TEORÍA DE LÍNEAS DE ESPERA (COLAS) Conjunto de modelos

TEORÍA DE LÍNEAS DE ESPERA (COLAS)
Conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas específicos de líneas de espera o
colas, usados en la toma de decisiones al encontrar el estado estable o estacionario del
sistema y determinar un nivel de servicio apropiado.
Definiciones
Línea de espera o cola. Efecto resultante en un sistema de servicio; como por ejemplo, en una
caja registradora en un supermercado, en un peaje, en un puerto, etc., cuando la demanda del
servicio supera la capacidad de prestar dicho servicio.
Estado estable. El sistema alcanza un nivel normal de operación.
Nivel de servicio. Número apropiado de servidores que minimizan el costo de operación del
sistema.
Proceso básico
Las unidades (personas, autos, productos, máquinas,…) de una población llegan al sistema
requiriendo un servicio, se unen a la cola, son atendidas por un servidor de acuerdo a una regla
determinada de atención. Luego de ser atendida, sale del sistema y se regresa a la población.
Elementos de un sistema de líneas de espera
La teoría de líneas de espera tiene que ver con dos procesos principales: entrada y salida.
Proceso de entrada
Es el insumo del sistema constituido por:
Teoría de líneas de espera
•
_______________________________________________________________________
2
La población de unidades potenciales que requieren el servicio.
Ejemplos: • Todas las personas que pagan en una caja de un supermercado.
• Las máquinas de un taller que fallan.
La población puede ser
Finita si el número potencial de unidades es pequeño (generalmente menos de 30).
Ejemplos: • El número de máquinas de un taller metalmecánico.
• El número de trabajos atendidos por una secretaria.
Infinita si el número potencial de unidades que requieren el servicio es muy grande (por lo
general 30 o más).
Ejemplos: • Todas las personas de una ciudad que requieren un servicio
• Todos los autos de una ciudad que requieren aprovisionar de gasolina.
• El patrón de llegadas
Las unidades que llegan al sistema en busca de un servicio se caracterizan por la forma en
que estas llegan, que puede ser:
• Individual
• En lotes
Tasa de llegada. Es el número de unidades que llegan por unidad de tiempo, ya sea en
intervalos regulares o en intervalos aleatorios lo que implica una distribución de probabilidad.
Tiempo entre llegadas. Tiempo que transcurre entre llegadas sucesivas.
Proceso de salida o de servicio
Determinado generalmente por la forma de atención de las unidades, y por el tiempo que se
requiere para concluir el servicio o por el número de unidades atendidas por unidad de tiempo.
• Tasa de servicio. Número de unidades atendidas por unidad de tiempo. La tasa se servicio
puede ser:
• Constante
• Variable ⇒ Distribución de probabilidad del tiempo de servicio.
Tiempo de servicio. Tiempo que transcurre entre servicios sucesivos.
• La disciplina de la cola
Es el orden de atención a las unidades. Entre los métodos para determinar el orden en que
se atienden las unidades, están:
FIFO (First in first out)
LIFO (Last in first out)
SIRO / SEOA
OP
=
=
=
=
Primero en llegar primero en salir.
Último en llegar primero en salir.
Selección en orden aleatoria.
Orden prioritario (Ejemplo: Caja rápida para 5 o menos artículos)
Teoría de líneas de espera
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3
• Capacidad del sistema de servicio
Número máximo permisible de unidades en el sistema de servicio en un instante t. Incluye
las unidades que esperan y las unidades que están siendo atendidas. La capacidad de un
sistema de líneas de espera puede ser:
Limitada. En este caso cuando el sistema está lleno las unidades que llegan deben retirarse
(Se genera un rechazo por parte del sistema).
Ilimitada. Sistemas de servicio en los que siempre habrá espacio para las unidades que
llegan.
Ejemplos de sistemas de colas
Situación
Llegadas
Cola
Mecanismo de servicio
Aeropuerto
Aeropuerto
Compañía telefónica
Lavado de carros
La corte
Carga de camiones
Fábrica
Fotocopiadora
Hospital
Banco
Peaje
Aviones
Pasajeros
Números marcados
Autos
Casos
Camiones
Subensamble
Copias
Pacientes
Clientes
Vehículos
Aviones en carreteo
Sala de espera
Llamadas
Autos sucios
Casos atrasados
Camiones en espera
Inventarios en proceso
Trabajos
Personas enfermas
Clientes en la fila o filas
Autos en fila
Pista
Avión
Conmutador
Mecanismo de lavado
Juez
Muelle de carga
Puesto de trabajo
Copiadoras
Hospital
Cajero o cajeros
Punto de pago
Como se observa, es posible reconocer diferencias en las estructuras de los sistemas de líneas
de espera, independientes unas de otras. Por ejemplo, los bancos pueden tener más de un
cajero, cada uno con una fila separada. Los aeropuertos tienen más de una pista de aterrizaje,
las fábricas generalmente tienen una serie de estaciones de trabajo, no solo una. De lo
anterior, vemos que se permite que varíe el número de filas y el número de servidores.
Tipos de sistemas de líneas de espera
A. Sistemas de una sola fase. Sistemas en los cuales la unidad requiere únicamente de un
servicio.
ƒ Sistemas de una línea de espera con un solo servidor
ƒ Sistemas de una línea de espera con varios servidores
Supuesto: Todos los servidores prestan el mismo servicio y con igual eficiencia.
Teoría de líneas de espera
_______________________________________________________________________
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B. Sistemas multifásicos. Sistemas de líneas de espera con varias estaciones o servidores
en serie. La unidad requiere por lo menos dos servicios en serie.
En estos sistemas las estaciones de servicio pueden tener diferente eficiencia. El análisis
matemático es más complejo.
Modelos de líneas de espera
Notación de Kendall – Lee (1951). Básicamente los sistemas de colas de una sola estación
de servicio se representan usando las siguientes características:
A / B / C / d / e / f
Patrón de llegadas
Patrón de servicio
Número de servidores en paralelo
Tamaño de la población
Capacidad del sistema
Disciplina de la línea de espera
• Modelos de líneas de espera para población infinita
Modelo M / M / 1
Características:
•
Población es infinita (Siempre estarán llegando unidades al sistema)
•
El patrón de llegadas por unidad de tiempo se describe por una distribución Poisson
con parámetro λ.
