circuitos de corriente alterna

Tema 10
Objetivos
Corriente alterna sinusoidal
●
●
●
●
●
●
●
●
Conocer las características de la corriente alterna, y su
efecto sobre resistencias, condensadores y bobinas.
Interpretar el desfase entre diferencia de potencial e
intensidad de corriente en circuitos de corriente alterna.
Calcular relaciones entre diferencias de potencial e
intensidades de corriente en dipolos RLC en serie.
Definir la impedancia de un circuito.
Analizar un circuito RLC serie desde el punto de vista
energético.
Conocer el significado del factor de potencia.
Estudiar la resonancia de un circuito RLC y sus
aplicaciones a filtros.
Conocer la notación compleja en corriente alterna.
10. Corriente alterna
sinusoidal (c.a.s.)
Introducción
1. Introducción. Generación de una c.a.s.
●
Fácil generación.
●
Fácil transporte.
●
Fácil transformación.
2. Características de una c.a.s.
3. Respuesta de los dipolos básicos.
4. Impedancia de un dipolo RLC en serie.
5. Potencia de un dipolo RLC en serie.
6. Resonancia y filtros.
7. Notación compleja de la c.a.s.
Generación de cas
●
Características de una cas
i t =Im cos t ϕi 
Bobina girando en el interior de un campo
magnético B.
S
B
N
 S=BS cos ωt
φ=B⋅
ωt
: pulsación (rad/s)
S
Sωt
ϕi
(t +ϕ i): fase (rad)
i(t)
Im
ω
t(s)
T
Um
dφ
=NSB ω sen ωt ϕ0 
dt
ϕ i: fase inicial (rad)
i(t)
B
ε=−
Im: amplitud (A)
i(t): Valor instantáneo de la intensidad (A)
Símbolo:
ω

T: periodo (s)
t(rad)
2π
f : frecuencia (Hz) = 1/T
=2 f
En caso de que la c.a.s. representara una tensión, tanto el valor instantáneo como
la amplitud vendrían expresados en voltios.
Valor eficaz
Desfase de dos señales
valor eficaz (o valor cuadrático medio)


Se define el desfase entre dos señales como la
diferencia entre sus fases iniciales. En particular, se
define el desfase entre tensión e intensidad (ϕ) como:

T
Im
1
I ef =I= ∫ i t 2 dt=
T0
2
3
Um
1
u t 2 dt=
∫
T 0
2
Dependiendo del signo de ϕ = ϕu - ϕi, se
dice que:

u(t) está en fase con i(t)
ϕ>0
u(t) está adelantada respecto a i(t)
0
ϕ
ϕ
i
u
-3
-2
0
2
-4
6
4
Fase (radianes)
Desfase de dos señales

ϕ=0
0
ϕ
Desfase de dos señales

u(t)
i(t)
La intensidad eficaz de una corriente alterna sinusoidal es
igual al valor de la intensidad de corriente continua que
disipa la misma energía por efecto Joule durante un tiempo
T.
●
4
T
D.d.p. (V)
Uef =U=
ϕ = ϕu - ϕi
Intensidad (mA)
●
●
ϕ<0
u(t) está retrasada respecto a i(t)
uC(t)
i(t)
uR(t)
i(t)
i(t)
uL(t)
Circuito RLC serie
Circuito RLC serie
Resistencia, ley de Ohm:
uR(t) = Ri(t)
i(t)= Im cos (t)
R
L
C
Bobina, ley de Faraday
Condensador,
uR(t) uL(t) uC(t)
u(t) = uR(t) + uL(t) + uC(t)
u L  t =L
uC t =
qt 
C
di t 
dt
duC t  i t 
=
dt
C
du t 
di  t 
d 2 i t  i t 
=R
L

=−Um ωsin ωt ϕu 
2
dt
dt
C
dt
Circuito RLC serie
CAS en una resistencia
du t 
di  t 
d 2 i t  i t 
=R
L

