2. Problemas de valor inicial en R^n. Existencia y unicidad local

2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN Rn . EXISTENCIA, UNICIDAD,
DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN
INICIAL.
Teoremas de punto fijo
Definición 1. Sea X un espacio vectorial real. Se dice que una aplicación k · k : X → [0, ∞)
es una norma en el espacio vectorial X si satisface las siguientes propiedades:
1. kxk > 0 si x 6= 0
2. kx + yk ≤ kxk + kyk (propiedad triangular)
3. kλxk = |λ|kxk
para todo x, y ∈ X, λ ∈ R.
Toda norma en un espacio vectorial define una distancia entre puntos de dicho espacio:
d(x, y) = kx − yk
que tiene las propiedades
1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
2. d(x, y) = d(y, x) (simetría)
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (propiedad triangular).
Cuando el espacio métrico (X, d) así obtenido es completo (es decir, toda sucesión de Cauchy
en X es convergente), se dice que el espacio normado (X, k · k) es un espacio de Banach.
Proposición 2. Sea I = [a, b] un intervalo de R, y consideremos el espacio vectorial de las
funciones continuas de I en Rn , que denotaremos C(I, Rn ), con la norma
kxk∞ = sup{kx(t)k : t ∈ I}.
El espacio (C(I, Rn ), k · k∞ ) es un espacio de Banach.
Definición 3. Se dice que una aplicación F de un espacio métrico X en sí mismo es contractiva
si es λ-Lipschitz para algún λ ∈ [0, 1), es decir si
d(F (x), F (y)) ≤ λd(x, y)
para todo x, y ∈ X, siendo λ ∈ [0, 1).
Teorema 4 (de la aplicación contractiva). Sea (X, d) un espacio métrico completo, y sea
F : X → X una aplicación contractiva (con constante de Lipschitz λ ∈ [0, 1)). Entonces existe
un único punto fijo x∞ ∈ X (es decir un único punto x∞ tal que F (x∞ ) = x∞ ), que además
satisface
λn
d(F (x), x)
d(F n (x), x∞ ) ≤
1−λ
para todo x ∈ X.
Demostración: Elíjase cualquier x0 ∈ X, y defínase xn = F n (x0 ). Usando la contractividad de F y la desigualλn
dad triangular, se comprueba que d(xm , xn ) ≤ 1−λ
d(x1 , x0 ) para todos m > n y por tanto (xn ) es de Cauchy,
luego converge a un punto x∞ , que puede verse que es el único punto fijo de F .
1
2
CAPÍTULO 2.
Integración de funciones con valores en Rn .
Si g : [a, b] → Rn , g = (g1 , ..., gn ) es una función continua, definiremos su integral como el
vector formado por las integrales de sus funciones coordenadas, es decir
Z b
Z b Z b
g(t)dt :=
g1 , ...,
gn .
a
a
a
n
Usando el hecho de que kxk = sup{T (x) : T ∈ L(R , R), kT k = 1} para todo x ∈ Rn (ver la
hoja de ejercicios de este capítulo), se comprueba sin dificultad que
Z b
Z b
kg(t)kdt,
g(t)dtk ≤
k
a
a
cualquiera que sea la norma k · k considerada en Rn (recuérdese también que la norma de un
funcional lineal T ∈ L(Rn , R) se define por kT k = sup{T (x) : kxk ≤ 1}).
También se comprueba fácilmente, usando el teorema fundamental del cálculo coordenada a
coordenada, que si g : [a, b] → Rn es de clase C 1 entonces
Z t
g(t) = g(t0 ) +
g 0 (s)ds.
t0
Existencia y unicidad del problema de valor inicial en Rn .
Sea f ∈ C(I × U, Rn ) (donde U es un abierto de Rn ) Se comprueba, usando el teorema
fundamental del cálculo, que el problema de valor inicial
(
x0 (t) = f (t, x(t))
(1)
x(t0 ) = x0
es equivalente a la ecuación integral
Z
t
x(t) = x0 +
f (s, x(s))ds,
(2)
t0
y en particular (1) tiene solución única si y sólo si (2) tiene solución única.
Teorema 5 (Picard–Lindelöf). . Sea f ∈ C(I × U, Rn ), donde U es abierto en Rn , y x0 ∈ U ,
t0 ∈ I. Supongamos que f es localmente Lipschitz en la variable x, uniformemente respecto de
t. Entonces existe un entorno de t0 en el cual (1) tiene solución única.
Demostración: Puede suponerse t0 = 0. Aplicar el teorema de la aplicación contractiva al operador F : C → C
definido por
Z t
F (x)(t) = x0 +
f (s, x(s))ds,
0
donde C = B(x0 , δ) es una bola cerrada en X = (C([0, T ], Rn ), k · k∞ ), con δ > 0 y T > 0 elegidos de forma
adecuada.
Dependencia de la condición inicial. Desigualdades de Gronwall.