λ = Tasa promedio de llegadas (Número promedio de unidades que llegan al sistema por unidad de
tiempo).
Teoría de líneas de espera
•
_______________________________________________________________________
5
El patrón de servicio se describe por una distribución exponencial con parámetro β.
β = Tiempo promedio de servicio por unidad β = 1/μ.
μ = Tasa promedio de servicio (Número promedio de unidades que se atienden por unidad de
tiempo).
•
La tasa promedio de llegada es menor que la tasa promedio de servicio (Para asegurar que
exista estado estable o estacionario) ⇒ λ < μ.
•
Hay un canal o estación de servicio ⇒ K = 1.
•
Disciplina de la cola es primero en entrar primero en salir.
•
No hay abandono ni rechazo del sistema
•
Régimen permanente o condición de estado estable. (La probabilidad de que en cada instante t
haya n unidades en el sistema, es independiente del tiempo de operación del mismo, o, la probabilidad de
que llegue una unidad al sistema es igual en todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.)
Medidas de desempeño de los sistemas de líneas de espera
Evalúan como es el funcionamiento, en promedio, de un sistema de servicio.
Medidas de desempeño de los sistemas M/M/1
λ
Número promedio de unidades en el sistema:
L=
Número promedio de unidades en la cola:
λ2
Lq =
μ (μ − λ )
Tiempo promedio de una unidad en el sistema:
W=
Tiempo promedio de espera de una unidad en la cola:
Wq =
λ
μ (μ − λ )
Factor de utilización o probabilidad de que el sistema
esté ocupado.
ρ=
λ
= Pw
μ
(Número esperado de unidades que están siendo atendidas en
cualquier momento o fracción de tiempo que el sistema está
ocupado).
μ −λ
1
μ −λ
Probabilidad de que el sistema esté vacío:
P0 = 1 − Pw = 1 − ρ
Probabilidad de que haya n unidades en el sistema en
cualquier momento t:
⎛
λ⎞ ⎛λ⎞
Pn = ⎜⎜1 - ⎟⎟ × ⎜⎜ ⎟⎟ ; n = 1,2 ,3,...,n
μ⎠ ⎝ μ⎠
⎝
Probabilidad de que el número de unidades en el
sistema exceda a n:
⎛λ⎞
P(L > n) = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝μ⎠
n
(n +1)
Teoría de líneas de espera
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6
Ejemplo: A cierto sistema de servicio las unidades llegan a una tasa de 21 unidades por hora según un proceso
Poisson y son atendidas exponencialmente con un tiempo promedio de 0,03334 horas por unidad.
a) Evaluar las características de operación del sistema.
b) ¿Qué efecto tiene cambiar la tasa de servicio?
Teoría de líneas de espera
_______________________________________________________________________
7
Modelo M / M / K
Características:
• Las del modelo M/M/1 excepto que el número de servidores es mayor que 1. ⇒ λ > μ.
Si λ > μ hay congestión en el sistema de servicio. Para descongestionarlo, se requiere de
varios servidores en paralelo ⇒ λ < K μ para que exista estado estable ∴ K > λ /μ
Medidas de desempeño
λ
μ
Número promedio de unidades en el sistema:
L = Lq +
Número promedio de unidades en la cola:
⎡
⎛λ
⎢
λ × μ × ⎜⎜
⎢
⎝μ
L q = P0 ⎢
⎢ ( K − 1) ! × ( K ×
⎢
⎣
Tiempo promedio de una unidad en el sistema:
W = Wq +
Tiempo promedio de espera de una unidad en la cola:
Wq =
Probabilidad de que el sistema esté ocupado.
(Número esperado de unidades que están siendo atendidas en
cualquier momento o fracción de tiempo que el sistema está
ocupado).
Probabilidad de que el sistema esté vacío:
Pn ≥ K
1
μ
=
⎤
⎥
⎥
2 ⎥
μ − λ) ⎥
⎥
⎦
⎞
⎟⎟
⎠
K
L
λ
Lq
λ
K ⎤
⎡
⎛
⎞
⎥
⎢ K × μ × ⎜⎜ λ ⎟⎟
μ ⎠
⎥
⎢
⎝
= P0 × ⎢
⎥
⎢ K !× (K × μ − λ ) ⎥
⎥
⎢
⎦
⎣
K
n
⎡
⎛λ⎞
⎛λ⎞ ⎤
⎢ K −1 ⎜ ⎟
K × μ × ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎜μ⎟
⎢
⎝
⎠
⎝μ⎠ ⎥
+
P0 = ⎢
⎥
K !× (K × μ − λ ) ⎥
⎢ n = 0 n!
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
−1
Teoría de líneas de espera
_______________________________________________________________________
Probabilidad de que haya n unidades en el sistema en
cualquier instante t:
⎛λ⎞
P0 × ⎜⎜ ⎟⎟
⎝μ⎠
Pn =
n!
8
n
si 0 ≤ n < K
n
⎛λ⎞
P0 × ⎜⎜ ⎟⎟
⎝μ⎠
Pn =
K ! × K (n− K )
Utilización:
U=
si n ≥ K
λ
K × μ
Ejemplo: A un centro de copiado llegan en promedio 60 trabajos por hora y la tasa de servicio es de 36 trabajos
por hora. Las llegadas y los servicios siguen procesos de Poisson. Analice las características de operación de este
sistema.
Teoría de líneas de espera
_______________________________________________________________________
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Modelo con tiempos de servicio con distribución general M / G / 1
Supuestos:
Son los mimos del modelo M/M/1, excepto que los tiempos de servicio sigue una distribución
de probabilidad general con media μ y desviación estándar σ.
Medidas de desempeño
Número promedio de unidades en el sistema:
L = Lq +
λ
μ
⎛ λ ⎞
⎟
( λσ ) + ⎜⎜
μ ⎟⎠
⎝
=
⎛
λ ⎞
⎟
2 × ⎜⎜ 1 −
μ ⎟⎠
⎝
2
2
Número promedio de unidades en la cola:
Lq
Tiempo promedio de una unidad en el sistema:
W = Wq +
Tiempo promedio de espera de una unidad en la cola:
Wq =
1
μ
Lq
λ
Ejemplo: En un autobanco los tiempos de servicio de los cajeros tienen distribución normal con media 0,125
horas y una desviación estándar 0,08333 horas. La tasa de llegadas es Poisson con un promedio de 4 autos por
hora. Analizar las características de operación de este sistema de servicio.
