Semejanza y Trigonometria. 77 Ejercicios para practicar con

Semejanza y Trigonometria. 77 Ejercicios para practicar con soluciones
1
Dos rectángulos tienen sus lados proporcionales. Los lados del primero miden 6 y 8 cm respectivamente.
Si el perímetro del segundo es 14 cm, ¿cuál es la razón de semejanza de sus áreas?
Solución:
Como el perímetro del primero es 6 + 8 = 14 cm, los rectángulo son iguales, y por tanto la razón de semejanza
entre sus lados es 1 y entre sus áreas también es 1.
2
Un mapa tiene por escala 1: 1.500.000. La distancia real entre dos ciudades es de 750 km.¿Qué distancia
las separa en el mapa?
Solución:
750 km : 1.500.000 = 5 ⋅ 10 −4 km = 0,5 m
3
Dos circunferencias tienen por radios 7 cm y 49 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza de sus áreas?
Solución:
La razón de semejanza de sus áreas es:
2
2
2
S
π⋅ r 2
r2
1
⎛ 1⎞
⎛ 7 ⎞
⎛r⎞
=
=
=⎜ ⎟ =⎜
⎟ =⎜ ⎟ =
2
2
S ′ π⋅ (r ′)
(r ′) ⎝ r ′ ⎠ ⎝ 49 ⎠ ⎝ 7 ⎠ 49
4
La razón de semejanza entre los volúmenes de dos cubos es 27. ¿Cuál es la razón de semejanza entre sus
aristas? ¿Y entre sus áreas?
Solución:
3
3
⎛a ⎞
V1 a1
= 3 = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ siendo a1 y a2 las aristas.
V2 a2
⎝ a2 ⎠
a
La razón de semejanza entre sus aristas es, por tanto, 1 = 3 27 = 3 .
a2
La razón entre los volúmenes es 27 =
2
2
⎛a ⎞
A
a
La razón entre sus áreas es 1 = 12 = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = 9 .
A 2 a2
⎝ a2 ⎠
5
La arista de un dado de parchís mide 1 cm y la del de la oca mide 1,5 cm. Calcula la razón de semejanza
entre sus aristas. ¿Cuántas veces es más grande el dado de la oca que el del parchís? ¿Cuántas veces es
más grande el área de cada cara del dado de la oca comparado con el de parchís?
1
Solución:
La razón de semejanza entre sus aristas es
1,5
= 1,5 .
1
Volumen oca
1,53
= 3 = 3,375 veces más grande.
Volumen parchís
1
Área oca
1,5 2
= 2 = 2,25 veces más grande el área de cada cara.
Área parchís
1
6
La razón de semejanza de los lados de dos cuadrados es 0,6. ¿Cuál es la razón de sus áreas?
Solución:
La razón de semejanza de sus áreas es:
2
S
l2
⎛l⎞
2
= 2 = ⎜ ⎟ = (0,6 ) = 0,36
′
S ′ (l′)
l
⎝ ⎠
7
Dos circunferencias tienen por radios 5 cm y 9 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza de sus longitudes?
Solución:
La razón de semejanza de sus longitudes es:
L
2 ⋅ π⋅ r
r
5
=
= =
L ′ 2 ⋅ π⋅ r ′ r ′ 9
8
Calcular cuántas veces es más grande una pizza familiar que una pequeña si el radio de la familiar es 40 cm
y el de la pequeña es 25cm.
Solución:
Área familiar
π·40 2 1600 64
=
=
=
veces.
Área pequeña π·25 2
625
25
9
Un polígono tiene por lados segmentos que miden a=12 cm, b=6 cm, c=9 cm, d=5 cm y e=10 cm. Halla los
lados de un polígono semejante a él y cuyo perímetro es 200 cm.
