MECÁNICA CUÁNTICA II. Duración: cuatro horas 1. Como se vio en clase, el grupo de Poincaré, x → Λx+a, se puede representar en L2 (R4 ), con generadores P µ = i∂ µ , J µν = xµ P ν − xν P µ . El grupo conforme (dimensión 15) se completa añadiendo las siguientes transformaciones: xµ + bµ x2 µ s µ µ x 7→ e x , x 7→ , 1 + 2bν xν + b2 x2 con coordenadas s y bµ (x2 = xµ xµ , ı́dem b2 ). Se pide: a) Calcular los generadores asociados a las nuevas transformaciones (D y C µ ). Usar el convenio δL = −δaµ P µ + 12 δωµν J µν + δsD + δbµ C µ . b) Calcular los conmutadores [P µ , D] y [P µ , C ν ] y expresarlos como combinación lineal de P , J, D, y C. 2. En clase, partiendo del operador hamiltoniano, se construyó la integral de caminos para una partı́cula de masa M en un potencial V (x, t). Se pide: a) Hacer la construcción análoga para un partı́cula con carga q en un campo electromagnético con potenciales A(x, t) y Φ(x, t). Se puede suponer que A satisface la condición de gauge de Coulomb, ∇A = 0, y q = ~ = c = 1. Se puede usar la hx|O|pi hx|eǫO |pi = exp ǫ + O(ǫ2 ), para un operador genérico O. identidad hx|pi hx|pi b) En ausencia de potencial vector, la inserción de un operador f (p̂) en tiempo tj daba lugar a un factor xj+1 − xj , (1) hf (M vj + q)iq , vj := ǫ en la integral de caminos. Estudiar la modificación que introduce A en este factor. 3. En una teorı́a bosónica, sea A un operador tipo campo (combinación lineal de operadores de creación y destrucción). a) El valor esperado h0|eA |0i se puede expresar como una función de la contracción AA. Encontrar dicha expresión. Se puede usar el teorema de Wick, o bien CampbellHausdorff con A = A(+) + A(−) , relacionando [A(+) , A(−) ] con AA. b) Usando el resultado anterior encontrar la distribución de probabilidad de φ en el vacı́o, siendo φ = fα∗ aα + fα a†α (los fα son coeficientes numéricos). Notar que la densidad pedida seR puede escribir como ρ(x) = h0|δ(φ − x)|0i. Sugerencia: usar la identidad δ(x) = eikx dk/2π. 4. Calcular Z dξ3 dξ2 dξ1 exp(a·ξ b·ξ c·ξ), donde a, b y c son tres vectores arbitrarios en R3 y ξ son tres generadores del álgebra de Grassmann. Puntuación de estos ejercicios: (1,5 + 1,5) + (1,5 + 1,5) + (1,5 + 1,5) + 1.