PRUEBA DE HIPÓTESIS

UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA
TEMA
PRUEBA DE HIPÓTESIS
11.1.INTRODUCCIÓN
11.2.ELEMENTOS DE LAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS
11.3.PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA POBLACIONAL
11.3.1. Caso: muestra grande
11.3.2. Caso: muestra pequeña
11.4.PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES
11.4.1. Muestras independientes
11.4.1.1. Caso de muestras grandes
11.4.1.2. Caso de muestras pequeñas
11.4.2. Muestras apareadas
11.5.PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCIÓN POBLACIONAL
11.5.1. Prueba de hipótesis para un conteo
11.5.2. Prueba de hipótesis para una proporción
11.6.PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS PROPORCIONES POBLACIONALES
11.1. INTRODUCCIÓN
Al iniciar el estudio de los métodos estadísticos (descriptivos e inferenciales) se indicó que a
través de la inferencia estadística se podía llegar a generalizaciones respecto de las características de
una población, utilizando las observaciones empíricas de una muestra tomada al azar.
Una vez introducidas las nociones de distribución de probabilidad de una variable aleatoria y de
que los estadígrafos son variables aleatorias y por tanto tienen en el muestreo una distribución de
probabilidades, se está en condiciones de desarrollar los métodos de inferencia estadística que permiten
resolver dos grandes grupos de problemas relacionados con: a) la estimación de parámetros
poblacionales a partir del conocimiento de una muestra y b) probar si un enunciado afirmativo (hipótesis
o suposición) acerca de un parámetro poblacional, o más de uno, puede sostenerse o no frente a la
evidencia empírica aportada por una o más muestras aleatorias.
La gran importancia de la inferencia estadística radica en que proporciona herramientas para
actuar, pese a desconocer cuales son las verdaderas características de la población, solamente a costa
de tomar conciencia de la existencia de una condición de incertidumbre. Esto ya fue analizado al estimar
un parámetro poblacional tanto en forma puntual (error de estimación) como intervalar (nivel de
confianza).
En este capítulo se introducirán las denominadas pruebas de hipótesis. Como primera idea se
dirá que todo el mundo toma decisiones en su vida diaria, algunas son de fundamental importancia y
otras son menos significativas. Pero en todos los casos se actúa de acuerdo a un patrón que consiste en
ponderar alternativas y optar por alguna de ellas, con base al conocimiento disponible, tras lo cual se
suele llevar a la práctica algún tipo de acción, como por ejemplo se emprende un viaje, se hace una
compra, se asiste a una reunión y otras.
En el campo de las ciencias experimentales, es tan importante el papel que desempeña la
Estadística en la toma de decisiones que se la suele definir como la ciencia para el “estudio de las
decisiones frente a la incertidumbre". En otras palabras, se puede decir que se llaman decisiones
estadísticas a las decisiones que se toman con respecto a las poblaciones, a partir del conocimiento
incompleto. Por ejemplo, a partir de los datos del muestreo se puede decidir si una nueva variedad tiene
mayor rendimiento que otra de uso tradicional, o si el agregado de un conservante mejora la vida útil de
un alimento o si un hábitat es más favorable para la vizcacha que otro, etc.
En el campo de la investigación, por lo general los procesos de toma de decisiones comienzan
con la identificación de un problema de interés, siguen con el planteo de dos hipótesis que postulan
puntos de vista opuestos y, con base a información empírica se concluye con el rechazo de una de ellas
y el sostenimiento de la otra. En Estadística las dos hipótesis mutuamente excluyentes reciben el
nombre de hipótesis nula e hipótesis alternativa, y se expresan en forma simbólica. Un ejemplo de
esto último puede ser, respectivamente:
Ho: µ1 = µ2
y
H1: µ1 ≠ µ2
El análisis estadístico de los datos muestrales permitirá discernir con bases probabilísticas, cuál
es la hipótesis que encuentra apoyo o sostenibilidad. En el campo científico los investigadores partirán
del enunciado de una hipótesis en términos del problema de interés, que es la hipótesis de
investigación, hipótesis científica o hipótesis de trabajo y que, por lo general, coincide con la
hipótesis estadística alternativa. Las hipótesis son proposiciones provisionales y exploratorias y, por
tanto, su valor de veracidad o falsedad depende críticamente de las pruebas empíricas. En este sentido,
la concepción de reproducibilidad de los resultados es fundamental para confirmar una hipótesis como
explicación de un fenómeno. Así, cuando resulte un valor muestral observado de la media ̅ próximo al
de la media poblacional de la correspondiente distribución en el muestreo (valor supuesto o hipotético),
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esto es cuando resulta un valor métrico que responde a la variabilidad esperada por azar, no se podrá
contradecir a lo enunciado en la hipótesis nula (hipótesis verosímil) y habrá que tomar una decisión
desfavorable a la hipótesis de investigación. Los procedimientos que llevan a sostener o descartar la
hipótesis nula, perjudicando o favoreciendo respectivamente el sostenimiento de la hipótesis alternativa,
son denominados pruebas de hipótesis.
Para la toma de decisión en una prueba de hipótesis existen dos alternativas muy utilizadas, a
saber: a) uno tradicional que se basa en utilizar el denominado valor crítico del estadígrafo de la
prueba de hipótesis de acuerdo a su distribución de probabilidades en el muestreo y, b) uno más
moderno que ha cobrado popularidad a través de los software estadísticos que emplea el valor p, que
se refiere a la probabilidad condicional de que el valor tomado por el estadígrafo muestral se deba al
azar. Una tercera alternativa es emplear una estimación paramétrica bajo enfoque de prueba de
hipótesis.
En este capítulo se presentarán las pruebas de hipótesis referidas a las medias y a las
proporciones de una o dos poblaciones. En los siguientes capítulos serán tratadas pruebas de hipótesis
para resolver otros tipos de problemas.
11.2. ELEMENTOS DE LAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Las pruebas de hipótesis constituyen un procedimiento estadístico sólido y riguroso para emitir
juicios probables acerca de una población y, al mismo tiempo, conocer la magnitud y la probabilidad de
los errores en los que se puede incurrir al expresar los correspondientes juicios finales. Por ejemplo, se
suele afirmar que el hábito de fumar causa cáncer; aún así, se conocen muchos casos de personas que
pese a haber fumado diariamente gran cantidad de cigarrillos jamás padecieron cáncer, llegando a
alcanzar edades muy avanzadas, así como hay muchos casos de personas que jamás fumaron y
murieron a causa del cáncer. Entonces, ¿hasta qué grado es posible afirmar que el cigarrillo produce
cáncer? Para averiguarlo se necesita realizar un experimento bajo la hipótesis de investigación “que los
fumadores son más propensos a morir por cáncer que los no fumadores”, y aplicar una prueba de
hipótesis a datos de una muestra aleatoria de fumadores y otra de no fumadores, asumiendo a la luz de
los resultados o evidencia empírica un cierto margen de riesgo de equivocarse en las conclusiones.
Por ejemplo si, sobre la base de datos de una muestra, un ingeniero tiene que tomar una
decisión acerca de que un cierto plan de fertilización aumenta el verdadero rendimiento promedio (µ) de
un cultivo hortícola al menos en 3000 kg/ha, entonces puede realizar una prueba de hipótesis con una
muestra de cultivos para corroborar o desmentir sus sospechas. Lo mismo si un fabricante de una línea
de productos alimentarios destinada a lactantes quiere decidir la fabricación de un nuevo producto si se
demuestra que el 80% de los lactantes que consuman el nuevo producto aumentan significativamente su
peso. O bien si un viticultor que produce uvas para consumo en fresco en una zona inserta en un
entorno natural tiene pérdidas importantes a causa de la depredación de los pájaros, insectos y
alimañas. En los tres casos los problemas pueden conducir a postular una hipótesis para someterla a
prueba, las que respectivamente serían: “el rendimiento medio del cultivo con el plan de fertilización es
cuando menos de 3.000 kg/ha superior a cuando el plan no se aplica”, “el 80% de los lactantes que
consumen el nuevo producto durante cierto período alcanzan mayor peso que si consumen otro
producto”, “las pérdidas de uva por acción de los pájaros, insectos y alimañas superan un cierto nivel
económico”.
