Tema 3: Análisis de sistemas realimentados

Índice
Tema 3:
Análisis de sistemas
realimentados
„
Función de transferencia del sistema en bucle cerrado
„
Sintonización de un controlador
„
Análisis de la estabilidad de un sistema
„
Respuesta en régimen permanente del sistema en bucle
cerrado.
Control Automático
3º Curso. Ing. Industrial
Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Universidad de Sevilla
„
Respuesta en régimen transitorio de un sistema estable.
„
Dependencia de los polos y ceros de la función de
transferencia del sistema realimentado con los parámetros
del controlador.
Curso 2008-09
Control de sistemas SISO
Control de sistemas SISO
Control en torno a un punto de trabajo (u0,y0)
e(t)
r(t)
Controlador
Δu(t)
u(t)
Planta
Diseño basado en heurística
… Sintonización del controlador por experimentación
„ Sistema real
„ Sistema simulado
„
Diseño por tabla
… Sintonización del controlador basado en un ensayo experimental
„ Ziegler-Nichols (Tema 6)
„ Astrom-Hägglund, Ho-Hang-Cao….
„
Diseño matemático
… Analizar el sistema dinámico en bucle cerrado y diseñar el controlador para
que cumpla una serie de propiedades
„ Tiempo de subida
„ Error en régimen permanente
Diseño analítico
Diseño basado en el lugar de las raíces
„ Robustez frente a perturbaciones
y(t)
+
-
„
u0
(Referencia en valor global)
Controlador
e(t)
Controlador
Control automático
Δu(t)
PI
¿Qué valor darle a los parámetros del controlador (Kp y Ti) para que el sistema
en bucle cerrado tenga un comportamiento adecuado?
Moldeo de lazo (diseño en frecuencia)
Control de sistemas SISO
Modelo en variables de error
„
e(t)
r(t)
Controlador
Δu(t)
u(t)
Planta
y(t)
Para poder definir una serie de propiedades de un sistema dinámico, se define
el modelo en variables de error en torno a un punto de trabajo estable (u0,y0)
de la siguiente forma:
+
-
u0
Sistema
+
-
Sistema en bucle cerrado
Si el sistema es no lineal , es muy difícil analizar las propiedades del
sistema en bucle cerrado.
Modelo en variables de error en (u0,y0)
Simplificación: Análisis de la respuesta del modelo en variables de
error. (Linealizado).
Suposición: Condiciones
iniciales en el punto de
punto de trabajo.
Modelo en variables de error
Teoría de sistemas
„
Modelo lineal
Suposición: Condiciones iniciales en
el punto de punto de trabajo.
e(t)
Controlador
„
Δu(t)
Modelo en variables de error en (u0,y0)
-
„
„
Análisis de la respuesta del sistema linealizado en bucle cerrado. Tanto el
sistema linealizado y controlador son sistemas lineales.
Teoría de sistemas
Hipótesis de diseño: Las propiedades de este modelo nos indican:
- Velocidad de respuesta
- Capacidad de seguir una señal de referencia que cambia con el tiempo
- Robustez frente a perturbaciones
-…
Nota: El modelo
depende del punto de
trabajo.
„
„
„
TEMA 1. Introducción y fundamentos.
… Sistemas dinámicos. Conceptos básicos. Ecuaciones y evolución temporal. Linealidad en los
sistemas dinámicos.
TEMA 2. Representación de sistemas.
… Clasificación de los sistemas. Clasificación de comportamientos. Señales de prueba.
Descripción externa e interna. Ecuaciones diferenciales y en diferencias. Simulación.
TEMA 3. Modelado y simulación.
… Modelado de sistemas. Modelado de sistemas mecánicos. Modelado de sistemas hidráulicos.
Modelado de sistemas eléctricos. Modelado de sistemas térmicos. Linealización de modelos no
lineales. Modelos lineales. Álgebra de bloques. Simulación.