Solución:
El perímetro del primer polígono: P = 12 + 6 + 9 + 5 + 10 = 42 cm
200
La razón de semejanza:
= 4,76
42
Los lados pedidos:
a ′ = a⋅ r ⇒ a ′ = 12 ⋅ 4,76 = 57,12 cm
b ′ = a⋅ r ⇒ b ′ = 6 ⋅ 4,76 = 28,56 cm
c ′ = a⋅ r ⇒ c ′ = 9 ⋅ 4,76 = 42,84 cm
d′ = a⋅ r ⇒ d′ = 5 ⋅ 4,76 = 23,8 cm
e ′ = a⋅ r ⇒ e ′ = 10 ⋅ 4,76 = 47,6 cm
10 Un rombo R tiene por lado a y es semejante a otro rombo R´ de lado a´. Si la razón de semejanza es 5 y el
área de R´ es 350 cm2, halla el área de R.
2
Solución:
La razón de semejanza de dos figuras es igual al cuadrado de la razón de semejanza:
2
S
S
⎛a⎞
=
= ⎜ ⎟ = 5 2 = 25 ⇒ S = 25 ⋅ S ′ = 25 ⋅ 350 = 8750 cm 2
′
S
350 ⎝ a ′ ⎠
11 Un polígono tiene por lados segmentos que miden a=2 cm, b=3 cm, c=8 cm y d=10 cm. Halla los lados de
un polígono semejante a él y cuyo perímetro es 35 cm.
Solución:
El perímetro del primer polígono: P = 2 + 3 + 8 + 10 = 23 cm
35
La razón de semejanza:
= 1,52
23
Los lados pedidos:
a ′ = a⋅ r ⇒ a ′ = 2 ⋅ 1,52 = 3,04 cm
b ′ = a⋅ r ⇒ b ′ = 3 ⋅ 1,52 = 4,56 cm
c ′ = a⋅ r ⇒ c ′ = 8 ⋅ 1,52 = 12,16 cm
d′ = a⋅ r ⇒ d′ = 10 ⋅ 1,52 = 15,2 cm
12 Las áreas de dos polígonos semejantes están en la razón 1:64. ¿Cuál es la razón de semejanza?
Solución:
Todo polígono se puede descomponer en triángulos P, Q, R..., para los cuales se cumple:
1
⋅ a⋅ h
S
a⋅ h
P
Q
R
2
=
=
= r2 ⇒
= r 2;
= r 2;
= r2
S′ 1
⋅ a⋅ h ′
P′
Q′
R′
⋅ a ′⋅ h ′
2
⇒ P = r 2 ⋅ P ′; Q = r 2 ⋅ Q ′; R = r 2 ⋅ R ′ ⇒ P+ Q+ R = r 2 ⋅ (P ′+ Q ′+ R ′)
⇒ S = r 2 ⋅ S′ ⇒
S
1
1
= r2 ⇒
= r2 ⇒ r =
S′
64
8
13 Dos polígonos semejantes tienen perímetros de 130 y 240 cm, respectivamente. ¿Cuánto mide el lado del
primer polígono homólogo al lado del segundo cuyo valor es 37 cm?
Solución:
Calculamos la razón de semejanza:
240
k=
= 1,85 ⇒ 37 = a⋅ 1,85 = 20 cm
130
14 Se quiere dibujar un polígono de perímetro 60 cm, semejante a otro de perímetro 180 cm. ¿Cuánto medirá el
lado del primer polígono homólogo de un lado del segundo polígono que mide 15 metros?
Solución:
La razón de los perímetros de dos polígonos es igual a la razón de semejanza.
P
60
a
15 ⋅ 60 900
=
=
⇒a=
=
= 5 cm
P ′ 180 15
180
180
3
15 Se quiere dibujar un polígono semejante a otro cuyo perímetro mide 100 cm. ¿Cuánto medirá el perímetro
del primer polígono si dos lados homólogos miden respectivamente 25 y 40 cm?
Solución:
Calculamos la razón de semejanza:
40
k=
= 1,6 ⇒ 100 = P⋅ 1,6 ⇒ P = 62,5 cm
25
16 Dos polígonos semejantes tienen perímetros de 320 y 400 cm, respectivamente. ¿Cuánto mide el lado del
primer polígono homólogo al lado del segundo cuyo valor es 45 cm?
