1. Funciones definidas mediante una fórmula: gráficas.

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Funciones y derivada.
1. Funciones definidas mediante una fórmula: gráficas.
Las funciones son los objetos con los que trabajaremos fundamentalmente en la asignatura de Matemáticas II. Las funciones permiten describir fenómenos reales de la ciencia y la técnica en términos matemáticos. En esta primera sección repasaremos las funciones elementales y sus gráficas, con
las que probablemente estés familiarizado.
Una función f definida en un conjunto D con valores en otro conjunto Y es una regla que asigna
un único valor y = f ( x) a cada elemento x del conjunto D. Esto lo representaremos simplemente
por f : x ∈ D → y = f ( x) ∈ Y . La letra x, que se llama variable independiente, representa los posibles valores a los que podemos aplicar la función f y la letra y, que se llama variable dependiente,
representa los correspondientes valores que se obtienen al aplicar la función f . El conjunto D Se
llama dominio de la función f y el conjunto Y se llama imagen o recorrido de la función f .
Usualmente, nosotros consideraremos funciones cuyo dominio es un intervalo I de la recta real,
que representaremos por \ y cuyos valores serán, a su vez, números reales. Esto lo representaremos así: f : x ∈ I ⊆ \ → y = f ( x) ∈ \ y las llamaremos funciones reales de variable real. En este
caso, disponemos de una representación gráfica de la función en unos ejes coordenados perpendiculares que llamaremos OX , eje horizontal, y OY , eje vertical. Observa el siguiente gráfico.
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Al conjunto del plano OXY (usualmente nos referiremos al plano como \ 2 ) formado por todos los
puntos ( x, f ( x) ) , con x ∈ I , se llama gráfica de la función f , es decir,
G ( f ) := {( x, f ( x) ) ∈ \ 2 : x ∈ I } .
Usualmente este conjunto, la gráfica de f , suele ser una curva. Parte de este curso consistirá en
estudiar propiedades de este conjunto.
Las funciones se clasifican en dos grandes grupos: las funciones algebraicas y las funciones trascendentes. Las funciones algebraicas están formadas por los polinomios y todas aquellas que se
pueden construir a partir de los polinomios usando las operaciones de suma, multiplicación, división y extracción de raíces. Recuerda que un polinomio es una función de la forma
f ( x) := a0 + a1 x + a2 x 2 + " + an x n ,
donde los números ak ∈ \ se llaman coeficientes del polinomio y el número natural n se llama
grado del polinomio, si an ≠ 0. En particular, son ejemplos de funciones algebraicas las funciones
1
racionales, como f ( x) := , y las funciones irracionales, como g ( x) := 1 − x 2 .
x
Las funciones que no son algebraicas se llaman trascendentes. En esta clase de funciones están incluidas las funciones trigonométricas (y sus inversas), las funciones exponencial, logaritmo y muchas otras funciones como, por ejemplo, las funciones hiperbólicas. A continuación repasaremos las
propiedades elementales de algunas de ellas.
Funciones trigonométricas. En algunas ocasiones los ángulos se miden en grados pero en este
curso los ángulos se medirán siempre en radianes (que son números reales). Ten cuidado cuando
uses la calculadora para hacer cálculos con funciones trigonométricas. Las dos funciones trigonométricas básicas son el seno y el coseno, que representaremos por sen y cos, respectivamente.
Sus gráficas son las que mostramos a continuación.
Recuerda que ambas son funciones periódicas de periodo 2π , es decir, sen ( x + 2π ) = sen x y
cos ( x + 2π ) = cos x, para todo x ∈ \. La función seno es impar, es decir, sen ( − x ) = − sen x, para
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todo x ∈ \; mientras que la función coseno es par, esto es, cos ( − x ) = cos x, para todo x ∈ \.
Otras identidades interesantes que verifican las funciones seno y coseno son las siguientes. La primera de ellas es consecuencia del teorema de Pitágoras y es la identidad básica de la trigonometría:
sen 2 x + cos 2 x = 1, para todo x ∈ \. También son muy útiles las fórmulas de adición:
cos ( x + y ) = cos x cos y − sen x sen y,
x ∈ \,
sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y,
x ∈ \,
de las que también deducimos, tomando y = x en las igualdades anteriores, las fórmulas del ángulo
doble: cos(2 x) = cos 2 x − sen 2 x y sen(2 x) = 2sen x cos x, para todo x ∈ \. El cociente las funciones
sen x
seno y coseno, es decir, la función tangente tan x :=
también es relevante en trigonometría.