TEMA 4. Sistemas dinámicos lineales en tiempo continuo.
… Transformación de Laplace. Descripción externa de los sistemas dinámicos. Función de
transferencia. Respuesta impulsional. Descripción interna de los sistemas dinámicos.
TEMA 5. Respuesta temporal de sistemas lineales.
… Sistemas dinámicos lineales de primer orden. Ejemplos. Sistemas dinámicos lineales de
segundo orden. Respuesta ante escalón. Sistemas de orden n.
TEMA 6. Respuesta frecuencial de sistemas lineales.
… Función de transferencia en el dominio de la frecuencia. Transformación de Fourier.
Representación gráfica de la función de transferencia. Diagramas más comunes. Diagrama de
Bode.
TEMA 7. Estabilidad.
… Estabilidad de sistemas lineales. Criterios relativos a la descripción externa de los sistemas
dinámicos. Criterio de Routh-Hurwitz. Criterio de Nyquist. Criterios relativos a la descripción
interna.
Análisis de sistemas lineales invariantes en el tiempo
Función de transferencia Gbc(s)
Modelo lineal invariante en el tiempo (LTI)
Acción proporcional
Incremento de la acción de control proporcional al error
Controlador
e(t)
Nota: Para el resto del tema, las variables “y” y “u” son las variables de
error, es decir la desviación de la entrada y la salida del punto de equilibrio
Δu(t)
Dominio temporal
Función de transferencia
Transformada de Laplace (suponiendo estado inicial nulo)
C(s)
E(s)
U(s)
Dominio frecuencial
Propiedades utilizadas: Linealidad, transformada de la derivada
Parámetro de diseño: Kp
Función de transferencia
Acción integral
Acción derivativa
Incremento de la acción de control proporcional al error
Controlador
e(t)
Δu(t)
Dominio temporal
C(s)
Controlador
e(t)
Función de transferencia
E(s)
Incremento de la acción de control proporcional al error
Δu(t)
Dominio temporal
Función de transferencia
U(s)
E(s)
C(s)
Dominio frecuencial
Parámetro de diseño: Kp, Ti
Propiedad de linealidad y transformada
de la integral
Red de retraso
U(s)
Dominio frecuencial
Parámetro de diseño: Kp, Td
Propiedad de linealidad y transformada
de la derivada
Red de avance
Controlador con
propiedades similares al PI
Controlador con
propiedades similares al PD
Controlador PID
Controlador PID
Incremento de la acción de control proporcional al error a su integral y a su
derivada
e(t)
Controlador
Incremento de la acción de control proporcional al error
Controlador
e(t)
Δu(t)
Δu(t)
Dominio temporal
Función de transferencia
C(s)
E(s)
U(s)
Dominio frecuencial
Parámetro de diseño: Kp, Td, Ti
Función de transferencia Gbc(s)
+
S3(s) = S1(s)-S2(s)
S2(s) = S1(s)
S1(s)
-
Función de transferencia Gbc(s)
Sistema en bucle cerrado
Álgebra de bloques (Ogata 3.3, Tema 3 de Teoría de sistemas)
S1(s)
Controlador con propiedades similares al PID
Red mixta
Tiene las tres acciones básicas de control
Amplia aplicación en la industria
Propiedad de linealidad y transformada
de la derivada e intregral
U(s)
E(s)
R(s)
C(s)
G(s)
Y(s)
-
S3(s) = S1(s)
S2(s)
Punto de suma
Punto de ramificación
R(s)
S1(s)
Sistema LTI
G(s)
S2(s)=G(s)S1(s)
Propiedad de la convolución
Gbc(s)
Y(s)
Gbc(s) modela la respuesta de la salida del
sistema en función de cambios en la referencia
Propiedades del controlador las definiremos a
través de la respuesta del sistema en bucle cerrado
Otras funciones de transferencia
Dinámica de los sensores (error de medida)
U(s)
R(s)
+
C(s)
Ym(s)
Y(s)
G(s)
H(s)
Índice
„
Función de transferencia del sistema en bucle cerrado
„
Sintonización de un controlador
„
Análisis de la estabilidad de un sistema
„
Respuesta en régimen permanente del sistema en bucle
D(s)
cerrado.