Solución:
Calculamos la razón de semejanza:
400
k=
= 1,25 ⇒ 45 = a⋅ 1,25 ⇒ a = 36 cm
320
17 Los lados de un cuadrilátero son: a=1 cm, b=6 cm, c=7 cm y d=4 cm. Se sabe que el área de otro semejante
es 16 veces mayor que el área del primero. Determina la medida de los lados del cuadrilátero semejante.
Solución:
2
S ⎛a⎞
a
=4
= ⎜ ⎟ = 16 ⇒ r =
′
′
S
a′
⎝a ⎠
Por tanto:
a ′ = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 1 = 4 cm
b ′ = 4 ⋅ b = 4 ⋅ 6 = 24 cm
c ′ = 4 ⋅ c = 4 ⋅ 7 = 28 cm
d′ = 4 ⋅ d = 4 ⋅ 4 = 16 cm
18 Con un cable de 50 metros se quiere conseguir un polígono semejante a otro de 90 metros de perímetro.
¿Cuánto medirá el lado del primer polígono homólogo de un lado del segundo polígono que mide 5
metros?
Solución:
La razón de los perímetros de dos polígonos es igual a la razón de semejanza.
P 50 a
5 ⋅ 50 250
=
= ⇒a=
=
= 2,77 m
P ′ 90 5
90
90
19
1
. ¿Cuánto
4
mide la arista del segundo tetraedro? ¿Cuál es la razón de semejanza entre sus áreas? ¿Y entre sus
volúmenes?
Un tetraedro mide 8 cm de lado y la razón de semejanza con otro tetraedro más pequeño es
Solución:
La arista del segundo tetraedro mide
1
·8 = 2 cm .
4
2
1
⎛ 1⎞
.
La razón de semejanza entre sus áreas es ⎜ ⎟ =
16
⎝4⎠
3
1
⎛ 1⎞
.
La razón de semejanza entre sus volúmenes es ⎜ ⎟ =
4
64
⎝ ⎠
4
20 Dado el segmento AB, divídelo en partes proporcionales a otros tres segmentos dados a, b y c.
A
B
a
b
c
Solución:
La construcción se muestra en la siguiente figura:
c
b
a
A
m
n
ñ B
21 Un triángulo tiene por lados 2 cm, 4 cm y 6 cm. El lado correspondiente al pequeño, en otro triángulo
semejante, es 18 cm. Halla los restantes lados del triángulo semejante correspondiente.
Solución:
Triángulo semejante de lados a, b y c.
a b c
Proporcionalidad ⇒ = =
2 4 6
18 b c
a = 18 cm ⇒
= = =9=r
2
4 6
b
= 9 ⇒ b = 36 cm
4
c
= 9 ⇒ c = 54 cm
6
22 Dado un segmento cualquiera AB, divídelo en cuatro partes iguales.
A
B
Solución:
La construcción se muestra en la siguiente figura:
a
a
a
a
A
m
m
m
m
B
5
23 Sabiendo que los lados DE y AB son paralelos, averigua cuánto mide EC.
Solución:
Aplicando el teorema de Tales,
EC 4
16 8
= ⇒ EC =
= cm .
4
6
6
3
24 Dos triángulos isósceles tiene el mismo ángulo, 30º, en el vértice donde se unen sus lados iguales.
¿Podemos asegurar que dichos triángulos son semejantes?
Solución:
Sí, porque si ambos tienen el mismo ángulo desigual, también tendrán los mismos ángulos iguales.
25 Dos triángulo rectángulos tienen uno de sus ángulos de 40º. ¿Podemos asegurar que dichos triángulos
son semejantes?
Solución:
Sí, pues ambos tienen los tres ángulos iguales: 40º, 90º y 50º.
26 Un triángulo tiene por lados 11 cm, 22 cm y 33 cm. El lado correspondiente al mayor, en otro triángulo
semejante, es 49,5 cm. Halla los restantes lados del triángulo semejante correspondiente.
