Resolución de ecuaciones logarítmicas aplicando cambio de base

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS
UTILIZANDO CAMBIO DE BASE
Antecedentes
Si en una ecuación logarítmica se involucran logaritmos de diferentes bases
se tiene que recurrir a un cambio de base. La finalidad de realizar un cambio de
base en la ecuación logarítmica es dejar a los logaritmos involucrados en la
misma base para resolver la ecuación.
Para realizar el cambio de base se utiliza la expresión
logb A =
log c A
log c b
donde
c
es la nueva base
por ejemplo:
log8 4 =
log 2 4
log 2 8
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones utilizando cambio de base.
1) log 4 x = 2 + log16 x
Se agrupan los logaritmos
log 4 x − log16 x = 2
En el segundo término del lado izquierdo se realiza un cambio de base
utilizando la expresión antes citada, por lo que
log16 x =
log 4 x
log 4 16
log 4 x −
log 4 x
=2
log 4 16
Utilizando el concepto de logaritmo se tiene que log 4 16 = 2 por lo que
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log 4 x −
log 4 x
=2
2
1
log 4 x − log 4 x = 2
2
Al aplicar la propiedad del cociente entre dos números se tiene
1
log 4 x − log 4 x 2 = 2
⎛ x
log 4 ⎜⎜ 1
⎜ 2
⎝x
⎞
⎟=2
⎟⎟
⎠
Se simplifica el exponente de x
⎛ 1⎞
log 4 ⎜⎜ x 2 ⎟⎟ = 2
⎝ ⎠
Nuevamente se aplica la definición de logaritmo y se despeja la incógnita x
1
2
x = 42
2
⎛ 12 ⎞
2
⎜ x ⎟ = (42 )
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x = 44 = 256
2) log 2 x + log 4 x = 1
Se realiza un cambio de base en el segundo término del lado izquierdo de la
ecuación
log 2 x +
log 2 x
=1
log 2 4
Al aplicar la definición de logaritmo al denominador se tiene log 2 4 = 2
log 2 x +
log 2 x
=1
2
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Utilizando propiedades de los logaritmos se tiene
1
log 2 x + log 2 x 2 = 1
1
⎛
⎞
log 2 ⎜ x ⋅ x 2 ⎟ = 1
⎝
⎠
3
log 2 x 2 = 1
Aplicando nuevamente la definición de logaritmo y despejando a
x
se
tiene
3
x2 = 2
2
x = 23
x=
3
4
3) log 3 x 2 − log 27 x = −1
Al aplicar la propiedad del recíproco de un número en el segundo término
del lado izquierdo se tiene
log 3 x 2 + log 27 x −1 = −1
log 3 x 2 + log 27
1
= −1
x
Realizando un cambio de base en el segundo sumando de la ecuación
⎛1⎞
log 3 ⎜ ⎟
⎝ x ⎠ = −1
log 3 x 2 +
log 3 27
Se utiliza la definición de logaritmo en el denominador
log 3 27 = 3
sustituye en la ecuación
⎛1⎞
log 3 ⎜ ⎟
⎝ x ⎠ = −1
log 3 x 2 +
3
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y se
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Se aplica la propiedad de logaritmo de la raíz enésima de un número en el
segundo término del lado izquierdo
1
⎛ 1 ⎞3
log 3 x + log 3 ⎜ ⎟ = −1
⎝ x⎠
2
Se utiliza la propiedad de la división entre dos números
⎛ x2
log 3 ⎜ 1
⎜ 3
⎝x
⎞
⎟ = −1
⎟
⎠
Se simplifica el exponente de x
⎛ 53 ⎞
log 3 ⎜ x ⎟ = −1
⎝ ⎠
5
3
− log 3 x = 1
Al aplicar nuevamente la propiedad de logaritmo del recíproco de un número
se tiene
log 3 x
−
5
3
⎛ 1
log 3 ⎜ 5
⎜ 3
⎝x
=1
⎞
⎟ =1
⎟
⎠
Se aplica la definición de logaritmo y se despeja x
1
x
5
3
=3
5
1
= x3
3
x=
5
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