Perturbación a la salida
C(s)
Ym(s)
G(s)
Y(s)
+
+
+
R(s)
Gd(s)
U(s)
„
Respuesta en régimen transitorio de un sistema estable.
„
Dependencia de los polos y ceros de la función de
transferencia del sistema realimentado con los parámetros
del controlador.
H(s)
Sintonización de un controlador
Ejemplo
Diseño de los parámetros de el controlador (C(s)) para que el sistema en bucle
cerrado tenga unas determinadas propiedades (especificaciones)
Gbc(s) no está definida si no
definimos los parámetros de C(s)
Sistema en bucle cerrado
Especificaciones
Tiempo de subida frente a un escalón en el incremento de referencia
Error en régimen permanente
Estabilidad
…
ESPECIFICACIONES SOBRE EL
MODELO EN VARIABLES DE ERROR
TIENEN EFECTO SOBRE EL SISTEMA
EN BUCLE CERRADO REAL
Diseño matemático
Analizar el sistema dinámico en bucle cerrado y diseñar el controlador para
que cumpla una serie de propiedades
¿Comportamiento del sistema? Depende de Kp
Sistema de 3 polos que dependen de Kp
Ganancia estática del sistema depende de Kp
Señal de referencia: Escalón de amplitud 1 en la referencia
- Simulamos el comportamiento en Simulink/Matlab
Ejemplo
Ejemplo
Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0
Kp = 0.1, Td = 0, 1/Ti = 0
1.5
0
1
y(t)
y(t)
1
0.5
0.5
0
0
10
20
30
40
50
60
10
20
30
40
50
60
e(t)
e(t)
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0.5
0
−0.5
0
10
20
30
40
50
60
∫t0 e(τ)dτ
40
20
0
30
1
0.5
∫t0 e(τ)dτ
Kp=0.1
20
0
−0.5
0
1
0
10
0.5
u(t)
u(t)
0.05
0
0
1
0.1
10
5
0
0
10
20
30
40
50
60
Respuesta del sistema en BC
Respuesta del sistema en BC
Kp=1
Kp = 10, Td = 0, 1/Ti = 0
Kp = 15, Td = 0, 1/Ti = 0
20
1
0
0
10
20
30
40
50
u(t)
u(t)
0
10
20
30
40
50
−200
60
0
0
10
20
30
40
50
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0
−10
−20
60
∫t0 e(τ)dτ
1
0.5
0
−0.5
20
10
e(t)
e(t)
∫t0 e(τ)dτ
Kp=15
10
0
1
−1
0
200
0
−10
0
−10
60
10
Kp=10
10
y(t)
y(t)
2
0
10
20
30
40
50
10
5
0
−5
60
Respuesta del sistema en BC
Ejemplo
Ejemplo
Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0
Kp = 0.1, Td = 0, 1/Ti = 0
1.5
y(t)
y(t)
1
0.5
0
10
20
30
40
50
60
10
20
30
40
50
60
e(t)
e(t)
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
10
5
0
20
50
0
60
∫t e(τ)dτ
0
0
∫t e(τ)dτ
0
40
0.5
−0.5
40
30
1
1
0.5
20
0
−0.5
0
10
0.5
u(t)
u(t)
0.05
0
1
0.1
0
1
0.5
0
0
Respuesta del sistema en BC
0
0
0
10
20
30
40
Respuesta del sistema en BC
50
60
Respuesta del sistema en BC
Ejemplo
Ejemplo
Kp = 10, Td = 0, 1/Ti = 0
Kp = 15, Td = 0, 1/Ti = 0
20
1
0
0
10
20
30
40
50
0
0
10
20
30
40
50
60
−200
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
10
e(t)
e(t)
0
0
10
20
30
40
50
0
−10
−20
60
1
∫t e(τ)dτ
0.5
0
10
5
0
0
∫t0 e(τ)dτ
10
0
1
−1
0
200
u(t)
u(t)
0
−10
60
10
−10
10
y(t)
y(t)
2
−0.5
0
10
20
30
40
50
60
Respuesta del sistema en BC
Índice
„
Función de transferencia del sistema en bucle cerrado
„
Sintonización de un controlador
„
Análisis de la estabilidad de un sistema
„
Respuesta en régimen permanente del sistema en bucle
−5
Respuesta del sistema en BC
Sintonización de un controlador
Diseño de los parámetros de el controlador (C(s)) para que el sistema en bucle
cerrado tenga unas determinadas propiedades (especificaciones)
Gbc(s) no está definida si no
definimos los parámetros de C(s)
Especificaciones (Teoría de sistemas)
cerrado.