=−Um ωsin ωt ϕu 
2
dt
dt
C
dt
Régimen estacionario

Sea una resistencia recorrida por una i(t)=Imcos(ωt+ϕi)
R
i(t)=Imcos(wt+ϕi)
i(t)
i
)
Pero uR(t) = URm cos (ωt +ϕR )
{
Luego
u(t)
Régimen transitorio
U Rm=I m R
ϕ R =ϕ i
ϕ=ϕ R−ϕ i =0
Tiempo
CAS en una autoinducción

uR(t) = R i(t) = R Im cos (ω t +ϕ
(u está en fase con i)
CAS en una autoinducción
Sea una autoinducción recorrida por una i(t)=Imcos(ωt+ϕi)
L
uL(t) = L di(t)/dt = -LωIm sen(ωt +ϕi )=
= Lω Im cos(ωt + ϕi + π/2)
i(t)=Imsen(ωt)
Luego
{
t(rad)
(u adelantada 90º
respecto de i)
Lω= X L
U Lm=Im Lω=X L Im
π
ϕ=ϕ L −ϕ i =
2
L
i(t)=Imsen(ωt)
Pero uL(t) = ULm cos (ωt +ϕ L )
CAS en un condensador
C
Sea un condensador sometido a una tensión u(t)=Umcos(ωt+ϕu )
i t =
dq dCut 
π
=
=−CU Cm ωsen ωtϕC =CU Cm ωcosωtϕC  
dt
dt
2
Pero como i(t) = Im cos (ωt +ϕ i )
{
U Cm=
Im
Cω
= X C Im
ϕ=ϕ C −ϕ i =−
π
2
1
= XC
Cw
i(t)
uL(t)
Reactancia
inductiva ó
Inductancia (Ω)
CAS en un condensador

t(rad)
i(t)
uR(t)
Reactancia
capacitiva ó
Capacitancia
(Ω)
C
(u retrasada 90º respecto de i)
uC(t)
t(rad)
i(t)
Circuitos en CAS: R, L y C
Circuito RLC serie

R
{
R
{
L
u R=Im R cos ωt ϕR  Um =R Im
L
u L=Im Lw cos ωtϕL 
C
uC =
Im
Cw
cos ωtϕC 
ϕ=0
i(t)= Im cos (t)
{
ϕ =+

Z =  R2 Lω−
1 2
 =
Cω
Im
1
Cω
R
Lω−
tg ϕ=
C
Um = X C
ϕ =−
Im
π
2
ϕi = 0
uL(t) = LωIm cos (ωt +π/2)
dW AB  t  u AB t dq  t 
=
=i  t u AB t 
dt
dt
u t =U m cos  tϕu 
p t =U I [ cos 2 tϕu ϕ i cos ϕ u−ϕi  ]
U=
Um
2
I=
uC
Ahora debemos calcular Um y ϕ
Triángulo de impedancias


A X=XL-XC se le llama reactancia del dipolo.
Todas las ecuaciones de un dipolo RLC serie se
pueden resumir en el triángulo de impedancias:
Si X<0 (ϕ<0)
Z
ϕ
R
X
ϕ
Z
R
X
X = XL - XC = Lω-1/Cω
Desfase entre tensión total del
dipolo e intensidad
i t =Im cos tϕi 
uL
u(t) = uL (t)+ uR (t)+ uC (t)= Um cos (ωt+ϕ)
Impedancia del dipolo (Ω)
Potencia dipolo RLC serie
p t =
uR
C
2
Sumando las tres tensiones resulta:
Um
L
π
uC(t) = (1/Cω)Im cos (ωt -π/2)

