al acuífero a través
de filtración vertical.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• En la figura se ilustra el sistema cuyo análisis se toma de
Pinder y Celia, 2006. En el sistema el acuífero es limitado por
arriba por una capa de baja permeabilidad (capa A). Esta capa
es capaz de proveer agua al acuífero vía filtración vertical. La
base del acuífero limitada también por una capa de baja
permeabilidad (capa B).
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• Bajo este acuitardo hay una capa casi impermeable. Se asume
que el agua en as capas de baja permeabilidad se mueve solo
verticalmente. Sobre la capa A hay un acuífero sin bombeo que
mantiene una carga constante durante la prueba de bombeo. Se
asume que el acuífero es de espesor constante, de extensión
infinita y homogéneo.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
La ecuación de flujo que describe el sistema es una variante la obtenida :
2
1 
S 
K  hA K  hB
hr , t  
hr , t  
hr , t  

0
2
r
r r
T t
T z
T z
donde K  y K  son las conductividades hidráulicas de las capas A y B,
respectivamente.
La forma unidimensional de la ecuación de flujo subterráneo se usa para
describir la distribución transitoria de carga en el acuitardo :
S 
 

hA  z , t    hA  z , t   0
K b t
z  z

S  
 

hB  z , t    hB  z , t   0
K b t
z  z

donde S  y S  son los coeficientes de almacenamiento de las capas A y B,
respectivamente.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• La solución de este conjunto de ecuaciones
requiere condiciones iniciales y de frontera
paracada una de las variables de estado h, hA y
hB. Se define al abatimiento s=H-h y sn=Hn-hn,
donde n=A, B; y H, y Hn son los valores de
carga inicial del sistema. Las condiciones de
frontera y las condiciones iniciales se pueden
establecer a continuación:
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
Para el acuitardo superior la condicion inicial es
s A r , z ,0  0
Sobre el acitardo superior la condición de frontera es
s A r , z 4 , t   0
y en la base es
s A r , z 3 , t   sr , t 
donde z1 , z 2 , z 3 , z 4 , se definen en la figura.
Para el acuífero la condición inicial es
sr,0  0
y la condición de frontera en r   es
lim sr , t   0
r 
La condición de frontera en el infinitamente pequeña perforación del pozo es
Q
 s 
lim r   
r 
2T
 r 
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• El significado físico de esta relación se ve por la
multiplicación cruzada de r y T. ahora se puede ver que el flujo
al pozo es balanceado por el flujo a través del perímetro del
pozo, con una circunferencia de 2πr.
Para el acuitardo inferior, la condición inicial es
s B r , z , 0   0.
En el tope del acuitardo inferior la condición de frontera ( z  z 2 ) es
s B r , z 2 , t   sr , t 
y en la base z  z1  es
s B r , z1 , t 
0
z
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• Una solución para tiempos cortos a este sistemas de ecuaciones fue
sugerido por Hantush y es discutido por Batu, 1998.
Las condiciones necesarias para la aplicación de la solución para tiemposcortos son
bS 
bS 
 10r
y
 10r
K
K 
La forma de la solución es
Q
S r,t  
H u ,  
4T
donde
 u 2 
e
H u ,    
erfc
dy
1 
u
y
 y  y  u  2 
1
1


2
r S
r  K S   2  K S   2 
u
;
 
 

4Tt
4  bTS   bTS  


y
1


MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
• La aplicabilidad de de las soluciones de Hantush es
restringida a periodos cortos de tiempo. Esta clase de
solución analítica es útil en hidrología subterránea
cuando el análisis de un solo pozo se lleva a cabo, tal
como en interpretación de pruebas de bombeo, en las
cuales la restricción de tiempos cortos es
frecuentemente satisfecha. Neuman y Witherspoon
(1969) desarrollaron una solución que no está sujeta a
tales restricciones. Por otro lado, los cálculos de filtraje
transitorio son necesarios en el análisis de sistemas
acuíferos regionales en el cual el flujo del agua
subterránea en unidades confinantes es una componente
significativa del total del balance de agua.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
• En tales casos hay que apoyarse con códigos
computacionales basados en modelos numéricos
(Leake, S. A., P. Leahy, A. S. Navoy, 1994). Un
minucioso y profundo estudio basado en ecuaciones
integrodiferenciales, que ha sido una base para la
construcción de modelos numéricos regionalesde
sistemas acuíferos semiconfinados fue introducido y
desarrollado por Herrera y colaboradores:
Herrera, I. y V. Figueroa,1969; Herrera, I, 1970;
Herrera, I and L. Rodarte , 1973; Herrera, I, 1974;
Herrera, I and R. Yates,1977;
Herrera, I, J.P. Hennart and R. Yates, 1980.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
• Aquí se explicará la aproximación por ecuaciones
integrodiferenciales para el sistema de dos acuíferos
separados por un acuitardo mostrado en la figura. Por
simplicidad se discutirán solo las ecuaciones que
gobiernan el acuífero 1, y similares ecuaciones aplican
al acuífero 2.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
La ecuación de flujo implica que en términos del abatimiento, s,
para el primer acuífero la ecuación de flujo implica que
1 s  2 s  2 s
 2  2  QL
 t x y
con
K   s 
QL    
T  z  z 0
s x, y, z , t  satisface las condiciones
 2 s 1 s