Estabilidad
„
Respuesta en régimen transitorio de un sistema estable.
Respuesta transitoria
„
Dependencia de los polos y ceros de la función de
Respuesta en régimen permanente
TEMA 7. Estabilidad
TEMA 5. Respuesta temporal de sistemas lineales
TEMA 5. Respuesta temporal de sistemas lineales
transferencia del sistema realimentado con los parámetros
del controlador.
Diseño matemático
Analizar el sistema dinámico en bucle cerrado y diseñar el controlador para
que cumpla una serie de propiedades
Tipos de comportamiento
„
Respuesta al escalón unitario
… Clasificación de la señal de salida Δy(t) frente a una determinada señal de
entrada.
„ Escalón unitario (la más utilizada).
„ Rampa.
„ Senoide.
… Da información sobre las propiedades dinámicas del sistema
Tipos de comportamiento
„
Sobreamortiguado
Step Response
1
Retraso L
Ganancia K
Tiempo de subida ts
0.9
0.8
0.7
Tiempo de subida: Tiempo en
alcanzar el 63% del valor de
régimen permanente.
0.6
Amplitude
Modelo en variables
de error en (u0,y0)
K
0.5
0.4
Suposición: Condiciones iniciales en el punto
de punto de trabajo.
Escalón unitario:
0.2
Comportamiento:
• Sobreamortiguado
• Subamortiguado
• Inestable
• Oscilatorio
0.1
0
Subamortiguado
Mp
K
ts tp
te
Tiempo de levantamiento: Tiempo
en alcanzar el valor de régimen
permanente por primera vez.
Tiempo de pico: Tiempo en
alcanzar el máximo.
Tiempo de establecimiento:
Tiempo en alcanzar una bande del
5% del valor de régimen
permanente.
Sobrepaso: Valor del incremento
del pico de sobreoscilación en
porcentaje del valor de régimen
permanente.
5
10
15
Ganancia: Relación entre el valor
de entrada y el valor de salida en
el permanente.
Time (sec)
L
Tipos de comportamiento
„
Retraso L
Ganancia K
Tiempo de subida ts
Tiempo de pico tp
Tiempo de establecimiento te
Sobrepaso Mp
0
ts
Tipos de comportamiento
„
Retraso: Tiempo que tarda en
reaccionar la salida después de el
cambio en la entrada.
