III. Utilización del Smith Chart para calcular el VSWR, el máximo de

111
III. Utilización del Smith Chart para calcular el
VSWR, el máximo de voltaje y el mínimo de voltaje
en una línea de transmisión
Consideremos la siguiente impedancia de carga
normalizada.
zL = 2 + j
Marquemos zL en el Smith Chart y utilizando un
compás dibujemos el círculo de SWR constante con
centro en el medio del Smith Chart que pase por zL.
Véase siguiente figura en donde el punto A
corresponde a zL.
112
El círculo de SWR constante interseca el eje real (r)
en dos puntos, los cuales aparecen marcados como
Pmax y Pmin.
Sabemos que
 =
Z L  Zo
Z L  Zo
ZL
1
Zo
ZL
1
Zo
=
=
zL  1
zL  1
y que dado que i = 0, los puntos Pmax y Pmin
corresponden al caso especial
r =
rL  1
rL  1
El punto Pmin corresponde al caso rL < 1, y el punto
Pmax corresponde al caso rL > 1.
Sabemos que
1||
S = 1||
Resolviendo por | | podemos obtener
||=
S 1
S 1
113
En los puntos Pmax y Pmin tenemos que |  | = r. Por
lo tanto,
r =
S 1
S 1
=
rL  1
rL  1
De esta última ecuación obtenemos que
S = rL
Como S = VSWR > 1, tan sólo el punto Pmax en
donde rL > 1 puede cumplir con este requisito.
En nuestro ejemplo, S = VSWR = rL = 2.6
Ahora podemos concluir que S es igual al valor de rL
en Pmax. Esto es, S es igual al valor en el que el
círculo de SWR constante interseca el eje real de  al
lado derecho del centro del Smith Chart.
Veamos qué otras implicaciones tienen los puntos
Pmin y Pmax. En Pmax la fase total de l es
– 2  l + r = 0
mientras que en Pmin la fase total de l es
114
– 2  l + r = -

Como el primer máximo de voltaje ocurre cuando
– 2  l + r = 0
y el primer mínimo de voltaje ocurre cuando
– 2  l + r = -
entonces, en nuestro ejemplo de línea de transmisión
representada por el círculo de SWR constante, la
distancia entre la impedancia de carga y el primer
máximo de voltaje es
lmax = - 0.037  metros
De forma similar, la distancia entre la impedancia de
carga y el primer mínimo de voltaje es
lmin = - 0.287  metros
lmin fue calculado de la siguiente forma:
Una vuelta o revolución completa a lo largo de toda

la circunferencia del Smith Chart corresponde a 2
metros. Por lo tanto, media vuelta o revolución en el
115
Smith Chart corresponde a

4
metros. Para calcular
lmin primero recorremos 0.037  metros hacia el
generador hasta llegar a Pmax, y luego

4
metros
adicionales hasta llegar a Pmin.

lmin = - 0.037   = - 0.287  metros
Como I(z) y V(z) están desfasadas 180o, entonces en
Pmax ocurre el primer máximo de voltaje y el primer
mínimo de corriente. De forma similar, en Pmin ocurre
el primer mínimo de voltaje y el primer máximo de
corriente.
IV. Utilización del Smith Chart para transformar
impedancias en admitancias y viceversa
Aunque no lo vamos a demostrar, una rotación de

4
metros en el Smith Chart transforma una impedancia
normalizada en una admitancia normalizada, y
viceversa.
Veamos un ejemplo que combina todos los posibles
usos del Smith Chart que hasta ahora hemos
estudiado.
116
Ejemplo:
Una línea de transmisión de 50  y 3.3  metros de
largo termina en una impedancia de carga ZL = 25 +
j50 Utilice el Smith Chart para calcular:
a) el coeficiente de reflexión de voltaje
b) el VSWR
c) la distancia desde la carga hasta el primer
máximo de voltaje
d) la distancia desde la carga hasta el primer
mínimo de voltaje
e) la impedancia de entrada de la línea
f) la admitancia de entrada de la línea
Solución:
El primer paso es normalizar la impedancia de carga.
zL =
25  j50
50
= 0.5 + j
Ahora marcamos zL en el Smith Chart y con una
regla trazamos un segmento de línea desde el centro
del Smith Chart, pasando por zL y llegando hasta la
circunferencia del círculo unitario. Véase el punto A
en el siguiente diagrama.
117
El segmento de línea que trazamos corta la escala
angle of reflection coefficient in degrees en r=83o
Ahora con una regla medimos OA y OO' donde O’
es un punto arbitrario en el círculo definido por rL=0.
Con estas dos medidas podemos calcular .
 | =
OA
OO'
=
0.62
1
= 0.62
118
Combinando los anteriores resultados obtenemos
 = 0.62 e
j 83o
o
= 0.62 / 83
Ahora utilizamos un compás para trazar un círculo
con centro en O y que pase por A. Dicho círculo
corta el eje real de  o r en los puntos B y C. El
valor de rL en el punto B es 4.26. Por lo tanto,
S = VSWR = 4.26
Para encontrar a qué distancia es que ocurre el primer
máximo de voltaje, tenemos que calcular la distancia
que tenemos que recorrer desde el punto A hasta el
punto B. Según la escala de wavelengths toward
generator el punto A se encuentra a 0.135  metros
mientras que el punto B se encuentra a 0.25  metros.
Por lo tanto, la distancia entre A y B es
lmax = 0.25  - 0.135  = 0.115  metros
El primer mínimo se encuentra en el punto B, o a
Lmin = 0.115  + 0.25  = 0.365  metros
Para calcular la impedancia y la admitancia de
entrada hay que considerar el largo de la línea de
119
transmisión, el cual es de 3.3 . Aunque el Smith