Solución:
Triángulo semejante de lados a, b y c.
a
b
c
=
=
Proporcionalidad ⇒
11 22 33
a
b
49,5
c = 49,5 cm ⇒
=
=
= 1,5 = r
11 22
33
b
= 1,5 ⇒ b = 33 cm
22
c
= 1,5 ⇒ c = 16,5 cm
11
27 Los lados de un triángulo miden 3, 4 y 4,5 cm. El perímetro de otro triángulo semejante es 23. ¿Cuál es la
razón de semejanza? ¿Cuánto miden los lados del segundo triángulo?
Solución:
23
23
=
= 2.
3 + 4 + 4,5 11,5
Los lados del segundo triángulo miden: 2 · 3 = 6 cm, 2 · 4 = 8 cm y 2 · 4,5 = 9 cm.
La razón de semejanza es la razón entre los perímetros =
6
28 Para calcular la altura de una farola, ponemos un palo vertical cerca y medimos la sombra del palo y de la
farola. Hemos obtenido 0,75 y 6 m respectivamente y que el palo mide 1 m. ¿Cuánto mide la farola?
Solución:
Los triángulos formados por la farola y su sombra y por el palo y su sombra son semejantes, pues los rayos de sol
1
x
= ⇒ x = 8m .
son paralelos. Por tanto, si x es la altura de la farola,
0,75 6
29 Calcula x en cada caso:
a)
b)
c)
Solución:
En todos los casos los triángulos verifican el teorema de Tales.
x
8
32 16
⇒x=
=
≈ 5,33 cm .
a) =
6
3
4 2+4
x
9
27 9
⇒x=
= = 2,25 cm .
b) =
3 12
12 4
1+ x 1
10
= ⇒ 1+ x =
= 5 ⇒ x = 5 − 1 = 4 cm .
c)
10
2
2
30 Se consideran dos triángulos semejantes. Del primero conocemos un ángulo, 35º, y del segundo sabemos
que uno de sus ángulo es 55º. Con estos datos, ¿qué podemos averiguar de los triángulos?
Solución:
Como los ángulos de dos triángulos semejantes deben ser iguales, ambos triángulos tienen un ángulo de 35º y otro
de 55º, por lo que el tercero debe ser de 90º. Por tanto, los triángulos son rectángulos.
31 ¿Son semejantes los triángulo MON y PQR si m = 14 cm, n = 12 cm, o = 8 cm, p = 6 cm, q = 4 cm y r = 7 cm?
Si lo son, ¿qué lados son homólogos?
Solución:
m n o
= = = 2 , los triángulos MON y PQR son semejantes, siendo lados homólogos m y r, n y p, o y q.
Como
r
p q
7
32 Calcula x e y en los siguientes triángulos:
a)
b)
c)
Solución:
a) Los triángulos son semejantes porque están en posición de Tales, por lo que:
5
x
= ⇒ x = 2 cm .
2+3 2
b) Los triángulos ABC y ABD son semejantes, pues comparten el ángulo B y ambos tienen un ángulo recto. Por
8,2 14
82 41
=
⇒x=
=
≈ 5,86 m .
tanto,
x
10
14
7
c) Los dos triángulos son semejantes, pues el ángulo opuesto por el vértice es igual y las bases son paralelas.
x 4
y 4
= ⇒ x = 10 cm .
Entonces, = ⇒ x = 10 cm y
5 2
5 2
33 La base de un triángulo mide el doble que la de otro triángulo, y su altura también. ¿Podemos afirmar
siempre que son triángulos semejantes?
Solución:
No, puede que no sean semejantes. Por ejemplo, el primero puede ser un triángulo rectángulo de base un cateto
de 10 cm y altura el otro cateto de 15 cm, y el segundo triángulo puede ser isósceles de base 20 cm y altura 30 cm.
34 Si dos triángulos rectángulos son semejantes y las hipotenusas miden, respectivamente, 26 y 39 cm, y el
menor de los catetos del primer triángulo mide 10 cm, ¿cuánto miden los otros lados en ambos triángulos?