Definición 11.1
Una hipótesis es una aseveración o conjetura con respecto a un problema de interés.
Para aplicar una prueba de hipótesis hay que traducir la problemática a dos enunciados
complementarios conocidos como hipótesis estadísticas.
Definición 11.2
Una hipótesis estadística es una aseveración o conjetura con respecto a una o más poblaciones. En
el análisis estadístico es usual el planteo de un par de hipótesis: la hipótesis nula y la hipótesis
alternativa. Las hipótesis estadísticas se plantean formalmente en notación simbólica.
Definición 11.3.
La hipótesis estadística nula, simbolizada como Ho, es la hipótesis que se somete a prueba. Por lo
general, es una afirmación acerca de que un parámetro poblacional tiene un valor específico (o bien no
se diferencia de un valor referencial).
Definición 11.4.
La hipótesis estadística alternativa, simbolizada como H1, es una afirmación sobre el mismo
parámetro poblacional considerado en la hipótesis nula, que especifica que el mismo tiene un valor
diferente, de alguna manera, al postulado en la hipótesis nula.
En el contexto de las ciencias experimentales, la hipótesis alternativa concuerda con la hipótesis de
investigación, porque representa lo que el investigador espera demostrar como “verdadero”, dado que
expresa el enunciado explicativo de su interpretación acerca de un fenómeno aleatorio de interés. La
hipótesis de investigación se plantea en términos del problema en cuestión.
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Una hipótesis nula referida a un parámetro poblacional siempre se establecerá de modo que
especifique un valor exacto del parámetro, en tanto que la hipótesis alternativa permite la posibilidad de
que el parámetro tome varios valores (mayor al especificado, menor al especificado o, bien diferente al
especificado). Además la hipótesis alternativa suele ser la afirmación que el experimentador desea
demostrar que es verdadera, de modo que el deseo profundo de éste es que la prueba de hipótesis le
ayude a demostrar a través de la evidencia muestral que la hipótesis nula no puede sostenerse, lo cual
implicará una probable veracidad de la hipótesis alternativa, que enuncia la interpretación o creencia
acerca de la realidad.
Definición 11.5.
Una prueba de hipótesis es un proceso que permite tomar una decisión entre dos hipótesis opuestas:
Ho y H1. Estas hipótesis se plantean de modo que una es la negación de la otra (de esta forma una de
ellas siempre resulta verdadera y la otra siempre es falsa). En la práctica la hipótesis nula, Ho, se somete
a prueba esperando poder demostrar que su ocurrencia es muy improbable, lo cual implicará que la otra
hipótesis, H1, es probablemente la verdadera.
La idea básica de la prueba de hipótesis es que los hechos (datos muestrales) aporten la
evidencia para refutar Ho, o sea que la hipótesis nula es la afirmación que puede resultar refutada por la
realidad. El resultado deseado de la persona que realiza la prueba, se expresa en la hipótesis alternativa
bajo la convicción de que los hechos demostrarán la factibilidad del enunciado hipotético o “teoría del
investigador”, porque demostrarán la improbable veracidad de hipótesis nula.
El planteamiento formal de la hipótesis nula está vinculado a una estructura probabilística que
hace referencia a la probabilidad de que se tomen decisiones que lleven a una conclusión errónea. Las
pruebas estadísticas se aplican bajo el supuesto de que la hipótesis nula es un enunciado verdadero.
Frente a la evidencia muestral que proporciona una información incompleta acerca de la población, se
puede tomar la decisión de no sostener la hipótesis nula (no aceptar o rechazar Ho) o bien sostenerla
(aceptar Ho). Pero los estados de la naturaleza pueden ser: la hipótesis nula realmente es verdadera o
bien la hipótesis nula realmente es falsa. Luego la combinación de las dos posibles decisiones con los
dos posibles estados de la naturaleza, arrojan cuatro posibles resultados (Tabla 11.1).
Tabla 11.1: Cuatro resultados posibles en una prueba de hipótesis
Decisión
Hipótesis nula (en la realidad)
Verdadera
Falsa
Aceptar H0
Se toma una decisión correcta de tipo A
Se comete un Error tipo II
No aceptar H0
Se comete un Error tipo I
Se toma una decisión correcta de tipo B
Una decisión correcta de tipo A ocurre cuando la hipótesis nula es verdadera y se decide a su
favor. Una decisión correcta de tipo B ocurre cuando la hipótesis nula es falsa y la decisión es en
oposición a la hipótesis nula.
Definición 11.6.
Se comete un error de tipo I cuando no se acepta la hipótesis nula Ho, siendo que esta era verdadera,
es decir que se toma incorrectamente una decisión contra ella. A la no aceptación de la hipótesis nula
cuando es verdadera se lo denomina error de tipo I.
Definición 11.7.
Se comete un error de tipo II cuando se acepta la hipótesis nula Ho siendo que esta era falsa, es decir
que se toma incorrectamente una decisión a favor de ella. La aceptación de la hipótesis nula cuando no
es verdadera se llama error de tipo II.
Por ejemplo, se sospecha que un detergente de primera marca es mejor que otro de segunda
marca y se desea probar ambos productos, porque de no ser así se tomaría la decisión de comprar el
detergente más barato. La idea “el detergente de primera marca es mejor que el detergente de segunda
marca” es la razón para realizar la prueba, por lo que se vuelve la hipótesis del investigador (hipótesis
estadística alternativa). De este modo las hipótesis en términos del problema son:
H0: “No hay diferencia en el desempeño de los detergentes”.
H1: “el detergente de primera marca es mejor que el detergente de segunda marca”
Los cuatro posibles resultados y las acciones consiguientes serán:
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Tabla 11.2: Cuatro posibles resultados y las acciones resultantes del ejemplo
Condición del estado de la naturaleza
Decisión
Aceptar H0
No aceptar H0
La hipótesis nula es verdadera
Veracidad de la situación:
no hay diferencia entre los detergentes
Decisión correcta de tipo A
La hipótesis nula es falsa
Veracidad de la situación:
el detergente de primera marca es mejor.
Decisión incorrecta: Error tipo II
• Conclusión: se determinó que no hay • Conclusión: se determinó que no hay
diferencia entre los detergentes.
diferencia.
• Acción: el consumidor compra el • Acción: el consumidor compra el
detergente de segunda marca, ahorra
detergente de segunda marca, ahorra
dinero y obtiene los mismos resultados.
dinero pero obtiene peores resultados.
Decisión incorrecta: Error tipo I
Decisión correcta de tipo B
• Conclusión: se determinó que el • Conclusión: se determinó que el
detergente de primera marca es mejor.
detergente de primera marca es mejor.
• Acción: el consumidor compra el • Acción: el consumidor compra el
detergente de 1º marca, gasta dinero
detergente de 1º marca y, aunque gasta
extra sin obtener mejores resultados.
más, obtiene mejores resultados.