Teoría de líneas de espera
_______________________________________________________________________
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Modelo con tiempo de servicio constante M / D / 1
Supuestos:
Este modelo tiene los mismos supuestos del modelo M/M/1, excepto que se supone que el
tiempo de servicio es constante o determinístico. Por lo general el servicio lo presta una
máquina.
Medidas de desempeño
λ
μ
Número promedio de unidades en el sistema:
L = Lq +
Número promedio de unidades en la cola:
λ2
Lq =
2μ × (μ − λ )
Tiempo promedio de una unidad en el sistema:
W=
Tiempo promedio de espera de una unidad en la cola:
Wq =
Utilización:
U =
L
λ
=
Lq
λ
λ × (2μ − λ )
2μ × (μ − λ )
=
λ
2μ × ( μ − λ )
λ
μ
Ejemplo: Un lavadero automático de autos tiene una línea de remolque de manera que los autos se mueven a
través de la instalación de lavado como una línea de ensamble. Supóngase que se acepta un auto cada 5 minutos
y que la tasa promedio de llegadas es de 9 autos por hora según Poisson. Analice las características de operación
de este sistema de lavado.
Teoría de líneas de espera
_______________________________________________________________________
Modelo con capacidad limitada Q:
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M/M/1/Q
Supuestos:
Este modelo sigue los mismos supuestos del modelo M/M/1, excepto que la capacidad del
sistema es limitada a un máximo de Q unidades en cualquier instante t.
Medidas de desempeño
Número promedio de unidades en el sistema:
Número promedio de unidades en la cola:
⎧
Q
Q +1 ⎫
⎛λ⎞
⎛λ⎞
⎪
⎪
⎪1 − (Q + 1) × ⎜⎜ μ ⎟⎟ + Q × ⎜⎜ μ ⎟⎟
⎪
λ ⎪
⎪
⎝
⎠
⎝
⎠
L = ×⎨
⎬
Q
+
1
μ ⎪
⎪
⎛
λ ⎞ ⎡⎢ ⎛ λ ⎞ ⎤⎥
⎜⎜1 − ⎟⎟ × 1 − ⎜⎜ ⎟⎟
⎪
⎪
μ⎠ ⎢ ⎝μ⎠ ⎥
⎝
⎪⎩
⎪⎭
⎣
⎦
⎧
Q−1
Q⎫
⎛λ⎞
⎛λ⎞ ⎪
⎪
+ (Q −1) × ⎜⎜ ⎟⎟ ⎪
2 ⎪1 − Q × ⎜⎜ ⎟⎟
μ⎠
⎛λ⎞ ⎪
⎝
⎝μ⎠ ⎪
Lq = ⎜⎜ ⎟⎟ × ⎨
⎬
Q
⎝μ⎠ ⎪
⎪
⎛ λ⎞ ⎡ ⎛λ⎞ ⎤
⎜⎜1− ⎟⎟ × ⎢1− ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎪
⎪
⎝ μ ⎠ ⎢⎣ ⎝ μ ⎠ ⎥⎦
⎪⎩
⎪⎭
Tiempo promedio de una unidad en el sistema:
W = Wq +
Tiempo promedio de espera de una
unidad en la cola:
Wq =
Lq
A
1
μ
=
Lq
λ × (1 − PQ )
Tasa de llegadas aceptadas:
A = λ × (1 − PQ )
Tasa de llegadas rechazadas:
R=λ−A
Probabilidad de que haya n unidades en
el sistema en cualquier instante t:
⎤
⎡
λ ⎥
⎢
1−
n
⎛λ⎞ ⎢
μ ⎥
Pn = ⎜⎜ ⎟⎟ × ⎢
Q +1 ⎥
⎝μ⎠ ⎢ ⎛λ⎞
⎥
⎥
⎢1 − ⎜⎜ μ ⎟⎟
⎦
⎣ ⎝ ⎠
Ejemplo: En una autopista hay una estación de gasolina. Los autos llegan a tanqueo siguiendo un proceso
Poisson con una tasa promedio de 10 por hora. El tiempo necesario para tanquear es exponencial con una media
de 3 minutos. En la estación cabe un máximo de 4 autos y las leyes de tránsito local prohíben que los autos
esperen en la vía. Encontrar:
a) El número promedio de autos que se encuentran simultáneamente en la estación de gasolina.
b) El tiempo promedio de espera de cada auto.
c) El ingreso promedio que se pierde cuando la estación está completamente llena, si la compra promedio por
auto es $ 70.000.
Teoría de líneas de espera
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Teoría de líneas de espera
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• Modelos de líneas de espera para población finita de tamaño N
(Modelos de servicios de máquinas)
Cuando la población que genera las llegadas es finita (N < 30), la tasa promedio de llegadas
cambia dependiendo del número de unidades que se encuentran en la línea de espera; es
decir, la tasa promedio de llegadas se define en términos de la frecuencia con la que cada
unidad llega o solicita servicio.
Modelo M / M / 1
Supuestos:
•
•
•
•
•
•
El patrón de llegadas:
Tasa de llegadas:
El patrón de servicios:
Un solo servidor
Una sola fase:
Disciplina de la fila:
Markov.
λ igual para todas las unidades.
Markov.
K = 1.
Cada unidad requiere un solo servicio.
Primero en entrar primero en salir.
Las medidas de desempeño para este sistema de líneas de espera son:
Factor de utilización:
Probabilidad de que el sistema esté vacío:
Número promedio de unidades en el sistema:
Número promedio de unidades en la cola:
λ
μ
n
⎡ N
⎛λ ⎞ ⎤
N
!
P0 = ⎢
×⎜ ⎟ ⎥
( N − n ) ! ⎜⎝ μ ⎟⎠ ⎥
⎢
⎣ n=0
⎦
∑
−1
⎛μ⎞
L = N − ⎜ ⎟ × (1 − P0 )
⎝λ⎠
μ⎞
⎛
Lq = N − (1 − P0 ) × ⎜1 + ⎟
λ⎠
⎝
N
⎛1⎞
−⎜ ⎟
μ × (1 − P0 ) ⎝ λ ⎠
Tiempo promedio de una unidad en el sistema:
W=
Tiempo promedio de espera de una unidad en
la fila:
⎛1⎞ ⎡ N
μ ⎞⎤
⎛
− ⎜1 + ⎟ ⎥
Wq = ⎜⎜ ⎟⎟ × ⎢
λ ⎠⎦
⎝ μ ⎠ ⎣ (1 − P0 ) ⎝
Probabilidad de que haya n unidades en el
sistema en cualquier instante t:
⎛ λ ⎞ ⎛ N! ⎞
⎟⎟
Pn = P0 × ⎜⎜ ⎟⎟ × ⎜⎜
μ
N
n
(
−
)
!