Solución:
Por el teorema de Pitágoras, si x es el cateto mayor del primer triángulo: x 2 + 102 = 262 ⇒ x = 24 cm .
a
b
39
=
=
⇒ a = 15 cm y b = 36 cm .
Por otro lado, si a y b son los catetos del segundo triángulo:
10 24 26
35 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 cm y uno de los catetos 16 cm. Halla el otro cateto y los
lados de otro triángulo semejante al anterior con razón de semejanza 1,5.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras, si el otro cateto es x: x 2 + 162 = 202 ⇒ x = 12 cm .
Los lados del otro triángulo son:
12 · 1,5 = 18 cm.
16 · 1,5 = 24 cm.
20 · 1,5 = 30 cm.
8
36 Los lados de un triángulo ABC son a = 5 cm, b = 7 cm y c = 9 cm. Halla los lados del triángulo semejante
A´B´C´, sabiendo que su perímetro es 105 cm.
Solución:
Lados de A'B'C': a ′ = 5 x; b ′ = 7 x; c ′ = 9 x
5 x + 7 x + 9 x = 105 cm ⇒ 21 x = 105 ⇒ x = 5
Lados de A'B'C': a ′ = 25 cm; b ′ = 35 cm; c ′ = 45 cm
37 La sombra de una torre eléctrica mide 10 m y en el mismo instante, la sombra de un joven mide 1,5 m. Si el
joven tiene una altura de 1,8 m, ¿cuál es la altura de la torre?
Solución:
Los triángulos formados por la torre y su sombra y por el joven y su sombra son semejantes, pues los rayos de sol
1,8
x
=
⇒ x = 12 m .
son paralelos. Por tanto, si x es la altura de la torre,
1,5 10
38 Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 9 cm. El lado más corto de un triángulo semejante al anterior mide
15 cm. ¿Cuánto miden los otros lados?
Solución:
15 5
= = 2,5 .
6
2
Por tanto, los otros lados miden 2,5 · 8 = 20 cm y 2,5 · 9 = 22,5 cm.
Razón de semejanza =
39 Un ciclista tiene que subir una cuesta que tiene una inclinación de 12º. ¿Qué altura habrá subido cuando
haya recorrido 200m?
Solución:
La hipotenusa del triángulo es 200 m y la altura es el cateto opuesto a los 12º, por lo que
h
sen 12º =
⇒ h = 200 sen 12º = 200·0,2079 = 41,58 m .
200
40 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 9º ; b) 81º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 9º = 0,1564 ; cos 9º = 0,9877 ; tg 9º = 0,1584.
b) sen 81º = 0,9877 ; cos 81º = 0,1564 ; tg 81º = 6,3138.
sen 9º = cos 81º ; cos 9º = sen 81º porque 9º +81º = 90º.
41 En un triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en A, si tgB = 1,2 y b = 3 cm, ¿cuánto mide c?
9
Solución:
b
3
3
tgB = ⇒ 1,2 = ⇒ c =
= 2,5 cm
c
c
1,2
42 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 49º ; b) 41º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 49º = 0,7547 ; cos 49º = 0,6561 ; tg 49º = 1,1504.
b) sen 41º = 0,6561 ; cos 41º = 0,7547 ; tg 41º = 0,8693.
sen 49º = cos 41º ; cos 49º = sen 41º porque 49º +41º = 90º.
43 Halla el seno y el coseno de los ángulos B y C del dibujo. ¿Qué relación encuentras?
Solución:
Por el teorema de Pitágoras, x 2 + 62 = 102 ⇒ x = 8 cm . Por tanto,
6
6
8
4
8
4
6
6
senB =
= , cosB =
= , senC =
= , cosC =
= .
10 5
10 5
10 5
10 5
Observamos que senB = cosC y que cosB = senC.
44 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 27º ; b) 63º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 27º = 0,4540 ; cos 27º = 0,8910 ; tg 27º = 0,5095.
b) sen 63º = 0,8910 ; cos 63º = 0,4540 ; tg 63º = 1,9626.
sen 27º = cos 63º ; cos 27º = sen 63º porque 27º +63º = 90º.