La verdad o falsedad de una hipótesis estadística nunca se sabe con absoluta certidumbre a
menos que se examinara a toda la población, situación poco práctica en la mayoría de los casos,
además de onerosa y de requerir mayores tiempos. En su lugar se toma una muestra aleatoria de la
población de interés, y los datos observados se usan para proporcionar evidencia que puede resultar
directamente a favor o no de la hipótesis nula Ho, e indirectamente con relación a la hipótesis planteada
por el investigador. En otras palabras, la evidencia de la muestra que es consistente con la hipótesis Ho
conduce al rechazo de la hipótesis del investigador, mientras que la evidencia que resulta inconsistente
con la hipótesis Ho lleva al apoyo de la hipótesis del investigador.
La aceptación de una hipótesis nula Ho simplemente implica que los datos observados no dan
suficiente evidencia para rechazarla. Puesto de otra forma, la aceptación significa que hay una alta
probabilidad de obtener la información muestral observada bajo el hecho de que la hipótesis Ho es
verdadera. En tanto que la no aceptación de una hipótesis nula Ho implica que hay suficiente evidencia
muestral para refutarla.
Recuerde:
En una prueba de hipótesis nunca se tiene la certeza de haber tomado una decisión correcta.
A la luz de lo que acontece interesa controlar la probabilidad de cometer un error al tomar
decisiones basadas en pruebas de hipótesis.
Las probabilidades asociadas a los diferentes tipos de errores en las pruebas de hipótesis son las
denominadas probabilidades α (con relación a un error de tipo I) y β (con relación a un error de tipo II).
Cuadro 11.3. Probabilidades asignadas a los errores tipo I y II.
Hipótesis nula
Decisión
Es verdadera
Es falsa
No rechazar H0
Rechazar H0
Decisión correcta de tipo A
Probabilidad(A) = 1 − α
P(Error tipo II)=
P(Error tipo I)=
“Nivel de significancia”
Decisión correcta de tipo B
= 1 − “Potencia de una prueba”
Por convención, los valores de probabilidad de mayor uso para α y β son 0.01 y 0.05. La
probabilidad asignada a cada error depende de la gravedad de éstos. Mientras más grave es un error,
menos se desea que ocurra; en consecuencia, se le asigna una menor probabilidad. ¿Cómo se
controlan los errores? α y β son probabilidades de errores, cada una bajo condiciones separadas, y no
pueden combinarse. Así, no es posible determinar una sola probabilidad para tomar una decisión
incorrecta. De manera semejante, las dos decisiones correctas son distintas y ajenas, y cada una tiene
su propia probabilidad; 1 − α es la probabilidad de tomar la decisión correcta cuando la hipótesis nula es
verdadera, y 1 − β es la probabilidad de tomar la decisión correcta cuando la hipótesis nula es falsa. La
forma de controlar en forma simultánea ambos errores, esto es reducir la probabilidad de cometerlos, es
aumentando el tamaño muestral.
Definición 11.8.
A 1 − β se le denomina potencia de la prueba estadística, ya que mide la capacidad de una prueba
de hipótesis para rechazar una hipótesis nula falsa, lo que es una característica muy importante
La decisión de rechazar o no rechazar la H0 se basa en la información que contiene una muestra
extraída de la población de interés. Esta información toma la forma de estadígrafo de prueba o valor-p.
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¿Cómo se decide entre rechazar o no rechazar la H0? El conjunto entero de valores que el estadígrafo
de prueba puede asumir se divide en dos regiones:
- un conjunto consta de los valores que apoyan la hipótesis alternativa y conducen al rechazo de la
hipótesis nula, ésta es la región de rechazo;
- el otro está constituido por valores que apoyan la hipótesis nula y se designa con el nombre de
región de aceptación.
De esta manera se establece una regla de decisión. Tal regla especifica los criterios para rechazar o no
rechazar la H0, y se sustenta en tres elementos:
1. El nivel de significancia
2. La distribución de probabilidad de un estadígrafo de prueba
3. El valor crítico del estadígrafo de prueba que define las dos regiones.
Región de aceptación
Región de rechazo
(Acepto H0)
(Rechazo H0)
Valor crítico
Definición 11.9.
En forma general, el valor crítico es el “primer” valor límite” de la región crítica (o región de rechazo).
Definición 11.11
El estadígrafo de prueba es la variable aleatoria cuyo valor se calcula a partir de los datos muestrales y
que se utiliza para tomar la decisión de “no rechazo” o “rechazo” de la H0 cuando se observa en qué
región se encuentra su valor.
La regla de decisión debe establecerse antes de recolectar los datos. Una vez tomada la
muestra, se calcula el valor muestral del estadígrafo de prueba (evidencia aportada por los datos
muestrales) y se lo compara con el valor crítico, tomando finalmente la decisión estadística.
La toma de decisión será en base a lo siguiente:
a) si el estadígrafo de prueba cae dentro de la región de rechazo, se rechaza la hipótesis nula.
b) si el estadígrafo de prueba está en la región de aceptación, no se rechaza de hipótesis nula.
La comparación del valor calculado del estadígrafo de prueba con el valor crítico para tomar la
decisión de rechazar o aceptar la hipótesis nula nos lleva a una dificultad relacionada a los distintos
niveles de significancia que la prueba de hipótesis puede tomar. Los diferentes investigadores pueden
fijar distintos niveles de significancia arribando a conclusiones diferentes (por ejemplo, para la misma
prueba de hipótesis puede rechazarse la hipótesis nula con un nivel de significancia de 0,05 pero
aceptarla con un nivel de significancia de 0,01). Además, el valor del estadígrafo de prueba no nos da
suficiente información contra la hipótesis nula. Por esto es que muchos investigadores utilizan el valor de
probabilidad observado o valor p, para evitar ambigüedades.
Definición 11.12
El valor-p o valor observado de probabilidad de una prueba estadística, es el valor más pequeño al cual
H0 sería rechazada cuando se utiliza un procedimiento de prueba especificado con un conjunto de datos
dado. Una vez que se ha determinado el valor p, la toma de decisión a un nivel particular de
significancia resulta de comparar el valor p con :
1. ≤ ⇒ ℎ
! "#$"%"
2. > ⇒ "
ℎ
! "#$"%"
Un valor p pequeño indica que el valor observado del estadígrafo de prueba está lejos del valor
hipotético. Esto es una fuerte evidencia de que H0 es falsa y debe rechazarse. Si los valores p son
grandes, entonces significa que el estadígrafo de prueba observado no está lejos del valor hipotético y
no apoya el rechazo de H0.
Se acostumbra llamar a los datos significativos cuando ! es rechazada y no significativos, de lo contrario. El
valor p es entonces el nivel más pequeño al cual los datos son significativos.
Para completar una prueba de hipótesis es necesario escribir una conclusión que describa
cuidadosamente el significado de la decisión relativa al propósito de la misma.
La conclusión en términos estadísticos será:
a) si la decisión es “rechazar la H0”, entonces la conclusión debe verbalizarse más o menos como “la
muestra aporta suficiente evidencia al nivel de significancia α para demostrar que… (se completa con la
expresión estadística correspondiente a la hipótesis alternativa)”
b) si la decisión es “no rechazar la H0”, entonces la conclusión debe verbalizarse más o menos como “la
muestra no aporta suficiente evidencia al nivel de significancia α para demostrar que … (se completa
con la expresión estadística correspondiente a la hipótesis alternativa)”
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Al escribir la decisión y la conclusión recuerde que:
1) la decisión se toma sobre H0,
2) conclusión es una afirmación acerca de la confirmación, o no, del argumento de H1.