⎝ ⎠ ⎝
⎠
Probabilidad de que haya que esperar o de
que el sistema esté ocupado:
PW = 1 − P0
n
Teoría de líneas de espera
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14
Ejemplo: Un contratista desarrolla 4 proyectos. Una falla en las obras ocurre en promedio cada 20 días en cada
sitio. Toma 2 días en promedio solucionar la falla. Los tiempos entre llegadas y entre servicios se distribuyen
exponencialmente. Analice las características de operación.
Teoría de líneas de espera
_______________________________________________________________________
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Modelo M / M / K
Supuestos:
Los mismos del M/M/1, excepto que el número de servidores es mayor que 1, (K > 1) y,
además 1 < K ≤ N. N = tamaño de la población.
Para este sistema de colas, las medidas de desempeño son:
λ
Kμ
Factor de utilización:
Probabilidad de que el sistema
esté vacío:
⎡ K −1 ⎛ N
⎜⎜
P0 = ⎢
n
⎢
⎣ n=0 ⎝
∑
n
⎞⎛ λ ⎞
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ +
⎠⎝ μ ⎠
∑ ( N − n ) !× K ! × K
N!
n= K
n− K
n
⎛λ ⎞ ⎤
× ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎝ μ ⎠ ⎥⎦
⎛ K −1 ⎞
L=
n × Pn +
(n − K ) × Pn + K × ⎜1 −
Pn ⎟
⎜
⎟
n =0
n= K
⎝ n =0 ⎠
K −1
Número promedio de unidades
en el sistema:
N
N
∑
∑
∑
N
Número promedio de unidades
en la fila:
Lq =
W=
Tiempo promedio de espera
de una unidad en la fila:
Wq =
Probabilidad de que haya n
unidades en el sistema en
cualquier instante t:
n
n= K
una
Tiempo promedio de
unidad en el sistema:
∑ (n − K ) × P
L
λ × ( N − L)
Lq
λ × ( N − L)
n
⎛λ
Pn = P0 × ⎜⎜
⎝μ
⎞ ⎛N⎞
⎟⎟ × ⎜⎜ ⎟⎟
⎠ ⎝n⎠
⎛λ
Pn = P0 × ⎜⎜
⎝μ
⎞
N!
⎟⎟ ×
( N − n) ! × K ! × K n− K
⎠
si n < K
n
si n ≥ K
Ejemplo: Un contratista desarrolla 4 proyectos. Una falla en las obras ocurre en promedio cada día en cada sitio.
Toma 2 días en promedio solucionar una falla. Los tiempos entre llegadas y entre servicios se distribuyen
exponencialmente. Analice las características de operación del sistema.
−1
Teoría de líneas de espera
_______________________________________________________________________
16
Teoría de líneas de espera
_______________________________________________________________________
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Análisis económico de las líneas de espera
Las medidas de desempeño son usadas para determinar los costos mínimos del sistema de
líneas de espera. Para ello, se requiere estimar costos tales
• Costo por unidad de tiempo de trabajo por servidor.
• Costo de espera de la unidad por unidad de tiempo en la fila o en el sistema.
¿Qué cantidad de servidores K para la atención de las unidades deben ser usadas con el fin de
minimizar el costo total de operación de un sistema de líneas de espera?
El costo total esperado de operación de un sistema de servicio dado por:
Costo total esperado, CT = Costo total del servicio + Costo total del tiempo de espera
Costo total de servicio. Es el costo operativo del sistema que depende por lo general del
número de servidores K y del costo de operación por tiempo y servidor.
Costo total de servicio, CS = Costo por unidad de tiempo y servidor × Número de servidores
Costo total del servicio, CS = Cs × K
Costo total de espera. Costo por unidad de tiempo que depende del tiempo de espera de una
unidad en el sistema y del número promedio de unidades en el sistema.
Costo total de espera, CE = Costo de espera por tiempo y unidad × Número promedio de unidades en el sistema
Costo total de espera, CE = Ce × L
La relación entre estos dos costos y el nivel de incremento del servicio se ilustra gráficamente,
así:
De la figura vemos que el costo total esperado es mínimo al nivel de servicio óptimo designado
como K*. Por lo tanto en los modelos de líneas de espera el objetivo real es determinar el nivel
específico de servicio que minimice el costo total de operación del sistema.
Teoría de líneas de espera
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18
Ejemplo: Un supermercado tiene varias cajas de pago idénticas, cada una de las cuales puede servir un promedio
de 16 clientes por hora. En promedio llegan 24 clientes por hora. El supermercado tiene capacidad ilimitada. Si el
costo promedio de espera es de $2000/ hora - cliente, y el costo de operación de una caja es $1500/hora,
determine el número óptimo de cajas para el supermercado.
Teoría de líneas de espera
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Ejemplo: Para el siguiente sistema de líneas de espera hallar el número óptimo de servidores.
Tasa promedio de llegadas 225 unidades por hora.
Tiempo promedio de servicio 0.025 horas por unidad.
Costo de servicio por unidad y por hora $1600.
Costo de espera $800 por unidad y hora
19
Teoría de líneas de espera
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20
Ejemplo: A un centro de copiado llegan en promedio 60 trabajos por hora y la tasa de servicio es de 25 trabajos
por hora. Las llegadas y los servicios siguen procesos de Poisson. Si el costo de espera es $10 por hora y por
trabajo, y el costo de servicio es $100 por hora y por fotocopiadora, ¿cuál debe ser el número óptimo que minimice
el costo total de espera?
Teoría de líneas de espera
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Problemas
1. En un supermercado se está evaluando un sistema de bandas para las cajas registradoras el cual reduciría el
tiempo el tiempo de servicio de 6 a 5 minutos por cliente. Este tiempo es exponencial negativo. La administración
ha establecido que el tiempo promedio entre llegadas es también exponencial e igual a 10 minutos por cliente.