Chart tan sólo puede representar un máximo de 2
metros, el hecho de que las propiedades se repiten
cada múltiplo entero de

2
metros salva la situación.
Esto es, calcular la impedancia de entrada a una
distancia de 3.3  metros de la carga es equivalente a
calcular la impedancia de entrada a una distancia de

3.3  - (6 )( 2 ) = 0.3  metros. Con este resultado
nos desplazamos hacia el generador una distancia
0.3 metros desde el punto A. Con esto llegamos al
punto D. En D podemos leer la impedancia de
entrada normalizada.
zin = 0.28 – j 0.4
Para obtener la impedancia de entrada, multiplicamos
zin por la impedancia característica Zo.
Zin = (0.28 – j 0.4) (50) = 14 – j 20 
Para obtener la admitancia de entrada normalizada yin
a partir del punto D nos desplazamos 0.25  metros
adicionales hasta caer en el punto E. Las coordenadas
del punto E nos dan la admitancia de entrada
normalizada.
120
yin = 1.15 + j 1.7 Siemens
Para obtener la admitancia de entrada, multiplicamos
la admitancia de entrada normalizada por la
admitancia característica.
Yin = yin Yo =
y in
Zo
=
1.15  j1.7
50
= 0.023 + j 0.034
Yin está en unidades de Siemens.
Ejemplo:
Una línea de transmisión de 50  tiene un VSWR de
3. El primer mínimo de voltaje ocurre a 5 cm de la
carga. La distancia entre mínimos consecutivos es de
20 cm. Calcule la impedancia de carga.
Solución:
Como el VSWR es 3, identificamos el punto (3,0) en
el Smith Chart. Dicho punto es el punto A en el
siguiente diagrama.
121
Ahora utilizaremos el compás para dibujar un círculo
con centro en el origen del Smith Chart y que pase
por el punto A.
Con dicho círculo logramos identificar el punto B el
cual corresponde al primer mínimo de voltaje.
Como la distancia entre mínimos consecutivos es 20
cm,
122

2
= 20 cm =>  = 40 cm
El primer mínimo se encuentra a
5 cm x

40 cm
= 0.125 metros
de la carga.
Ahora procedemos a desplazarnos 0.125  metros
desde el punto B en donde ocurre el primer mínimo
hacia la carga. Esto es, a partir del punto B nos
desplazamos 0.125  metros counterclockwise hasta
llegar al punto C. En el punto C medimos la
impedancia de carga normalizada.
zL = 0.6 – j 0.8 
Finalmente, multiplicamos la impedancia de carga
normalizada por la impedancia característica para así
obtener la impedancia de carga.
ZL = (50) (0.6 - j 0.8) = 30 - j40 

123
Ejemplo:
Consideremos un pedazo de línea de transmisión de

largo l < 2 que está en corto circuito. Deseamos
calcular la impedancia de entrada Zin.
l
Z in
Zo
En este caso
ZL = 0
y
zL =
ZL
Zo
= 0
124
Como
Z L  Zo
 = Z  Z = -1 = 1 /   = r + j i
L
o
r = -1 y
i = 0
tal y como muestra la anterior figura, el punto D
representa el corto circuito.
Para calcular la impedancia de entrada a una distancia
de l metros de la carga, nos desplazamos l/ largos de
onda hacia el generador. Esto es a lo largo del círculo
unitario rotamos clockwise l/ largos de onda hacia el
generador.
La impedancia de entrada normalizada está dada por
zin = rin + j xin
Como en el círculo unitario rin=0,
zin = j xin
Esto es, dependiendo del largo, un pedazo de línea de
transmisión en corto circuito, o un short circuit stub,
se comporta como un inductor (si xin > 0) o como un
condensador (si xin < 0). Esto es, si el largo l es de
125
menos de

