Dos partículas A y B de igual masa m se encuentran unidas entre si

Departamento: Física Aplicada III
Mecánica Racional (Ingeniería Industrial)
Curso 2007-08
Dos partículas enlazadas
Dos partículas A y B de igual masa m se encuentran
unidas entre si mediante un hilo de longitud l=2a de
masa despreciable, inextensible y siempre tenso que
está obligado a pasar por el origen O. La partícula A
está apoyada en el plano z=0 y B cuelga verticalmente
desde O. Las condiciones iniciales son { ρ (0) = a ,
Φ
Z
O
θ (0) = 0 , ρ (0) = 0 , θ(0) = ω0 }.
A
ρ
X
θ
m
Suponiendo que los contactos son ideales y utilizando
mg
las coordenadas {ρ, θ} propuestas en la figura,
B
a) Obtenga de forma razonada las ecuaciones
mg
diferenciales del movimiento en forma de
integrales primeras.
b) Obtenga la ecuación del tipo f ( ρ ) = 0 que determina los valores máximos y mínimos de la coordenada ρ.
Análisis previo.
JJJJG JJJJG
JJJG
Se trata de un sistema de dos partículas con un vínculo interno OA + OB = 2a y otro dos externos ( ( OA ) = 0
z
(plano z=0), y la acción del orificio sobre el hilo). Todos son lisos, independientes del tiempo y no realizan
trabajo.
• El vínculo hilo no efectúa trabajo neto sobre el sistema, porque el contacto en el punto O es liso y además
los trabajos que la tensión del hilo efectúa sobre cada partícula son iguales pero de signo opuesto;
• El plano es un vínculo geométrico fijo y liso cuya fuerza vincular sobre la partícula A es normal al plano.
G
G
El sistema de las dos partículas se desvincula externamente con una única fuerza Φ A = Φ k y las fuerzas activas
G
G
G
externas son las gravitatorias sobre cada partícula PA = PB = m g .
La posición del sistema puede darse en coordenadas cilíndricas por ( ρ ,θ , z ) . Las coordenadas ρ, θ , corresponden
a la posición de la partícula A y la tercera coordenada z determina la posición de B. Estas coordenadas no son
independientes porque la geometría del problema impone el vínculo z = −(l − ρ ) = ρ − l . En consecuencia el
sistema posee dos grados de libertad.
a) Integrales primeras del movimiento
Conservación de la energía.
Como las fuerzas vinculares, internas y externas, no trabajan y las externas son conservativas, la energía
permanece constante.
E=T+U
T=
1
G 2 1
G 2
mA ( v A ) + mB ( v B )
2
2
G
G
G
G
G
G
v A = ρ uρ + ρθ uθ , v B = z k = ρ k
1
1
1
m ( ρ 2 + ρ 2θ 2 ) + m ρ 2 = m (2 ρ 2 + ρ 2 θ 2 )
2
2
2
U = m g z , U = m g (ρ − l)
T=
Sustituyendo en T+U=E y agrupando las constantes en el segundo miembro resulta
2 ρ 2 + ρ 2 θ 2 + 2 g ρ = C1
La constante C1 se determina con los valores iniciales
C1 = a (aω02 + 2 g )
Conservación de la componente vertical del momento cinético
Las fuerzas que contribuyen al momento cinético son las externas, tanto activas como vinculares. Estas fuerzas
son paralelas ó cortan la dirección OZ, en consecuencia se conserva la componente del momento cinético en esta
G
dirección ( LO ) z = cte.
JJJG
JJJG
G
G
G
LO = OA × m v A + OB × mv B
Dinámica de los sistemas de partículas
Dos partículas enlazas
JJJG
G
G
G
G
G
OA × mv A = ρ u ρ × m ( ρ u ρ + ρθ uθ ) = m ρ 2θ k
JJJG
G
G
G
OB × m v B = z k × m z k = 0
Sustituyendo y agrupando las constantes se obtiene
ρ 2θ = C2
C2 se determina con los valores iniciales
C 2 = a 2 ω0
b) Ecuación f ( ρ ) = 0 que determina los máximos y mínimos de ρ
Los máximos y mínimos de la coordenada ρ son sus puntos de libración ó puntos de retroceso en el problema
unidimensional equivalente para esta coordenada
La ecuación de conservación de la energía en el problema unidimensional equivalente se obtiene despejando θ de
la segunda ecuación y sustituyendo en la primera
2
⎛C ⎞
2 ρ 2 + ρ 2 ⎜ 22 ⎟ + 2 g ρ = C1
⎝ρ ⎠
Si ahora hacemos ρ = 0 (puntos de retroceso) se obtiene la ecuación pedida
2 g ρ 3 − C1 ρ 2 + C22 = 0
Sustituyendo el valor de las constantes queda
2 g ρ 3 − a (aω02 + 2 g ) ρ 2 + a 4ω02 = 0
Cuyas soluciones son los valores máximos y mínimos de la coordenada ρ
Mecánica Racional (Industriales)
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