También se sabe que el tiempo de espera de un cliente cuesta $1.000/hora. Si la banda aumenta en $3.000/hora
los costos de operación, ¿deberá instalarse?
2. Una planta de producción puede manejar un promedio de 25 unidades/hora, aunque los tiempos varían debido
a la condición del material que llega. La tasa de llegada y la tasa de servicio pueden aproximarse mediante una
distribución de Poisson. ¿Cuántas unidades por hora se deben asignar para hacer que el tiempo medio del
sistema no sea mayor que 4 minutos?
3. Un aeropuerto puede atender 3 aviones en 2 minutos ya sea que despeguen o que aterricen. Si esta tasa tiene
una distribución de Poisson, ¿cuál es el tiempo medio entre llegadas (de aterrizaje o despegue) para asegurar
que el tiempo promedio de espera sea 5 minutos o menos. Suponer una distribución exponencial del tiempo entre
llegadas.
4. Una agencia que alquila autos recibe un promedio de 15 solicitudes/día. Puede cubrir 20 de tales
solicitudes/día. Sin embargo, si son rentados menos de tres autos la compañía pierde dinero así: si sólo se rentan
dos, la pérdida llega a $22.000/día; si sólo se renta uno, la pérdida llega a $26.000/día; si no se renta ninguno,
la pérdida es de $29.000 diarios. Las pérdidas son, por supuesto compensadas por las ganancias de rentar 3 o
más autos. Considerando sólo las pérdidas, cuál es el valor esperado de las pérdidas por día ? Suponga llegadas
y servicios Poisson.
5. Los pacientes llegan a un consultorio en un tiempo promedio de 20 minutos según una distribución de Poisson
y son atendidos por el médico en un tiempo exponencial promedio de 15 minutos. Si el médico desea que no más
del 2% de los pacientes permanezcan de pie, ¿cuántas sillas deberá colocar?
6. Una refinería distribuye sus productos mediante camiones que se descargan en el terminal de carga. Se cargan
camiones de la compañía y camiones de distribuidores independientes. Las compañías independientes se quejan
de que algunas veces deben esperar en la línea y perder dinero por mantener esperando al conductor y al
camión. Ellos han solicitado a la refinería disponer de un segundo terminal de carga o descontar un precio
equivalente al tiempo de espera. Se tienen los siguientes datos: tasa promedio de llegada (para todos los
camiones) = 2/hora; tasa promedio de servicio = 3/hora. El 30% de todos los camiones son independientes.
Suponiendo que estas tasas son aleatorias distribuidas según Poisson, determinar:
a) La fracción de tiempo que un camión tiene que esperar.
b) El tiempo estimado que los camiones independientes esperan por día.
c) Si el costo estimado de espera de un camión independiente se estima en $1.500/hora, ¿cuál es el costo por
día?
7. Se debe contratar un mecánico para reparar máquinas que fallan a una tasa promedio de 4 por semana. Las
fallas ocurren aleatoriamente en forma de Poisson con el tiempo. El tiempo no productivo de una máquina se
estima tiene un costo de $50.000 pos semana. Se tienen dos alternativas de selección: Un mecánico lento con un
costo de $30.000 por semana y que repara las máquinas que fallan a una tasa de 5 por semana, y un mecánico
rápido con un costo de $45.000 por semana y que repara las máquinas a una tasa de 7 por semana. Suponiendo
que se cumplen las condiciones características de un sistema M/M/1 población infinita, ¿cuál de los dos
mecánicos debe ser contratado?
8. Una empresa de teléfonos está planeando la instalación de casillas telefónicas en un nuevo aeropuerto. Se ha
establecido la estrategia de que una persona no tenga que esperar más del 5% de las veces que intente usar un
teléfono. Se estima que la demanda de uso tiene una distribución de Poisson con un promedio de 30 por hora. La
llamada telefónica promedio tiene una distribución exponencial con un tiempo medio de 5 minutos. ¿Cuántas
casillas telefónicas se deben instalar?
9. El proceso de descarga de volquetas se realiza por medio de una pala. El tiempo entre llegadas es 15 minutos
y se distribuye exponencial. La tasa de descarga es de 2 volquetas por hora. El costo de la pala y el operario es
de $700 por hora. El costo de tiempo ocioso de una volqueta y su conductor es de $ 1.000 por hora. ¿Cuántas
palas deben usarse?
Teoría de líneas de espera
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22
10. Un mecánico atiende 4 máquinas. Para cada máquina, el tiempo medio entre requerimientos de servicio es 10
horas y se supone que tiene una distribución exponencial. El tiempo de reparación tiende a seguir la misma
distribución y tiene un tiempo medio de 2 horas. Cuando una máquina queda en reparación, el tiempo perdido
tiene un valor de $2.000 por hora. El costo por día del mecánico es de $15.000.
a) ¿Cuál es el número esperado de máquinas en operación (funcionando)?
b) ¿Cuál es el costo esperado del tiempo perdido por día?
c) ¿Sería deseable tener dos mecánicos para que cada uno atendiera sólo dos máquinas?
11. Una compañía ha decidido utilizar subestaciones localizadas en la región de mercadeo para atender sus
camiones de reparto. El vicepresidente de mercadeo desea que los requerimientos de servicio y mantenimiento
no interfieran el servicio de entrega. Puesto que los camiones operan 24 horas, pueden llegar a solicitar servicio
en cualquier momento pero generalmente lo requieren cada 8 horas. Los procedimientos de mantenimiento
requieren una estación con capacidad para atender 10 camiones durante un período de 8 horas. El tiempo entre
llegadas se aproxima a una distribución exponencial, y la tasa de servicio tiene una distribución de Poisson. El
vicepresidente ha solicitado que sólo la mitad de los camiones que llegan estén obligados a esperar servicio.
¿Por cuántos camiones debe responder cada estación?
12. Un supermercado tiene varias cajas de pago idénticas, cada una de las cuales puede servir un promedio de 8
clientes por hora. En promedio llegan 30 clientes por hora. El supermercado tiene capacidad ilimitada. Si el costo
promedio de espera es de $50/ hora- cliente, y el costo de operación es de $150/hora-caja, determine el número
óptimo de cajas para el supermercado.
13. En una carretera hay una estación de gasolina. Los autos llegan a tanqueo siguiendo un proceso Poisson con
una tasa promedio de 12 por hora. El tiempo necesario para tanquear es exponencial con una media de 3 minutos.