0.3
Inestable
Estabilidad
(TEMA 7. Estabilidad)
Criterio de estabilidad:
Gbc(s) es estable si tiene todos los polos en el semiplano izquierdo
Estabilidad
Método analítico (ensayo y error)
• Evaluar los polos del sistema en bucle cerrado para cada combinación de
parámetros del controlador (Kp, Td, Ti) usando el modelo del sistema
Los polos del sistema son las raíces del denominador (dependen de C(s))
Un sistema en bucle cerrado puede convertirse en inestable si el controlador
está mal diseñado
Ejemplo:
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
• Permite evaluar si un polinomio tiene raíces en el semiplano derecho
• Surge para evitar calcular las raíces de un polinomio de orden superior
• Puede usarse para evaluar condiciones que garantizan estabilidad
Kp=15
Polos: -5.65, 0.0500 + 1.8272i, 0.0500 - 1.8272i
Criterio de estabilidad de Nyquist (lo veremos en el tema 5)
El diseño del controlador tiene que garantizar la estabilidad del bucle cerrado
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
Ejemplo
Determinar si existe alguna raíz del siguiente polinomio en el semiplano derecho
Nota: Importante la notación
Sistema en bucle cerrado
1 - Si existe algún parámetro negativo o cero, entonces el polinomino tiene al
menos una raíz en el semiplano derecho
2 - Construir la tabla de Routh-Hurwitz. Si existe algún componente negativo o cero
en la primera columna de la tabla, entonces el polinomino tiene al menos una raíz
en el semiplano derecho
Los polos son las soluciones de la siguiente ecuación (depende de Kp)
Rango de ganancias
Nota: Hay reglas para gestionar casos
degenerados (ver Tema 7)
Ejemplo
Índice
Sistema en bucle cerrado
„
Función de transferencia del sistema en bucle cerrado
„
Sintonización de un controlador
„
Análisis de la estabilidad de un sistema
„
Respuesta en régimen permanente del sistema en
Los polos son las soluciones de la siguiente ecuación (dependen de Kp y Ti)
bucle cerrado.
„
Respuesta en régimen transitorio de un sistema estable.
„
Dependencia de los polos y ceros de la función de
transferencia del sistema realimentado con los parámetros
Técnica poco útil con múltiples
parámetros
Respuesta en régimen permanente
Respuesta del sistema cuando el tiempo tiende a infinito
(suponemos que el sistema en bucle cerrado es estable)
del controlador.
Error frente a un escalón
Error ante una entrada constante (en rég. perm.)
Error en régimen permanente
1
0.8
0.6
Constante de error en posición
Teorema del valor final (propiedad de la transformada de Laplace)
0.4
0.2
0
0
1
Todo sistema estable tiene error en posición acotado
Para que el error sea nulo (el sistema alcance la referencia)
Importante: Depende de R(s)
Diferentes referencias definen diferentes parámetros de error en régimen
permanente
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Error frente a una rampa
Error frente a una parábola
Error ante una entrada en rampa (en rég. perm.)
Error ante una entrada en parábola (en rég. perm.)
4.5
4
3.5
Constante de error en velocidad
Constante de error en aceleración
7
6
3
2.5
5
2
4
1.5
3
1
2
0.5
1
0
0
1
2
3
4
5
Error en velocidad acotado ⇔ Error en posición nulo
(C(s)G(s) tiene al menos un integrador)
Para que el error sea nulo (el sistema alcance la referencia)
0
0
7
Tipo
Escalón
Rampa
Parábola
0
1
1.5
2
2.5
3
Ejemplo
Controlador P
Tipo de un sistema = nº de integradores
Error
0.5
Error en aceleración acotado ⇔ Error en posición nulo ⇔ Error en velocidad
nulo (C(s)G(s) tiene al menos dos integradores)
Para que el error sea nulo (el sistema alcance la referencia)
Tabla de errores
„
6
1
2
0
0
0
Sistema de tipo I
El controlador P afecta la ganancia de
Bode del sistema pero no puede
cambiar el tipo del mismo
Mejora (cuantitativamente) el
comportamiento en régimen
permanente
Dependencia con Kc
Ejemplo
Ejemplo
Error en posición. Referencia constante (escalón)
Error en velocidad. Referencia creciente (rampa)
Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0
Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0
60
1
0.5
0
40
y(t)
y(t)
1.5
0
10
20
30
40
50
20
0
60
1
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
10
u(t)
u(t)
0.5
0
−0.5
0
10
20
30
40
50
5
0
60
1
10
e(t)
e(t)
0.5
0
0
10
20
30
40
50
0
5
0
0
10
20
30
40
50
5
60
10
300
∫t0 e(τ)dτ
∫t0 e(τ)dτ
−0.5
200
100
0
60
Respuesta del sistema en BC
Ejemplo
Respuesta del sistema en BC
Ejemplo
Controlador PI
Error en posición. Referencia constante (escalón)
Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0.1
1.5
y(t)
Sistema de tipo I
Dependencia con Kc y Ti
(La red de retraso permite aumentar la ganancia de
Bode de forma arbitraria)
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
2
u(t)
1
0
−1
1
e(t)
0.5
0
−0.5
3
2
1
0
Mejora (cualitativamente) el
comportamiento en régimen
permanente
0.5
0
∫t e(τ)dτ
El controlador PI afecta la ganancia de
Bode del sistema y aumenta el tipo del
mismo
1
0
Respuesta del sistema en BC
Ejemplo
Índice
„
Error en velocidad. Referencia creciente (rampa)
„
„
Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0.1
„
y(t)
60
20
0
0
10
20
30
40
50
60
„
Respuesta en régimen transitorio de un sistema
10
u(t)
El término integral se
introduce para mejorar
la respuesta en régimen
permanente
40
Función de transferencia del sistema en bucle cerrado
Sintonización de un controlador
Análisis de la estabilidad de un sistema
Respuesta en régimen permanente del sistema en bucle
cerrado.
estable.
5
0
0
10
20
30
40
50
60
„
Dependencia de los polos y ceros de la función de
e(t)
3
(Puede inestabilizar
el sistema, probar
simulación con Kc=1
Ti=1)
1
0
∫t0 e(τ)dτ
transferencia del sistema realimentado con los parámetros
2
0
10
0
10
20
30
40
50
60
20
30
40
50
60
100
del controlador.
50
0
Respuesta del sistema en BC
Respuesta en régimen transitorio
„
Respuesta al escalón unitario
… Clasificación de la señal de salida Δy(t) frente a una determinada señal de
entrada.
„ Escalón unitario (la más utilizada).
„ Rampa.
„ Senoide.
… Da información sobre las propiedades dinámicas del sistema
C(s)
TEMA 5. Respuesta temporal de sistemas lineales.
Sistemas dinámicos lineales de primer orden. Ejemplos. Sistemas
dinámicos lineales de segundo orden. Respuesta ante escalón. Sistemas
de orden n.
Nos interesa la respuesta de y(t) al cambiar r(t) (comportamiento en bucle cerrado)
U(s)
E(s)
R(s)
Respuesta en régimen transitorio
G(s)
Y(s)
-
Respuesta de y(t) al aplicar un cambio en la referencia r(t)
Señal de referencia: Señal escalón. Indica la velocidad de respuesta del sistema
(la señal de referencia real en general será diferente de un escalón)
La respuesta transitoria de un sistema LTI frente a un escalón depende de su
función de transferencia (Gbc(s))
Opción ensayo y error
Dado un sistema realizar una simulación o antitransformar
Es difícil caracterizar el tiempo de subida o la sobreoscilación
Identificar el efecto de los parámetros del controlador sobre esta
respuesta
Sistemas de primer orden
dy
+ y = K u, y(0) = 0
dt
Δy
Y(s) K
K : Ganancia estática
Δu
G(s)=
=
U(s) 1+τ s τ : Constante de Tiempo
Sistemas de segundo orden
τ
d2 y
dy
+ a1 + a2 y = b1u
dt 2
dt
∞
(unidades conformes a las de entrada y salida)
d2 y
dy
+ 2 δ ωn + ωn2 y = K ωn2 u
dt 2
dt
∞
(medida en unidades de tiempo)
5
K : gananciaestática(dim Y/dimU)
4
δ : Coeficiente de amortiguación (adimensional)
ωn : frecuencianatural( rad/s)
3
2
Δu = 2
10
y
1
9.5
9
8.5
8
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
7.5
tiempo
7
K ωn2
Y(s)
G(s)=
=
U(s) s2 + 2δ ωns +ωn2
6.5
6
Δy = 6
5.5
5
4.5
0 . 63 ⋅ Δ y = 3 . 78
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
τ
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
tiempo
Sistemas de segundo orden
Sistemas de segundo orden
Sistema subamortiguado
Polos : − δ ωn ± ωn δ − 1
2
S.O. =
y(t p ) − y(∞)
y(∞)
y(t)
Im
Im
Re
Re
⎧δ >1:
⎪
⎨δ =1:
⎪δ <1:
⎩
Sobreamortiguado
Críticamente amort.