Esto es consistente con la “actitud” de todo el procedimiento de la prueba de hipótesis. La
hipótesis nula es la afirmación que está “en juicio”, y por tanto la decisión debe versar sobre ella. El
argumento de la hipótesis alternativa es el pensamiento que ocasionó hacer la prueba (hipótesis de
investigación o de trabajo). En consecuencia, al escribir la conclusión debe contestarse la cuestión que
condujo a la hipótesis alternativa.
PASOS DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
Paso 5:
Plantear el problema
a. Identificar el parámetro poblacional de interés
b. Establecer la hipótesis científica
c. Establecer las hipótesis estadísticas (hipótesis nula H0 e hipótesis alternativa H1)
Especificar los criterio de prueba
a. Comprobar los supuestos de la prueba
b. Elegir el nivel de significancia
c. Identificar la distribución de probabilidad y elegir el estadígrafo de prueba a utilizar
d. Determinar la regla de decisión: valor(es) crítico(s) y las regiones de aceptación y de
rechazo
Recolectar y presentar la evidencia muestral
a. Recolectar la información muestral
b. Calcular el valor del estadígrafo de prueba muestral
Tomar la decisión
a. Comparar el valor crítico con el valor muestral
b. Tomar la decisión estadística
Dar las conclusiones
a. Escribir la conclusión estadística.
b. Escribir la conclusión en términos del problema.
Finalmente, antes de entrar en las diferentes aplicaciones de pruebas de hipótesis,
complementaremos la descripción de las hipótesis:
1. La hipótesis nula especifica un valor particular de un parámetro de la población. Por ejemplo,
el parámetro proporción, H0: π = 0,5.
2. La hipótesis alternativa puede asumir tres formas. Cada una de ellas determinará una
ubicación específica de la(s) región(es) crítica(s), como se muestra en el cuadro 11.3.
3. Para muchas pruebas de hipótesis, el signo de H1 “apunta” en la dirección que está localizada
la región crítica. (Piense en el signo de desigualdad como si fuese al mismo tiempo menor
que y mayor que, apuntando así ambas direcciones.)
Cuadro 11.4: Clases de pruebas de hipótesis de acuerdo a en la hipótesis alternativa
H 1 : π < 0.5
Región Crítica
Diagrama ilustrativo de las
áreas de la distribución de
probabilidad del estadígrafo en
el muestreo
H 1 : π ≠ 0.5
Dos regiones, la mitad de
Una región del lado
cada lado
izquierdo
Prueba de una cola o
Prueba de dos colas o
bilateral
unilateral a la izquierda
α
1−α
α /2
1−α
α /2
H 1 : π > 0.5
Una región del lado
derecho
Prueba de una cola o
unilateral a la derecha
1−α
α
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11.3. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA POBLACIONAL
11.3.1.
Caso: muestra grande
Podemos aplicar la prueba para muestras grandes para una hipótesis acerca de una media
poblacional. El parámetro θ que se desea probar es µ , cuyo estimador puntual θˆ es la media muestral
x , y la desviación estándar σ θˆ de la distribución muestral de x es σ
n . Se indica un resumen de
los primeros pasos de la prueba en el siguiente
sigu
recuadro
Prueba estadística para µ en una muestra grande
1. 1. Planteo de Hipótesis
a) Hipótesis científica
b) Hipótesis estadísticas
Hipótesis nula: H 0 : µ = µ 0
Hipótesis Alternativa:
Prueba de una cola
H1 : µ > µ0
Prueba de dos colas
H1 : µ ≠ µ 0
(o H1 : µ < µ0 )
2. Nivel de significancia:
α
3.. Estadígrafo de prueba:
z=
x − µ0
σx
=
x − µ0
σ
n
Supuesto: Las
as n observaciones en la muestra se seleccionaron al azar de la población y n es grande, es
decir n ≥ 30 .
4. Regla de decisión: rechazo la H0 cuando
Prueba de una cola
z > zα
Prueba de dos colas
(o bien z < − zα cuando
z > z α/2 o bien z < − z α/2
H1 : µ < µ0 )
O cuando el valor p < α
%
%
Ejemplo 11.1. Una planta química local ha producido un promedio diario de 880 toneladas de un
producto químico durante los últimos años. A la gerente de control de calidad le gustaría saber si este
promedio ha cambiado en los meses recientes.
recientes. Selecciona al azar 50 días de la base de datos y calcula
el promedio y desviación estándar de los n=50 producciones con x = 871t y s=21t, respectivamente.
Pruebe la hipótesis apropiada con α = 0,05 .
Solución
1º) Hipótesis estadísticas:
estadísticas
! :( = 880
+ :( , 880
2º) Nivel de significancia = 0,05
3ª) Estadígrafo de prueba: La estimación puntual para µ es ̅̅ . Entonces,
z=
x − µ0
σx
=
x − µ0
σ
n
Como se desconoce la varianza poblacional, la desviación estándar poblacional se estima con
la desviación estándar muestral con buena aproximación, ya que " 5 30.
4º) Regla de decisión
%
Valor crítico de z
!,!/0 = −1,96 y !,340 = 1
1,96
Se rechaza la hipótesis nula si !,!/0 7 7 !,340
5º) Cálculo:
Al usar s para aproximar σ , se obtiene
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z=
x − µ0
s
n
=
871 − 880
21 50
= −3.03
6º) Decisión
Para α = 0,05 , la región de rechazo se compone de los valores de z>1.96 y z<
z<-1.96.
1.96. Como el valor
muestral calculado con el estadígrafo de prueba z, es igual a –3.03, este valor cae en la región de
rechazo, por lo que se rechaza la hipótesis nula de igualdad de la media a un valor determinado.
7º) Conclusión
La muestra aporta evidencia suficiente,
suficiente para
ra un nivel de significancia de 0,05, para decir que el promedio
de
e producción para un producto químico es distinto a 880 toneladas
toneladas.
Se puede decir, con un nivel de significancia de 0,05, que la producción del producto químico ha
cambiado.
11.3.2. Caso: muestra pequeña con varianza p
oblacional desconocida
po
Al igual que en el caso
ca anterior, se
e indica un resumen de llos primeros pasos de la prueba en el
siguiente recuadro
Prueba estadística para µ en una muestra pequeña
2. 1. Planteo de Hipótesis
a) Hipótesis científica
b) Hipótesis estadísticas
Hipótesis nula: H 0
: µ = µ0
Hipótesis Alternativa:
Prueba de una cola
H1 : µ > µ0
(o H1 : µ < µ0 )
2. Nivel de significancia:
Prueba de dos colas
H1 : µ ≠ µ0
α
3. Estadígrafo de prueba:
t=
x − µ0
s
n
Supuesto:: la muestra es seleccionada al azar de una población normalmente distribuida.
4.. Regla de decisión: rechazo la H0 cuando
Prueba de una cola
t > tα
(o bien t < −tα cuando
Prueba de dos colas
t > t α/2 o bien t < −t α/2
H1 : µ < µ0 )
O cuando el valor de p < α
Los valores críticos de t,
%:
%::
tα y tα / 2 se basa en (n-1)
1) grados de libertad. Estos valores tabulados se encuentran
en la tabla de distribución de Student.
Ejemplo 11.2. Un nuevo proceso para producir diamantes sintéticos sólo puede funcionar a un nivel
rentable si el peso promedio de los diamantes que se obtengan
obtengan es mayor que 0,5 quilates. Para evaluar
la rentabilidad del proceso se generan seis diamantes cuyos pesos son 0,46
0,46; 0,61; 0,52; 0,48; 0,57 y
0,54 quilates. ¿Las
as seis mediciones proporcionan suficiente evidencia de que el peso promedio de los
diamantes que
ue se obtienen con este proceso sobrepasa los 0,5 quilates?