Lema 6 (Desigualdad de Gronwall generalizada). Supongamos que ψ(t) satisface
Z t
ψ(t) ≤ α(t) +
β(s)ψ(s)ds, t ∈ [0, T ],
0
con β(t) ≥ 0. Entonces se tiene
Z
ψ(t) ≤ α(t) +
t
Z
α(s)β(s) exp
0
t
β(r)dr ds,
s
t ∈ [0, T ].
CAPíTULO 2.
Si además α es creciente entonces se tiene
Z t
β(s)ds ,
ψ(t) ≤ α(t) exp
3
t ∈ [0, T ].
0
Corolario 7. Si ψ satisface
Z
ψ(t) ≤ a +
t
(b ψ(s) + c)ds,
t ∈ [0, T ],
0
donde b ≥ 0, entonces
c
ψ(t) ≤ aebt + (ebt − 1).
b
Teorema 8 (Dependencia continua respecto de f ). Sean f, g ∈ C(I × U, Rn ), y supongamos
que f es Lipschitziana. Si x(t) e y(t) son las respectivas soluciones de los p.v.i.
(
(
x0 (t) = f (t, x(t))
y 0 (t) = g(t, y(t))
e
x(t0 ) = x0
y(t0 ) = y0 ,
entonces se tiene que
M L|t−t0 |
e
−1 ,
L
donde L = Lip(f ), y M = sup(t,x)∈I×U kf (t, x) − g(t, x)k.
kx(t) − y(t)k ≤ kx0 − y0 keL|t−t0 | +
Demostración: Puede suponerse t0 = 0. Se tiene
Z
kx(t) − y(t)k ≤ kx0 − y0 k +
t
kf (s, x(s)) − g(s, y(s))kds.
0
Aplicar la desigualdad triangular para acotar el integrando por Lkx(s)−y(s)k+M y aplicar el corolario anterior.
Definición 9. Supongamos que f ∈ C(I × U, Rn ) es localmente Lipschitz en la variable x,
uniformemente respecto de t. Para cada x0 ∈ U , denotaremos por φ(t, x0 ) la única solución
local del problema de valor inicial
(
x0 (t) = f (t, x(t))
x(t0 ) = x0
A la aplicación
(t, x0 ) 7→ φ(t, x0 )
se le llama flujo asociado a la ecuación diferencial x0 (t) = f (t, x(t)).
Corolario 10 (Dependencia continua de la condición inicial). Si f ∈ C(I ×U, Rn ) es localmente
Lipschitz en la variable x, uniformemente respecto de t, entonces
kφ(t, x0 ) − φ(t, y0 )k ≤ kx0 − y0 keL|t−t0 | .
En particular las soluciones de x0 (t) = f (t, x(t)) dependen continuamente del dato inicial x(0) =
x0 .
De hecho vamos a probar que el flujo φ(t, x) es localmente Lipschitz.
Teorema 11. Supongamos que f ∈ C(I × U, Rn ) es localmente Lipschitz en la variable x,
uniformemente respecto de t. Entonces, alrededor de cada (t0 , x0 ) ∈ I × U puede encontrarse
un compacto de la forma J × B = [t0 − δ, t0 + δ] × B(x0 , δ) tal que el flujo φ(t, x) está bien
definido y es Lipschitz en este conjunto. De hecho
kφ(t, x) − φ(s, y)k ≤ kx − ykeL|t−t0 | + |s − t|M para todo (t, x), (s, y) ∈ J × B
donde
L=
kf (t, x) − f (t, y)k
, y M = máx kf (t, x)k.
(t,x)∈J×B
kx − yk
(t,x)6=(t,y)∈J×B
sup
4
CAPÍTULO 2.
Indicación: estudiar la demostración del teorema de Picard-Lindelöf para encontrar un δ adecuado, y observar
que
Z t
kφ(t, x) − φ(s, y)k ≤ kφ(t, x) − φ(t, y)k + kφ(t, y) − φ(s, y)k ≤ kx − ykeL|t−t0 | + k
f (r, φ(r, y))drk.
s
De hecho, asumiendo que f ∈ C 1 (I × U, Rn ), probaremos a continuación que el flujo (t, x) →
φ(t, x) (bien definido localmente en un entorno de cada (t0 , x0 )) es una aplicación de clase C 1 .
Teorema 12 (de diferenciabilidad del flujo, local.). Supongamos que f ∈ C k (I × U, Rn ), con
k ≥ 1. Entonces, alrededor de cada (t0 , x0 ) ∈ I × U puede encontrarse un abierto de la forma
(t0 − δ, t0 + δ) × B(x0 , δ) tal que el flujo φ(t, x) está bien definido y es de clase C k en este
conjunto.
Demostración: completar los siguientes pasos.