R
Um = X L Im
Circuito RLC serie
uR(t) = RIm cos (ωt)
Sea la asociación de una resistencia, una autoinducción y
un condensador en serie (dipolo RLC serie), todos
recorridos por una corriente i(t)=Imcos(t)
Z = R  X
2
2
tg ϕ=
X
R
Potencia dipolo RLC serie
●
Valor medio de la potencia instantánea
durante un período:
T
1
pt = ∫ pt dt=U Icos ϕ
T0
UI = Potencia aparente (W).
cos ϕ = factor de potencia.
Im
2
− / 2≤≤ / 2 ⇒ P media 0
Potencia en una
autoinducción
La

potencia
instantánea
consumida
Potencia en un
condensador
ϕi = 0
por
una

La
potencia
instantánea
ϕi = 0
consumida
por
un
pL(t) = uL(t)i(t) = Um cos (ωt +π/2) Im cos (ωt )
pC(t) = uC(t)i(t) = Um cos (ωt -π/2 ) Im cos (ωt )
Intensidad
I
P
I2
π
pC t = cos2ωt− 
Cω
2
Potencia
π
p L t =LωI cos 2ωt 
2
2
P
Intensidad
condensador es:
Potencia
autoinducción es:
I
tiempo

El valor medio a lo largo de un ciclo es:

Una autoinducción no consume energía
tiempo
p L t =0
Potencia en una
resistencia
La
potencia
resistencia es:
R
instantánea
consumida
por
Un condensador no consume energía
una
p R  t =R
PR(t) = i2(t)R = 2R I2 cos2 (ωt)
2 Z 2
=IU
R
=IU cos ϕ
Z
Im Um
2 Z 2
Pa = IU cosϕ
P
I
=IU
R
=IU cos ϕ
Z
factor de potencia cos(ϕ)
P a =IU cos ϕ=IIZ
P a=cte ⇒ I=cte ⇒U=
Resonancia en circuitos
RLC serie
R

u(t)=Umcos(ωt+ϕu)
i(t)= Im cos (ωt)
X = X L− X C =Lω r −
1
1
=0 ⇒ ω r =
Cωr
 LC
En resonancia: Z(ω=ωr) = R
Y la frecuencia correspondiente a ωr es la frecuencia
de resonancia, fr:
f r=

En este circuito, dados R, L y C, la impedancia Z sólo
depende de ω. Existe un valor de ω, que llamaremos ωr
(pulsación de resonancia) que minimiza la impedancia del
circuito; en esta situación:
IR
cos ϕ
Resonancia en circuitos
RLC serie

C
L
R 2
=I R
Z
tiempo
Una resistencia consume energía

Im Um
ϕi = 0
potencia activa:
Potencia


C t =0
ϕi = 0
i(t)=Imcos(ωt+ϕi)
p R  t =R
El valor medio a lo largo de un ciclo es: p
Potencia en una
resistencia
Intensidad



1
2π  LC
En resonancia, si fijamos la tensión del generador
del circuito, obtenemos la máxima corriente posible
que circula por él, que vale:
I m=
Um
R
Resonancia en circuitos
RLC serie
Filtros. Filtro pasa baja
L
325
300
Um
275
z ()
225

200
175
150

125
100
75
50
0
200
400
600
800
1000 1200 1400 1600 1800 2000
I m=
El mínimo de Z se da en resonancia, y ese valor
mínimo es R.
Filtros. Filtro pasa baja
1,05
1
0,95
0,9
0,85
0,8
0,75
0,7
0,65
0,6
0,55
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
Us/U
Q
UCm
Um
0
UCm
Um
200
400
600



Cω


800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
fr f (Hz)
 ω=ω r =

1
1 L
=
=Q
Cωr R R C
I m=
Si representamos gráficamente la relación
amplitudes entre la salida y la entrada:
0,8
Um
Us/U
Q 0,7
0,6
0,5
=

R2 Lω−
w
2
1
Cω


0,3
0,2
0,1
0
200
ULm
Um
400
600
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
fr f (Hz)
 ω=ω r =
Lω r
R
=

1 L
=Q
R C
1 2

Cω
Salida ULm
L
R
Um
Z
=
Um

1 2
R  Lω−

Cω
⇒U Lm =I m Lω=
2
U m Lω

2
R  Lω−
1 2

Cω
Um
0,4
0

Cω R2 Lω−
L
de
Lω

Um
Filtros. Filtros pasa banda
1
ULm
1
=
Cω
Si consideramos un circuito RLC, con dos terminales que
llamaremos entrada, y los terminales de la autoinducción
como
salida, si aplicamos en la entrada una tensión
sinusoidal, la tensión a la salida se podrá calcular como:
1,1


FACTOR DE CALIDAD
Filtros. Filtros pasa alta
0,9
⇒U Cm=Im
Entrada
El filtro pasa baja sólo deja “pasar” las frecuencias bajas.