1º) Hipótesis estadísticas:
! : ( = 0,589:#
+ :( > 0,589:#
2º) Nivel de significancia = 0,05
3º)
º) Estadígrafo de prueba: Se supone que la población de la cual provienen los pesos de los diamantes
sigue una distribución normal y se desconoce la desviación
desviación estándar poblacional. Entonces
:=
̅ − (
#⁄√"
↝ >:; 0; 1; " − 1
1
Donde n -1 = 5 grados de libertad
182
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4º) Regla de decisión
%:
2,015
Valor crítico de t
:!,340;0@A = 2,015
Se rechaza la hipótesis nula si : 7 :!,340;0@A
5º) Cálculos
Y el estadígrafo
stadígrafo de prueba es un estadístico t con (n
(n-1) = (6-1) = 5 grados de libertad. Con su
calculadora usted puede verificar que la media y la desviación estándar de los seis pesos del diamante
son 0,53 y 0,0559, respectivamente. El valor calculado del estadígrafo
estadígrafo de prueba es entonces
t=
x − µ0
s
n
=
0.53 − 0.5
0.0559
6
= 1,32
6º) Decisión
Al igual que con las pruebas para muestras grandes, el estadígrafo de prueba proporciona la
evidencia para rechazar o aceptar H0 dependiendo de qué tan lejos quede t del centro de la distr
distribución.
ibución.
Si se elige un nivel de significancia de 5% ( α =0,05), debe utilizar los valores críticos de t de la tabla de
distribución de Student para determinar la región de rechazo en la cola derecha. Como el valor muestral
del estadígrafo
fo de prueba (1,32), no cae en la región de rechazo (Gráfico 11.3),, no se puede rechazar la
H0. Los datos no proporcionan evidencia suficiente de que el peso promedio de los diamantes sea mayor
que 0,5 quilates.
%:
Gráfico 11.3: Región de Rechazo de la hipótesis
hipótesis nula para el ejemplo 11.2.
“Bajo un nivel de significancia del 5% no se rechaza la hipótesis nula por ser : = 1,32 7 :!,340;0@A .”
7º) Conclusión
La muestra no aporta evidencia suficiente, con un nivel de significancia de 0,05, para decir que el
peso promedio de los diamantes obtenidos por el nuevo procedimiento es mayor que 0,05 quilates.
Ejemplo 11.3. Se diseñó un nuevo sistema para el control del inventario de un pequeño fabricante, con
el propósito de reducir el mismo a menos de 3000 motores
motores por día. Se llevó a cabo un muestreo del
inventario en reserva al final de cada uno de ocho días, seleccionados aleatoriamente; los resultados se
muestran en la siguiente tabla. ¿Con los datos hay evidencia suficiente que señale que el promedio del
número
ro diario de motores en el inventario es menor que 3000?
Número de motores
2905
2895
2725
3005
2835
2835
3065
2605
1º) Hipótesis estadísticas
H 0 : µ = 3000
H 1 : µ < 3000
2º) Nivel de significancia α = 0,05
x−µ
t=
3º) Estadígrafo de prueba
s n
4º) Regla de decisión
%:
0,05
Si tenemos un α = 0,05 y se coloca 0,05 en la cola inferior de la distribución
t, obtenemos el valor crítico para n=8 mediciones (o bien n – 1 =7 grados de
libertad) como t c = −1,895 . Por lo tanto se rechazará la H0 si t m < −1.895 .
tc=-1,895
5º) Cálculos
Puede verificarse que la media y la desviación estándar muestral para las n=8 mediciones de la
tabla, son µ = 2858 .75 y s = 146.77 . Sustituyendo los valores en el estadígrafo de prueba, obtenemos:
t=
x−µ
s
n
=
2858.75 − 3000
146.77
8
= −2.72
183
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6º) Decisión
Ya que el valor observado de t muestral se localiza en la región de rechazo, hay evidencia suficiente
para rechazar la H0.
7º) Conclusión
La muestra aporta suficiente evidencia, con
on un nivel de significancia de 0,05
0,05, para decir que el
nuevo sistema de control de inventario reduce el número promedio de motores en existencia por día,
hasta menos de 3000. Además, habrá confianza razonable en haber tomado la decisión correcta.
valor-p aparecería en el
Ahora, si los resultados de este ejemplo se quieren dar a conocer, ¿qué valor
informe?
El valor-p para esta prueba, es la probabilidad de observar un valor del estadígrafo t por lo menos
tan contradictorio a la hipótesis nula como el valor observado
observado para este conjunto de datos, a saber, un
valor de t ≤ −2.72 . A diferencia de la tabla de las áreas bajo la curva normal, la tabla para la distribución
de t no da las áreas correspondientes a varios valores de tt, sino que proporciona los
s valores
correspondientes a las áreas de la cola inferior,, iguales a 0,10; 0,05; 0,025.
Valor-p
-2,72
Gráfico 11.4. Valor p para la prueba del ejemplo 11.3
11.4. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS
POBLACIONALES
11.4.1. Muestras independientes
Prueba estadística para CE − CF con muestras grandes
3. 1. Planteo de Hipótesis
a) Hipótesis científica
b) Hipótesis estadísticas
Hipótesis
ótesis nula: ! :CE − CF = N
Hipótesis Alternativa:
Prueba de una cola
Prueba de dos colas
− CF > 0
+ :CE − CF 7 0
+ :CE
o
2. Nivel de significancia: α
3. Estadígrafo de prueba:
=
E
+ :C
− CF , N
̅+ − ̅/ − DCE − CF G ̅
+̅ − ̅/ − 0
=
HI̅J KI̅L H/ H/
M + O /
"+ "/
Supuesto: las muestras aleatorias e independientes se seleccionan de dos poblaciones y "+ 5 30 y "/ 5 30
4.. Regla de decisión: rechazo la H0 cuando
Prueba de una cola
z > zα
Prueba de dos colas
(o bien z < − zα cuando
z > z α/2 o bien z < − z α/2
H1 : ( µ1 − µ2 ) < D0 )
O cuando el valor- p < α
11.4.1.1. Caso de muestras grandes
En el recuadro se plantean
plantea los pasos para la
a prueba de hipótesis de la diferencia de medias de
muestras grandes independientes. Los datos los conformarán dos muestras, una para cada población.
184
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La idea básica es simple. Se calculará la diferencia
diferencia de las medias muestrales. Si la diferencia se
encuentra alejada de 0, se concluirá que las medias poblacionales son diferentes. Si la diferencia se
aproxima a 0, se concluirá que las medias poblacionales podrían ser iguales. Estas características se
analizarán en el ejemplo 11.4.
Ejemplo 11.4. Una compañía desea comparar las expectativas salariales anuales de su personal de
ventas femenino y masculino, según su nuevo plan de compensaciones de ventas más comisión. Se
pidió a n1=40 vendedoras y n2=40 vendedores, muestreados al azar, predijeran sus ingresos anuales
bajo el nuevo plan. Las medias muestrales y las desviaciones muestrales resultaron
x1 = $31083
x 2 = $29745
s1 = $2312
s 2 = $2569
¿Proporcionan los datos evidencia que indique una diferencia en el promedio del ingreso anual esperado
entre vendedores y vendedoras? Realice la prueba con α=0.05
5.
Solución
1º) Hipótesis
Hipótesis científica: El ingreso anual entre las vendedoras y los vendedores es diferente.
Hipótesis estadísticas:
s:
H 0 : µ1 = µ 2 ,
es decir, µ1 − µ 2 = D0 = 0
H 1 : µ1 ≠ µ 2 ,
es decir, D0 ≠ 0.