1. Suponer primero que φ(t, x) es diferenciable respecto de x y comprobar que en tal caso su derivada (∂φ/∂x) (t, x)
necesariamente satisface la primera ecuación variacional
0
y (t) = A(t, x)y(t), donde A(t, x) = ∂f
∂x (t, φ(t, x)),
(EV 1)
y(0) = I,
que es una ecuación lineal (con coeficientes variables) equivalente a la ecuación integral
Z t
y(t) = I +
A(s, x)y(s)ds,
t0
2
donde I es la identidad en el espacio de matrices n × n (naturalmente isomorfo a Rn ).
2. Comprobar que la anterior ecuación integral tiene solución única y(t) para (t, x) en un entorno J × B de
(t0 , x0 ) en el que el flujo φ(t, x) está bien definido y es continuo. Nuestro objetivo es probar que φ(t, x) es
diferenciable respecto de x, y que la derivada de φ respecto de x en (t, x) es precisamente la solución y(t) de
(EV 1).
3. Añadiendo t a las variables dependientes y la ecuación t0 = 1 a nuestro sistema, se obtiene una ecuación
equivalente en Rn+1 que es autónoma. Por tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que nuestra
ecuación es autónoma (es decir x0 (t) = f (x(t))) y que t0 = 0.
4. Queremos probar que φ(t, x) es diferenciable en un punto x1 ∈ B. Por facilitar la notación supondremos que
x1 = 0, y definiremos
φ(t, x) − φ(t, 0) − ψ(t)x
θ(t, x) =
,
kxk
en donde ψ(t) denotará la única solución a la ecuación (EV 1) con condición inicial y(0) = I. El objetivo entonces
es probar que lı́mx→0 θ(t, x) = 0.
5. Comprobar que puede escribirse
∂f
(x)(y − x) + R(y, x) (y − x),
f (y) − f (x) =
∂x
con lı́my→x kR(y, x)k = 0 uniformemente para x en un entorno de 0.
6. Comprobar que
θ0 (t, x) =
1
φ(t, x) − φ(t, 0)
(f (φ(t, x)) − f (φ(t, 0)) − A(t, 0)ψ(t)x) = A(t, 0)θ(t, x) +
R(φ(t, x), φ(t, 0)).
kxk
kxk
Integrar para obtener
Z
t
kθ(t, x)k ≤ R̃(x) +
kA(s, 0)k kθ(s, x)kds,
0
RT
con R̃(x) = eLT 0 kR(φ(s, x)), φ(s, 0)kds, J = [−T, T ].
7. Aplicar la desigualdad de Gronwall para deducir que
Z
kθ(t, x)k ≤ R̃(x) exp
!
T
kA(s, 0)kds
0
y concluir que lı́mx→0 θ(t, x) = 0. Esto muestra que ∂φ(t, x)/∂x existe y es igual a ψ(t).
8. Usando dependencia continua de la ecuación (teorema 8) para la ecuación variacional (EV 1), comprobar que
las derivadas parciales
∂φ
∂φ
(t, x), y
(t, x)
∂x
∂t
son continuas, y por tanto φ(t, x) es de clase C 1 en J × B.
CAPíTULO 2.
5
9. Usar inducción para tratar el caso k ≥ 2.
Observación 13. Usando el método de las aproximaciones sucesivas puede darse una demostración más simple del teorema anterior en el caso k = ∞.
En efecto, consideremos el sistema
(
x0 (t) = f (t, x(t))
y 0 (t) = ∂f
∂x (t, x(t))y(t)
(es decir, el sistema formado por la ecuación y la primera ecuación variacional), con las condiciones iniciales
x(0) = x, y(0) = I. Si f ∈ C 2 entonces, por el teorema de Picard-Lindelöf, este sistema tiene solución única
(x(t), y(t)), a la cual convergen las aproximaciones sucesivas definidas por (φn (t, x), ψn (t, x)), donde
Rt
φn+1 (t, x) = x + 0 f (s, φn (s, x))ds
Rt
ψn+1 (t, x) = I + 0 ∂f
∂x (s, φn (s, x)))ψn (s, x)ds,
con φ0 (t, x) = x, ψ0 = I. Observar que ∂φ0 /∂x = ψ0 , y comprobar por inducción que ∂φn /∂x = ψn . Concluir
que φ(t, x) = lı́mn→∞ φn (t, x) es diferenciable respecto de x, con ∂φ/∂x = ψ(t, x) := lı́mn→∞ ψn (t, x).
Corolario 14 (Dependencia diferenciable de parámetros). Supongamos que f depende de un
parámetro λ ∈ Λ ⊂ Rp , y consideremos el p.v.i.
(
x0 (t) = f (t, x(t), λ0 )
x(t0 ) = x0 ,
cuya solución denotaremos por φ(t, x0 , λ0 ). Supongamos que f ∈ C k (I × U × Λ, Rn ). Entonces
alrededor de cada (t0 , x0 , λ0 ) existe un entorno tal que φ(t, x, λ) está bien definida y es de clase
C k en ese entorno.
Demostración: considerar el sistema
(
x0 (t) = f (t, x(t))
λ0 (t) = 0.