Aleatoriedad en una baraja Efectividad de las técnicas para barajar Miguel Guil de la Vega Azar En una baraja francesa hay 52!, permutaciones posibles, un numero mayor que la edad del universo medida en el tiempo de Planck (el menor intervalo de tiempo medible), y en una española 40!, del orden del número de moléculas de agua en la tierra, así que casi con toda probabilidad, dos barajas perfectamente barajadas jamás han estado en la misma configuración. Sin embargo, no todas las barajas han estado perfectamente barajadas. 52!≈8×10 67 40 !≈8×10 47 Good bridge players take advantage of non-randomness after 4 shuffles Los buenos jugadores de bridge se aprovechan de la no aleatoriedad tras barajar 4 veces. Traducido de: "Shuffle" Wikipedia: The Free Encyclopedia Barajar Para considerar que una baraja esta ordenada de forma aleatoria, se debe pensar no en la configuración en la que está, sino como de predecible es esta partiendo de la anterior. Por tanto, depende del “camino” recorrido por la baraja en el “espacio de configuración, es decir, del barajar. Considerando un mazo de 5 cartas, si asignamos números a las cartas según su orden en la posición inicial, la secuencia 1-2-3-4-5 puede ser tan aleatoria como la 2-1-4-5-3, solo depende del proceso con el que se ha barajado Análisis probabilista Si todas las permutaciones se pudiesen alcanzar, y todas fuesen igual de probables, es decir, si tras barajar se obtuviese una distribución uniforme de permutaciones, entonces diríamos que las cartas están perfectamente barajadas. Para evaluar lo bien barajada que está la baraja, en este análisis se puede utilizar la distancia de variación entre la distribución y la uniforme, definida como la probabilidad de la combinación con mayor probabilidad tras barajar menos la probabilidad de esa combinación en la distribución uniforme de permutaciones de cartas, 1/(n!). Este valor es menor cuanto mejor barajada esta la baraja, y vale 1-1/(n!) si no esta barajada (cota superior) y 0 si esta perfectamente barajada (cota inferior). Persi Diaconis Matemático y anteriormente mago profesional, es autor de los trabajos clásicos probabilistas sobre barajar, obteniendo el resultado de que 7 mezclas por imbricación son suficientes para que una baraja sea casi aleatoria Otras teorías Aunque este desarrollo formal es útil, no es el único enfoque utilizado. Considerando la baraja como una fuente de información, se pueden definir cantidades como la entropía para medir la degradación de la información, y consecuentemente de la aleatoriedad de la baraja. Un trabajo con este enfoque asegura que solo hace falta barajar por imbricación 5 veces para que sea aleatorio, conclusión obtenida tras hacer simulación por ordenador del proceso de barajar, y ver la variación de entropía. Usos profesionales Aunque tras barajar unas 7 veces las cartas se pueda considerar que es casi aleatorio, los casinos profesionales utilizan máquinas de barajar automáticas, que ordenan las cartas según algorítmos como el Knuth ó FisherYates, que generan combinaciones aleatorias si los números pseudoalatorios se pueden tomar como aleatorios. Generar entropía No se puede considerar que los números generados por un ordenador sean aleatorios, pero hacen falta en estos casos, como se discute en este artículo. Por ejemplo, en el casino online crystalpoker.net, explican que para poder considerar sus partidas aleatorias, parten de datos como el IP de los jugadores, o la posición de su ratón en la pantalla. Esta entropía sustituye a la que se generaría en el proceso de barajar las cartas, por la aleatoriedad del proceso utilizado. Reglas de detención fuertemente uniformes Para los jugadores de Una regla de detención fuertemente uniforme es una norma que garantiza que cuando se cumple, la baraja estará perfectamente barajada. cartas, la pregunta esencial no es “¿cómo de aleatorio será el mazo después de barajarlo un millón de veces?”, sino “¿bastará con 7?” D.Aldous & P.Diaconis Normalmente, no conocemos cuando se cumple una regla de detención fuertemente uniforme, sino que podemos calcular la probabilidad de que se hayan cumplido. Si se ha cumplido, sabemos que las cartas están perfectamente barajadas, así que nos proporciona una cota inferior para la probabilidad de que esté perfectamente barajada tras un número dado de veces que se ha realizado el proceso de barajar. Se puede demostrar que la distancia de variación de la distribución a la uniforme es menor que la probabilidad de no haberse cumplido la regla de detención, con lo que obtenemos también una cota para esta cantidad. Forma de barajar sencilla En esta forma de barajar, se coge la carta superior y se reintroduce en un lugar aleatorio de la baraja. El proceso es sencillo, pero como veremos es también muy lento. En este caso es fácil establecer un criterio fuertemente uniforme, ya que cuando llegue la carta del fondo a la parte superior, el resto se habrá introducido de forma aleatoria por debajo de ella, con lo que al introducir esa carta al azar en la