2º) Nivel de significancia: = 0,05
3º) Estadígrafo de prueba: Bajo el supuesto de normalidad de ambas poblaciones y que las muestras
son aleatorias, grandes e independientes,
independientes, se estiman las varianzas poblacionales con las varianzas
varia
/
/
muestrales #+ y #/ . El estadígrafo de prueba tiene distribución normal con ( = 0 y H = 1:
( x − x 2 ) − D0
z= 1
σ 12
n1
%
+
σ 22
n2
4º) Regla de decisión
Valor crítico de z
!,!/0 = −1,96 y !,340 = 1
1,96
Se rechaza la hipótesis nula si !,!/0 7 7 !,340
5º) Cálculo:
z=
( x1 − x 2 ) − D0
σ
2
1
n1
+
σ
2
2
n2
=
(31083 − 29745) − 0
2312 2 2569 2
+
40
40
= 2,45
6º) Decisión
Para α = 0,05 , la región de rechazo se compone de los valores de z>1.96 y z<
z<-1.96.
1.96. Como el valor
muestral calculado con el estadígrafo de prueba z, es igual a 2,45, este valor cae en la región de
rechazo, por lo que se rechaza la hipótesis
hipótesis nula de igualdad de las medias.
7º) Conclusión
Las muestras aportan evidencia suficiente,
suficiente con un nivel de significancia de 0,05
0,05, de que las medias son
diferentes.
Se puede decir, con un nivel de significancia de 0,05,
0,05 que las expectativas salariale
salariales
s anuales entre las
vendedoras y los vendedores son diferentes bajo el nuevo plan.
11.4.1.2. Caso de muestras pequeñas
El marco del problema que consideramos ahora es idéntico al que se analizó para una prueba
con muestras grandes. Se seleccionan muestras aleatorias
aleatorias independientes de n1 y n2 mediciones de dos
2
poblaciones con medias y varianzas µ1, σ 1 y µ2 , σ 22 . El objetivo es inferir la dif
diferencia (µ1 − µ 2 ) entre las
dos medias de población.
La prueba con muestras pequeñas, en relación con una diferencia entre medias poblacionales,
se basa en la suposición que ambas poblaciones se distribuyen normalmente y que tienen además
varianzas iguales, es decir, σ 12 = σ 22 = σ 2 . La prueba se resume en el cuadro sigu
siguiente.
185
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Prueba estadística para CE − CF con muestras pequeñas
4. 1. Planteo de Hipótesis
a) Hipótesis científica
b) Hipótesis estadísticas
Hipótesis nula: ! :CE − CF = N
Hipótesis Alternativa:
Prueba de una cola
Prueba de dos colas
− CF > 0
:C
−
CF 7 0
+
E
+ :CE
o
2. Nivel de significancia: α
3. Estadígrafo de prueba:
:=
Donde
E
+ :C
̅+ − ̅/ − DCE − CF G
1
1
#P Q" O "
+
/
=
− CF , N
̅
+ − ̅/ − 0
1
1
#P Q" O "
+
/
"+ − 1#+/ O "/ − 1#//
#P = M
"+ O "/ − 2
Supuesto: las muestras aleatorias e independientes se seleccionan de dos poblaciones normalmente
distribuidas. Las varianzas poblacionales son iguales.
4.. Regla de decisión: rechazo la H0 cuando
Prueba de una cola
t > tα
Prueba de dos colas
(o bien t < −tα cuando
t > t α/2 o bien t < −t α/2
H1 : ( µ1 − µ2 ) < D0 )
O cuando el valor de p < α
" O "
− 2comparar el desgaste de abrasivos de dos
Ejemplo 11.5. Se lleva a cabo un experimento
para
materiales laminados. Se prueban 12 piezas del material 1 y 10 piezas del material 2 exponiéndolas a
una máquina para medir el desgaste. La muestra del
del material 1 da un desgaste promedio codificado de
85 unidades con una desviación estándar muestral de 4; en tanto que la muestra del material 2 tiene un
desgaste promedio de 81 y una desviación estándar muestral de 5. ¿Podríamos concluir, con un nivel de
significancia de 0,05, que el desgaste abrasivo del material 1 excede al del material 2? Suponga que las
poblaciones son aproximadamente normales y con varianzas iguales.
Solución
1º) Hipótesis
Hipótesis científica: “El
El material laminado 1 tiene un desga
desgaste
ste abrasivo mayor que el del material
laminado 2”
Hipótesis estadísticas:
H 0 : µ1 = µ 2 ,
es decir, µ1 − µ 2 = D0 = 0
H 1 : µ1 > µ 2 ,
es decir, D0 > 0.
2º) Nivel de significancia: = 0,05
3º) Estadígrafo de prueba
Siendo: :=
̅+ − ̅/ − DCE − CF G
1
1
#P Q" O "
+
/
=
̅
+ − ̅/ − 0
1
1
#P Q" O "
+
/
"+ − 1#+/ O "/ − 1#//
#P = M
"+ O "/ − 2
186
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4º) Regla de decisión
%:
05 y "+ O "/ − 2 = 12 O 10 − 2 = 20
Valor crítico de t, para = 0,05
:!,30;/! = 1,725
Se rechaza la hipótesis nula si : 7 :!,30;/!
1,725
5º) Cálculos
#P = M
:=
"+ − 1#+/ O "/ − 1#//
12 − 14/ O 10 − 15/
1116 O 9
925
401
=M
=M
=M
= Z20,05 = [, [\
"+ O "/ − 2
12 O 10 − 2
20
20
̅+ − ̅/ − DCE − CF G
#P Q
1
1
O
"+ "/
=
− 81 − 0
85
1
1
4,48Q O
4
12 10
=
4
11
4,48Q
60
=
4
4
=
= F, N]
4,480,43 1,926
6º) Decisión
hipótesis
s nula de que las medias del desgaste
Con un nivel de significancia de 0,05, se rechaza la hipótesi
abrasivo de los dos materiales son iguales.
7º) Conclusión
La muestra aporta evidencia suficiente, con un nivel de significancia de 0,05, para decir que el desgaste
desg
abrasivo medio del material laminado 1 es mayor que el del material laminado 2
2.
11.4.2. Muestras pareadas
Los procedimientos mencionados precedentemente para comparar dos medias poblacionales se
basan en la relación que hay entre dos conjuntos de datos muestrales, provenientes cada uno de
poblaciones distintas. Cuando
Cuando están implicadas muestras apareadas implica que los datos pueden
parearse como resultado de la aplicación de estudios denominados “antes y después”, de una misma
unidad de análisis o de la correspondencia efectuada entre dos objetos semejantes entre sí
sí, a fin de
obtener “pares correspondientes”. Los datos que integran las parejas se comparan directamente entre
sí, usando la diferencia de sus valores numéricos. La diferencia resultante se denomina diferencia
pareada S = TE − TF . El inicio de la
l prueba se
e resume en el cuadro siguiente
Prueba estadística para CS con muestras pequeñas
5. 1. Planteo de Hipótesis
a) Hipótesis científica
b) Hipótesis estadísticas
Hipótesis nula: ! :(V = N
Hipótesis Alternativa:
Prueba de una cola
o
2. Nivel de significancia: α
3.. Estadígrafo de prueba:
+ :CS > 0
+ :CS 7 0
:=
Prueba de dos colas
+ :CS
,N
̅ − (V ̅ − (V
̅
= #
=#
V
V
#VW
X
X
√"
√"
Donde n es el número de diferencias por parejas y #VW es el error típico de la variable promedio de la
diferencia. Supuesto:: se seleccionan aleatoriamente las n diferencias por parejas de una población
con distribución normal.