y(∞ )
ts =
yt
(∞
S
O
.=
Subamortiguado.
tp =
π −α
ωn 1 − δ 2
π
ωn 1 − δ 2
S .O.(%) = 100 ⋅ e
3
te =
0
0
ts tp
te
ωnδ
Tiemp
−
δπ
1−δ 2
Sistemas de orden superior
Polos dominantes
En la práctica, se dan situaciones en que algunos polos tienen una influencia en la
respuesta del sistema es muy superior a la del resto de polos, a estos polos se
les denomina polos dominantes.
du(t)
d m−1u(t)
d mu(t)
dy(t)
d n−1 y(t)
d n y(t)
...
b
a
y
b
a
a
+
+
+
+
=
+
+...+ bm−1
+ bmu(t)
1
0
1
n−1
n
dt
dtm−1
dtm
dt
dtn−1
dtn
G(s) =
Los polos dominantes son los polos que dan la respuesta más lenta.
La rapidez de respuesta viene dada por el exponente de la exponencial (la parte real
del polo), recuerde:
b0sm + b1sm−1 +...+ bm
s + a1sn−1 +...+ man−1s + an
Dinámicas dominantes: polos cuya respuesta es más lenta
n
k ' ∏(s + ci )
1
i =1
Y ( s) = ⋅ t
r
s ∏(s + p ) ∏
(s 2 + 2δ kωk s + ωk2 )
j
j =1
t
y(t ) = K + ∑ a j e
j =1
En la práctica, polos dominantes se determinan por la distancia relativa de los
mismos al eje imaginario
k =1
− p jt
p1
r
+ ∑ e−δ kωk t [bk sen(ωk 1 − δ 2 ⋅ t ) + ck cos(ωk 1 − δ 2 ⋅ t )]
k =1
siendo K la gananciaestática
K = limG(s)
p’2
s→0
Im
p2
d1
p1 es dominante si d2/d1>5
p1 d1
Re
d2
Polos dominantes
G( s ) =
Im
p2
d2
p’1
La ganancia estática
debe ser igual
Re
p’2
Efecto de los ceros en la respuesta
Los ceros afectan a la respuesta
544
544
2
≈
=
(s + 1)(s + 16)(s + 17) (s + 1)(16)(17) s + 1
Step Response
2.5
2
1.5
y(t)
Amplitude
Im
2.5
1
2
0.5
1.5
-17
0
0
-1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time (sec)
1
Re
Step Response
6
5
0.5
Amplitude
-16
4
0
0
1
2
3
Tiempo(s)
4
5
6
3
2
1
-1 es el dominante el resto se desprecian
00
0.5
1
Time (sec)
1.5
Efecto de los ceros en la respuesta
Efecto de los ceros en la respuesta
Ceros de fase mínima
Efecto de la adición de un cero
De forma cualitativa
1
0
o
x
-1
-20
-15
-10
xo
o
o
-5
0
5
Step Response
6
Step Response
1.8
5
1.6
1.4
0.8
0.8
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
1
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
0
0.2
0.4
0.6
Time (sec)
0
3
1
2
0.4
0.2
0
1
0.6
0.4
1
1.5
Amplitude
1
0.6
2
4
1.2
Amplitude
Amplitude
Amplitude
1.2
3
2
1.6
1.4
Amplitude
4
Step Response
6
2.5
2
1.8
y(t)
dy(t)/dt
yc(t)
Step Response
Step Response
2
5
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Time (sec)
1.8
2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
0
0.2
0.4
0.6
Time (sec)
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Time (sec)
2
Time (sec)
Efecto de los ceros en la respuesta
Efecto de los ceros en la respuesta
Cancelación de dinámicas
Ceros de fase no mínima
Step Response
1
1
0.8
Amplitude
ox
x
0
1
0
-15
x
-10
-5
o
o
0
-1
5
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
Time (sec)
Step Response
2
Step Response
2
1.5
1.5
1
Amplitude
1
0.5
Amplitude
-1
-20
x
0
0.5
0
-0.5