baraja, la baraja estará aleatoriamente ordenada. La regla de detención fuertemente uniforme para esta forma de barajar Para calcular cuando se da la regla de detención fuertemente uniforme, podemos considerarlo como una suma de sucesiones geométricas, con una probabilidad de 1/n, 2/n, y así sucesivamente, ya que la probabilidad de introducir una carta al azar debajo de la última crece así, al ir introduciendo cartas debajo de la que estaba en el fondo al comienzo. Este problema es análogo al de un coleccionista que busca cromos nuevos que vengan en paquetes tapados, aunque en el orden contrario (sería empezar faltando solo uno, luego que faltaran 2, etc.) ● ● Podemos usar esta como una cota de la distancia de la distribución uniforme a la que tenemos, siempre que se barajen las cartas por lo menos n*log(n) veces Para una baraja española, se necesitaría hacerlo por lo menos 148 veces, y para una francesa 206, lo cual confirma lo ineficaz del método. 0.9 0.8 Cota de la distancia de variación Este es un problema muy estudiado, y se puede demostrar fácilmente que si barajamos n*log(n) + cn veces, siendo n el número de cartas la probabilidad de que no se haya cumplido la regla−cde detención es menor que e Barajeo sencillo de una baraja española 1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 100 200 300 400 500 Veces barajada 600 700 800 Barajeo sencillo de una baraja francesa 1 0.9 0.8 Cota de la distancia de variación ● 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 200 300 400 500 600 Veces barajada 700 800 900 1000 Mezclas por imbricación Este método consiste en cortar el mazo en 2 y juntarlo intercalando las cartas entre ambas partes, de forma aleatoria La mejor manera de analizarlo, es considerar el proceso en sentido inverso, es decir, pensar en asignar a cada carta un uno o un cero al azar, y poner las cartas con un 0 encima de las que tienen un 1, conservando el orden relativo dentro de los grupos. La regla de detención es parar cuando las cadenas binarias asignadas a cada carta sean distintas, ya que entonces cada carta habrá seguido un camino aleatorio e independiente, completamente al azar. La generación de la cadena al azar es como elegir un número natural (incluyendo el 0) menor que 2k , donde k es el número de veces que barajamos, ya que cada cadena se puede ver cómo la codificación de ese número en binario. Así, se puede ver que este problema es como la paradoja del cumpleaños, considerando n (el número de cartas) personas en un año con 2k días, es decir, ver la probabilidad de que metiendo al azar n bolas en cajas, halla 2 bolas en la misma caja. ● Barajeo por imbricación de una baraja española 1 0.9 Cota de la distancia de variación 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 Veces barajada Barajeo por imbricación de una baraja francesa 1 0.9 0.8 n−1 dist variación1− ∏ 1− i=1 i 2k 0.7 Cota de la distancia de variación Así, podemos acotar la distancia de nuestra distribución a la uniforme por la probabilidad de que dos personas tengan el mismo cumpleaños, obtenida en el estudio del problema anterior, ● 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 Veces barajada 15 Análisis final Barajeo por imbricación de una baraja francesa 1 Sin embargo, estas son solo cotas de estas distancias, y como se han visto hay estudios con resultados distintos, y algunos mucho más fuertes, como el obtenido en la referencia [3], con simulaciones por ordenador, para la baraja francesa, que comparamos en esta gráfica. Análisis sencillo Análisis de [3] 0.9 0.8 0.7 Cota de la distancia de variación ● 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 Veces barajada La conclusión final que uno podría extraer es que aunque un mazo pueda parecer que está bien barajado, no tiene porqué ser así, y aunque para un juego entre amigos no importe mucho, en el campo profesional es algo que se estudia con mucho detalle ya que mueve mucho dinero. Para ver la no aleatoreidad de una baraja, se pueden hacer juegos, como el solitario considerado en este artículo y en este sin barajar las cartas. El orden oculto en una baraja es tan sorprendente que es utilizado tanto para sorprender o engañar, por magos o timadores. Bibliografía [1]Martin Aigner & Günter M.Ziegler: El libro de las demostraciones, Nivola, 2005 [2]D.Aldous & P.Diaconis: Shuffling cards and stopping times, Amer. Math. Monthly 93, (1986) 333-348 [3]D.Bayer & P.Diaconis: Trailing the dovetail shuffle to its lair, Annals Applied Probability 2 (1992), 294-313 [4]D. Aldous and P. Diaconis: Longest increasing subsequences: from patience sorting to the Baik-Deift-Johansson theorem. Bull. (new series) of the Amer. Math. Society, 36, 4, 413–432 [5]Trefethen, L. N. and Trefethen, L. M. :How many shuffles to randomize a deck of cards?, Proceedings of the Royal Society London A 456, 2561–2568 (2000) [6]Catlin, D. 2002. Non-random randomness. Part 1, Part 2: Innocent until proven guilty Casino City Times [7]Kolata, G. 1990. In shuffling cards, 7 is winning number. New York Times (Jan. 9).