1 Separación de Variables

1
Separación de Variables
1.1
Coordenadas Cartesianas
Ecuación de Laplace: ∇2 Φ =
∂2Φ
∂x2
+
∂2 Φ
∂y 2
+
∂2 Φ
∂z 2
=0
Base de soluciones para Φ(x, y, z) = X(z).Y (y).Z(z) :
X(x) = Aeiαx + Be−iαx
Y (y) = A eiβy + B e−iβy
Z(z) = A eγz + B e−γz
con γ 2 = α2 + β 2 .
Solución para Φ = 0 en (0, 0, 0) y (a, b, z):
Φ(x, y, z) =
∞ ∞
Anm sin(αn x) sin(βm y) sinh(γnm z)
(1)
n=1 m=1
Solución para intervalo no acotado en x (x ∈ (−∞, ∞)):
∞
1
√
Φ(x, y, z) =
2π
m=1
∞
−∞
Akm eikx sin(βm y) sinh(γkm z)dk
Condición de Ortogonalidad:
a
a
sin(αn x) sin(αn x)dx = δnn
2
0
,
αn = nπ/a
Condición de Completitud:
∞
1
ei(k−k )x dx = δ(k − k )
2π −∞
1.2
Coordenadas Esféricas
Ecuación de Laplace: ∇2 Φ =
1 ∂ 2 rΦ
1
∂
r ∂r 2 + r 2 sin θ ∂θ
(2)
(3)
(4)
1
∂2Φ
sin θ ∂Φ
∂θ + r 2 sin2 θ ∂ 2 Φφ2 = 0
Base de soluciones para Φ(r, θ, φ) = R(r).P (θ, φ) :
R(r) = Arl + Br−(l+1)
P (θ, φ) = Ylm (θ, φ) =
2l+1 (l−m)!
imφ
4π (l+m)! Plm (cos θ)e
1
l = 0, 1, 2, . . . ∞
0≤r≤∞
−l ≤ m ≤ l
0≤θ≤π
0 ≤ φ ≤ 2π
donde Plm son las funciones asociadas de Legendre,
m
d
Plm (x) = (−1)m (1 − x2 )m/2 dx
m Pl (x)
Pl (x) =
l=0
l=1
l=2
1 dl
2
2l l! dxl (x
− 1)l
, x = cos θ
m≥0
, x = cos θ
√
Y00 = 1/ 4π
Y10 = 3/4π
cos θ
Y20 = 5/4π 32 cos2 θ − 12
Y11 = − 3/8π sin θeiφ
Y21 = − 15/8π sin θ cos θeiφ
Y22 =
Solución general:
l
∞ l
−(l+1)
Φ(r, θ, φ) =
Alm r + Blm r
Ylm (θ, φ)
(5)
l=0 m=−l
Condiciones de Ortogonalidad:
0
2π
dφ
π
0
sin(θ)dθYl∗ m (θ, φ)Ylm (θ, φ) = δl l .δm m
1
−1
Pl (x)Pl (x)dx =
2
δll
2l + 1
, x = cos θ
(6)
(7)
Condición de completitud:
l
∞ ∗
Ylm
(θ , φ )Ylm (θ, φ) = δ(φ − φ ).δ(cos θ − cos θ )
l=0 m=−l
∗
con Yl,−m (θ, φ) = (−1)m Ylm
(θ, φ).
1.3
Coordenadas Cilı́ndricas
Ecuación de Laplace: ∇2 Φ =
∂2Φ
∂ρ2
+
1 ∂Φ
ρ ∂ρ
+
1 ∂2 Φ
ρ2 ∂φ2
+
∂2 Φ
∂z 2
=0
Base de soluciones para Φ(ρ, φ, z) = R(ρ).Q(φ).Z(z) :
Q(φ) = Aeiνφ + Be−iνφ
ν = 0, 1, 2. . . . ∞
Z(z) = A ekz + B e−kz
R(ρ) = A Jν (kρ) + B Nν (kρ)
2
(8)
1
4
15/2π sin2 θe2iφ
donde Jν es la función de Bessel de 1o especie y Nν es la función de Neumann
(Bessel de 2o especie). Nν diverge para ρ → 0
Solución para intervalo acotado (0 ≤ ρ ≤ a, L1 ≤ z ≤ L2 ) :
∞ ∞ (
−iνφ
kn z
−kn z
Φ(ρ, φ, z) =
Aνn e iνφ)+Bνn e
Aνn e +Bνn e
Aνn Jν (kn ρ)+Bνn Nν (kn ρ)
ν=0
n=1
(9)
donde para ν entero, J−ν (x) = (−1)ν Jν (x)
Solución para intervalo no acotado en ρ, z:
Φ(ρ, φ, z) =
∞ ν=0
∞
0
dkBν (k)e−kz
(
−iνφ
Aν (k)e iνφ)+Bνn (k)e
Aν (k)Jν (kρ)+Bν (k)Nν (kρ)
(10)
Condición de Ortogonalidad:
0
a
ρJν (xνn ρ/a).Jν (xνn ρ/a)dρ =
2
a2
Jν+1 (xνn ) δnn
2
(11)
donde 0 ≤ ρ ≤ a, ν ≥ 0 y xνn son los ceros de Bessel para n = 1, 2, 3, . . . , ∞
.
Condición de Completitud:
∞
xJν (kx).Jν (k x)dx = (1/k)δ(k − k)
0
3
(12)