45 Trabajando con ángulos agudos, ¿es cierto que a mayor ángulo le corresponde mayor seno? ¿Y para el
coseno?
Solución:
Cuando los ángulos son agudos, el seno es creciente, es decir, a mayor ángulo, mayor seno, pero el coseno es
decreciente, esto es, a mayor ángulo, menor coseno.
46 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 28º ; b) 62º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
10
Solución:
a) sen 28º = 0,4695 ; cos 28º = 0,8829 ; tg 28º = 0,5317.
b) sen 62º = 0,8829 ; cos 62º = 0,4695 ; tg 62º = 1,8807.
sen 28º = cos 62º ; cos 28º = sen 62º porque 28º +62º = 90º.
47 Si a es un ángulo agudo y cos a = 0,1, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
sen a = 1 − cos 2 a = 1 − 0,01 = 0,99 = 0,9950;
tg a =
sen a 0,9950
=
= 9,9499.
cos a
0,1
48 Si a es un ángulo agudo y tg a = 0,5, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
1
4
2
= ⇒ cosa =
= 0,8944;
1
5
1 + tg a 1 +
5
4
2 1
1
sen a = cos a⋅ tg a =
⋅ =
= 0,4472.
2
5
5
cos 2 a =
2
=
1
49 En un triángulo rectángulo, donde el ángulo recto es A, se sabe que a = 8 m y b = 6m. ¿Cuánto mide c?
Calcula las razones de los ángulos B y C.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras: 82 = 62 + c 2 ⇒ c = 28 = 2 7 m . Por tanto:
senB =
7 3 7
4
4 7
4
6 3
2 7
7
6
3 7
, cosecB = .
=
, secB =
=
= , cosB =
=
, tgB =
=
, cotgB =
3
7
7
3
8 4
8
4
7
7
2 7
senC =
2 7
7
6 3
2 7
7
6
3 7
4
4
4 7
=
, cosC = = , tgC =
=
, cotgC =
.
=
, secC = , cosecC =
=
8
4
8 4
6
3
7
3
7
2 7
7
50 Si a es un ángulo agudo y sen a = 0,2, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos a = 1 − sen 2 a = 1 − 0,04 = 0,96 = 0,9798;
tg a =
sen a
0,2
=
= 0,2041.
cos a 0,9798
51 ¿Es rectángulo un triángulo cuyos lados miden 12, 13 y 5 cm? En caso afirmativo determina el seno,
coseno y tangente de los dos ángulos agudos.
11
Solución:
Sí es rectángulo, pues 52 + 122 = 132 .
5
12
5
senA =
, cosA =
, tgA =
.
13
13
12
12
5
12
senA =
, cosA =
, tgA =
.
13
13
5
52 Si a es un ángulo agudo y sen a =0,3, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos a = 1 − sen 2 a = 1 − 0,09 = 0,91 = 0,9539;
tg a =
sen a
0,3
=
= 0,3145.
cos a 0,9539
53 Si a es un ángulo agudo y sen a = 0,1, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos a = 1 − sen 2 a = 1 − 0,01 = 0,99 = 0,9950;
tg a =
sen a
0,1
=
= 0,1005.
cos a 0,9950
54 Si a es un ángulo agudo y cos a = 0,2, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
sen a = 1 − cos 2 a = 1 − 0,04 = 0,96 = 0,9798;
tg a =
sen a 0,9798
=
= 4,8990.
cos a
0,2
55 Si a es un ángulo agudo y tg a = 0,4, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos 2 a =
1
2
1 + tg a
=
1
= 0,8621 ⇒ cos a = 0,8621 = 0,9285;
1 + 0,16
sen a = cos a⋅ tg a = 0,9285 ⋅ 0,4 = 0,3714.