-1
-0.5
-1.5
-2
-2.5
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time (sec)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time (sec)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Cuanto más se acerca el cero al polo, menor será su contribución a la respuesta del
sistema
Afecta a la dinámica dominante (en el transitorio)
El tiempo de establecimiento varía poco
5
6
1.8
2
Hipótesis de diseño
Índice
Teoría estudiada
Respuesta de sistemas de primer orden
Respuesta de sistemas de segundo orden
Respuesta de sistemas de orden superior
Efecto de los ceros
En general es muy difícil obtener resultados explícitos
„
Hipótesis de diseño
En las técnicas de diseño de controladores estudiadas, se desea
obtener una relación explícita de los parámetros de los controladores sobre
la respuesta transitoria frente a una referencia escalón
La hipótesis más utilizada es que la dinámica del sistema en bucle
cerrado se encuentra dominada por un par de polos complejos conjugados
Los ceros en general son difíciles de tener en cuenta
„
Función de transferencia del sistema en bucle cerrado
Sintonización de un controlador
Análisis de la estabilidad de un sistema
Respuesta en régimen permanente del sistema en bucle
cerrado.
Respuesta en régimen transitorio de un sistema estable.
„
Dependencia de los polos y ceros de la función de
„
„
„
transferencia del sistema realimentado con los
parámetros del controlador.
Esta hipótesis se hace
Diseño de controladores utilizando el lugar de las raíces
Diseño de controladores en frecuencia
Polos y ceros de Gbc(s)
Ejemplo
Sistema en bucle cerrado
Ceros del sistema en bucle cerrado
Mismos ceros que el sistema en
bucle abierto más los ceros añadidos
por el controlador
Polos del sistema en bucle cerrado
Dependen de los parámetros de diseño
Los polos dependen de Kp
En algunos casos es posible obtener los polos de forma explícita
Control de sistemas de segundo orden con P y PD
En general no es posible
Técnicas aproximadas
Representación en el plano
complejo
Lugar de las raíces
Controlador P
Ejemplo ilustrativo:
Sistema de levitación magnética
Ejemplo
2
Kp=15
1.5
Kp=10
1
Kp=1
0.5
Kp=0.1
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
Ejemplo ilustrativo:
Sistema de levitación magnética
Modelo no lineal del sistema
mX&& = mg − k
X
Fm
Fg
I2
X2
m : Masa de la bola
g : cte de gravedad
X : Distancia de la bola al electroimán
(variable a controlar)
I : Corriente en la bobina (acción de control)
K : coeficiente constante
Linealización del sistema
Suponemos un punto de trabajo X0 para el que la acción de control vale I0 y trabajamos
en variables de error
I = I 0 + ΔI
X = X 0 + ΔX
Descripción
Valor
Núcleo
Acero
Diámetro del núcleo
25 mm
Diámetro de la bobina
80 mm
Número de espiras
2850
Resistencia
22 Ω
Inductancia
277 mH a 1 kHz
442 mH a 120 kHz