Método de la Transformación Inversa

Estadı́stica - Ing. Telecomunicaciones
Universidad Carlos III de Madrid
Método de la Transformación Inversa
Estadı́stica
Definición:
Universidad Carlos III de Madrid
El método de la inversa de la función de distribución,
afirma que:
Ingenierı́a de Telecomunicaciones
APÉNDICE:
( ),
“si una variable aleatoria
tiene una función de distribución
( )
que admite inversa, entonces se verifica que la variable transformada
=
( ) sigue siempre una distribución uniforme continua .”
“Método de la Transformación Inversa”
OBJETIVOS:
• Generar variables aleatorias a partir de su distribución de proba-
Este resultado se aplica en la vida real considerando la igualdad
=
( ) y despejando en función de , que vendrá dado por
bilidad
=
1
( )
• Algunos ejemplos
con lo que si se genera
la distribución de .
(0 1) se tiene que
=
1
( ) sigue
APÉNDICE - Variables Aleatorias: “Método de la Inversa” # 1
Estadı́stica - Ing. Telecomunicaciones
Demostración:
Sea
Universidad Carlos III de Madrid
Universidad Carlos III de Madrid
El método de la inversa nos permite generar v.a.’s siempre
= ( ) tal que
( )=
Estadı́stica - Ing. Telecomunicaciones
(
=
1
)=
(
que podamos determinar analı́ticamente
( ):
1
( )) =
(
( ), o
Seleccionando ( ) de forma que ( ) =
(0 1) con Función de distribución dada por:
1
=
Idea:
( ), con
( ) .
( ))
1
FX (x)
1
0.8
( )=
y
(
1
( )) =
(
1
( )) =
u
0.6
(0 1)
( )=
0.4
1
0
0
1
resto
0.2
0
APÉNDICE - Variables Aleatorias: “Método de la Inversa” # 2
x
APÉNDICE - Variables Aleatorias: “Método de la Inversa” # 3
Estadı́stica - Ing. Telecomunicaciones
Universidad Carlos III de Madrid
Estadı́stica - Ing. Telecomunicaciones
Universidad Carlos III de Madrid
Algunos ejemplos
Por tanto, podemos generar variables exponenciales generando
y después calculando
Ej1: Generación de v.a’s exponenciales:
=
Recordemos que la función de distribución de una v.a. Exponencial
( ) viene dada por
0
( )=
0
log(1
)
Veremos cómo en la práctica 2 de MATLAB.
0
1
1
y
0
Por el método de la inversa tenemos que considerando la igualdad
=
( ), tenemos que para 0
, se verifica que:
=
1
1
1
=
log(1
)=
APÉNDICE - Variables Aleatorias: “Método de la Inversa” # 4
Estadı́stica - Ing. Telecomunicaciones
Universidad Carlos III de Madrid
Ej2: Generación de v.a.’s Weibull
Estadı́stica - Ing. Telecomunicaciones
Universidad Carlos III de Madrid
Nuevamente, mediante el método de la inversa, tenemos que considerando =
( )
APÉNDICE - Variables Aleatorias: “Método de la Inversa” # 5
Ahora supongamos que estamos interesados en generar v.a.’s
Weibull(
1
)
(
que representan por ejemplo el tiempo de vida de un componente
electrónico. Y que tiene como función de distribución
( )=
)
=
(
)
=1
) =
=
0
1
ln(1
=[
ln(1
[
ln(1
)
)]
1
)]
1
0
(
)
0
Por tanto, generando
donde
(
0 son parámetros dados.
APÉNDICE - Variables Aleatorias: “Método de la Inversa” # 6
=
[
ln(1
)]
1
(0 1) y aplicando la transformación
, obtendremos variables aleatorias Weibull.
APÉNDICE - Variables Aleatorias: “Método de la Inversa” # 7