Solución Mayo 2013

Examen de Estadı́stica
Ingenierı́a de Telecomunicación
28 de Mayo de 2013
solucion
Cuestiones
2h
C1. (1.5p) El equipo directivo de cierta empresa del sector de hostelerı́a está constituido por 25
personas de las que un 60 % son mujeres. El gerente tiene que seleccionar a una persona de dicho equipo
para que represente a la empresa en un certamen internacional. Decide lanzar una moneda: si sale cara,
selecciona a una mujer, y si sale cruz, a un hombre. Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo
directivo hablan inglés, determina, justificando la respuesta:
a) La probabilidad de que la persona seleccionada hable inglés.
b) Si la persona seleccionada no habla inglés, ¿cuál es la probabilidad que sea mujer?
Solución:
Denotemos:
M : seleccionar una mujer.
H : seleccionar un hombre.
I : saber inglés.
a)
1
3
P (I) = P (M )P (I|M ) + P (H)P (I|H) = 0.50 + 0.50
= 0.3166
3
10
b)
P (M |I c ) =
C2.
0.50 23
P (M )P (I c |M )
=
7 = 0.4878
P (M )P (I c |M ) + P (H)P (I c |H)
0.50 32 + 0.50 10
(2p) Indique la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Razone su respuesta.
a) El valor de mu en el siguiente código de MATLAB será 1.65 aproximadamente.
n = 10000;
u = rand(n,1);
x = 1.*(u<=0.25) + 1.5.*(0.25<u & u<=0.45) + 2.*(u>0.45);
mu = sum(x)/n;
b) Para que f (t) = 2ke−2t + 0.75e−t , t > 0, sea función de densidad ha de suceder que k = 0.25.
c) Sea (X, Y ) un vector aleatorio con función de densidad conjunta dada por:
2(1 − x)
, 0 < x < 1, 0 < y < x,
x
y sea Z1 = 2Y − X. Entonces, la función de densidad de Z1 viene dada por:
f (x, y)
=
fZ1 (z1 ) = −2 − ln(−z1 ) − ln(z1 ),
1
z1 ∈ (−1, 1)
Solución:
a) Veremos que esta afirmación es VERDADERA.
Este código aproxima la media de X, una v.a. discreta cuyo rango de posibles valores es RX =
{1, 1.5, 2}, y cuya función de probabilidad viene dada por: pX (1) = 0.25, pX (1.5) = 0.45−0.25 = 0.20,
y pX (2) = 1 − 0.45 = 0.55. Por lo tanto, su media es:
E[X] = 1 · 0.25 + 1.5 · 0.20 + 2 · 0.55 = 1.65.
b) Veremos que esta afirmación es VERDADERA.
Para que f (t) sea función de densidad es necesario que se cumplan las siguientes condiciones:
1) f (t) ≥ 0 ∀t > 0,
R∞
2) −∞ f (t)dt = 1.
De la primera condición se deduce que: 2ke−2t + 0.75e−t ≥ 0 ∀t > 0, → k ≥ − 38 et ∀t > 0. Por lo
tanto: k ≥ − 83 .
De la segunda condición se deduce que:
Z
1
=
k
∞
2e
−2y
Z
∞
e−y dy = k + 0.75.
dy + 0.75
0
0
Nótese que 2e−2y es la densidad de una Exponencial(λ = 2) y e−y es la densidad de una Exponencial(λ =
1), por lo que al integrarlas en (0, ∞) nos dará 1.
Por lo tanto, se concluye que k = 1 − 0.75 = 0.25.
c) Veremos que esta afirmación es FALSA.
Buscaremos primero la densidad del vector (Z1 , Z2 ) = (2Y − X, Y ).
Teniendo en cuenta que:
2z2 − z1
x
=
y
= z2 ,
la matriz jacobiana de (x, y) con respecto a (z1 , z2 ) viene dada por
!
−1 2
0 1
y su determinante es -1.