cos x
⎧ π
⎫
Está definida dónde no se anula el coseno, es decir, en el conjunto D := \ − ⎨k : k = 0, ±1, ±2,...⎬ y
⎩ 2
⎭
es una función periódica de periodo π , es decir, tan ( x + π ) = tan x, para todo x ∈ D. Su gráfica es
la siguiente:
Funciones exponencial y logaritmo. También estarás familiarizado con la función exponencial de
base natural, es decir, el número de Euler e ≈ 2.788182... cuyo dominio de definición es toda la
recta real x ∈ \ → e x ∈ \. Recuerda que la función exponencial es una función positiva, creciente y
que lim e x = ∞ y lim e x = 0. Las relaciones fundamentales de la función exponencial son
x →∞
x →−∞
e x + y = e x ⋅ e y , x, y ∈ \ ,
1
e − x = x , x ∈ \,
e
(e )
x
y
= e x ⋅ y = ( e y ) , x, y ∈ \,
x
e0 = 1.
La función logaritmo x ∈ ( 0, ∞ ) → log x ∈ \ está definida para valores x > 0 y es la función inver-
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sa de la función exponencial, es decir, log ( e x ) = x, para todo x ∈ \, o bien, elog x = x, para todo
x > 0. La función logaritmo es creciente y verifica lim log x = ∞ y lim+ log x = −∞. Observa su
x →∞
x →0
gráfica junto con la de la función exponencial.
Las relaciones fundamentales de la función logaritmo son
log ( x ⋅ y ) = log x + log y, x, y > 0,
log
x
= log x − log y, x, y > 0,
y
log x a = a log x, a, x > 0,
log1 = 0.
Asíntotas de la gráfica de una función. Sea f una función real de variable real y sea a ∈ \. La
recta de ecuación x = a se dice que es una asíntota vertical de la función f (o de la curva
y = f ( x) ) si lim+ f ( x) = ±∞, o bien, lim− f ( x) = ±∞. Dado b ∈ \, se dice que la recta de ecuación
x →a
x→a
y = b es una asíntota horizontal de la función f (o de la curva y = f ( x) ) si lim f ( x) = b, o bien,
x →∞
lim f ( x) = b. Observa en este gráfico que las rectas x = 0 e y = 0 son asíntotas verticales y hori-
x →−∞
1
zontales de la función f ( x) = .
x
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Una recta de ecuación y = m x + n se dice que es una asíntota oblicua de la función f (o de la curf ( x)
= m y lim ( f ( x) − m x ) = n. Análogamente los límites
va y = f ( x) ) si existen los límites lim
x →∞
x →∞
x
se pueden tomar cuando x → −∞.
EJEMPLO. Considera la función f ( x) :=
x2 − 3
, que está definida en el conjunto \ − {2} . Observa
2x − 4
x2 − 3
que lim f ( x) = lim
= ∞. Por tanto, la recta x = 2 es una asíntota vertical. Por otra parte, tex →2
x →2 2 x − 4
f ( x)
x2 − 3
1
nemos que lim
= lim
= y, además,
x →±∞
x→2 x ( 2 x − 4 )
2
x
⎛ x2 − 3 x ⎞
x⎞
3 − 2x
⎛
lim ⎜ f ( x) − ⎟ = lim ⎜
− ⎟ = lim
= 1.
x →±∞
2 ⎠ x →±∞ ⎝ 2 x − 4 2 ⎠ x→±∞ 4 − 2 x
⎝
Esto nos dice que la recta de ecuación y =
x
+ 1 es una asíntota oblicua de la gráfica de la función.
2
Observa la siguiente figura.
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Lección 1. Funciones y derivada.
EJERCICIO 1. Determina y describe los siguientes conjuntos de la recta real \ o del plano \ 2 :
(C) {( x, y ) ∈ \ 2 : x + y ≤ 1} .
(A) { x ∈ \ :1 ≤ x + 1 + x − 1 ≤ 4} .
{
(B) x ∈ \ :
}
1
≤ x2 + 1 − x2 − 1 ≤ 3 .
2
(D) {( x, y ) ∈ \ 2 : x + y + x − y ≤ 1} .
EJERCICIO 2. Las funciones de la forma f ( x) := xα , donde α es una constante, se llaman funciones potencia.
(1) Dibuja las gráficas de las funciones potencias cuando α es un número natural 0,1, 2,... en el
intervalo [ 0,1] y en el intervalo [ −1, 0] . En particular, comprueba que si x ∈ ( −1,1) , la sucesión x n
decrece a 0. ¿Qué le ocurre a la sucesión x n si x > 1?
(2) Dibuja las gráficas de las funciones potencia cuando α = −1 o cuando α = −2. En particular,
calcula las ecuaciones de sus asíntotas.