4.. Regla de decisión: rechazo la H0 cuando
Prueba de una cola
t > tα
Prueba de dos colas
(o bien t < −tα cuando
t > t α/2 o bien t < −t α/2
H1 : ( µ1 − µ2 ) < D0 )
O cuando el valor de p < α
%:
%
%:
Los valores críticos de t, :Y y :Y⁄/ se basa en " − 1 grados de libertad. Estos valores tabulados se
encuentran en la tabla de distribución de Student.
187
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Ejemplo 11.6. Un fabricante quiere comparar la resistencia al desgaste de dos tipos diferentes de
neumáticos, A y B, para los automóviles. Para hacer la comparación, se asign
asignaron
aron aleatoriamente un
neumático de tipo A y el otro tipo B a 6 automóviles y se montaron las ruedas traseras de dichos
vehículos. Luego de un número especificado de kilómetros se registró el grado de desgaste para cada
par de neumáticos. Estas mediciones se encuentran en la tabla 11.3. ¿Presentan los datos evidencia
suficiente para indicar una diferencia en el desgaste promedio de los dos tipos de neumáticos?
Tabla 11.3. Datos de desgaste de los neumáticos
Automóvil
Neumático A
Neumático B
1
125
133
2
64
65
3
94
103
4
38
37
5
90
102
6
106
115
Debido a que los automóviles, conductores y condiciones son los mismos para cada neumático de un
conjunto de datos pareados, tiene sentido utilizar una tercera variable, la diferencia pareada S. Las dos
muestras
ras dependientes de datos se combinarán en un conjunto de valores , donde = − b.
=−b
8
1
9
-1
12
9
Automóvil
1
2
3
4
5
6
1º) Hipótesis
Hipótesis científica: “No hay diferencia en el desgaste de los neumáticos A y B”
Hipótesis estadística:
ca:
! :(V = N
+ :CS , N
2º) Nivel de significancia = 0,05
3º) Estadígrafo de prueba
̅ − (V ̅ − (V ̅ − 0
= #
=#
V
V
#VW
X
X
√"
√"
Valor crítico de t para ⁄2 = 0,025
025 y c = 6 − 1 = 5
:!,!/0 = −2,571 y :!,340 = 2,571
Se rechaza la hipótesis nula si :!!,!/0 7 : 7 :!,340
4º) Regla de decisión
%:
-2,571
:=
2,571
5º) Cálculo del estadígrafo de prueba
Los estadígrafos muestrales necesarios son: la media de las diferencias y la desviación estándar de las
diferencias. Entonces:
∑ 38
̅ =
=
= 6,33
"
6
∑D_ − ̅G
#V = M
= Z26,27 = 5,13
"−1
/
El estadígrafo de prueba resulta
̅ − (V 6,33 − 0
:= #
=
= a, NF
V
5,13
X
`
√"
√6
6º) Decisión
Con un nivel de significancia = 0,05, se rechaza
aza la hipótesis nula.
7º) Conclusión
La muestra aporta evidencia suficiente, con un nivel de significancia de 0,05, para decir que los
neumáticos A y B tienen desgastes diferentes bajo las mismas condiciones de uso.
188
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11.5. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCIÓN POBLACIONAL
Varios de los métodos utilizados en la inspección muestral, en el control de la calidad y en la
verificación de confiabilidad se fundamentan en pruebas de la hipótesis nula de que una proporción es
igual a una constante determinada.
Pueden aplicarse pruebas exactas con base en la distribución binomial, pero se considerarán
aquí las pruebas aproximadas para grandes muestras que se basan en la aproximación normal a la
distribución binomial.
11.5.1. Prueba de hipótesis para un conteo (x)
Se probará la hipótesis nula π = π 0 contra una de las alternativas π < π 0 , π > π 0 o π ≠ π 0
mediante la aplicación del estadígrafo, que es un valor de una variable aleatoria, y tiene
aproximadamente una distribución normal estándar:
z=
x−µ

→ z =
σ
x − cπ
cπ (1 − π )
Ejemplo 11.7. Suponga que un nutricionista afirma que al menos el 75% de los niños de preescolar de
cierto país tienen dietas deficientes en proteínas y que un estudio de muestra revela que esto es cierto
en 206 niños de una muestra de 300 niños de preescolar. Demuestre la afirmación para el nivel de
significancia 0,05.
1º) Hipótesis
Hipótesis científica
Hipótesis estadísticas:
H 0 : π = 0,75
H 1 : π < 0,75
2º) Nivel de significancia: α = 0,05
3º) Estadígrafo de prueba:
x − cπ
z=
cπ (1 − π )
4º) Regla de decisión
%
Se rechaza la hipótesis nula si z m < −1.645 , obteniendo el valor de la tabla
de F(z).
0,05
zc= -1,645
5º) Cálculos
z=
x − cπ
cπ (1 − π )
=
206 − [300(0,75)]
300(0,75)(0,25)
= −2.53
6º) Decisión
Como zm=-2.53 es menor que zc=-1.645, se debe rechazar la hipótesis nula.
7º) Conclusión
Los datos muestrales aportan evidencia suficiente, a un nivel de significancia de 0,05, para decir que por
lo menos el 75% de los niños de preescolar de un país dado tienen dietas deficientes en proteínas.
11.5.2.
Prueba de hipótesis para una proporción
(π )
Cuando se extrae una muestra aleatoria de n ensayos idénticos de una población binomial, la
proporción muestral de tiene una distribución aproximadamente normal si n es grande, con media (fg = d
y error típico
d1 − d
La hipótesis respecto a que la proporción en la población posee un cierto atributo d, se prueba
según la forma general y se formula como:
Hfg = M
H 0 :π = π 0
Contra una alternativa de una o de dos colas
H a : π > π 0 o bien,
H a : π < π 0 o bien,
Ha :π ≠ π 0
189
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El estadígrafo de prueba se construye usando p , el mejor estimador de la proporción poblacional
verdadera π . La
a proporción muestral p se estandariza, por medio de la media y el error estándar
hipotéticos, para formar un estadígrafo
estadí
de prueba z. A continuación se resume esta prueba para una
muestra grande.
Prueba estadística para π en una muestra grande
6. 1. Planteo de Hipótesis
a) Hipótesis científica
b) Hipótesis estadísticas
Hipótesis nula: H 0 : π = π 0
Hipótesis Alternativa:
Prueba de una cola
H1 : π > π 0
Prueba de dos colas
H1 : π ≠ π 0
(o H1 : π < π 0 )
2. Nivel de significancia:
α
3. Estadígrafo de prueba:
i=
I
h
de − d
Zd1 − d⁄
donde de =
Supuesto:: El muestreo satisface los supuestos de un experimento binomial y n es bastante grande para que
la distribución muestral de d
e se puede aproximar mediante una distribución normal ( cπ 0 > 5 y c(1 − π 0 ) > 5
).
4.. Regla de decisión: rechazo la H0 cuando
Prueba de una cola
z > zα
Prueba de dos colas
(o bien z < − zα cuando
z > z α/2 o bien z < − z α/2
Ha : π < π 0 )
O cuando el valor de p < α
%
%
Ejemplo 11.7. Según información reciente,
reciente la obesidad es un problema creciente en el país en grupos
de todas las edades. En el año 2002 se reportó que 1276 de una muestra de 4115 adultos fueron
encontrados obesos (índice corporal mayor a 30). Una encuesta realizada 4 años antes reveló que el
20% de los adultos encuestados se
se consideraron obesos. ¿Sugieren los datos más recientes que la
proporción verdadera de adultos obesos es más de 1,5 veces el porcentaje de la encuesta? Tome en
cuenta un nivel de significancia de 0,10.