Entonces,
f(Z1 ,Z2 ) (z1 , z2 ) = f(X,Y ) (x(z1 , z2 ), y(z1 , z2 )) × | − 1|,
0 < x(z1 , z2 ) < 1, 0 < y(z1 , z2 ) < x(z1 , z2 ),
lo que significa que:
f(Z1 ,Z2 ) (z1 , z2 )
= f(X,Y ) (2z2 − z1 , z2 )
=
2
(1 − 2z2 + z1 )
,
2z2 − z1
0 < 2z2 − z1 < 1, 0 < z2 < 2z2 − z1 .
En la Figura 1 se muestra el recinto del plano donde (Z1 , Z2 ) toma valores.
2
z2
-1
1
z1
Figura 1: Recinto de definición del vector (Z1 , Z2 )
Ahora debemos integrar f(Z1 ,Z2 ) con respecto a z2 para obtener la densidad marginal de Z1 . En
concreto se tiene que:
( R 0.5+0.5z
R 1 1−u
1
2 +z1 )
2 (1−2z
2z2 −z1 dz2 = −z
u du = −1 − ln(−z1 ) − z1 , z1 ∈ (−1, 0)
0R
R 11 1−u
fZ1 (z1 ) =
0.5+0.5z1 (1−2z2 +z1 )
2 2z2 −z1 dz2 = z1 u du = −1 − ln(z1 ) + z1 ,
z1 ∈ [0, 1).
z1
C3.
(1.5p) En un quiosco de periódicos, se supone que el número de ventas diarias se distribuye
normalmente con media µ = 30 y varianza σ 2 = 2. Determine:
a) La probabilidad de que, en un dı́a, se vendan entre 13 y 31 periódicos.
b) El máximo número de periódicos que se venden en el 90 % de las ocasiones.
c) Supongamos que en una ciudad hay 10 quioscos independientes del mismo tipo y con las mismas
caracterı́sticas. Determine la probabilidad de que más de dos quioscos vendan entre 13 y 31
periódicos cada uno.
Solución:
a) X = ”Número de ventas diarias de periódicos”, donde X ∼ N µ = 30, σ 2 = 2 .
La probabilidad de que en un dı́a se vendan entre 13 y 31 periódicos es:
31−30
√
√
P (13 ≤ X ≤ 31) = P 13−30
≤
Z
≤
= P (−12.02 ≤ Z ≤ 0.71)
2
2
= P (Z ≤ 0.71) − P (Z ≤ −12.02) = P (Z ≤ 0.71) − (1 − P (Z ≤ 12.02))
= 0.7611,
donde, tipificando X, se obtiene que Z ∼ N (0, 1).
3
b) Nos piden el máximo número de periódicos que se venden en el 90 % de las ocasiones, es decir, el valor
de a tal que P (X ≤ a) = 0.90. Tipificando X, se obtiene que:
X −µ
a − 30
P
≤ √
= 0.90,
σ
2
donde Z =
X−µ
σ
∼ N (0, 1). Sea k =
a−30
√ ,
2
P (Z ≤ k) = 0.90 =⇒ Φ (k) = 0.90 =⇒ k = Φ−1 (0.90) =⇒ k = 1.28.
Deshaciendo el cambio,
a − 30
√
= 1.28 =⇒ a = 31.81 periódicos.
2
c) Sabemos que P (13 ≤ X ≤ 31) = 0.7661.
Por tanto para i = 1, . . . , 10; consideremos las siguientes v.a.:
(
1 si el kiosco i vende entre 13 y 31 periódicos,
Xi =
0 en otro caso,
que sabemos son independientes e idénticamente distribuidas según una Bernoulli (p = 0.7611). Por
tanto,
10
X
Y =
Xi ∼ Bin (n = 10, p = 0.7611) .
i=1
Y la probabilidad pedida es:
P (Y > 2)
= 1 − P (Y ≤ 2)
0
10
= 1 − 10
−
0 0.7611 0.2389
= 1 − 0.0003 = 0.9997.
4
10
1
0.76111 0.23899 −
10
2
0.76112 0.23898
Examen de Estadı́stica
Grado en Ingenierı́a de Telecomunicación
28 de Mayo de 2013
solucion
Problemas
P1.