, 0  t , 0  z  b
2
z
  t
donde s x, y, z ,0   0,
s x, y,0, t   s x, y, t , s x, y, b, t   s2  x, y, t 
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
En lo siguiente las primas son usadas para distinguir propiedades del acuitardo,
y el subíndice 2 se refiere al acuífero 2.
Cuando s x, y, t  y s2  x, y, t  son dados, el problema definido está bien planteado;
su solución puede ser expresada por medio de las integrales de Duhamel
(ver Herrera y Rodarte, 1973) :
t s
t s

s  x, y , z , t   
x, y, t   u  z , t d   2  x, y, t   v z , t d
0 t
0 t
donde u  z , t  y v z , t  son funciones auxiliares que cumple con la ecuación
anterior y sujetas a
u 0, t   1,
u b, t   0,
u  z ,0   0,
v0, t   0
,
v0, t   1 
v z ,0   0,
t 0
0  z  b
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
La solución de estos problemas de valores iniciales y de frontera
es dada en Herrera y Rodarte (1973),
Aplicando la definición dada para QL y evaluando s z z 0
mediante la anterior ecuación véase Herrera, I., 1973
K  t s
K  t s2
2
2








QL  x, y, t   
x
,
y
,
t


f

t
b
d


x
,
y
,
t


h

t
b
d


0
0
Tb t
Tb t
donde
u
v
f  t b2  b 0, 
y
g  t b2  b 0, 
z
z








MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
La ecuación de flujo gobernante queda así
1 s  2 s  2 s
 2 2
 t x y
K  t s
K  t s2
2
2









x
,
y
,
t


f

t
b
d


x
,
y
,
t


h

t
b
d


0
0


Tb t
Tb
t
En general, esta última ecuación es acoplada con una ecuación similar para el acuífero 2.




Sin embargo cuando la carga piezométrica del acuífero 2 permanece imperturbado
a través del tiempo ( s 2  0) la ecuación de flujo se reduce a
1 s  2 s  2 s K  t s
2




 2 2
x
,
y
,
t


f

t
b
d

0
 t x y Tb t
Y puede ser resuelta separadamente cuando es complementada
por condiciones inicial y de frontera apropiadas.


MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
Para un sistema acuífero homogéneo la función f tiene dos expresiones
equivalentes :



f  t b  1  2 e  n 
2
2
 t b 2
2
n 1


f  t b 
2
1
 t b 
2
1
2

2 2


1  2 e  n b t  t 
n 1


Cuando el tiempo t es sificientemente corto :
1
2


f t b 
1
2 2
 t b




La solución de Hantush para tiempos cortos es la solución exacta
de la ecuación integrodiferencial con ésta aproximación de f .
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
Otra manera de expresar f que es relevante es



f  t b  1  g  t b
2
2




donde g  t b  2 e
2
 n 2 2 t b2
n 1
Con base en este resultado la ecuación de flujo toma la forma siguiente
t s
1 s  2 s  2 s K  

2




 2 2
s

x
,
y
,
t


g

t
b
d



 t x y Tb  0 t

La solución exacta de esta ecuación es la solución dada por
Hantush tiempos largos (Hantush, M. S., 1960).


MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
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Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
En lo que sigue se asume que la condicion inicial
para el abatimiento del acuífero 1 es
s x, y, 0   0. La función h es dada por



n
h  t b  1  2  1 e  n 
2
n 1
2
 t b 2
2
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
Para el uso numérico eficiente de las ecuaciones integrodiferenciales
algunos procedimentos espaciales de integración han sido desarrollados
(Herreray Yates, 1977; Leake, S. A., et al, 1994).
En la solución provista por Hantush para tiempos largos g es dado por


g   b2    3b2  
    delta de Dirac
Esta aproximación significa que el almacenamiento completo del acuitardo es liberado
instantáneamente cuando el abatimiento ocurre. Esto es porque :
  b