4
metros entonces xin > 0 y el short circuit
stub se comporta como un inductor. En cambio si el
largo l es de más de

4
metros entonces xin < 0 y el
short circuit stub se comporta como un condensador.
¿Qué pasaría si el largo l fuera igual a

4
metros?
En el anterior diagrama nos desplazaríamos del punto
D al punto C. En el punto C
zin = rin + j xin = 0 + j  = j 
| zin | = 
La impedancia de entrada para una línea de

transmisión en corto circuito y de largo 4 metros es
infinita!!!!!!!!!!!!!!!
En este caso especial un corto circuito se comporta
como un circuito abierto!!!!!!!!!!!!!!!!
126
Ejemplo:
Consideremos un pedazo de línea de transmisión de

largo l < 2 que está en circuito abierto. Deseamos
calcular la impedancia de entrada Zin.
l
Z in
Zo
En este caso
ZL =  y
zL =
ZL
Zo
= 
127
Como
Z L  Zo
o
 = Z  Z = 1 = 1 / 0 = r + j i
L
o
r = 1
y
i = 0
tal y como muestra la anterior figura, el punto C
representa el circuito abierto.
Para calcular la impedancia de entrada a una distancia
de l metros de la carga, nos desplazamos l/ largos de
onda hacia el generador. Esto es a lo largo del círculo
unitario rotamos clockwise l/ largos de onda hacia el
generador.
La impedancia de entrada normalizada está dada por
zin = rin + j xin
Como en el círculo unitario rin=0,
zin = j xin
Esto es, dependiendo del largo, un pedazo de línea de
transmisión en circuito abierto, o un open circuit
stub, se comporta como un inductor (si xin > 0) o
como un condensador (si xin < 0). Esto es, si el largo l
128
es de menos de

4
metros entonces xin < 0 y el open
circuit stub se comporta como un condensador. En
cambio si el largo l es de más de

4
metros entonces
xin > 0 y el open circuit stub se comporta como un
inductor.
¿Qué pasaría si el largo l fuera igual a

4
metros?
En el anterior diagrama nos desplazaríamos del punto
C al punto D. En el punto D
zin = rin + j xin = 0 + j 0 = 0
| zin | = 0
La impedancia de entrada para una línea de
transmisión en circuito abierto y de largo