1 2
R2 Lω−

Cω
Um
2
1
Um
=
C
Cω
R2  Lω−
Z
de
1
=
Um
Filtros. Filtros pasa alta
Si representamos gráficamente la relación
amplitudes entre la salida y la entrada:

Salida UCm
R
Si consideramos un circuito RLC, con dos terminales que
llamaremos entrada, y los terminales del condensador como
salida, si aplicamos en la entrada una tensión sinusoidal, la
tensión a la salida se podrá calcular como:
f (Hz)

C
Entrada

250
FACTOR DE CALIDAD
El filtro pasa alta sólo deja “pasar” las frecuencias altas.

Entrada
C
R
Salida URm
Si consideramos un circuito RLC, con dos terminales que
llamaremos entrada, y los terminales de la resistencia como
salida, si aplicamos en la entrada una tensión sinusoidal, la
tensión a la salida se podrá calcular como:
I m=
Um
Z
=
Um

1 2
R2 Lω−

Cω
⇒U Rm=Im R=
UmR

R 2 Lω−
1 2

Cω
Filtros. Filtros pasa banda
Si representamos gráficamente la relación de amplitudes
entre la salida y la entrada:

Us/U
1
2
1
0,95
0,9
0,85
0,8
0,75
0,7
0,65
0,6
0,55
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
URm
Um


R 2 Lω−
Q=
200
400
600
fr f (Hz)
A
2
1
Cω

ai
α
f 2−f 1
i(t) = Im cos (ωt + ϕi)
I
A= Ae jα =A∣α
I=Im cos ωtϕi  j Im sen ωtϕi 
j= −1
Notación compleja de la
cas
j ωtϕ 

U=U
=U m∣ωtϕ
me
Real

U
=Z∣ϕ
I
I=Im e
j  ωtϕ i 
1 1
Y = = ∣−ϕ
Z Z
Admitancia
compleja:
Notación compleja de la
cas
Asociación en paralelo de impedancias:
I1
I2
I3
Z2
Z3
Z=R Xj
Impedancia
compleja
=I m∣ωtϕ i
i(t) = Im cos (ωt + ϕi)
Z1
I =I e j ωt  =I ∣ωt
m
m
Ley de Ohm
simbólica:
ωt + ϕi
I
Real
f2
ω
Notación compleja de la
cas
Asociación en serie de
impedancias:
−1
 
Z eq =
∑ Z1
i=n
i
I
Z1
Z2
Z3
Zn
U
I
I
Zeq
Zeq
U
In
U
Zn
U
ar

ar
Notación compleja de la
cas
ai
A= a2i a2r
fr
El filtro pasa banda sólo deja “pasar” las frecuencias
entorno a la frecuencia de resonancia.
Imaginario
tan α=
FACTOR DE CALIDAD
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
f1
A=a a j
r
i
Imaginario
R
f (Hz)
0

=
Notación compleja de la
cas
n
Z eq=∑ Z i
i=1
Notación compleja de la
cas
Generadores:
Notación compleja de la
cas
· La ecuación del circuito:
-
+
I=
εt =εm cos  ωt ϕε 
ε =εm e
j  ωtϕ ε 
=ε m∣ωt ϕε
Notación compleja de la
cas
• Ley de nudos:
n
∑ Ii =0
1
• Ley de mallas:
n
∑ U i , i1 =0
1
• Método de mallas: ε
[ i ]= [ Z ij ]⋅[ J j ]
• Impedancia equivalente:
Z eqAB=
∣Z∣
∣Z 11∣
∑ εi
∑ Zj
· La diferencia de potencial:
U AB =∑ I Z j −∑ εi