56 Si a es un ángulo agudo y cos a =0,4, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
sen a = 1 − cos 2 a = 1 − 0,16 = 0,84 = 0,9165;
tg a =
sen a 0,9165
=
= 2,2913.
cos a
0,4
57 Si a es un ángulo agudo y tg a =5, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
12
Solución:
cos 2 a =
1
2
1 + tg a
=
sen a = cos a⋅ tg a =
1
⇒ cosa =
1 + 25
1
26
⋅5 =
5
26
1
26
= 0,1961;
= 0,9806.
58 Si a es un ángulo agudo y cos a = 0,6, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
sen a = 1 − cos 2 a = 1 − 0,36 = 0,64 = 0,8;
tg a =
sen a 0,8 4
=
= .
cos a 0,6 3
59 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 25º ; b) 155º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 25º = 0,4226 ; cos 25º = 0,9063 ; tg 25º = 0,4663.
b) sen 155º = 0,4226 ; cos 155º = −0,9063 ; tg 155º = −0,4663.
sen 155º = sen 25º ; cos 155º = − cos 25º porque 155º = 180º −25º.
60 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 9º ; b) 99º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 9º = 0,1564 ; cos 9º = 0,9877 ; tg 9º = 0,1584.
b) sen 99º = 0,9877 ; cos 99º = −0,1564 ; tg 99º = −6,3138.
sen 99º = cos 9º ; cos 99º = − sen 9º porque 99º = 90º +9º.
61 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 81º ; b) 279º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 81º = 0,9877 ; cos 81º = 0,1564 ; tg 81º = 6,3138.
b) sen 279º = −0,9877 ; cos 279º = 0,1564 ; tg 279º = −6,3138.
sen 279º = − sen 81º ; cos 279º = cos 81º porque 279º = 360º −81º.
62 Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 79º ; b) 259º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
13
Solución:
a) sen 79º = 0,9816 ; cos 79º = 0,1908 ; tg 79º = 5,1446.
b) sen 259º = −0,9816 ; cos 259º = −0,1908 ; tg 259º = 5,1446.
sen 259º = − sen 79º ; cos 259º = − cos 79º porque 259º = 180º +79º.
63
3
4
, que cosA =
y que A está en el primer cuadrante, calcula las siguientes
5
5
razones trigonométricas sabiendo que A está expresados en grados:
a) tg(90 - A)
Si sabemos que senA =
b) sen(90 - A)
c) cos(180 + A)
Solución:
a) tg(90 − A) =
sen(90 − A) cosA 4
=
=
cos(90 − A) senA 3
b) sen(90 − A) = cosA =
4
5
c) cos(180 + A) = − cosA = −
64
4
5
2
y que A está en el primer cuadrante, calcula las siguientes razones
3
trigonométricas sabiendo que A está expresados en grados:
a) senA
b) tg(90 + A)
Si sabemos que cosA =
c) cos(90 − A)
Solución:
2
4
⎛2⎞
a) senA = 1 − ⎜ ⎟ = 1 − =
9
3
⎝ ⎠
b) tg(90 + A) =
5
5
=
9
3
sen(90 + A)
cosA
2
2 5
=
=−
=−
cos(90 + A) − senA
5
5
c) cos(90 − A) = senA =
5
3
65 Expresa cada una de estas razones trigonométricas en función de otra equivalente de un ángulo del primer
cuadrante:
a) sen(-90º)
b) cos 850º
c) sen 720º
d) cos(-300º)
e) sen 540º
f) cos 3240º
14
Solución:
a) sen(-90º) = -sen 90º
b) cos 850º = sen 130º = sen(180º-50º)=sen 50º
c) sen 720º = sen 0º
d) cos(-300º) = cos 60º
e) sen 540º = sen 180º = sen 0º
f) cos 3240º = cos 0º
66 Si a es un ángulo del segundo cuadrante y cos a = -0,05, ¿cuánto valen las otras dos razones
trigonométricas?