2
 g  
0

b 2 d  1 3.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
• Cuando se están desarrollando modelos aproximados, se deben distinguir
dos etapas:
1. La formulación del modelo; y
2. La evaluación del error.
• Por definición, un modelo aproximado debe predecir el comportamiento del
sistema excepto para pequeños errores, dentro de un rango apropiado de
aplicaciones. En muchos procedimientos para derivar modelos
aproximados las dos etapas están cercanamente relacionadas, de modo que
es difícil separarlas. Sin embargo hay casos en los que la formulación es
bastante independiente de la evaluación del error. Este es el caso cuando el
modelo aproximado propuesto es sugerido no tanto por el análisis
matemático como por la experiencia práctica.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
•
Un procedimiento que produce una más amplia clase de modelos de acuíferos que
los presentados para acuíferos semiconfinados, es basado en la aplicación del
método axiomático, en el espacio bidimensional, para derivar modelos de sistemas
continuos. Usándolo es posible obtener modelos bidimensionales que pueden ser
aplicados no solo a acuíferos semiconfinados, sino también a los no- confinados.
Ellos se basan en los siguientes supuestos.
1. El acuífero es verticalmente homogéneo;
2. La dirección vertical es un eje de simetría para el tensor de conductividad
hidráulica;
3. El acuífero es confinado en su base por una capa impermeable, y puede ser
confinado o no-confinado en su superficie superior;
4. Cada sección vertical del acuífero está en equilibrio hidrostático, es decir, la carga
piezométrica, h, es independiente de la elevación z; y
5. El fluido es incompresible.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
Bajo los supuestos dados, la carga piezométrica solo es función de las dos coordenadas
x1 y x2 y se puede escribir x  ( x1, x 2) durante la derivación del modelo.
Además la velocidad de Darcy es horizontal, independiente de z , y es dada por :
 v  U  x , t    K H h  x , t 
Las velocidades de las partículas de fluido son también horizontales e independientes de z.
Para aplicar el método axiomático en dos dimensiones se considerarán cuerpos
bidimensionales.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
Para aplicar el método axiomático en dos dimensiones se considerarán cuerpos bidimensionales.
Cualquier cuerpo así ocupa en cualquier tiempo un dominio B t  del plano bidimensional que
se mueve con la velocidad de partícula de fluido v. Con cada cuerpo bidimensional B t 
un cuerpo tridimensional Bt  es asociado (ver figura). Este cuerpo tridimensional es un cilindro
cuya base es B t  y su altura es b x, t . Aquí b x, t  es una función que especifica la altura del cilindro
en x  B t  y en el tienpo t. El cilindro Bt  es caracterizado por la condición de cada unode sus
puntos  x,z   Bt  es tal que x  B t  junto con 0  z  b x, t .
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
La masa de fluido contenido en ese cilindro es dada por
b

M f       x, t dz dx    b x, t   x, t dx
 0

B t 
B t 
donde se ha hecho uso el supuesto de la homogeneidad vertical del acuífero yde que  ,
la densidad del fluido, es constante ya que el fluido es incompresible y no es función
ni de la temperatura ni de la concentración de las especies.
Con cada cuerpo bidimensional B t  se asocia la masa dada por la definición dada
como una integral de áres sobre B t , y el modelo bidimensional deseado se derivará
por el método axiomático asumiendo masa como la única propiedad extensiva.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
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Otros modelos bidimensionales para acuíferos
La propiedad intensiva asociada es el correspondiente integrando de la definición,
es decir :
 x,t   bx, t  x, z , t 
La ecuación de balance de masa global es
dM f
dt
donde
t     bx, t qx, t dx    Qx, t dx
B t 
B t 
Q x, t   b x, t q x, t 
es el volumen de extracción total por unidad de áreapor unidad de tiempo.
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Otros modelos bidimensionales para acuíferos
La ecuación diferencial del balance de masa local es
bε
ε
b
   b v   b  ε    bU   Q
t
t
t
La ecuación se convierte en
b
h 2 
ε  SS

t
t  1 x

h 
 bK H
  Q
x 

o
b
h
ε  SS
   bK H h   Q
t
t
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ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
De este resultado se hacen dos aplicaciones.
La primera es a acuiferos confinados; donde b, el espesor del acuífero,
b
es independiente del tiempo. Entonces
y la ecuación se reduce a
t
h
S
   Th   Q
t
Donde se ha recuperado la ecuación de flujo usando una diferente aproximación.
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Otros modelos bidimensionales para acuíferos
La otra aproximación es cuando el acuiferoes libre; donde b  h, la ecuación es.
S    h    K H hh   Q
t
Esta es una ecuación no - lineal bien conocida en la literatura;
y en suforma no - lineal tiene un rango restringido de aplicabilidad.
Cuando la carga piezométrica es cercana a un valor fijo b x , independiente del tiempo,
puede ser linealizado se convierte en :
S    h    Th   Q
t
Esta ecuación es frecuentemente aplicada en estudios regionales
para el tratamiento de acuíferos de superficie libre