1h 30m
(2.5p) Sea (X1 , X2 ) un vector aleatorio con la siguiente función de densidad:
(
fX1 ,X2 (x1 , x2 ) =
cx21 x2
0
x21 ≤ x2 ≤ 1
en otro caso.
a) ¿Cuál es el valor de c para que f sea función de densidad?
b) ¿Son X1 y X2 variables aleatorias independientes?
c) Calcular P (X1 ≥ 0|X2 ≤ 21 ).
d) Calcular P (X1 ≥ X2 ).
Solución:
a) En la Figura 2 representamos el área S donde: x21 ≤ x2 ≤ 1.
x2  x1
x2
2
x1
Figura 2: Recinto de (X1 , X2 )
5
Para comprobar cuál es el valor del parámetro c hacemos:
Z
Z 1Z 1
fX1 ,X2 (x1 , x2 )dx2 dx1 =
1=
−1
x21
Z
−1
Z
=
=
=
Por lo tanto c =
1
1
x21
cx21 x2 dx2 dx1
1
c 2
x1 (1 − x41 )dx1
2
−1
c 31
c
c
c
x | − x7 |1 = −
6 1 −1 14 1 −1
3 7
4c
21
21
4 .
b) Calulamos las distribuciones marginales: en primer lugar la distribución marginal de X1 , y para ello
integramos con respecto a X2 . Se puede ver claramente de la definición del soporte de la distribución
que X1 ∈ [−1, 1], y que X2 va a tomar valores entre X12 y 1. Por lo tanto, se tiene que:
Z 1
Z 1
21 2
x1 x2 dx2 ,
fX1 (x1 ) =
fX1 ,X2 (x1 , x2 )dx2 =
x21
x21 4
21 2
=
x (1 − x41 ),
8 1
si x1 ∈ [−1, 1] y 0 en otro caso. Para calcular la distribución marginal de X2 , tenemos que integrar
respecto de X1 . Por la definición del soporte de la distribución sucede que X2 ∈ [0, 1] y X1 ∈
√
√
[− X2 , X2 ]. Integrando entre estos lı́mites obtenemos:
Z √x2
Z √x 2
21 2
fX1 ,X2 (x1 , x2 )dx1 = √
fX2 (x2 ) =
x1 x2 dx1 ,
√
− x2
− x2 4
7 25
=
x ,
2 2
si x2 ∈ [0, 1] y 0 en otro caso. Como fX1 ,X2 (x1 , x2 ) 6= fX1 (x1 )fX2 (x2 ), podemos concluir que las
variables no son independientes.
c) Para calcular la probabilidad pedida; utilizamos la definición de probabilidad condicionada:
P (X1 ≥ 0|X2 ≤
P (X1 ≥ 0, X2 ≤ 21 )
1
)=
2
P (X2 ≤ 12 )
Para calcular la expresión del numerador se tienen que tener en cuenta las tres restricciones del proble√
ma: X1 ≥ 0, X2 ≤ 12 y X12 ≤ X2 → X1 ≤ X2 , por lo tanto el recinto donde tenemos que integrar
la densidad conjunta de (X1 , X2 ) viene dado por:
Integrando dentro de este recinto, se obtiene:
√
P (X1 ≥ 0, X2 ≤
1
)
2
Z1/2 Z x2
fX1 ,X2 (x1 , x2 )dx1 dx2
=
0
Z1/2
=
0
21 1 3 √x2
x2 x1 |0 dx2
4
3
0
Z1/2
=
21 52
x dx2
12 2
0
21 2 27 1/2
x |
=
12 7 2 0
=
6
92
1
2
x2
x2  x12
1
1
2
1
.7071 1
x1
Figura 3: Recinto dado por las restricciones: X1 ≥ 0, X2 ≤
1
2
y X12 ≤ X2
Por otro lado, para calcular el denominador harı́amos:
1
P (X2 ≤ )
2
=
Z1/2
fX2 (x2 )dx2
0
Z1/2
=
7
7 52
1/2
x2 dx2 = x22 |0 =
2
72
1
2
0
Finalmente se obtiene que:
P (X1 ≥ 0|X2 ≤
1
)
2
=
=
P (X1 ≥ 0, X2 ≤ 21 )
P (X2 ≤ 21 )
9
1 2
1
2
7 = 2
1 2
2
d) Para calcular esta probabilidad simplemente tenemos en cuenta que para que X1 ≥ X2 entonces X1
sólo puede tomar valores en el intervalo [0, 1] (puesto que X2 ≥ 0). Por otro lado, como X2 ≥ X12 y
X1 ≥ X2 , entonces X2 tomará valores en [X12 , X1 ]. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
Z
P (X1 ≥ X2 )
1
Z
x1
=
x21
0
Z
=
0
1
Z
fX1 ,X2 (x1 , x2 )dx2 dx1 =
0
1
Z
x1
x21
21 2
x x2 dx2 dx1
4 1
21 2 2
21 1 1
3
x1 (x1 − x41 )dx1 =
−
=
8
8 5 7
20
7
P2.