Solución:
sen a = 1 − cos 2 a = 1 − 0,0025 = 0,9975 = 0,9987;
tg a =
sen a 0,9987
=
= −19,9750.
cosa
− 0,05
67 Si a es un ángulo del tercer cuadrante y sen a = - 0,9, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos a = − 1 − sen 2 a = − 1 − 0,81 = − 0,19 = −0,4359;
tg a =
sen a
− 0,9
=
= 2,0647.
cos a − 0,4359
68 Determina, sin calculadora, para qué ángulos comprendidos entre 0 y 2π radianes se verifica que
1
1
senA = ; cosB = ; tgC = −1 .
2
2
Solución:
1 π
5π
= rad ó
rad .
2 6
6
5π
1 π
rad .
B = arccos = rad ó
3
2 3
3π
7π
C = arctg( −1) =
rad ó
rad .
4
4
A = arcsen
69 Si a es un ángulo del cuarto cuadrante y cos a =0,3, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
sen a = − 1 − cos 2 a = − 1 − 0,09 = − 0,91 = −0,9539;
tg a =
sen a − 0,9539
=
= −3,1798.
cos a
0,3
70 Si a es un ángulo convexo y tg a =3/7, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
15
Solución:
Como tg a es positivo, a está en el primer o tercer cuadrante, y como a es convexo, está en el primer o
segundo cuadrante, por lo que a sólo puede estar en el primer cuadrante.
1
1
49
7
=
=
⇒ cos a =
= 0,9191;
cos 2 a =
2
9
58
1 + tg a 1 +
58
49
7 3
3
sen a = cos a⋅ tg a =
⋅ =
= 0,3939.
58 7
58
71 Si a es un ángulo del cuarto cuadrante y tg a = -5/3, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
3
1
9
=
⇒ cos a =
= 0,5145;
1 + tg a 1 + 25 34
34
9
3 ⎛ 5⎞
5
sen a = cos a⋅ tg a =
⋅ ⎜− ⎟ = −
= −0,8575.
3
⎠
34 ⎝
34
cos 2 a =
1
2
=
72 Si a es un ángulo obtuso y sen a =0,4, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
Como sen a es positivo y a es obtuso, a debe estar en el segundo cuadrante.
cos a = − 1 − sen 2 a = − 1 − 0,16 = − 0,84 = −0,9165;
tg a =
sen a
0,4
=
= −0,4364.
cos a − 0,9165
73 Si a es un ángulo entre -90º y 90º y sen a =0,7, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
Como sen a es positivo, a está en el primer o segundo cuadrante, y como -90º<a<90º, entonces a está en el
primer cuadrante.
cos a = 1 − sen 2 a = 1 − 0,49 = 0,51 = 0,7141;
tg a =
sen a
0,7
=
= 0,9802.
cos a 0,7141
74 Si a es un ángulo obtuso y cos a =0,7, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
Como cos a es positivo y a es obtuso, a debe estar en el cuarto cuadrante.
sen a = − 1 − cos 2 a = − 1 − 0,49 = − 0,51 = −0,7141;
tg a =
sen a − 0,7141
=
= −1,0202.
cos a
0,7
75 En el sistema centesimal, un ángulo recto tiene 100º centesimales. ¿Sabrías decir cuántos grados
π
radianes?
centesimales son
4
16
Solución:
π
π
Como
rad = 45º sexagesimales, es decir, medio ángulo recto, entonces
rad = 50º centesimales.
4
4
76 Si a es un ángulo del segundo cuadrante y tg a = -0,25, ¿cuánto valen las otras dos razones
trigonométricas?
Solución:
cos 2 a =
1
2
1 + tg a
1
=
1+
sen a = cos a⋅ tg a = −
1
16
4
=
4
16
⇒ cos a = −
= −0,9701;
17
17
⎛ 1⎞
⋅ ⎜− ⎟ =
17 ⎝ 4 ⎠
1
17
= 0,2425.
77 Si a es un ángulo obtuso y tg a =2, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
Como tg a es positivo y a es obtuso, a debe estar en el tercer cuadrante.
1
1
1
cos 2 a =
=
⇒ cos a = −
= −0,4472;
1 + tg 2 a 1 + 4
5
sen a = cos a⋅ tg a = −
1
5
⋅2 = −
2
5
= −0,8944.
17