En la estación cabe un máximo de 4 autos y las leyes de tránsito local prohíben que los autos esperen en la vía.
Encontrar:
a) El número promedio de autos que se encuentran simultáneamente en la estación de gasolina.
b) El tiempo promedio de espera de cada auto.
c) El ingreso promedio que se pierde cuando la estación está completamente llena, si la compra promedio por
auto es de $ 80.000?
14. Si una escalera eléctrica en un gran almacén puede aceptar 30 personas/minuto, ¿cuál es la tasa de llegadas
máxima que se permite para mantener el tiempo medio de espera por debajo de 10 segundos?
15. Una pastelería tiene dos trabajadores, cada uno de ellos es capaz de atender 30 clientes por hora, con los
tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. Los clientes llegan a la pastelería de acuerdo a un
proceso Poissoniano, con una tasa media de 40 por hora. Determínese:
a) La fracción del tiempo que un cierto trabajador está ocioso. (R: 0.33)
b) La probabilidad de que haya más de dos clientes esperando servicio en un momento dado. (R: 0.356)
16. Una empresa tiene actualmente una máquina con una capacidad de producción de 10 piezas por hora con
distribución Poisson. El costo de funcionamiento de esta máquina es de $1.500 por hora. La empresa está
interesada en sustituirla por una máquina completamente automática con una capacidad de producción de 10
piezas por hora cuyo costo de funcionamiento se estima en $2.000 la hora. El costo de tener la materia prima en
inventario es de $600 por hora-pieza. Si la entrada de materia prima es de 9 piezas por hora según Poisson y se
considera una disciplina de la línea de espera fifo, calcular:
a) El costo promedio por hora con la máquina actual.
b) El costo promedio por hora con la máquina automática.
c) El costo unitario de mantener el inventario para que sea indiferente el seleccionar cualquiera de las dos
máquinas.
17. El banco nacional W.B. opera una ventanilla para automovilistas que permite a los clientes realizar sus
transacciones bancarias sin bajar de su automóvil. En las mañanas de los días entre semana, las llegadas a
estas ventanillas ocurren al azar, con una tasa promedio de llegadas Poisson de 24 clientes/hora. Los tiempos
de servicio son exponenciales con un promedio de 36 clientes por hora.
a) ¿Cuál es el número promedio o esperado de clientes que llegan en un lapso de 5 minutos?
b) Se espera tener problemas de demoras si llegan más de tres clientes durante cualquier período de 5
minutos.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten problemas de demora?
Teoría de líneas de espera
_______________________________________________________________________
23
18. Un estudio de la operación de canales múltiples de un expendio de alimentos en un estadio muestra que el
tiempo promedio entre la llegada de un cliente al mostrador del local y su salida con un pedido ya surtido es de 10
minutos. Durante un juego, los clientes llegan a una tasa promedio de 4 por minuto según Poisson. La operación
del expendio de alimentos requiere de un promedio de 2 minutos por cada pedido de un cliente. Este tiempo es
exponencial.
a. ¿Cuál es la tasa promedio de servicio por canal, en términos de clientes por minuto?
b. ¿Cuál es el tiempo promedio de espera en la línea antes de hacer el pedido?
19. Llega un promedio de 15 automovilistas por hora, con tiempos exponenciales entre llegadas, que desean que
se les atienda en la ventanilla de servicio en el auto de un restaurante. Si hay una cola de más de 4 autos,
incluyendo el de la ventanilla, el auto que llegue se va. Si en promedio toman dos minutos en atender a un
automovilista:
a) Ud. acaba de formarse en la cola. En promedio, ¿cuánto tiempo pasará para que reciba su pedido?
b) ¿Cuál es el ingreso promedio por hora en esta ventanilla de servicio en el auto, si cada automovilista
consume en promedio $ 8.000?
20. Una empresa transporta en camiones que normalmente esperan un promedio de 45 minutos en cada viaje
antes de descargar. La empresa está considerando establecer un centro de recolección diferente con un costo
extra de $400 por viaje y camión. El nuevo centro puede operar a una tasa de 30 camiones por hora con una
desviación estándar de 0.10 horas. Las llegadas al nuevo centro son Poisson con una tasa promedio de 24
camiones por hora. Si el tiempo de espera de un camión se valora en $2.000 por hora, ¿cuánto ahorro resultará?
21. Un taller puede atender un promedio de 10 autos por hora. Sin embargo, llega un promedio de 8 autos por
hora. Dado que solo existe espacio para dos autos, ¿cuál es el ingreso que se pierde si cada auto representa un
ingreso medio de $20.000?
22. Los autobuses llegan a ciertas instalaciones de servicio de acuerdo a un proceso Poissoniano, con una tasa
media de 10 por día. Las instalaciones pueden dar servicio a uno por uno, el tiempo de servicio se distribuye
exponencialmente alrededor de una media de 1/12 por día. A la compañía de autobuses le cuesta $2.000 diarios
operar las instalaciones de servicio y $500 por cada día que un autobús permanece en las instalaciones.
Comprando equipo más moderno, la compañía de autobuses puede disminuir el tiempo medio de servicio a 1/15
por día, pero esto aumentaría los costos diarios de operación de las instalaciones de servicio a $2.450. ¿Resulta
conveniente desde el punto de vista económico hacer este cambio?
23. Tres mecánicos atienden doce máquinas. La tasa de entrada de máquinas a reparación es de una por día y
ellos atienden a una tasa de 1.9 máquinas por día. Las entradas como los servicios tienen distribución Poisson.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres mecánicos estén ociosos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hayan tres máquinas esperando servicio?
c) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera una máquina por el servicio?
d) Si el costo improductivo de una máquina es de $ 100.000/día y el costo de la mano de obra es de $40.000/día,
¿cuál es el costo esperado por día?