(2.5p) Consideremos el proceso estocástico X(t) = At + B, donde A y B son variables aleatorias
independientes; A toma valores 3 y 4 con probabilidades 0.25 y 0.75, respectivamente, y B es una
variable aleatoria con función de probabilidad:
P (B = 1) = P (B = 2) = 0.5
Se pide:
a) Hallar la función de probabilidad de X(1), su esperanza y su varianza.
b) Obtener la media y la varianza del proceso X(t).
c) Calcular la función de autocorrelación para X(t).
d) ¿Es el proceso débilmente estacionario?
Solución:
a) Para calcular la función de probabilidad de X(1) solamente tenemos que reemplazar t=1 en X(t), con
lo que tenemos que X(1) = A + B. En este caso, los valores posibles que puede tomar X(1) son 4
(cuando A=3 y B=1), 5 (cuando A=3 y B=2 o A=4 y B=1), y 6 (cuando A=4 y B=2). Por lo tanto,
la función de probabilidad de X(1) viene dada por:

0.125
si k = 4,



 0.5
si k = 5,
P (X(1) = k) =

0.375
si k = 6,



0
en el resto.
La esperanza del proceso evaluado en t = 1 es E(X(1)) = E(A) + E(B) = (3 × 0.25 + 4 × 0.75) +
(1 × 0.5 + 2 × 0.5) = 5.25. Por otro lado, tenemos que V ar(X(1)) es:
V ar(X(1)) = V ar(A) + V ar(B).
Puesto que E(A) = 3 × 0.25 + 4 × 0.75 = 3.75; E(A2 ) = 9 × 0.25 + 16 × 0.75 = 14.25 y E(B) =
1×0.5+2×0.5 = 1.5; E(B 2 ) = 1×0.5+4×0.5 = 2.5, tenemos que V ar(A) = 14.25−3.752 = 0.1875
y V ar(B) = 2.5 − 1.52 = 0.25. Entonces:
V ar(X(1)) = 0.1875 + 0.25 = 0.4375.
b) Ahora calculamos la media del proceso X(t):
E(X(t)) = E(A)t + E(B) = 3.75t + 1.5.
Por otro lado, la varianza del proceso X(t) viene dada por:
V ar(X(t))
= V ar(A)t2 + V ar(B) + 2tCov(AB)
=
0.1875t2 + 0.25 + 2t0
=
0.1875t2 + 0.25.
c) Ahora, para calcular la función de autocorrelación, simplemente aplicamos la definición:
RX (t, t + τ )
=
E(X(t)X(t + τ )) = E(A2 )t(t + τ ) + E(B 2 ) + E(AB)t + E(AB)(t + τ )
=
14.25 × t(t + τ ) + 2.5 + E(A)E(B)(2t + τ )
=
14.25 × t(t + τ ) + 2.5 + 5.625(2t + τ ).
8
d) Puesto que la media y la autocorrelación del proceso X(t) dependen de t, el proceso no es débilmente
estacionario.
9