4
metros es
cero!!!!!!!!!!!!!!!
En este caso especial, un circuito abierto se comporta
como un corto circuito!!!!!!!!!!!!!!!!
129
Impedance Matching Utilizando el Smith Chart
Una línea de transmisión conecta un generador con
su impedancia interna a una impedancia de carga.
Zg
l
+
Vg
-
Zo
ZL
Decimos que la línea de transmisión está macheada a
la carga cuando ZL = Zo. Esto implica que en la carga
no ocurre reflexión alguna. Toda la potencia que
llega a la carga se queda en la carga.
Sin embargo, no siempre tenemos la suerte de que
nuestra impedancia de carga coincida con la
impedancia característica de la línea de transmisión.
En dichos casos no nos queda más remedio que entre
la línea de transmisión y la impedancia de carga
implementar un circuito para machear impedancias
como el que aparece en la siguiente figura.
130
El objetivo del impedance matching network es
transformar la impedancia de carga ZL de forma que
la impedancia de entrada Zin sea igual a la
impedancia característica de la línea de transmisión.
De esta forma se elimina la onda de voltaje que de lo
contrario se reflejaría en la impedancia de carga.
El típico impedance matching network consiste de
inductores y condensadores, o pedazos de líneas de
transmisión con las terminaciones apropiadas (i.e.
circuito abierto o corto circuito). De esta forma no
introducimos pérdidas adicionales.
El impedance matching network macheará la
impedancia de carga ZL = RL + j XL a Zo, la
impedancia característica de la línea de transmisión.
Para lograr nuestro objetivo, asumiendo línea de
transmisión sin pérdidas, el impedance matching
network deberá transformar RL en Zo y XL en 0. Esto
implica que el impedance matching network deberá
ser capaz de en forma independiente ajustar dos
parámetros.
Para lograr nuestro objetivo utilizaremos un single
stub matching network como el que aparece en la
siguiente figura.
131
El single stub matching network consiste de dos
secciones de línea de transmisión, una de largo d
conectando la impedancia de carga con el punto MM’
(véase figura anterior), y otra de largo l conectada en
MM’ en paralelo con las otras dos líneas. A esta
última línea de largo l se le conoce como stub, y
puede terminar o en un corto circuito o en circuito
abierto.
Generalmente se prefiere utilizar el short circuit stub
en vez del open circuit stub pues el short circuit stub
es menos susceptible a recoger ruido.
132
La distancia d a la que vamos a conectar el stub y el
largo l del stub son los dos parámetros que podemos
variar.
Como admitancias en paralelo se suman, y nosotros
vamos a colocar un short circuit stub en paralelo a
nuestra línea de transmisión original, es preferible
trabajar el problema en términos de admitancias en
vez de utilizar impedancias.
El procedimiento para machear impedancias consiste
de dos pasos:
1. La distancia d es escogida de forma que la
admitancia de carga YL =
1
ZL
en el punto MM’
sea transformada en la admitancia Yd = Yo + j B
en donde Yo =
1
Zo
. El componente real de Yd es
la admitancia característica de la línea de
transmisión.
2. El largo l del short circuit stub es escogido de
forma que Ys , su admitancia de entrada en MM’,
sea igual a – j B. De esta forma la admitancia de
entrada en MM’ es
Yd + Ys = Yo + j B - j B = Yo
133
Ejemplo:
Una línea de transmisión de 50  está conectada a
una antena con impedancia ZL = 25 – j 50 .
Encuentre a qué distancia de la carga debemos
conectar nuestro short circuit stub para machear la
impedancia de carga a la línea de transmisión.
Encuentre además el largo del short circuit stub.
Solución:
Como primer paso, normalicemos la impedancia de
carga.
25  j50
zL =
= 0.5 – j1
50
En la siguiente figura zL está representada por el
punto A.
134
Como el problema del impedance matching debe
ser trabajado en términos de admitancias y no en
términos de impedancias, ahora procedemos a
transformar la impedancia de carga normalizada en
admitancia de carga normalizada. Para ello primero
trazamos el círculo de VSWR constante con centro
en el origen y que pase por el punto A. Una vez
hecho esto trazamos un segmento de línea que pase
por el punto A y por el origen hasta llegar al punto
135
B el cual se encuentra a 180o o 0.25 de la carga.
Véase anterior figura.
El punto B corresponde a la admitancia de carga
normalizada.
yL = 0.4 + j 0.8
Desde el punto B rotamos hacia el generador (i.e.
clockwise) hasta intersecar el círculo definido por
y=1. Esto ocurre a una distancia de 0.063  metros
de la carga. La intersección se da en el punto C.
Esto es
d = 0.063  metros
En el punto C
yd = 1 + j 1.58
Debemos escoger el largo del short circuit stub de
forma que su admitancia de entrada ys sea el
opuesto del componente imaginario de yd.
ys = - j 1.58
De esta forma la admitancia de entrada está dada
por
136
yin = yd + ys = 1
La impedancia de carga de un short circuit stub
queda representada en el extremo izquierdo del eje
real del Smith Chart. Por lo tanto, la admitancia de
carga de un short circuit stub queda representada
en el extremo derecho del eje real del Smith Chart.
Esto es, el punto E.
Tal y como muestra la anterior figura, si a partir del
punto E nos desplazamos 0.090  metros hacia el
generador (i.e. clockwise) obtenemos
ys = - j 1.58
Por lo tanto, el largo del short circuit stub deberá
ser de 0.090  metros.
Resumiendo, una posible solución es utilizar un
impedance matching network que consista de un
short circuit stub de largo 0.090  metros colocado
a una distancia d = 0.063  metros de la carga.
Sin embargo, existe otra posible solución. Si desde
el punto B que representa la admitancia de carga
normalizada no nos detenemos en el antiguo punto
C y continuamos rotando clockwise hasta llegar al
137
punto D de la siguiente gráfica, obtenemos que el
short circuit stub debe colocarse a una distancia
igual a d = 0.207 metros de la admitancia de
carga.
En el punto D
yd = 1 – j 1.58
138
Por lo tanto, necesitamos que la admitancia de
entrada normalizada del short circuit stub sea de
j1.58, el opuesto del componente imaginario de yd.
Igual que en caso anterior, sabemos que la
admitancia de carga de un short circuit stub
corresponde al punto en el eje real en la extrema
derecha del Smith Chart. A partir de ese punto nos
desplazamos hacia el generador (i.e. clockwise)
hasta encontrar el punto G con ys = j 1.58. El punto
G se encuentra a una distancia de 0.410  metros
del corto circuito.
Resumiendo, la otra posible solución consiste en
colocar un short circuit stub de largo 0.410 
metros a una distancia de 0.207 metros de la
admitancia de carga.