1
1
3
2
(3) Dibuja las gráficas de las funciones potencias cuando α = , α = , α = y α = . Estudia
2
3
2
3
sus dominios de definición y sus simetrías.
EJERCICIO 3. (1) Determina un polinomio P( x) tal que ( x3 − x + 1) P( x) − 2 x 5 − 2 x 2 + 3 = 3 x − 5 x3 .
(2) Encuentra un polinomio de segundo grado P( x) tal que P (−1) = 1, P (−2) = 2 y P(−3) = 7.
¿Cuántos polinomios hay que verifiquen estas tres condiciones? ¿Y sólo dos de ellas?
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(3) Calcula las raíces de los polinomios P ( x) = 2 x 4 + x3 − 8 x 2 − x + 6 y Q( x) = 2 x 3 − 7 x 2 + 8 x − 3.
EJERCICIO 4. Resuelve las siguientes ecuaciones o sistemas de ecuaciones:
(A)
21
− 6 x + 1 = 2 3x .
6x +1
(B) 2 x −1 − 2 x − 2 +
x 1
(C) 2 log x = log − .
2 2
⎧
⎪sen x + sen y =
⎪
(E) ⎨
⎪
⎪⎩sen x − sen y =
⎧log x − log y = 1,
(D) ⎨
⎩log x + log y = 3.
2
2x
= 960.
16
2
3 +1
,
2
3 −1
.
2
EJERCICIO 5. Una función racional es el cociente de dos polinomios, es decir, f ( x) :=
p ( x)
, donde
q( x)
p( x) y q( x) son dos polinomios. Estudia las funciones siguientes racionales:
2x2 − 3
f1 ( x) =
,
7x + 4
5x2 + 8x − 3
f 2 ( x) =
3x 2 + 2
y
f3 ( x) =
11x + 2
.
2 x3 − 1
Debes describir sus dominios de definición, sus asíntotas y sus gráficas.
EJERCICIO 6. (1) Escribe en una tabla las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de: 0,
π π π π
3π
, , , , π,
y 2π . Dibuja estos resultados en la circunferencia unidad.
2
6 4 3 2
3
⎛ π⎞
(2) Calcula el seno y el coseno de x ∈ ⎜ 0, ⎟ sabiendo que tan x = .
2
⎝ 2⎠
(3) Usa las fórmulas de la suma para calcular sen
para calcular sen
π
12
, cos
π
12
, sen
π
π
7π
11π
. Usa las fórmulas del ángulo doble
y cos
12
12
y cos .
8
8
EJERCICIO 7. (1) Utiliza las propiedades de los logaritmos para simplificar las siguientes expresiones:
⎛ sen x ⎞
log ( sen x ) − log ⎜
⎟,
⎝ 5 ⎠
log ( 3 x 2 − 9 x ) + log
1
,
3x
1
log ( 4 x 4 ) − log 2,
2
3log 3 x 2 − 1 − log( x + 1).
(2) En las siguientes expresiones despeja x en función de y :
log x = 2 y + 4,
log( x − 1) − log 2 = y + log y,
log ( x 2 − 1) − log ( x + 1) = log ( sen y ) .
(3) Calcula la derivada de las siguientes funciones:
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x 2 + 1)
(
x log x
1 + log x
, f3 ( x) :=
, f 4 ( x) := log x , f5 ( x) := log
.
f1 ( x) := log ( log x ) , f 2 ( x) :=
1 + log x
1 − log x
1− x
5
(4) Calcula la derivada de las siguientes funciones:
f1 ( x) := ( x 2 − 2 x + 2 ) e x ,
f 2 ( x) := log ( 3 xe− x ) ,
f3 ( x) := esen x (1 + log x 2 ) ,
f 4 ( x) := log
ex
.
1 + ex
EJERCICIO 8. Utiliza la siguiente gráfica
para establecer que si 0 < a < b, entonces
1
e2
( log a + log b )
( log b − log a ) ≤ ∫
log b
log a
e x dx ≤
1 log a log b
( e + e ) ( log b − log a ) .
2
B− A
A+ B
≤
.
log B − log A
2
Estas dos desigualdades aseguran que la media geométrica de dos números positivos 0 < A < B es
menor que su media logarítmica, la cual, a su vez, es menor que su media aritmética.
Deduce de las desigualdades anteriores que si 0 < A < B, entonces
AB ≤
EJERCICIO 9. ¿Es la recta y = x una asíntota oblicua de la función f ( x) = x + cos x ? Razona la
cos x
respuesta. ¿Y de la función f ( x) = x +
?
x
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