Teoría de líneas de espera
_______________________________________________________________________
24
Medidas de desempeño para LÍNEAS DE ESPERA − POBLACIÓN INFINITA
Servidores:
Fase:
Tasa de llegadas:
Tasa de servicios:
Capacidad:
U
P0
L
Probabilidad
sistema vacío
Número
promedio
en el sistema
Número
promedio
en la fila
W
Tiempo
promedio
en el sistema
Wq
Tiempo
promedio
de espera
en la fila
PW
= Pn≥K
P(L > n)
A
R
Nota:
M/M/K
K>1
Única
Poisson
Poisson
Ilimitada
λ
μ
λ
K × μ
Utilización
Lq
Pn
M/M/1
K =1
Única
Poisson
Poisson
Ilimitada
Probabilidad
de n unidades
en el sistema
Lq +
λ
μ (μ − λ )
1
Wq +
μ −λ
λ
μ (μ − λ )
λ
μ
⎛λ
⎜⎜
⎝μ
⎞
⎟⎟
⎠
−1
λ
μ
Lq +
K
⎡
⎛λ ⎞
⎢
λ × μ × ⎜⎜ ⎟⎟
⎢
⎝μ ⎠
P0 ⎢
2
⎢ ( K − 1) ! × ( K × μ − λ )
⎢
⎣
2
⎛
λ⎞ ⎛λ⎞
⎜⎜1 - ⎟⎟ × ⎜⎜ ⎟⎟
μ⎠ ⎝μ⎠
⎝
n = 1,2 ,3,...,n
M/M/1/Q
K =1
Única
Poisson
Poisson
Limitada, Q
∑
λ
μ
λ
μ −λ
Probabilidad
de esperar o de
que el sistema
este ocupado
Probabilidad de
más de n unidades
en el sistema
n
K
⎡
⎛ ⎞
⎛λ⎞ ⎤
⎢ K −1 ⎜ λ ⎟
K × μ × ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎜
⎟
⎢
⎝μ⎠ +
⎝μ⎠ ⎥
⎢
×
×
n
!
K
!
(
K
μ − λ ) ⎥⎥
⎢ n =0
⎢
⎥
⎣
⎦
1 − Pw
=1−
M/G/1
K =1
Única
Poisson
General
Ilimitada
1
μ
=
L
λ
⎛λ⎞
P0 × ⎜⎜ ⎟⎟
⎝μ⎠
n!
n
si 0 ≤ n < K
n
⎛λ⎞
P0 × ⎜⎜ ⎟⎟
⎝μ⎠
K ! × K (n− K )
si n ≥ K
⎡
⎛
⎢ K × μ × ⎜⎜ λ
⎢
⎝ μ
P0 × ⎢
!
(
×
×
K
K
μ
⎢
⎢
⎣
λ
μ
⎛ λ ⎞
⎟⎟
( λσ ) 2 + ⎜⎜
⎝ μ ⎠
⎛
λ ⎞
⎟⎟
2 × ⎜⎜ 1 −
μ
⎝
⎠
Wq +
λ
Lq
n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎧
Q
Q +1 ⎫
⎛λ⎞
⎛λ⎞
⎪
⎪
⎜
⎟
⎜
⎟
Q
Q
1
(
1
)
−
+
×
+
×
⎪
⎪
⎜μ⎟
⎜μ⎟
λ ⎪
⎪
⎝
⎠
⎝
⎠
×⎨
⎬
Q +1 ⎤
μ ⎪
⎡
⎪
⎛
λ⎞ ⎢ ⎛λ⎞
⎥
⎪
⎪
⎜⎜ 1 − μ ⎟⎟ × ⎢1 − ⎜⎜ μ ⎟⎟
⎥
⎝
⎠ ⎣ ⎝ ⎠
⎦
⎭⎪
⎩⎪
2
⎛λ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝μ⎠
2
⎧
Q−1
Q⎫
⎛λ⎞ ⎪
⎛λ⎞
⎪
⎪1− Q×⎜⎜ ⎟⎟ + (Q −1) ×⎜⎜ ⎟⎟ ⎪
⎪
⎝μ⎠ ⎪
⎝μ⎠
×⎨
⎬
Q⎤
⎡
⎪
⎪
⎛ λ⎞
⎛λ⎞
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
−
1
1
×
−
⎪
⎪
⎜ μ⎟ ⎢ ⎜μ⎟ ⎥
⎝
⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦
⎪
⎪
⎭
⎩
1
Wq +
μ
Lq
Lq
λ
A
=
1
μ
Lq
λ × (1 − PQ )
⎤
⎡
⎥
⎢ 1− λ
⎛λ⎞ ⎢
μ ⎥
⎜⎜ ⎟⎟ × ⎢
Q +1 ⎥
⎝μ⎠ ⎢ ⎛λ⎞
⎥
⎥
⎢1 − ⎜⎜ μ ⎟⎟
⎦
⎣ ⎝ ⎠
n= 1, 2, 3, …, Q
n
K ⎤
⎞
⎥
⎟⎟
⎥
⎠
⎥
− λ)⎥
⎥
⎦
( n +1)
Tasa de llegadas
aceptadas
A = λ × (1 − PQ )
Tasa de llegadas
rechazadas
R=λ−A
Las ecuaciones para el sistema M/D/1 se obtienen haciendo σ = 0 en las ecuaciones del modelo M/G/1.
Q = Número máximo de llegadas que puede tener el sistema en un momento dado, tanto esperando como siendo atendidas.
σ = Desviación estándar de la distribución del tiempo de servicio.
Teoría de líneas de espera
_______________________________________________________________________
25
Medidas de desempeño para LÍNEAS DE ESPERA − POBLACIÓN FINITA
M/M/1
K =1
Única
Poisson
Poisson
Ilimitada
Servidores:
Fase:
Tasa de llegadas:
Tasa de servicios:
Capacidad:
U
λ
μ
Utilización
P0
Probabilidad
sistema vacío
L
Número
promedio
en el sistema
Lq
Número
promedio
en la fila
W
Tiempo
promedio
en el sistema
Wq
Tiempo
promedio
de espera
en la fila
M/M/K
K>1
Única
Poisson
Poisson
Ilimitada
λ
K × μ
n
⎡ N
⎛λ ⎞ ⎤
N!
⎢
×⎜ ⎟ ⎥
⎢
( N − n ) ! ⎜⎝ μ ⎟⎠ ⎥
⎣ n=0
⎦
∑
−1
⎛μ⎞
N − ⎜ ⎟ × (1 − P0 )
⎝λ⎠
−1
n
⎡K−1 ⎛N⎞⎛ λ ⎞n N
⎛ λ⎞ ⎤
N
!
⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟ +
×⎜ ⎟ ⎥
n−K ⎜ μ⎟ ⎥
⎢ ⎜⎝ n⎟⎠⎜⎝ μ⎟⎠
−
×
×
(
N
n
)
!