1º) Hipótesis
Hipótesis científica
ísticas:
Hipótesis estadísticas:
H 0 : π = 0,30
H 1 : π > 0,30
2º) Nivel de significancia: α = 0,10
3º) Estadígrafo de prueba:
4º) Regla de decisión
%
0,05
zc= -1,645
i=
de − d
Zd1 − d⁄
Se rechaza la hipótesis nula si z m > 1,28 , obteniendo el valor de la tabla
de F(z).
0,10
zc= 1,28
190
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UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA
5º) Cálculos
1276
de = =
= 0,31
" 4115
=
de − d
Zd1 − d⁄
=
0,31 − 0,30
Q0,300,70
4115
=
0,010
= E, [N
0,0071
6º) Decisión
Como zm=1,40 es mayor a 1,28 se rechaza la hipótesis nula.
7º) Conclusión
Los datos muestrales aportan evidencia suficiente, a un nivel de significancia de 0,10, para decir que la
proporción de obesos adultos que resultó en el informe es mayor al 30%, es decir que ha aumentado
más de 1,5 veces la proporción con respecto a los encuestados 4 años antes.
11.6. PRUEBAS
DE
POBLACIONALES
HIPÓTESIS
PARA
DOS
PROPORCIONES
Existen muchos problemas en los cuales debemos decidir si una diferencia observada entre dos
proporciones de muestra se puede atribuir a la oportunidad o si esto es indicativo de que las
proporciones verdaderas correspondientes son desiguales. Por ejemplo, quizás queramos decidir
sobre la base de los datos de muestras si en realidad existe una diferencia entre las proporciones de
personas a quienes se les aplican vacunas contra la influenza y a quienes no se les aplican, quienes
en realidad contraen la enfermedad, o quizás deseemos verificar sobre la base de muestras si dos
fabricantes de equipo electrónico envían a las distribuidoras las mismas proporciones de aparatos
defectuosos.
El método que se aplicará para demostrar si una diferencia observada entre dos proporciones de
una muestra se puede atribuir a la oportunidad o si es estadísticamente significativa, se basa en la
teoría siguiente: si x1 y x2 son los números de aciertos obtenidos en n1 ensayos de un tipo y n2 de otro,
todos los ensayos son independientes y las probabilidades correspondientes de lograr un acierto son,
respectivamente, π 1 y π 2 , entonces la distribución de muestreo de
desviación estándar
π 1 (1 − π 1 ) π 2 (1 − π 2 )
c1
+
c2
x1 x2
tiene la media π 1 − π 2 y la
−
n1 n2
Es costumbre referirnos a esta desviación estándar
como el error típico de la diferencia entre dos proporciones.
Cuando se demuestra la hipótesis nula π 1 = π 2 = π , contra una hipótesis alternativa adecuada,
la media de la distribución de muestreo de la diferencia entre las dos proporciones de muestra es
π 1 − π 2 =0 y su desviación estándar puede escribirse como
estimarse combinando los datos y sustituyendo por π
π̂ =
1 1
+  donde π suele
 c1 c 2 
π (1 − π )
la proporción de muestra combinada
x1 + x 2
. Siendo así con relación a muestras grandes, la distribución de muestreo de la diferencia
c1 + c 2
entre dos proporciones se puede calcular muy aproximadamente con una distribución normal, con base
en el estadígrafo
z=
x1 x 2
−
c1 c 2
1 1
+ 
 c1 c 2 
πˆ (1 − πˆ )
con π̂ =
x1 + x 2
c1 + c 2
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Cátedra de Cálculo Estadístico y Biometría – Facultad de Ciencias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015
UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prueba estadística para π 1 − π 2 de dos muestras grandes
7. 1. Planteo de Hipótesis
a) Hipótesis científica
b) Hipótesis estadísticas
Hipótesis nula: H 0 : π 2 = π 1 o equivalente H 0
Hipótesis Alternativa:
Alterna
Prueba de una cola
H1 : (π1 − π 2 ) > 0
: (π 1 − π 2 ) = 0
Prueba de dos colas
H1 : (π 1 − π 2 ) ≠ 0
(o H1 : (π1 − π 2 ) < 0)
2.. Nivel de significancia: α =
3.. Estadígrafo de prueba:
z=
(πˆ1 − πˆ 2 ) − 0
π 1 (1 − π 1 ) π 2 (1 − π 2 )
c1
Donde
+
πˆ1 = x1 / c1
y
=
(πˆ1 − πˆ 2 )
π (1 − π ) π (1 − π )
+
c1
c2
=
x1 x 2
−
c1 c 2
1 1
+ 
 c1 c 2 
πˆ (1 − πˆ )
c2
πˆ 2 = x2 / c2 . Puestoo que no se conoce el valor común de π 1 = π 2 = π
(utilizado en el error estándar), se estima por
π̂ =
x1 + x 2
c1 + c 2
Supuesto:: las muestras se seleccionan de una manera aleatoria e independiente en las dos
poblaciones binomiales, y n1 y n2 son
n lo suficientemente grandes para que la distribución de
muestreo de ( p1 − p2 ) pueda ser aproximada mediante una distribución normal. Es decir, n1 p1 ,
n1 q1 , n 2 p 2 y n 2 q 2 deben ser mayores a 5.
4.. Regla de decisión: rechazo la H0 cuando
Prueba de una cola
z > zα
Prueba de dos colas
(o bien z < − zα cuando
z > z α/2 o bien z < − z α/2
H a : (π 1 − π 2 ) < 0)
O cuando el valor de
π <α
%
%
Ejemplo 11.8. Para demostrar la efectividad de un nuevo medicamento que alivia el dolor, a 80
pacientes de una clínica se les dio una pastilla que contiene el medicamento y a otros 80 se les
administró un placebo. En el nivel de significancia 0,01, ¿qué
¿qué podemos concluir acerca de la efectividad
de la droga, si del primer grupo 56 de los pacientes sintieron un efecto benéfico mientras que en el otro
grupo, 38 pacientes también sintieron un efecto benéfico?
1º) Hipótesis
Hipótesis científica
Hipótesis
s estadísticas
H 0 :π 1 = π 2
H1 : π 1 > π 2
2º) Nivel de significancia: α = 0,01
3º) Estadígrafo de prueba:
z=
x1 x 2
−
c1 c 2
1 1
+ 
 c1 c 2 
πˆ (1 − πˆ )
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Estadístico y Biometría – Facultad de Ciencias
ias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015
UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA
4º) Regla de decisión
%
Se rechaza la hipótesis nula si z m > 2,33 , obtenido el valor de la tabla de
F(z).
0,
0,01
0,05
zc= -1,645
zc= 2,33
5º) Cálculo del valor muestral del estadígrafo de prueba
Al sustituir en la fórmula p =
x1 + x 2
56 + 38
los valores correspondientes se obtiene p =
= 0.5875
n1 + n 2
80 + 80
Reemplazando en el estadígrafo de prueba obtenemos
obtenemos el valor muestral de z
z=
x1 x 2
−
c1 c 2
1 1
πˆ (1 − πˆ ) + 
 c1 c 2 
=
56 38
−
80 80
= 22.89
1
 1
(0.5875)(0.4125) + 
 80 80 
6º) Decisión
Como zm=2.89 excede a zc=2.33, se debe rechazar la hipótesis nula.
7º) Conclusión
La muestra aporta evidencia suficiente, con un nivel de significancia de 0,01, para decir que existe
una diferencia entre los grupos de pacientes frente al efecto benéfico de la droga.
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Cátedra de Cálculo
culo Estadístico y Biometría – Facultad de Cien
iencias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015