K
!
K
⎝ ⎠⎦
n=K
⎣n=0
∑
∑
⎛ K −1 ⎞
(n − K ) × Pn + K × ⎜1 −
Pn ⎟
⎟
⎜
n=K
⎝ n =0 ⎠
K −1
N
∑
n × Pn +
n =0
∑
∑
N
∑ (n − K ) × P
μ⎞
⎛
N − (1 − P0 ) × ⎜1 + ⎟
λ⎠
⎝
n
n=K
N
⎛1⎞
−⎜ ⎟
μ × (1 − P0 ) ⎝ λ ⎠
L
λ × ( N − L)
⎛1⎞ ⎡ N
μ ⎞⎤
⎛
⎜⎜ ⎟⎟ × ⎢
− ⎜1 + ⎟ ⎥
λ ⎠⎦
⎝ μ ⎠ ⎣ (1 − P0 ) ⎝
Lq
λ × ( N − L)
n
n
Pn
Pw = Pn ≥ K
Probabilidad
de n unidades
en el sistema
Probabilidad
de esperar o
de
que el sistema
este ocupado
⎛ λ ⎞ ⎛ N! ⎞
⎟⎟
P0 × ⎜⎜ ⎟⎟ × ⎜⎜
μ
N
n
−
(
)
!
⎝ ⎠ ⎝
⎠
1 − P0
⎛ λ ⎞ ⎛N⎞
P0 × ⎜⎜ ⎟⎟ × ⎜⎜ ⎟⎟
⎝μ⎠ ⎝n⎠
si n < K
n
⎛λ⎞
N!
P0 × ⎜⎜ ⎟⎟ ×
n− K
⎝ μ ⎠ ( N − n) ! × K ! × K
si n ≥ K
P (n ≥ K )
λ = Tasa promedio de llegadas
μ = Tasa promedio de servicio
N = Tamaño de la población
n = Número de unidades en el sistema en cualquier momento
K = Número de servidores o estaciones de servicio Teoría de líneas de espera
_______________________________________________________________________
Valores de P0 para los modelos de líneas de espera
M / M / K − Población infinita
λ/μ
1
2
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
2,10
3,20
3,30
3,40
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
4,00
4,10
4,20
4,30
4,40
4,50
4,60
4,70
4,80
4,90
5,00 0,9000
0,8000
0,7000
0,6000
0,5000
0,4000
0,3000
0,2000
0,1000
0,9048
0,8182
0,7391
0,6667
0,6000
0,5385
0,4815
0,4286
0,3793
0,3333
0,2903
0,2500
0,2121
0,1765
0,1429
0,1111
0,0811
0,0526
0,0256
Número de servidores, K
3
4
5
0,9048
0,8187
0,7407
0,6701
0,6061
0,5479
0,4952
0,4472
0,4035
0,3636
0,3273
0,2941
0,2638
0,2360
0,2105
0,1872
0,1657
0,1460
0,1278
0,1111
0,0957
0,0815
0,0683
0,0562
0,0449
0,0345
0,0249
0,0160
0,0077
0,9048
0,8187
0,7408
0,6703
0,6065
0,5487
0,4965
0,4491
0,4062
0,3673
0,3321
0,3002
0,2712
0,2449
0,2210
0,1993
0,1796
0,1616
0,1453
0,1304
0,1169
0,1046
0,0933
0,0831
0,0737
0,0651
0,0573
0,0502
0,0437
0,0377
0,0323
0,0273
0,0227
0,0186
0,0148
0,0113
0,0081
0,0051
0,0025
0,9048
0,8187
0,7408
0,6703
0,6065
0,5488
0,4966
0,4493
0,4065
0,3678
0,3328
0,3011
0,2723
0,2463
0,2228
0,2014
0,1821
0,1646
0,1487
0,1343
0,1213
0,1094
0,0987
0,0889
0,0801
0,0721
0,0648
0,0581
0,0521
0,0466
0,0417
0,0372
0,0330
0,0293
0,0259
0,0228
0,0200
0,0174
0,0151
0,0130
0,0111
0,0093
0,0077
0,0063
0,0050
0,0038
0,0027
0,0017
0,0008
6
7
0,9048
0,8187
0,7408
0,6703
0,6065
0,5488
0,4966
0,4493
0,4066
0,3679
0,3329
0,3012
0,2725
0,2466
0,2231
0,2018
0,1826
0,1652
0,1494
0,1351
0,1222
0,1105
0,0999
0,0903
0,0816
0,0737
0,0666
0,0601
0,0543
0,0490
0,0441
0,0398
0,0358
0,0322
0,0290
0,0260
0,0233
0,0209
0,0187
0,0167
0,0149
0,0132
0,0117
0,0104
0,0091
0,0080
0,0070
0,0061
0,0053
0,0045
0,9048
0,8187
0,7408
0,6703
0,6065
0,5488
0,4966
0,4493
0,4066
0,3679
0,3329
0,3012
0,2725
0,2466
0,2231
0,2019
0,1827
0,1653
0,1495
0,1353
0,1224
0,1107
0,1002
0,0906
0,0820
0,0742
0,0671
0,0606
0,0548
0,0496
0,0448
0,0405
0,0366
0,0331
0,0298
0,0269
0,0243
0,0219
0,0198
0,0178
0,0160
0,0144
0,0130
0,0117
0,0105
0,0094
0,0084
0,0075
0,0067
0,0060
26
Teoría de líneas de espera
_______________________________________________________________________
27
Valores de Lq para K = 1 a 11 servidores cuando R = λ / μ
Sistemas M / M / K − Población infinita
Número de servidores, K
R
1
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
3.20
3.40
3.60
3.80
4.00
4.20
4.40
4.60
4.80
5.00
5.20
5.40
5.60
5.80
6.00
6.20
6.40
6.60
6.80
7.00
7.20
7.40
7.60
7.80
8.00
8.20
8.40
8.60
0.0111
0.0500
0.1285
0.2666
0.5000
0.9000
1.6333
3.2000
8.1000
2
0.0020
0.0069
0.0166
0.0333
0.0593
0.0976
0.1523
0.2285
0.3333
0.6748
1.3449
2.8444
7.6734
3
0.0030
0.0061
0.0112
0.0189
0.0300
0.0454
0.0904
0.1776
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